2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级(上)月考数学试卷(12月份)(答案版)

2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）月考数学
试卷（12月份）
一、选择题（本题共16分，每题2分）
1．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
2．半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（）
A．2πB．πC．πD．π
3．如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长为（）
A．B．10C．3D．
4．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（）
A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m
5．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（）
A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6
C．x1＝，x2＝D．x1＝﹣4，x2＝0
6．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y
＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）
A．B．
C．D．
8．如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下
结论：①PA＝PB+PC；②；③PA•PE＝PB•PC．其中，正确结论的个数为（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．在实数范围内，若有意义，则x的取值范围．
10．有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是．11．当k时，方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程．
12．若抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是．
13．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB 于点E，则AD的长为．
16．如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B 运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F 的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为．
三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小題5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
17．解下列方程
（1）（x﹣5）2＝x﹣5
（2）x2+12x+27＝0（配方法）．
18．小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．
小华的作法如下：
（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；
（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；（3）连接OM、ON即可
请根据该同学的作图方法完成以下推理：
∵半圆AB
∴是直径．
∵CD是线段AB的垂直平分线
∴OA＝OB（依据：）
∵OA＝OM＝
∴△OAM为等边三角形（依据：）
∴∠AOM＝60°（依据：）
同理可得∠BON＝60°
∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°
19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．
（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．
（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．
20．阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有
未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．
解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2＝
当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；
当t2＝时x2＝∴x3＝，x4＝﹣．
综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．
（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；
（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是（选出正确的答案）．
①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；
②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；
③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．
21．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
22．问题探究：
新定义：
将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．
解决问题：
已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．
（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝的图象与直线y＝x+1交于点A （1，a）．
（1）求a，k的值；
（2）连结OA，点P是函数y＝上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．
24．已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y
轴的另一个交点是C，一次函数y＝﹣x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．
（1）B点坐标是（用含m的代数式表示），∠ABO＝°；
（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．
①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存
在，请说明理由．
②当＝时，求m的值．
25．如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．
26．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2a（a≠0）
（1）该二次函数图象的对称轴是直线．
（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点
为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；
（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．
27．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝PA，PE交CD于F．
（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；
（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝度．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′＝，则称点Q为点P的理想点．例如：点（1，2）的理想点的坐标是（1，﹣2），点（﹣2，3）的理想点的坐标是（﹣2，3）．
（1）点（，﹣1）理想点的坐标是；若点C在函数y＝2x2的图象上，则它的理想点是A（1，﹣2），B（﹣1，2）中的哪一个？；
（2）若点P在函数y＝﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q：
①若其理想点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，求k的值；
②在①的条件下，若点P的理想点Q都不在反比例函数y＝（m＜0，x＞0）上，求m
的取值范围．
2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）
月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每题2分）
1．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（ ）
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
【分析】根据旋转的性质，观察图形，中心角是由8个度数相等的角组成，结合周角是360°求得每次旋转的度数．
【解答】解：∵中心角是由8个度数相等的角组成， ∴每次旋转的度数可以为360°÷8＝45°． 故选：C ．
【点评】本题把一个周角是360°和图形的旋转的特点结合求解．注意结合图形解题的思想．
2．半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（ ）
A ．2π
B ．π
C ．π
D ．π
【分析】直接利用扇形面积公式计算即可．
【解答】解：扇形的面积＝＝π．
故选：D ．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n °，圆的半径
为R 的扇形面积为S ，则S 扇形＝
πR 2或S 扇形＝lR （其中l 为扇形的弧长）． 3．如图4，过正方形ABCD 的顶点B 作直线l ，过A ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为E ，F ，若AE ＝1，CF ＝3，则AB 的长为（ ）
A．B．10C．3D．
【分析】先利用AAS判定△ABE≌△BCF，从而得出AE＝BF，BE＝CF，最后得出AB 的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBF+∠FBA＝90°，AB＝BC，
∵CF⊥BE，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（AAS）
∴AE＝BF，BE＝CF，
∴AB＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定方法，做题时要注意各个条件之间的关系并灵活运用．
4．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（）
A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m
【分析】求出AB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．【解答】解：如图，∵BC＝3.2m，CA＝0.8m，
∴AB＝AC+BC＝0.8+3.2＝4cm，
∵小玲与大树都与地面垂直，
∴△ACE∽△ABD，
∴＝，
即＝，
解得BD＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
5．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（）
A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6
C．x1＝，x2＝D．x1＝﹣4，x2＝0
【分析】二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），得到4a+1＝0，求得a＝﹣，代入方程a（x﹣2）2+1＝0即可得到结论．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），
∴4a+1＝0，
∴a＝﹣，
∴方程a（x﹣2）2+1＝0为：方程﹣（x﹣2）2+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．
6．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S
△OAB ＝S
△CAB
＝3，再根据反比例函
数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S
△OAB ＝S
△CAB
＝3，
而S
△OAB
＝|k|，
∴|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y
＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数图象开口方向与对称轴判断出a、b的正负情况，再根据二次函数图象与y轴的交点判断出c＝0，然后根据一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系判断出两图象的大致情况即可得解．
【解答】解：∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＜0，
∴b＜0，
∵二次函数图象经过坐标原点，
∴c＝0，
∴一次函数y＝bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数y＝位于第二四象限，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出a、b、c的情况是解题的关键，也是本题的难点．
8．如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下
结论：①PA＝PB+PC；②；③PA•PE＝PB•PC．其中，正确结论的个
数为（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】根据题意：易得△APC≌△BDC．即AP＝BD，有PA＝DB＝PB+PD＝PB+PC 正确．同时可得：②错误，同理易得△PBE∽△PAC，故有PA•PE＝PB•PC；③正确．
【解答】解：延长BP到D，使PD＝PC，连接CD，可得∠CPD＝∠BAC＝60°，
则△PCD为等边三角形，
∵△ABC为正三角形，
∴BC＝AC
∵∠PBC＝∠CAP，∠CPA＝∠CDB，
∴△APC≌△BDC（AAS）．
∴PA＝DB＝PB+PD＝PB+PC，故①正确；
由（1）知△PBE∽△PAC，则＝，＝，+＝+≠1，
∴②错误；
∵∠CAP＝∠EBP，∠BPE＝∠CPA
∴△PBE∽△PAC
∴
∴PA•PE＝PB•PC，故③正确；
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60°．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9
．在实数范围内，若有意义，则x的取值范围x≤．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得1﹣2x≥0，
解得：x≤，
故答案为：x≤．
【点评】本题考查了二次根式的性质，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面
朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是．
【分析】由这5张卡片中是中心对称图形的有平行四边形和长方形这2张，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在这5张卡片中是中心对称图形的有平行四边形和长方形这2张，
∴任取一张是中心对称图形的概率是，
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．当k≠﹣5时，方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程．
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：∵方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程，
∴（k+5）x2+x﹣2＝0，
则k+5≠0，
解得：k≠﹣5．
故答案为：≠﹣5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
12．若抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2﹣2．
【分析】根据函数图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2﹣2，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
13．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是70°．
【分析】由旋转的角度易得∠ACA′＝20°，若AC⊥A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠ACA′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC＝∠A′，即可得解．
【解答】解：由题意知：∠ACA′＝20°；
若AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′＝90°，
得：∠A′＝90°﹣20°＝70°；
由旋转的性质知：∠BAC＝∠A′＝70°；
故∠BAC的度数是70°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，难度不大．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为68°．
【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，
∵∠AIC＝124°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）
＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）
＝68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B＝68°，
故答案为：68°．
【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB
于点E，则AD的长为3．
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∴AD＝＝＝3；
故答案为：3．
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、
勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．16．如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B 运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F 的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x的大致函数图
象如图所示，则△AEF的最大面积为．
【分析】由图象确定正方形边长，再表示x＞2时△AEF的面积，讨论△AEF面积的最大值．
【解答】解：结合题意和图象可知，x＝2时，点E在AB中点，点Q到D点
∴AB＝4
当2≤x≤4时，
y＝
当x＝﹣时，
y最大＝
故答案为：
【点评】本题是双动点函数图象探究题，考查了学生对动点到达临界点前后函数图象的变化意义的理解，解答时注意数形结合．
三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小題5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
17．解下列方程
（1）（x﹣5）2＝x﹣5
（2）x2+12x+27＝0（配方法）．
【分析】（1）先移项得到（x﹣5）2﹣（x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到（x+6）2＝9，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣5）2﹣（x﹣5）＝0，
（x﹣5）（x﹣5﹣1）＝0，
x﹣5＝0或x﹣6＝0，
所以x1＝5，x2＝6；
（2）x2+12x＝﹣27，
x2+12x+36＝9，
（x+6）2＝9，
x+6＝±3，
所以x1＝﹣3，x2＝﹣9．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法和配方法解一元二次方程．
18．小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．
小华的作法如下：
（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；
（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；（3）连接OM、ON即可
请根据该同学的作图方法完成以下推理：
∵半圆AB
∴AB是直径．
∵CD是线段AB的垂直平分线
∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）
∵OA＝OM＝AM
∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）
∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）
同理可得∠BON＝60°
∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°
【分析】应先做线段AB的垂直平分线，得到半圆的圆心；三等分平角，那么平分而成的每个角是60°根据半径相等，可得到相邻两个半径的端点与圆心组成一个等边三角形．以A为圆心，半径长为半径画弧，就可得到一个另一半径的端点所在的位置，连接它与圆心，就得到一条三等分线，同法做到另一三等分线．
【解答】解：∵半圆AB，
∴AB是直径．
∵CD是线段AB的垂直平分线
∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）
∵OA＝OM＝AM，
∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）
∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）
同理可得∠BON＝60°
∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°，
故答案为：AB，中垂线的定义，AM，等边三角形的定义，等边三角形的性质．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，本题用到的知识点为：弦的垂直平分线经过圆心；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．
（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．
（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△DEC即可；
（2）根据图形平移的性质得出AC∥DE，OA＝DE，故四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质可知OA＝OB，故DE＝CE，由此可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）四边形OCED是菱形．
理由：∵△DEC由△AOB平移而成，
∴AC∥DE，BD∥CE，OA＝DE，OB＝CE，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∴DE＝CE，
∴四边形OCED是菱形．
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．20．阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．
解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2＝
当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；
当t2＝时x2＝∴x3＝，x4＝﹣．
综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．
（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；
（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是②（选出正确的答案）．
①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；
②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；
③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．
【分析】（1）先设t＝y2，则原方程变形为3t2+8t﹣3＝0，运用因式分解法解得t1＝，t2＝﹣3，再把t＝和﹣3分别代入t＝y2得到关于y的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
（2）根据阅读新知即可判断①②③．
【解答】（1）解：设y2＝t，则原方程可化为：3t2+8t﹣3＝0，
解得：t1＝，t2＝﹣3．
当t1＝时，y2＝，y＝±；
当t2＝﹣3时y2＝﹣3，此时原方程无；．
综上，原方程的解为：y1＝，y2﹣；
（2）根据阅读新知可判断②正确；
如：x4+4x2+3＝0，虽然△＝b2﹣4ac＝16﹣12＝4＞0，但原方程可化为（x2+1）（x2+3）＝0，明显，此方程无解；
所以，①③错误，
故答案为②．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：当所给方程是双二次方程时，可考虑用换元法降次求解．
21．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD＝DE，再根据E是AD的中点，可得AD＝2CD，依据AD＝BC，即可得到BC＝2CD．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC＝2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE＝45°，
∵∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，
∵E是AD的中点，
∴AD＝2CD，
∵AD＝BC，
∴BC＝2CD．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的
对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
22．问题探究：
新定义：
将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．
解决问题：
已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．
（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）
【分析】（1）根据等积线段的定义，可知点D为线段BC的中点，然后根据题目中的条件可以求得AD的长度；
（2）根据题意可以分别画出相应的图形，然后根据相应的图形分别求出相应的等积线段．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，
∵，∠C＝45°，AD是△ABC的一条等积线段，
∴点D为线段BC的中点，BC＝4，
∴AD＝2；
（2）符合题意的图形如右上角图2和图3所示：
如图2，当BD是△ABC的一条等积线段时，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，BD是△ABC的一条等积线段，
∴点D为AC的中点，
∴AD＝，
∴BD＝＝；
如图3，当DE是△ABC的一条等积线段时，此时DE∥BC，
则△ADE的面积等于△ABC面积的一半，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴△ABC的面积为：，
∴△ADE的面积是2，
设AD＝a，
则，得a2＝4，
∴DE＝．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形、新定义、勾股定理，解题的关键是明确题目中等积线段的定义，利用数形结合的思想解答问题．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝的图象与直线y＝x+1交于点A （1，a）．
（1）求a，k的值；
（2）连结OA，点P是函数y＝上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．
【分析】（1）将点A（1，a）代入y＝x+1，求出a的值，得到A点坐标，再把A点坐
标代入y＝，求出k的值；
（2）设点P的坐标为（x，），根据OP＝OA列出方程x2+（）2＝12+22，解方程即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+1经过点A（1，a），
∴a＝1+1＝2，
∴A（1，2）．
∵函数y＝的图象经过点A（1，2），
∴k＝1×2＝2；
（2）设点P的坐标为（x，），
∵OP＝OA，
∴x2+（）2＝12+22，
化简整理，得x4﹣5x2+4＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2，
经检验，x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2都是原方程的根，
∵点P与点A不重合，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2），（2，1），（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，两点间的距离公式，正确求出k的值是解题的关键．24．已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y
轴的另一个交点是C，一次函数y＝﹣x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．
（1）B点坐标是（m，0）（用含m的代数式表示），∠ABO＝30°；（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．
①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存
在，请说明理由．
②当＝时，求m的值．
【分析】（1）首先求出直线与x轴交点坐标，进而得出答案，再利用锐角三角函数关系得出∠ABO的度数；
（2）①分别利用∠NEB＝90°和∠ENB＝90°，结合切线的性质得出m的值；
②首先求出NG：EN＝，再得出△PHN∽△NGE，再利用相似三角形的性质，
进而得出m的值．
【解答】解：（1）当y＝0，则0＝﹣x+m，
解得：x＝m，
故B点坐标是（用含m的代数式表示），
∵一次函数y＝﹣x+m与y轴交于点（0，m），
∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝30°；
故答案为：（m，0），30；
（2）①如图①，假设存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形．连接NP
若∠NEB＝90°，∵NE是⊙P的切线，
∴∠PNE＝90°，
∵∠POE＝90°，
∴四边形OPNE是矩形，
∴PN＝2，∠APN＝90°，
在Rt△APN中，PN＝2，∠BAO＝60°，
∴PA＝，
∴m＝2+，
若∠ENB＝90°，∵NE是⊙P的切线，
∴∠PNE＝90°，
∴点P、N、B三点共线，即点P与点A重合，
∴m＝2，
综上可知，m＝2或2+；
②如图②，连接PN，过点E作，EG⊥AB于G，过点P作，PH⊥AB于H，
则PA＝m﹣2，PH＝，
∵＝，∴EB＝，EN＝EO＝，EG＝，
∴EG：EN＝1：4，∴NG：EN＝，
∵∠PNE＝90°，∴∠PNH+∠ENG＝90°，
∵∠GNE+∠NEG＝90°，
∴∠NEG＝∠PNH，
∵∠PHN＝∠EGN＝90°，
∴△PHN∽△NGE，
∴＝，
∴＝，
解得：m＝．
【点评】此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质和切线的性质等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
25．如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．
【分析】（1）①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；
（2）解：这样的直线不唯一．。