冀教版八年级上册数学教学课件 第十七章 特殊三角形 反证法

反证法
例2 用反证法证明直角三角形，在 △ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ = 90°，
AB=A′B′=AC=A′C′，
求证：△ABC≌△A′B′C′.
A
A'
B
C B'
C'
反证法
证明：假设△ABC与△A′B′C′不全等，即BC≠B′C′.
不妨设BC＜B′C′.如图,在B′C′上截取连接A′D.
所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角.
反证法
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为： (1)先假设原命题结论不正确; (2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已 知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
定义：像这样的证明方法叫“反证法”.
反证法
E
M A
G2 B
N
H1
C
D
F
∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行. 这与“经过已
知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾.∴∠1≠∠2
的假设是不成立的.因此，∠1=∠2.
反证法
归纳：反证法的步骤： 第一步，假设命题的结论不成立. 第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学 过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果. 第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正 确的.
问题1 已知：如图，△ABC. 求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角.
证明：假设△ABC中有两个(或三个)直角，不妨设
∠A=∠B =90°.
C
∵∠A+∠B=180°，
∟
∴∠A+∠B+∠C >180°.
A
B
这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾.
因此，三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的.
例1 用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条之间所 截，同位角相等
已知：如图.直线AB∥CD，直线 EF分别与直线AB，CD交于点G， H，∠1
和∠2是同位角. 求证：∠1=∠2.
E
A
G2 B
H1
C
D
F
反证法
证明：假设∠1≠∠2. 过点G作直线MN，使得∠EGN =∠1. ∴∠EGN=∠1， ∴ MN∥CD(基本事实). 又∵AB∥CD(已知)，
4.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反 设为( D ) A.a，b，c都是奇数 B. a，b，c都是偶数 C. a，b，c中至少有两个偶数 D. a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
5.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a. 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”,因为a是 整数，故a是奇数. 不妨设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾.
A
A'
∴∠A′DB′ ＜90°(三角形的内角和定理)，
即∠C′＜∠A′DB′＜90°
(三角形的外角大于和它不相邻的内角).
B
C B' D C'
这与∠C′＝90°相矛盾.因此，BC≠B′C′的假设不成立，
即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立.
所以，△ABC≌△A′B′C′.
反证法
练一练：利用反证法证明“直角三角形中至少有一个
∴假设不成立，故2能整除a.
CONTENTS
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反证法
反证法的 步骤
假设结论的反面成立→逻辑推理 得出矛盾→肯定原结论正确
锐角不小于45°”，应先假设( C )
A.直角三角形的两个锐角都小于45° B.直角三角形有一个锐角大于45° C.直角三角形的两个锐角都大于45° D.直角三角形有一个锐角小于45°
CONTENTS
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1.试说出下列命题的反面： （1）a是实数; a不是实数 （2）a大于2; a小于或等于2 （3）a小于2; a大于或等于2（4）至少有2个; 没有两个 （5）最多有一个; 一个也没有（6）两条直线平行; 两直线相交 2.用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假__设__a=b . 3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角 形不是等腰三角形”的第一步假设这个三__角__形__是_ 等腰三角形.
九年级数学上册人教版
第十七章 特殊三角形
17.5 反证法
1
CONTENTS
1
想一想： 根据所学知识，试着思考下列问题的解决方法.
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系a2 +b2 =c2
时，这个三角形一定是直角三角形吗？ B
ac
Cb A
∟
CONTENTS
2
反证法
在△ABC和△A′B′C′ 中，
∵AC = A′C′，∠C = ∠C′，CB = C′D，
B
∴△ABC≌△A′DC′(SAS).
∴AB = A′D(全等三角形的对应边相等).
∴AB = A′B′ (已知)，
∴A′B′ = A′D(等量代换).
A
A'
C B' D C'
反证法
∴∠B′ = ∠A′DB′(等边对等角).