江苏省南通市海安县高一数学上学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年江苏省南通市海安县高一（上）期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1．已知集合A={1，3}，B={3，4}，则A∪B= ．
2．计算sin150°+2cos240°+3tan315°后，所得结果的值为．
3．函数y=lg（3﹣x）（2x﹣1）的定义域为．
4．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（1，1），C（2，﹣1），则∠BAC的余弦值为．
5．已知函数f（x）=，则f（﹣）的值为．
6．已知点P在线段AB上，且|=4||，设=λ，则实数λ的值为．
7．定义运算=ad﹣bc，若函数f（x）=在（﹣∞，m）上是单调减函数，则实数m的最大值是．
8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω，0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）的值为．
9．设，，是同一平面内的单位向量，且⊥，则（﹣）（﹣2）的最大值为．
10．函数f（x）=的最小正周期为．
11．如图，点C是半径为2的圆的劣弧的中点，连接AC并延长到点D，使得CD=AC，连接DB并延长交圆于点E，若AC=2，则的值为．
12．在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点为整点，若函数f（x）的图象恰好通过n （n∈N*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数，有下列函数：①f（x）=sinx；②g（x）
=x2；③h（x）=（）x；④φ（x）=lnx，其中一阶整点函数的是．
13．若函数f（x）=4x+a2x+a+1在R上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是．
14．某同学研究相关资料，得到两种求sin18°的方法，两种方法的思路如下：
思路一：作顶角A为36°的等腰三角形ABC，底角B的平分线交腰AC于D；
思路二：由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，可知cos2α可表示为cosα的二次多项式，推测cos3α也可以用cosα的三次多项式表示，再结合cos54°=sin36°．
请你按某一种思路：计算得sin18°的精确值为．
二、解答题：本大题共6小题，满分90分
15．已知A={x|﹣x2+3x﹣2＞0}，B={x|x2﹣（a+1）x﹣a≤0}．
（1）化简集合B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
16．设α为锐角，且cos（α+）=，tan（α+β）=．
（1）求sin（2α+）的值；
（2）求tan（2β﹣）的值．
17．设函数f（x）=是奇函数，且f（1）=5．
（1）求a和b的值；
（2）求证：当x∈（0，+∞）时，f（x）≥4．
18．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，M是边AC（含端点）上的动点．
（1）若∠BAC=60°，求||的值；
（2）若⊥，求cosA的取值范围．
19．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“工”字图形，“工”字图形由横、竖、横三个等宽的矩形组成，两个横距形全等且成是竖矩形长的倍，设O为圆心，∠AOB=2α，“工”字图形的面积记为S．
（1）将S表示为α的函数；
（2）为了突出“工”字图形，设计时应使S尽可能大，则当α为何值时，S最大？
20．设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|﹣1，x∈R
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值．
2015-2016学年江苏省南通市海安县高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1．已知集合A={1，3}，B={3，4}，则A∪B= {1，3，4} ．
【考点】并集及其运算．
【专题】集合思想；综合法；集合．
【分析】根据集合的运算性质计算即可．
【解答】解：∵集合A={1，3}，B={3，4}，
∴A∪B={1，3，4}，
故答案为：{1，3，4}．
【点评】本题考查了集合的运算性质，是一道基础题．
2．计算sin150°+2cos240°+3tan315°后，所得结果的值为﹣3.5 ．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．
【分析】原式各项角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可求出值．
【解答】解：原式=sin（180°﹣30°）+2cos（180°+60°）+3tan（360°﹣45°）
=sin30°﹣2cos60°﹣3tan45°
=﹣1﹣3
=﹣3.5，
故答案为：﹣3.5．
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
3．函数y=lg（3﹣x）（2x﹣1）的定义域为（0，3）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数y的解析式，列出不等式（3﹣x）（2x﹣1）＞0，求出解集即可．
【解答】解：∵函数y=lg（3﹣x）（2x﹣1），
∴（3﹣x）（2x﹣1）＞0，
即，或；
解得0＜x＜3，
∴函数y的定义域为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
【点评】本题考查了根据对数函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．
4．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（1，1），C（2，﹣1），则∠BAC的余弦值为．
【考点】两点间距离公式的应用；正弦定理．
【专题】数形结合；转化思想；解三角形．
【分析】利用两点之间的距离的距离公式、余弦定理即可得出．
【解答】解：|AB|==，|AC|=，|BC|=．
∴cos∠BAC===．
故答案为：．
【点评】本题考查了两点之间的距离的距离公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．已知函数f（x）=，则f（﹣）的值为1+．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】分段函数代入，从而求f（﹣）=f（）+1=cos+1．
【解答】解：f（﹣）=f（﹣+1）+1
=f（）+1
=cos+1=1+；
故答案为：1+．
【点评】本题考查了分段函数的应用．
6．已知点P在线段AB上，且|=4||，设=λ，则实数λ的值为﹣3 ．
【考点】线段的定比分点．
【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用．
【分析】点P在线段AB上，且||=4||，=λ，可得=3，且与方向相反，即可得出．
【解答】解：∵点P在线段AB上，且||=4||，=λ，
∴=3，且与方向相反，
∴λ=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．定义运算=ad﹣bc，若函数f（x）=在（﹣∞，m）上是单调减函数，则实
数m的最大值是﹣2 ．
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】根据定义求出函数f（x）的解析式，结合一元二次函数的单调性的性质进行判断即可．
【解答】解：由定义得函数f（x）==（x﹣1）（x+3）+2x=x2+4x﹣3，
函数的对称轴为x=﹣2，在函数在（﹣∞，﹣2]上单调递减，
若函数f（x）在（﹣∞，m）上是单调减函数，则m≤﹣2，
故实数m的最大值是﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据定义求出函数f（x）的解析式，结合一元二次函数的单调性的性质是解决本题的关键．
8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω，0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）的值为 3 ．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的最值求出A、B，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（π）的值．
【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω，0，|φ|＜）的部分图象，
可得A+B=4，﹣A+B=0，=﹣，
求得B=2，A=2，ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+2．
再根据图象过点（，2），可得 sin（2+φ）=0，∴φ=，
f（x）=2sin（2x+）+2，∴f（π）=2sin（2π+）+2=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A、B，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．
9．设，，是同一平面内的单位向量，且⊥，则（﹣）（﹣2）的最大值为1．【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用．
【分析】根据条件便可得到
=，而由题意可得到，从而有，可以求出，这样即可求出的最大值．
【解答】解：；
∴；
又；
∴
=
=
==；
∴的最大值为．
故答案为：．
【点评】考查向量垂直的充要条件，单位向量的概念，以及向量数量积的运算及计算公式，根据求向量长度的方法．
10．函数f（x）=的最小正周期为2π．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的求值．
【分析】利用同角三角函数基本关系式化简函数解析式可得f（x）=，又y=|sinx|的周期为π，cosx的周期为2π，结合函数的图象化简求得其周期．
【解答】解：∵f（x）==，又y=|sinx|的周期为π，cosx的周期为2π，作出其图象如下：
∴可得函数f（x）==的最小正周期为2π．
故答案为：2π．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ ）、y=Asin
（ωx+φ ）的周期等于，y=|Asin（ωx+φ ）|、y=|Asin（ωx+φ ）|的周期等于，属于基础题．
11．如图，点C是半径为2的圆的劣弧的中点，连接AC并延长到点D，使得CD=AC，连接DB并延长交圆于点E，若AC=2，则的值为 4 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用．
【分析】可连接CE，根据条件便可说明AE为圆的直径，从而得到△ADE为等边三角形，这便得到∠EAC=60°，AE=4，从而进行数量积的计算便可得出的值．
【解答】解：如图，连接CE，∵；
∴∠AEC=∠DEC；
∴CE为∠AED的角平分线；
又C是AD中点，即CE为△ADE底边AD的中线；
∴AE=DE；
∴CE⊥AD；
∴∠ACE=90°；
∴AE为圆的直径；
∴AE=4，DE=4；
又AD=4；
∴∠EAC=60°；
∴．
故答案为：4．
【点评】考查等弧所对的圆周角相等，三角形的中线和角平分线重合时，这个三角形为等腰三角形，圆的直径所对的圆周角为直角，以及向量数量积的计算公式．
12．在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点为整点，若函数f（x）的图象恰好通过n （n∈N*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数，有下列函数：①f（x）=sinx；②g（x）
=x2；③h（x）=（）x；④φ（x）=lnx，其中一阶整点函数的是①④．
【考点】函数的图象．
【分析】根据新定义的“一阶整点函数”的要求，对于四个函数一一加以分析，它们的图象是否通过一个整点，从而选出答案即可．
【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，它只通过一个整点（0，0），故它是一阶整点函数；
对于函数g（x）=x2，当x∈Z时，一定有g（x）=x3∈Z，即函数g（x）=x3通过无数个整点，
它不是一阶整点函数；
对于函数h（x）=，当x=0，﹣1，﹣2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无
数个整点，
它不是一阶整点函数；
对于函数φ（x）=lnx，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数，
故答案为：①④．
【点评】本题主要考查新定义，函数的图象特征，属于中档题．
13．若函数f（x）=4x+a2x+a+1在R上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是a=2﹣2
或a≤﹣1 ．
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】利用换元法结合指数函数的性质转化为y=t2+at+a+1=0，只有一个正根，根据一元二次函数和一元二次方程之间的性质进行求解即可．
【解答】解：f（x）=4x+a2x+a+1=（2x）2+a2x+a+1，
设t=2x，则t＞0，
则函数等价为y=t2+at+a+1，若函数f（x）=4x+a2x+a+1在R上有且只有一个零点，等价为
y=t2+at+a+1=0，只有一个正根，
若判别式△=0，则a2﹣4（a+1）=0，且t=﹣＞0，
即a2﹣4a﹣4=0，且a＜0，
得a=2+2（舍）或a=2﹣2，
若判别式△＞0，设h（t）=t2+at+a+1，
则满足或，
即①或，②
①无解，②得a≤﹣1，
综上a=2﹣2或a≤﹣1，
故答案为：a=2﹣2或a≤﹣1
【点评】本题考查函数的零点与对应的方程的跟的关系，函数的零点就是对应方程的根．注意换元法的应用．
14．某同学研究相关资料，得到两种求sin18°的方法，两种方法的思路如下：
思路一：作顶角A为36°的等腰三角形ABC，底角B的平分线交腰AC于D；
思路二：由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，可知cos2α可表示为cosα的二次多项式，推测cos3α也可以用cosα的三次多项式表示，再结合cos54°=sin36°．
请你按某一种思路：计算得sin18°的精确值为．
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】设α=18°，则cos3α=sin2α，利用三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式展开化简可得sinα的值．
【解答】解：设α=18°，则5α=90°，从而3α=90°﹣2α，
于是cos3α=cos（90°﹣2α），
即cos3α=sin2α，展开得4cos3α﹣3cosα=2sinαcosα，∵cosα=cos18°≠0，
∴4cos2α﹣3=2sinα，化简得4sin2α+2sinα﹣1=0，解得sinα=，或
sinα=（舍去），
故答案为：．
【点评】本题主要考查诱导公式、三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．
二、解答题：本大题共6小题，满分90分
15．已知A={x|﹣x2+3x﹣2＞0}，B={x|x2﹣（a+1）x﹣a≤0}．
（1）化简集合B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．
【分析】（1）原不等式可化为（x﹣a）（x﹣1）≤0．通过对a与1的大小关系分类讨论即可得出；
（2）化简A，利用A⊆B，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）原不等式可化为（x﹣a）（x﹣1）≤0．
①当a＞1时，1≤x≤a，∴B=[1，a]；
②当a=1时，x=1，∴B={1}；
③当a＜1时，a≤x≤1，∴B=[a，1]．
（2）∵A=（1，2），A⊆B，∴a≥2．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查集合关系，属于基础题．
16．设α为锐角，且cos（α+）=，tan（α+β）=．
（1）求sin（2α+）的值；
（2）求tan（2β﹣）的值．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2（α+）、cos2（α+）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin（2α+）的值．
（2）由条件求得tan（α+）、tan（β﹣）的值，再利用两角差的正切公式求得tan（2β﹣）=tan2（β﹣）的值
【解答】解：（1）∵α为锐角，且cos（α+）=，tan（α+β）=，
∴sin（α+）==，
sin2（α+）=2sin（α+）cos（α+）=2=，
∴cos2（α+）=1﹣2=，
故sin（2α+）=sin[2（α+）﹣]=sin2（α+）cos﹣cos2（α+）sin
=﹣=．
（2）由（1）可得，tan（α+）==，
tan（β﹣）=tan[（α+β）﹣（α+）]= =
=，
∴tan（2β﹣）=tan2（β﹣）==．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．17．设函数f（x）=是奇函数，且f（1）=5．
（1）求a和b的值；
（2）求证：当x∈（0，+∞）时，f（x）≥4．
【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由函数在定义域内有意义可得b=0，结合f（1）=5求得a值；
（2）利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，从而得到f（x）在（0，+∞）上的最小值，答案可证．
【解答】（1）解：函数f（x）=的定义域为{x|x≠﹣b}，即f（﹣b）不存在，
若b≠0，则f（b）有意义，这与f（x）为奇函数矛盾，故b=0．
∵f（1）=5，∴，解得a=1；
（2）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则x1x2＞0，x1﹣x2＜0，
=．
①若x1，x2∈（0，2]，则x1x2＜4，于是x1x2﹣4＜0，从而f（x1）﹣f（x2）＞0；
②若x1，x2∈[2，+∞），则x1x2＞4，于是x1x2﹣4＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＜0．
由①②知，函数f（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．
∴f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（2）=．
∴f（x）≥4．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，考查了利用函数单调性求函数的最值，训练了利用函数单调性的定义证明函数的单调性，是中档题．
18．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，M是边AC（含端点）上的动点．
（1）若∠BAC=60°，求||的值；
（2）若⊥，求cosA的取值范围．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】数形结合；转化思想；解三角形；平面向量及应用．
【分析】（1）利用余弦定理可得： =32+42﹣2×3×4cos60°，解得即可．
（2）设=t（0≤t≤1）. = =﹣， ==﹣．由于
，可得=0．化为：﹣16t+12cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠
BAC===f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）利用余弦定理可得： =32+42﹣2×3×4cos60°=13，解得=．
（2）设=t（0≤t≤1）. = =﹣， ==﹣．
∴=（﹣）（﹣）=+﹣．
∵，∴=+﹣=0．
化为：﹣16t+12cos∠BAC﹣=0，
整理可得：cos∠BAC===f（t），（0≤t≤1）．
由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，
∴f（0）≤f（t）≤f（1），即≤f（t）≤，即≤cosA≤，∵A∈（0，π），
∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是．
【点评】本题考查了余弦定理、向量的三角形法则、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、函数的单调性、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“工”字图形，“工”字图形由横、竖、横三个等宽的矩形组成，两个横距形全等且成是竖矩形长的倍，设O为圆心，∠AOB=2α，“工”字图形的面积记为S．
（1）将S表示为α的函数；
（2）为了突出“工”字图形，设计时应使S尽可能大，则当α为何值时，S最大？
【考点】在实际问题中建立三角函数模型．
【专题】转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）连接CD，取AB的中点M，连接OM，交CD于N，由解直角三角形可得AB=2Rsinα，BC=MN=OM﹣ON=R（cosα﹣sinα），α∈（0，）），再由矩形的面积公式可得
S=2ABBC+ABBC，即可得到所求；
（2）运用二倍角的正弦公式和余弦公式、以及两角和的正弦公式，运用正弦函数的值域，即可得到所求最大值．
【解答】解：（1）连接CD，取AB的中点M，连接OM，交CD于N，
由∠AOB=2α，可得∠BOM=α，α∈（0，），
且BM=Rsinα，OM=Rcosα，由题意可得ON=BM=Rsinα，
BC=MN=OM﹣ON=R（cosα﹣sinα），
由BC＞0，可得α∈（0，），
则S=2ABBC+ABBC=（4+）R2（sinαcosα﹣sin2α），（α∈（0，））；
（2）S=（4+）R2（sinαcosα﹣sin2α）
=（4+）R2（sin2α+cos2α﹣）
=（4+）R2（sin2α+cos2α）﹣（4+）R2
=（4+）R2sin（2α+）﹣（4+）R2
由α∈（0，），可得＜2α+＜，
即有2α+=，即α=时，S取得最大值R2．
【点评】本题考查三角形函数的应用题的解法，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和两角和的正弦公式，考查正弦函数的值域的运用，属于中档题．
20．设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|﹣1，x∈R
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值．
【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；
（2）先判断函数的单调性再求最值．
【解答】解：（1）当a=0时，函数f（﹣x）=（﹣x）2+|﹣x|+1=f（x），此时，f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（a）=a2+1，f（﹣a）=a2+2|a|+1，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f（﹣a），此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）①当x≤a时，f（x）=x2+|x﹣a|﹣1=x2﹣x+a﹣1=（x﹣）2+a﹣，
当a≤时，函数f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值
为f（a）=a2﹣1．
若a，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为f（）=a﹣．
②当x≥a时，函数f（x）=x2+|x﹣a|﹣1=x2+x﹣a﹣1=（x+）2﹣a﹣，
若a≤﹣时，则函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（﹣）=﹣a﹣．
若a＞﹣，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值
为f（a）=a2﹣1．
综上，当a≤﹣时，函数f（x）的最小值为﹣a﹣，
﹣时，函数f（x）的最小值为a2﹣1，
当a时，函数f（x）的最小值为a﹣．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及二次函数的单调性和函数的最值，考查分类讨论思想，综合性较强，运算量较大．。