线性定常系统的综合

经典控制理论和现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式：
经典控制理论中的反馈量：输出量。 现代控制理论中的反馈量：输出量 或 输出量+状态量。
为了利用状态进行反馈，必须用传感器来测量状态变量，但并不是所 有状态变量都物理上可测量，于是提出用状态观测器给出状态估值的问题。
状态反馈设计与状态观测器设计便构成了用状态空间法综合设计系统 的主要内容。
2 反馈结构对系统性能的影响 由于引入反馈，系统状态的系数矩阵发生可变化，对系统的可控性、
可观测性、稳定性、响应特性等均有影响。
⑴ 对系统可控性、可观测性的影响
定理 4-1 对于系统（4-280），状态反馈的引入不改变系统的可控性， 但可能改变系统的可观测性。
证明：设被控系统 S0 的动态方成为： x& = Ax + Bu
⎡ k1 ⎤
K
=
⎢ ⎢
k
2
⎥ ⎥
⎢M⎥
⎢⎥ ⎢⎣k p ⎥⎦
则
( A − BK )bi = Ab i − [b1
b2
...
⎡ k1bi ⎤
b
p
]
⎢ ⎢ ⎢
k 2bi ...
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎥
⎢⎣k pbi ⎥⎦
令 c1i = k1bi , c2i = k2bi , ..., cpi = k pbi
式中cji均为标量。故
4.1 线性定常系统常用反馈结构及其对系统特性的影响
1 两种常用反馈结构 ⑴ 状态反馈 设有n维线性定常系统
x& = Ax + Bu, y = Cx
(4 − 280)
式中，x, u , y 分别为 n 维 、p 维和 q 维向量；A, B, C分别为实数矩阵。
当将系统的控制量 u 取为状态变量的线性函数
系统加入状态反馈后可能改变其可观测性意味着有可能使得
rank S O ≠ rank S OH
Q
So
也是系统
S
的可控性判别阵，
o
SoH 又是系统 S H的可控性判别阵
上式表明输出至状态微分的反馈可能改变系统得可控性。证毕。
定理 4-3 对于系统（4-280），输出至参考输入反馈的引入能同时不改
变系统的可控性和可观测性，即输出反馈系统 SF 为可控（可观测）的充分 必要条件是被控系统So为可控（可观测）。
接下去证明状态反馈系统不一定能保持可观测性，对此只需举一反例
即可。例如，考察系统S0为
x&
=
⎡1 ⎢⎣0
2⎤ 3⎥⎦
x
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦u,
y = [1 1]x
其可观测性判别阵
Q0
=
⎡c⎤ ⎢⎣cA⎥⎦
=
⎡1 ⎢⎣1
1⎤ 5⎥⎦,
rankQ0 = n = 2
故该系统可观测。引入状态反馈 k = [0 4], 则其状态反馈系统Sk为
y = Cx
加入状态反馈后系统 Sk的动态方成为：
x& = ( A − BK )x + Bv
y = Cx
首先证明状态反馈系统Sk可控的充分必要条件时被控系统 S0可控。 系统 S0的可控性矩阵为
QC = [B AB ... An−1B]
系统 Sk的可控性矩阵为
) QCK = [B
( A − BK )B
输出反馈有两种形式： ① 将输出反馈至状态微分，图（a）； ② 将输出反馈至参考输入，图（b）。
u
++ B
x&
1I
x
_+
s
A
y C
H
（a）输出反馈至状态微分
ν+ u _
+ B
x&
+
1x I
s A
y C
F
（b）输出反馈至参考输入
① 输出量反馈至状态微分的系统动态方程为：
x& = Ax + Bu − Hy = ( A − HC)x + Bu y = Cx
定理 4-4 当且仅当线性定常系统的不可控部分渐进稳定时，系统是状态 反馈可镇定的。
证明 由于{A, B}不完全可控，则一定可引入非奇异线性变换进行结构
x& = ( A − BFC ) x + Bv
y = Cx
其传递函数矩阵为
GF (s) = C(sI − A + BFC)−1 B
不难看出，不管是状态反馈还是输出反馈，都可以改变状态的系数 矩阵，但这并不表明二者有等同功能。由于状态能完整的表征系统的动 态行为，因而利用状态反馈时，其信息量大而完整，可以再不增加系统 维数的情况下，自由的支配响应特性。而输出反馈仅利用了状态变量的 线性组合进行反馈，其信息量较小，所引入的补偿装置将使系统维数增 加，且难以得到任意所期望的响应特性。一个输出反馈系统的性能，一 定有对应的状态反馈系统与之等同，如图（b）所示输出反馈系统，只要 令 FC = K 便可确定状态反馈增益矩阵。但是，对于一个状态反馈系统， 却不一定有对应的输出反馈系统与之等同，这是由于令 K = FC 来求解矩 阵 F 时，有可能因为 F 含有高阶导数而无法实现。对于非最小相位受控 对象，如果含有在复平面右半平面上的极点，并且选择在复平面右半平 面上的校正零点来加以对消的时，便会潜藏有不稳定的隐患。但是，由 于输出量反馈所用的输出变量总是容易测量的，实现起来比较方便，因 而获得了较广泛的应用。对于状态反馈系统中不便测量的状态变量，需 要利用状态观测器进行重构。
另一方面，S0又可看成为SK的状态反馈系统，即
x& = Ax + Bu = [(A − BK ) + BK ]x + Bu
同理可得
rankQc ≤ rankQck
由式（4-289）和式（4-290）可得
rankQck = rankQc
从而当且仅当S0可控时，SK可控。
(4 − 289) (4 − 290)
由于系统(AT, CT, BT)可观测性判别阵为
[ ] S 0 = (BT )T ( AT )T (BT )T ... (( AT )T )n−1(BT )T [ ] = B AB ... An−1 B
系统((AT-CTHT)，CT，BT)的可观测性判别阵为
[ ] S 0H = (BT )T ( CT H T )T )n−1(BT )T [ ] = B ( A − HC)B ... ( A − HC)n−1 B
通过状态反馈造成了所配置的极点与零点相对消。
定理 4-2 对于系统（4-280），输出至状态微分反馈的引入不改变系统 的可观测性，但可能改变系统的可控性。
证明 用对偶定理证明。 设被控对象S0为（A,B,C)，将输出反馈至状态微分的系统可知，系统SH 为((A-HC)，B，C), 若(A, B, C)可观测，则对偶系统(AT, CT, BT)可控，由定 理4-1可知，系统(AT, CT, BT)加入状态反馈后的系统((AT-CTHT)，CT，BT)的 可控性不变，但可能改变其可观测性。因而有
⎢ ⎢⎣cq
(
A
−
BFC
)⎥⎥⎦
式中ci(i=1,2,…,q)为行向量，将F表示为列向量组{fi}, 即 F = [f1 f2… fq]，则
ci ( A − BFC) = ci A − ci B( f1c1 + f2c2 + ... + fqcq ) = cia − [(ci Bf1)c1 + (ci Bf2 )c2 + ... + (ci Bfq )cq ]
其传递函数矩阵为：
GH (s) = C(sI − A + HC)−1 B
② 输出量反馈至参考输入的系统中，将系统的控制量u取为输出y
的线性函数：
u = v − Fy
(4 − 286)
时称之为线性非动态输出反馈，简称为输出反馈。其中 v 为 p 维参考 输入向量，F为p×n维实反馈增益矩阵。
将式（4-286）代入(4-280）可得输出反馈系统动态方程：
证明 首先，由于对任一输出至参考输入得反馈系统都能找到一个等
价得状态反馈系统，由定理4-1知状态反馈可保持可控性，因而输出至参考 输入反馈的引入不改变系统得可控性。
由于 So 和 SF 的可观测性判别阵分别为
⎡C ⎤
⎡
C
⎤
⎢
Q0
=
⎢ ⎢
CA ...
⎥ ⎥⎥,
Q0 F
⎢ =⎢
⎢
C( A − BFC) ...
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣CAn−1
⎥ ⎦
⎢⎣C
(
A
−
BFC
)
n−1
⎥ ⎦
并且
⎡ c1 ⎤
⎡ c1 A ⎤
⎡ c1( A − BFC ) ⎤
C
=
⎢⎢c2 ⎢ ...
⎥ ⎥⎥,
CA
=
⎢ ⎢ ⎢
c2 A ...
⎥ ⎥ ⎥
,
C(A
−
BFC
)
=
⎢ ⎢
c2
⎢
(A
− BFC ...
)⎥⎥ ⎥
⎢⎢⎣cq
⎥ ⎥⎦
⎢⎥ ⎢⎣cq A⎥⎦
(4 − 283)
因此可用{A-BK,B,C}来表示引入状态反馈后的闭环系统。
加入状态反馈后的系统结构图
ν+
u
_
+ B
x&
+
1 I
x
s
A
K
y C
⑵ 输出反馈
系统的状态常常不能全部测量到，因而状态反馈法的应用受到了 限制。在此情况下，常采用输出反馈法。输出反馈法的目的首先是 使系统系统闭环成为稳定系统，然后在此基础上进一步改善闭环系 统性能。
x&
=
(A
−
bk）+
bν
=
⎡1 ⎢⎣0
2⎤ −1⎥⎦
x
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦v,
y = [1 1]x
其可观测性判别阵
Qok
=
⎡c⎤ ⎢⎣c( A − bk)⎥⎦
=
⎡1 ⎢⎣1
1⎤ 1⎥⎦,
rankQok
=1<
n
=
2
故该状态反馈系统为不可观测。而若取k = [0 5]，则通过计算可知，此时它
成为可观测的。这表明状态反馈可能改变系统得可观测性，其原因是由于
对于线性定常受控系统
x& = Ax + Bu
如果可以找到状态反馈控制律 u = −Kx + v
(4 − 298)
其中 v 为参考输入，使得通过反馈构成的闭环系统
x& = ( A − BK )x + Bv
(4 − 299)
是渐进稳定的，即(A-BK)的特征值均具有负实部，则称系统实现了状态反
馈镇定。
[ ] rank CT AT CT ... ( AT )n−1CT [ ] = rank CT ( AT − CT H T )CT ... ( AT − CT H T )n−1CT [ ] = rank CT ( A − HC)T CT ... (( A − HC)T )n−1CT
上式表明，系统S0与系统SH可观测性判别阵的秩相等，这意味着若S0可观 测，则SH也是可观测的，输出至状态微分反馈的引入不改变系统的可观测 性。
QO的线性组合，由此可得 rankQ0F ≤ rankQ0
(4 − 294)
由于S0又可看成为SF的输出反馈系统，因而有
rankQ0 ≤ rankQ0F
(4 − 295)
由式（4-294）和式（4-295）得
rankQ0 = rankQ0F
这表明输出至参考输入的反馈可保持系统得可观测性。证毕。
⑵ 对系统稳定性的影响 状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性。 镇定：加入反馈，使得通过反馈构成的闭环系统成为稳定系统。
令 ci Bf j = α j , α j为标量，j = 1,2,L, q，则有
ci ( A − BFC) = ci A −[α1c1 + α2c2 + ... + αqcq ]
该式表明C(A-BFC)的行是[CT ATCT]T的行的线性组合。同理有C(A-BFC)2的
是[CT ATCT (AT)2CT]T的行的线性组合，如此等等。QOF的每一行均可表示为
第四章
线性定常系统的综合
引言
控制系统的分析与综合 ⑴ 控制系统分析：
在已建立的数学模型基础上研究系统的各种性能及其与系统的结构、 参数和外部作用之间的关系。这里所指的系统性能包括系统响应、可控性、 可观测性、稳定性等。 ⑵ 控制系统综合
寻求改善系统性能的各种控制规律，以保证系统的各项性能指标要求 都得到满足。
...
( A − BK
n−1
B]
由于
[ ] B = b1 b2 L bp
[ ] AB = A b1 Ab2 L Ab p
[ ] ( A − BK )B = ( A − BK ) b1 ( A − BK )b2 L ( A − BK )bp
式中 bi(i=1,2,…,p)为列向量。将K表示为行向量组
( A − BK )bi = Abi − (c1ib1 + c2ib2 + ... + cpibp )
这说明（A-BK)B的列是[B AB]列的线性组合。同理有(A-BK)2B的列是
[B AB A2B]列的线性组合，如此等等，故 QcK 的每一列均可表示为 Qc 的 列的线性组合。由此可得
rankQck ≤ rankQc
u = v − Kx
(4 − 281)
时，称之为线性直接状态反馈，简称为状态反馈。其中 v 为 p 维参考输入 向量，K为p×n维实反馈增益矩阵。
将式（4-281）代入式（4-280）可得状态反馈系统动态方程 x& = ( A − BK )x + Bv, y = Cx
其传递函数矩阵为
Gk (s) = C(sI − A + BK )−1 B