考研数学二(解答题)高频考点模拟试卷50(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷50(题后含答案及解析) 题型有：1.
1．
正确答案：涉及知识点：高等数学
2．求极限：
正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续
3．
正确答案：由当x0→时，1-cos～x2得涉及知识点：高等数学部分
4．设F(χ)＝，试求：(Ⅰ)F(χ)的极值；(Ⅱ)曲线y＝F(χ)的拐点的横坐标；(Ⅲ)∫-23χ2F′(χ)dχ．
正确答案：(Ⅰ)由F′(χ)＝，即知F(χ)在χ＝0处取极小值0，且无其他极值．(Ⅱ)F〞(χ)＝2(1－4χ4)，注意到仅当χ＝±时F〞(χ)＝0，且在χ＝±两侧F〞(χ)变号即知χ＝±为曲线y＝F(χ)的拐点的横坐标．(Ⅲ)注意到χF2′(χ)为奇函数，因此涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用
5．过曲线y=x2(x≥0)上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为，求：(Ⅰ)切点A的坐标；(Ⅱ)过切点A的切线方程；(Ⅲ)由上述图形绕x 轴旋转的旋转体的体积．
正确答案：如图3．7．(Ⅰ)设点A(x0，x02)，点A处的切线方程y=x02+2x0(x-x0)，即y=2x0x-x02．令y=0截距x=按题意解得x0=1A(1，1)．(Ⅱ)过A点的切线y=2x-1．(Ⅲ)旋转体体积V=∫01π(x2)2dx- 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用
6．已知向量α＝(1，k，1)T是矩阵的逆矩阵A－1的特征向量，试求常数k的值．
正确答案：用特征值和特征向量的定义，k＝－2或k＝1．涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量
7．求f(x)=3x带拉格朗日余项的n阶泰勒公式．
正确答案：由于f(m)(x)=3x(ln3)m，f(m)(0)=(ln3)m，则涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用
8．设y=y(x)在[0，+∞)内可导，且在处的增量△y=y(x+△x)-y(x)满足其中当△x→0时α是△x的等价无穷小，又y(0)=2，求y(x)．
正确答案：由题设等式可得从而y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：方程两边乘，两边积分得y=C(4+x)+(4+x)ln(4+x)．令x=0，y=2可确定常数C=-2ln2，故y=(-2ln2)(4+x)+(4+x)ln(4+x)=(4+x)[ -2ln2+ln(4+x)]．涉及知识点：常微分方程
9．设α1,α2……αn为n个线性无关的n维列向量，β1，β2，…，βn 为任意n个n维列向量。

证明：α1,α2……αn可由β1β2……βn线性表示的充要条件是β1β2……βn线性无关。

正确答案：必要性：因为α1,α2，…，αn线性无关，且α1,α2，…，αn 可由β1β2，…，βn线性表示，所以n≤r(α1,α2，…，αn)≤r(β1β2，…，βn)≤n，即r(β1β2，…，βn)=n，则β1β2，…，βn线性无关。

充分性：因为β1β2，…，βn是线性无关的n维向量组，所以β1β2，…，βn可以表示n维向量空间中所有的向量，故α1,α2，…，αn可由β1β2，…，βn线性表示。

涉及知识点：向量
10．设u＝u(χ，y)有二阶连续偏导数，证明：在极坐标变换χ＝rcosθ，y ＝rsinθ下有
正确答案：利用复合函数求导公式，有再对用复合函数求导法及(*)式可得涉及知识点：多元函数微分学
11．A＝E－αβT，其中α，β都是n维非零列向量，已知A2＝3E－2A，求αTβ．
正确答案：A2＝3E－2A，A2＋2A一3E＝0，(A＋3E)(A－E)＝0，(4E－αβT)(－αβT)＝0，4αβT－αβTαβT＝0，(βTα是数!) (4－βTα)αβT＝0，(由于α，β都是非零列向量，αβT不是零矩阵) 4－βTα＝0，βTα＝4，从而αTβ＝βTα＝4．涉及知识点：矩阵
12．设α，β都是n维列向量时，证明①αβT的特征值为0，0，…，0，βTα．②如果α不是零向量，则α是αβT的特征向量，特征值为βT α．
正确答案：①方法一用上例的结论．r(αβT)≤1，因此αβT的特征值为0，0，…，0，tr(αβT)．设α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T，则αβT的对角线元素为a1b1，a2b2，…，anbn，于是tr(αβT)=a1b1+a2b2+…+anbn=βTα．方法二记A=αβT，则A2=αβTαβT=(βTα)A，于是
根据定理5．2的推论，A的特征值都满足等式λ2=(βTα)A，即只可能是0和βTα．如果βTα=0，则A的特征值都是0．如果βTα≠0，则根据定理5．3的②，A的所有特征值之和为tr(A)=βTα，它们一定是n-1个为0，一个为βTα．②仍记A=αβT，则Aα=αβTα=(βTα)α，因此则α是A的特征向量，特征值为βTα．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化
设方程组x3=a+3有无穷多个解，α1=，α2=，α3=为矩阵A的分别属于特征值λ1=1，λ2=-2，λ3=-1的特征向量．
13．求A；
正确答案：因为方程组有无穷多个解，所以D==a2-2a+1=0，解得a=1．涉及知识点：线性代数部分
14．求｜A*+3E｜．
正确答案：｜A｜=2，A*对应的特征值为，即2，-1，-2，A*+3E对应的特征值为5，2，1，所以｜A*+3E｜=10．涉及知识点：线性代数部分
15．求由下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：
正确答案：。