八年级一次函数图像及其性质讲义

一、同步知识梳理
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______.在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________.
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。

*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应
例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x -1 (3)y=1
x (4)y=2-1-3x (5)y=x 2-1中，是一次函数的有
（ ）
（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

例题1：函数5y x =
-中自变量x 的取值范围是___________.
例题2：已知函数22
1
+-
=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A.2325≤<-y B.2523<<y C.2523<≤y D.2
523≤<y
2、函数y =ax +b 与y =bx +a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）
3、将直线y ＝3x 向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y ＝-x -5向上平移5个单位，得到直线 .
4、若直线a x y +-=和直线b x y +=的交点坐标为(8,m ),则=+b a ____________.
5、已知函数y ＝3x +1，当自变量增加m 时，相应的函数值增加（ ） Ａ．3m +1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m －1
11、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的
交点：（0，b ），
.即横坐标或纵坐标为0的点.
b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小
例题：若m ＜0, n ＞0, 则一次函数y=mx+n 的图象不经过 （ ）
b=0
b ＜0
☆一次函数y=kx+b （k≠0）中k 、b 的意义：
k(称为比例系数)表示直线y=kx+b （k≠0）的倾斜程度；
b 表示直线y=kx+b （k≠0）与y 轴交点的 ，也表示直线在y 轴上的 。

☆同一平面内，不重合的两直线 y=k 1x+b 1（k 1≠0）与 y=k 2x+b 2（k 2≠0）的位置关系： 当 时，两直线平行。

当 时，两直线垂直。

当 时，两直线相交。

当 时，两直线交于y 轴上同一点。

☆特殊直线方程：
X 轴 : 直线 Y 轴 : 直线 与X 轴平行的直线 与Y 轴平行的直线 （1） 三象限角平分线 二、四象限角平分线
1、对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而___________。

2、对于函数12
23
y x =
-, y 的值随x 值的________而增大。

3、一次函数 y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是__________。

4、直线y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是_________。

5、已知直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k 经过第_______象限。

6、无论m 为何值，直线y=x+2m 与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。

7、已知一次函数
（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？
题型5：待定系数法求解析式
方法：依据两个独立的条件确定k,b 的值，即可求解出一次函数y=kx+b （k≠0）的解析式。

（1）已知是直线或一次函数可以设y=kx+b （k≠0）；
（2）若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。

1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。

2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求解析式
3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。

4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x轴交于点（-2,0）求解析式。

5、若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9，求此函数的解析式。

6、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称，求k、b的值。

____________；
12．直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；
三、课堂达标检测
一、填空题 1、已知函数，x ＝______时，y 的值时0，x=______时，y 的值是1；x=_______时，函数
没有意义． 2、已知，当x=2时，y=_________.
3、在函数中，自变量x 的取值范围是__________.
4、一次函数y ＝kx ＋b 中，k 、b 都是 ，且k ，自变量x 的取值范围是 ，当 k ，b 时它是正比例函数．
5、已知是正比例函数，则m ．
6、函数，当m= ，n= 时为正比例函数；
当m= ，n= 时为一次函数．
7、当直线y=2x+b 与直线y=kx-1平行时,k________,b___________.
8、直线y=2x-1与x 轴的交点坐标是____________;与y 轴的交点坐标是_____________.
9、已知点A 坐标为(-1,-2),B 点坐标为(1,-1),C 点坐标为(5,1),其中在直线y=-x+6上的点有____________.在直线y=3x-4上的点有____________.
10、一个长为120米，宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x 米，宽增加y 米，则y 与x 的函数关系式是 ，自变量的取值范围是 ，且y 是x 的 函数．
11、直线y=kx+b 与直线y=
平行，且与直线y=交于y 轴上同一点，则该直线的解析式为________________________________.
1231
x y x -=-253x y x
+=
-23
x y x -=
-8
2)3(-+=m x
m y n m x
m y n +--=+1
2)2(32x -3
1
2+-x
二、选择题
12、下列函数中自变量x 的取值范围是x≥5的函数是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
13、下列函数中自变量取值范围选取错误．．
的是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14、某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x 升。

如果每升汽油2.6元，求油箱内汽油的总价y （元）与x （升）之间的函数关系是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
15、在某次实验中，测得两个变量m 和v 之间的4组对应数据如下表．
则m 与v 之间的关系最接近于下列各关系式中的
（ ）
A ．v ＝2 m
B ．v ＝m 2＋1
C ．v ＝3m －1
16、已知水池的容量为50米3,每时灌水量为n 米3,灌满水所需时间为t(时), 那么t 与n 之间的函数关系式是
（ ）
A ．t=50n
B ．t=50-n
C ．t=
D ．t=50+n 17、下列函数中，正比例函数是：
（ ）
A ．
B ．－1
C ．
D ．
18、下列说法中不正确的是
（ ）
A ．一次函数不一定是正比例函数
B ．不是一次函数就一定不是正比例函数
C ．正比例函数是特殊的一次函数
D ．不是正比例函数就一定不是一次函数
5y x =-15y x
=-2
25y x =-55y x x =+--2y x x =中取全体实数1y=
中x ≠0x-1
1y=中x ≠-1x+1
11y x x =-中≥2.6(020y x x =≤≤） 2.626(030y x x =+<<）2.610(020y x x =+≤<） 2.626(020y x x =+≤≤）50n
25y x
=
25
y x =
245
y x =25
y x =-
19
、已知一次函数y=kx+b ，若当x 增加3时，y 减小2，则k 的值是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
20、小明的父亲饭后出去散步，从家走20分钟到一个离家900米的报亭，看10分钟报纸后，用15分钟返回家里．下面四个图象中，表示小明父亲的离家距离与时间之间关系的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
21、在直线y=
x+且到x 轴或y 轴距离为1的点有 ( )个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 22、已知直线y=kx+b(k≠0)与x 轴的交点在x 轴的正半轴,下列结论：
① k>0,b>0;②k>0,b<0;③ k<0,b>0;④ k<0,b<0.其中正确的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
23、若点（－4，y 1），（2，y 2）都在直线y=上，则y 1与y 2的大小关系是 （ ）
A ．y 1>y 2
B ．y 1=y 2
C ．y 1<y 2
D ．无法确定
一、 能力培养
例题1：某工人上午7点上班至11点下班，一开始他用15分钟做准备工作，接着每隔15分钟加工完1个零件．
（1）求他在上午时间内y （时）与加工完零件x （个）之间的函数关系式．
3
2-
2
3-
3
22
31
2
1
2 1
x t 3
-+
（2）他加工完第一个零件是几点？ （3）8点整他加工完几个零件？ （4）上午他可加工完几个零件？
例题2：已知直线y=x +1与直线a 关于y 轴对称，在同一坐标系中画出它们的图象，并求出直线
a 的解析式.
例题3：已知点Q 与P(2，3)关于x 轴对称，一个一次函数的图象经过点Q ，且与y 轴的交点M 与原点距离为5，求这个一次函数的解析式.
例题4：如图表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点A （4，3），一次函数的图象与y 轴交于点B ，且OA=OB ，求这两个函数的解析式.
12
例题5：在同一直角坐标系中，画出一次函数y=－x+2与y=2x+2的图象，并求出这两条直线与x 轴围成的三角形的面积与周长.
例题6：某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程，开始时风暴平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米/时，一段时间，风暴保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米/时，最终停止. 结合风速与时间的图像，回答下列问题：
（1）在y 轴（ ）内填入相应的数值； （2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？
（3）求出当x≥25时，风速y （千米/时）与时间x （小时）之间的函数关系式. （4）若风速达到或超过20千米/时，称为强沙尘暴，则强沙尘暴持续多长时间？
x
y B
0 A
6、在函数关系式y=－
3
1
x ＋2中，当x=－3时，y= ；当y=0时，x= ． 7、已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是 ___________. 8、函数y ＝
2
x 43
＋的图象与x 轴交点坐标为________,与y 轴的交点坐标为___________. 9、如果一次函数y=kx-3k+6的图象经过原点，那么k 的值为________.
10、已知y-1与x 成正比例，且x=－2时，y=4，那么y 与x 之间的函数关系式为_________________. 11、已知一次函数y=kx+b(k≠0)在x=1时，y=5，且它的图象与x 轴交点的横坐标是６，则这个一次函数的函数关系式为 .
12、如果y+1与x-2成正比例，且x ＝-1时，y ＝5，则y 与x 之间的函数关系式为 . 13、已知等腰三角形周长为20，则底边长y 与腰长x 之间的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围是 . 三、解答题
14、画出函数36y x =-的图象，并回答下列问题： （1）当2x =-时，y 的值是多少？ （2）当9y =时，x 的值是多少？
（3）图象与x 轴，y 轴相交与A,B 二点，求△ABO 的面积
15、已知一次函数y=kx ＋b 的图象如图1所示. （1）写出与坐标轴的交点坐标，并求出k 、b 的值； （2）在所给的平面直角坐标系内画出函数y=bx ＋k 的图象.
16、已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3），求一次函数的函数表达式.。