考点22 空间几何平行问题(讲解)(解析版)

考点22 空间几何平行问题【思维导图】
【常见考法】
考法一 平行传递性证线线平行
1．四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,
01
,90.2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= 证明：直线//BC 平面PAD ;
【答案】见解析 【解析】 在平面内，因为,所以
又
平面
平面
故
平面
考法二 三角形中位线证线线平行
1．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱P A 的中点，求证：PC // 平面BDE ；
【答案】见解析
【解析】证明: 连结AC ,交BD 于O ,连结OE .
因为ABCD 是平行四边形,所以OA OC =. 因为E 为侧棱PA 的中点所以OE ∥PC .
因为PC ⊄平面BDE ,OE ⊂平面BDE 所以PC ∥平面BDE .
2．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点，
证明：//E PB A C 平面；
【答案】见解析
【解析】连结BD 交AC 于点O,连结EO 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点 又E 为的PD 的中点，所以EO//PBEO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC ，所以PB//平面AEC
考法三 构造平行四边形证线线平行
1．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为AD ，PB 的中点，求证：EF ∥平面PCD .
【答案】详见解析
【解析】如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .
∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ，且1
2
FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1
,2
ED BC DE BC =
， ∴ED FG ，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF GD . 又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF 平面PCD .
2．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，60BAD ∠=，1CD =，
2AD =，4AB =，点G 在线段AB 上，3AG GB =，11AA =，证明：1//D G 平面11BB C C
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接1C B ，因为底面ABCD 为梯形，//AB CD ，44AB CD ==，3AG GB =， 则11////GB CD D C ，且111GB D C ==， 所以四边形11GBC D 为平行四边形，则11//D G C B . 又1C B ⊂平面11BB C C ，1D G ⊄平面11BB C C ， 所以1//D G 平面11BB C C .
考法四 线面垂直的性质证线线平行
1．如图，BCD 与MCD △都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，2AB =，证明：直线//AB 平面MCD ；
【答案】见解析
【解析】证明：取CD 中点O ，连接MO ，
MCD 是正三角形，MO CD ∴⊥
∵平面MCD ⊥平面BCD ，MO ∴⊥平面BCD ，
AB ⊥平面BCD ，∴//MO AB ，
又MO ⊂面MCD ，AB ⊄面MCD ，//AB ∴面MCD .
2如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，且平面ABCD ⊥平面BCE ，FD ⊥平面ABCD ，
FD =//EF 平面ABCD
证明：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接HD ，∴EH =D ∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ， 平面ABCD ⋂平面BCE BC =， ∴EH ⊥平面ABCD ，
又∵FD ⊥平面ABCD ，FD =
∴//FD EH ，FD EH =. ∴四边形EHDF 为平行四边形． ∴//EF HD .
∵EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ， ∴//EF 平面ABCD ．
考法五 三角形相似比证线线平行
1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA =//AB CD ，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱P A 上一
点，若1
3
PE PA =
，求证：//PC 平面EBD
【答案】证明见解析
【解析】设AC BD G ⋂=，连结EG ， 由已知//AB CD ，1DC =，2AB =，得2AG AB
GC DC
==. 由13
PE PA =
，得2AE
EP =. 在PAC ∆中，由
AE AG EP GC
=，得//EG PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以//PC 平面EBD.
2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，
F 在线段AC 上，且2AF FC .证明：1//CB 面1A EF
【答案】详见解析
【解析】连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ． 因为1
1AGA B GE ∆∆，所以1112AA AG GB EB ==，又因为2AF FC
=，所以1AF AG FC GB =，所以1//FG CB ，
又1CB ⊄面1A EF ，FG ⊂面1A EF ，所以1//CB 面1A EF .
考法六 线面平行性质证明线线平行
1．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 上一点，且1
3
AE ED =，F 为PC 上一点，当//PA 平面EBF 时，
PF
FC
= .
【答案】
14
【解析】连接AC 交BE 于点M ，连接FM ． //PA 平面EBF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面EBF FM =，
//PA FM ∴，∴
1
4
PF AM AE FC MC BC ===，
2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过点G 和AP 作平面，交平面BDM 于GH ，点H 在线段BD 上.求证：//AP GH .
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接AC ，设AC 交BD 于点O ，连接MO ．
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点
又M 是PC 的中点，∴//MO PA . 又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ， ∴//PA 平面BDM
又PA ⊂平面PAHG ，平面PAHG ⋂平面BDM GH =，∴//AP GH ．
3．如图所示，在多面体111A B D DCBA -中，四边形11AA B B ，11ADD A ，ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F .
证明：1//EF B C . 【答案】见解析 【解析】证明：
11B C A D =且11A B CD =，
∴四边形11A B CD 为平行四边形，
11//B C A D ∴，
又
1B C ⊂/平面1A EFD ，1A D ⊂平面1A EFD
1//B C ∴平面1A EFD ，
又因为平面1A EFD
平面11B CD EF =，1B C ⊂平面11B CD ，1//EF B C ∴；
考法七 面面平行的性质证线面平行
1．如图①所示，在直角梯形ABCP 中，AP
BC ，1
2
AP AB AB BC AP ⊥==
，，D 为AP 的中点，E F G ，，分别为PC PD CB ，，的中点，将PCD 沿CD 折起，得到四棱锥P ABCD -，如图②所示.
求证：在四棱锥P ABCD -中，AP ∥平面EFG . 【答案】见解析
【解析】∵G 为BC 的中点，E 为PC 的中点，∴GE ∥BP ∵GE ⊄平面PAB ，BP ⊂平面PAB ，∴GE ∥平面PAB ， 由F 为PD 的中点，得EF ∥DC ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥AB
∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB ，∵EF∩GE ＝E ∴平面EFG ∥平面PAB ，∵PA ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG ．
2如图，三棱锥P ABC -中， D 是PA 的中点， E 是CD 的中点，点F 在PB 上且1
4
BF PB =
，证明：
//EF 平面ABC ；
证明：如图，取AD 中点G ，连接GE ，GF ，如图C 则GE//AC ，GF//AB ， 因为GE∩GF=G ，AC∩AB=A ，所以平面GEF//平面ABC ，所以EF//平面ABC
考法八：面面平行
1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .
【答案】证明见解析
【解析】证明 :::,==PM MA BN ND PQ QD .
//,//∴MQ AD NQ BP
BP ⊂平面,PBC NQ ⊄平面PBC ，
//NQ ∴平面PBC .
∵底面ABCD 为平行四边形，
//,//BC AD MQ BC ∴∴.
BC ⊂平面,PBC MQ ⊂/平面PBC ，
//MQ ∴平面PBC .
又MQ NQ Q =，
根据平面与平面平行的判定定理，所以面//MNQ 平面PBC
2．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，
求证：（1）B C H G ，，，四点共面；
（2）平面1EFA //平面BCHG ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)G H ，分别是1111A B A C ，的中点，
GH ∴是111A B C △的中位线，则11//GH B C ，
又
11////B C BC GH BC ∴，，B C H G ∴，，，四点共面． (2)E F ，分别为AB AC ，的中点，//EF BC ∴，
EF ⊄平面BCHG BC ⊂，平面BCHG ，EF ∴平面BCHG ，
又G E ，分别是11A B AB ，的中点，11A B AB ⊥，1A G EB ∴⊥，
∴四边形1A EBG 是平行四边形，1//A E GB ∴，
1A E ⊄平面BCHG GB ⊂，平面BCHG ，1//A E ∴平面BCHG ，
又1A E EF E ⋂＝，∴平面1EFA //平面BCHG ，
考法九：动点问题
1．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为边长为2的菱形，点F 为棱PD 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥面PCE ，并说明理由；
【答案】见解析；
【解析】在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥面PCE ，点E 为棱AB 的中点．
理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，FQ ∥DC 且1FQ CD 2=，AE ∥CD 且1AE CD 2
=，故AE ∥FQ 且AE ＝FQ ．所以，四边形AEQF 为平行四边形．所以，AF ∥EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以，AF ∥平面PEC ．
2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,E F 分别是棱11,CC BB 上的点，点M 是线段AC 上的动点，22EC FB ==.若MB 平面AEF ，试判断点M 的位置.
【答案】M 是AC 的中点
【解析】由题意知//MB 平面AEF ，过,,F B M 作平面FBMN 交AE 于N ，连接,MN NF .因为//BF 平
面11,AAC C BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ⋂平面11AAC C MN =，所以BF MN .
因为//MB 平面,AEF MB ⊂平面FBMN ，
平面FBMN ⋂平面AEF FN =，
所以//MB FN ，
所以四边形BFNM 是平行四边形，
所以1MN BF ==.
而//,22EC FB EC FB ==，
所以
1
//,1
2
MN EC MN EC
==，
故MN是ACE的中位线.
所以M是AC的中点时，//
MB平面AEF.。