期末质量评估高二数学试卷试题

前黄高级中学2021-2021学年度期末质量评估高二数学试卷
本套试卷一共150分，考试时间是是120分钟.
一、 选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．每一小题四个选项
里面，只有一项是哪一项符合要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上。

1．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：
〔10，20］，2；〔20，30］，3；〔30，40］，4；〔40，50］，5；〔50，60］，4；〔60，70］，2，那么样本在(],50-∞上的频率为 〔 〕
A.
20
1
B.
41 C.2
1 D.
10
7
2．平面上5个不同点，以其中的2个点为向量的端点，那么这样的向量一共有
( )
A ．25C
B ．52
C ．25A
D ．2
5
3．在8
(1)(1)x x -+展开式中，5
x 的系数为
( )
A ．5488C C -
B ．4588
C C - C ．6588C C -
D ．5688C C -
4．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，假设这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，那么原来一组数据的平均数和方差分别是
( )
A ．81.2，4.4
B ．78.8, 4.4
C ．81.2, 84.4
D ．78.8, 75. 5．正方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1中，P 、Q 、R 、分别是AB 、AD 、B 1 C 1的中点。

那么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是
( )
A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形 6．某学生一次通过英语测试的概率为4
3
，他连续测试3次，那么其中恰有一次获得通过的概率是
〔 〕
A ．
43 B ．64
27
C ．
649
D ．
64
3
7．函数)
(
,3
1
)
(x
f
x
x
f则
处的导数为
在=的解析式可能为〔〕A．)1
(3
)1
(
)
(2-
+
-
=x
x
x
f B．)1
(2
)
(-
=x
x
f
C．2)1
(2
)
(-
=x
x
f D．1
)
(-
=x
x
f
8．设地球的半径为R，假设甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，那么甲、乙两地的球面间隔为
〔〕
A B．
6
R
π
C．
5
6
R
π
D．
2
3
R
π
9．在棱长为2的正方体
1111
ABCD A B C D
-中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是
1
CC、
AD的中点。

那么异面直线O E和
1
FD所成的余弦值等于〔〕
A．
5
B．
5
C．
4
5
D．
2
3
10．△ABC的顶点B在平面α内，A、C在α的同一侧，AB、BC与α所成的角分别是30°和45°,假设AB=3,BC=2
4 ,AC=5,那么AC与α所成的角为( )
A．60° B．45° C．30° D．15°
11．函数()
y xf x
'
=的图象如右图所示(其中'()
f x是函数()
f x的导函数)，下面四个图象中
()
y f x
=的图象大致是( 〕
12．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ABC=90︒，二面角P-BC-A为30︒，PA=BC=1，那么过P、A、B、C 四点的球面的面积为〔〕π B.12πππ
A B C D
二、填空题：本大题一一共6小题；每一小题4分，一共24分．请将答案写在答卷纸相 应的位置上。

13．设n 为奇数，那么7c 7c 7c 71
n n
2n 2n 1
n 1n n ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+---被9除所得的余数是 。

14．曲线y ＝x 3
－3x 2
＋1在点(1,－1)处的切线方程为 。

15．设6622106)21(x a x a x a a x ++++=- ，那么||||||610a a a +++ 的值是 。

16．一个袋内有3个红球和假设干个白球，从中任取3个. 取出的3个球中至少．．有一个是白球的概率为
35
34
，那么袋内有白球的个数是 。

17．在正方体''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，那么
① 四边形E BFD '一定是平行四边形；②四边形E BFD '有可能是正方形 ③四边形E BFD '
在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④四边形E BFD '
有可能垂直于平面D BB '
以上结论正确的为 。

〔写出所有正确结论的编号〕
b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间〔－2，2〕上是增函数，那么t 的
取值范围是 。

三、解答题(本大题5小题，一共66分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．) (第19题、第20题，每一小题12分，第21题、第22题、第23题每一小题14分) 19．如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常
工作，元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为，，0.90，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2.
20．n a a
)3(3-展开式的各项系数之和等于53)514(b b -的展开式中的常数项，
(1)．求n 的值；(2)．求n a a
)3(3-展开式中1
-a 项的二项式系数．
21．△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，
∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且
(01.)AE AF
AC AD
λλ==<< 〔Ⅰ〕求证：不管λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； 〔Ⅱ〕当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？
22．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，
〔1〕求证：平面BB 1D 1D ⊥平面ACD 1； 〔2〕求AA 1与平面ACD 1所成角；
〔3〕设H 为截面ACD 1内一点，求H 到正方体外表ADD 1A 1、 DCC 1D 1、ABCD 的间隔 平方之和的最小值.
23．1x =是函数3
2
()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， 〔I 〕求m 与n 的关系式；
〔II 〕求()f x 的单调区间；
〔III 〕当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.
[参考答案]
一、选择题：DCBAD ，CADBC ，CD
二、填空题：〔请将答案填在相应的题号上〕
13．7 ， 14． 320x y +-= ， 15．729 16． ①③④，17． 4， 18． [16,)+∞
三、解答题
19．解：分别记元件A 、B 、C 正常工作的事件A 、B 、C ，由
P 1=P 〔A ·B ·C 〕=P 〔A 〕·P 〔B 〕·P 〔C 〕=×× 故系统N 1正常工作的概率为。

6分
P 2=P 〔A 〕·[1－P 〔)]()(1[)()]C P B P A P C B ⋅-⋅=⋅ =×(1－0.10××
故系统N 2正常工作的概率为0.792. 12分
20．解：对于53
)514(b
b -
展开式中，
r r r
r
r r C b
b C T )1()51)
4(5535
1-=(-=-+r -⋅546
51025r
r
b
--⋅．
令
06510=-r
，那么2=r ．得常数项为7132253254)1(=-=-⋅⋅C T ．令1=a ，那么n a a
)3(
3
-展开式各项系数之和为n 2，依题意722=n ，∴ 7=n ．
6分
于是对7
3)3(
a a
-展开式中6
2157737713)1()()3(---+⋅-=-=r r r r r r r r a C a a C T ．
令
16
21
5-=-r ，得3=r ．
∴ 73)3(
a a
-的展开式中1-a 项的二项式系数为353
7
=C ． 12分
21．解：〔1〕∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC. 3分
又),10(<<==λλAD
AF AC
AE ∴不管λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面
BEF,
∴不管λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC.
7分
〔2〕由〔Ⅰ〕知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，
∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. 8分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===
AB BD
10分
,722=+=∴BC AB AC 由AB 2
=AE ·AC 得,7
6,7
6==∴=AC
AE AE λ
故当7
6
=λ时，平面BEF ⊥平面ACD. 14
分
22． 解法一：
〔1〕证：由正方体性质易知D D BB AC BB AC BD AC 111,,平面即⊥⊥⊥，
又⊂AC 平面ACD 1，所以BB 1D 1D ⊥平面ACD 1.
4分
〔2〕作A 1G ⊥平面ACD 1，垂足为G ，连AG ，那么AG A 1∠为AA 1与平面ACD 1所成的角.
连A 1C 1，设11111111.//,,ACD AC AC C A O BD AC O D B C A 平面⊂== ，
111ACD C A 平面⊄∴，∴A 1C 1//平面ACD 1，即A 1G 等于O 1到平面ACD 1的间隔 .
连OO 1，OD 1在Rt △DO 1D 1中，作O 1E ⊥OD 1于E ，那么由〔1〕知O 1E ⊥平面ACD 1，
又在a a a
a OD OO D O E O D OO Rt 33
2
6
22,1111111=⋅=⋅=
∆中，
所以，.3
3
sin 11111===
∠AA E O AA G A AG A 故AA 1与平面ACD 1所成角为arcsin 9分 〔3〕分别作HM ，HN ，HF 垂直于平面ADD 1A 1，DCC 1D 1，ABCD ，那么HM 2
+HN 2
+HF 2
=HD 2
，
时平面1ACD HD ⊥ ，HD 最小值为
a 33，故所求间隔 平方之和的最小值为21
3
a 。

14分 解法二：
以D 为原点，射线DA 1、DC 1、DD 1为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 〔1〕),0,0(),0,,(),0,,(1a DD a a DB a a AC ==-=
由⊥⊥⊥=⋅=⋅AC DD AC DB AC DD AC DB AC 即知,,0,011平面BB 1D 1D ，所以平 面BB 1D 1D ⊥平面ACD 1.
4分 〔2〕易知平面ACD 1的法向量为).1,1,1(=m
6分
又),0,0(
1a AA =，设AA 1与平面ACD 1所成角为1,sin cos ,AA m θθ=<=则，
故AA 1与平面ACD 1所成角为arcsin
3
9分
〔3〕设H 的坐标为),,(z y x ，那么2222222||||||||HD z y x HF HN HM =++=++， 又∴=-===,33|3|||||||||||11min a a m m D D D D HD 所求间隔 平方之和的最小值
为2
1
3
a .
14分
23．解(I)2
()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以
(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+ 4分
〔II 〕由〔I 〕知，2
()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤
⎛⎫--+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
6分 当0m <时，有2
11m
>+
，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：
故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛
⎫-∞+ ⎪⎝⎭单调递减，在2(1,1)m
+单调递增，在(1,)+∞上单调递减.
9分
〔III 〕由得()3f x m '>，即2
2(1)20mx m x -++>
又0m <所以2
22(1)0x m x m m -
++<即[]222
(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设2
12()2(1)g x x x m m
=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以22(1)0120(1)010
g m m
g ⎧
-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得43m -<又0m <所以403m -<< 即m 的取值范围为4
,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
14分
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。