最新人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）
A ．1厘米/秒
B ．2厘米/秒
C ．3厘米/秒
D ．4厘米/秒 2．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点
E ，
F ，下列结论错误的是（ ）
A ．PC PD =
B ．O
C O
D = C ．CPO DPO ∠=∠ D ．PC P
E =
3．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )
A ．2
B ．4
C ．7
D ．9
4．下列判断正确的个数是（ ）①三角形的三条高都在三角形的内部，并且相交于一点；②两边及一角对应相等的两个三角形全等；③两角及一边对应相等的两个三角形全等；④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A ．5PQ >
B ．5PO ≥
C ． 5PQ <
D ．5PO ≤ 6．下列各命题中，假命题是（ ）
A ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
B ．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等
C ．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等
D ．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等
7．如图，已知AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）
A ．BD ＋ED ＝BC
B ．∠B ＝2∠DAC
C ．A
D 平分∠EDC D ．ED ＋AC >AD
8．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )
A ．EFC ∠
B ．AB
C ∠ C ．FDC ∠
D ．DFC ∠ 9．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（
）
A ．BM ∥CN
B ．∠M=∠N
C ．BM=CN
D ．AB=CD
10．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）
A ．BC ED =
B ．A F ∠=∠
C ．B E ∠=∠
D ．//AB EF 11．如图，AB ＝AC ，点D 、
E 分别是AB 、AC 上一点，AD ＝AE ，BE 、CD 相交于点M ．若∠BAC ＝70°，∠C ＝30°，则∠BMD 的大小为( )
A ．50°
B ．65°
C ．70°
D ．80°
12．已知，如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ，②PD ＝PE ，③OD ＝OE ，④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
13．如图，已知在ABC ∆和ADC ∆中，,ACB ACD ∠=∠请你添加一个条件：_________，使ABC ADC ∆≅∆(只添一个即可）．
14．如图，AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，C 是OB 上的动点，连接PC ，若4PD =，则PC 的最小值为_________．
15．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________
16．如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO=BO ，添加一个条件， 能使AOC BOD ≅，所添加的条件的是___________________________．
17．如图，四边形ABDC 中，对角线AD 平分BAC ∠，136ACD ∠=︒，
44BCD ∠=︒，则ADB ∠的度数为_____
18．如图，△ABC 的外角∠MBC 和∠NCB 的平分线BP 、CP 相交于点P ，PE ⊥BC 于E 且PE ＝3cm ，若△ABC 的周长为14cm ，S △BPC ＝7.5，则△ABC 的面积为______cm 2．
19．如图，ABC 中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，若2DC =，则点D 到线段AB 的距离等于________．
20．如图，ABC ∆的两条高AD 、CE 交于点H ，已知6EH EB ==，8AE =，则ACH ∆的面积为______．
三、解答题
21．已知ACE △和DBF 中，AE FD =，//AE FD ，AB DC =，请判断CE 与BF 的位置关系，并说明理由．
22．如图，点E 在线段BD 上，已知,,AB AC AD AE BE CD ===．
（1）求证：BAC EAD ∠=∠．
（2）写出123∠∠∠、、之间的数量关系，并予以证明．
23．如图，BD //GE ，150AFG ∠=∠=︒，AQ 平分FAC ∠，交BD 的延长线于点Q ，交DE 于点H ，15Q ∠=︒，求CAQ ∠的度数．
24．如图①，∠BAD=90°，AB=AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥CA 的延长线点E ，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D ，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD ，得△ABC ≌△DAE 进而得到AC=DE ，BC=AE ， 我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．
请应用上述“一线三等角”模型，解决下列问题：
（1）如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AC=AE ，连接BC 、DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ，求证：点G 是DE 的中点．
（2）如图③，在平面直角坐标系中，点A 为平面内任意一点，点B 的坐标为（4，1），若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标．
25．如图，点D ，E 分别在AB 和AC 上，DE//BC ，点F 是AD 上一点，FE 的延长线交BC 延长线BH 于点G ．
（1）若∠DBE ＝40°，∠EBC ＝35°，求∠BDE 的度数；
（2）求证：∠EGH ＞∠ADE ；
（3）若点E 是AC 和FG 的中点，△AFE 与△CEG 全等吗？请说明理由．
26．如图1，在平面内取一个定点O ，自O 引一条射线O x ，设M 是平面内一点，点O 与点M 的距离为m （m ＞0）, 以射线O x 为始边，射线OM 为终边的∠x OM 的度数为x °（x≥0）．那么我们规定用有序数对（m ，x °）表示点M 在平面内的位置，并记为M （m ，x °）．
例如，在如图2中，如果OG=4，∠x OG=120°，那么点G 在平面内的位置记为G （4，120°）．
（1）如图3，如果点N 在平面内的位置记为N （6，35°），那么ON= ；
xON ∠= °；
（2）如图4，点A ，点B 在射线O x 上，点A ，B 在平面内的位置分别记为（a ，0°）, （2a ，0°）点A ，E ，C 在同一条直线上. 且OE=BC ．用等式表示∠OEA 与∠ACB 之间的数量关系，并证明．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．
【详解】
解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：
BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩
， 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩
，
解之得：14t v =⎧⎨=⎩
， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，
故选D ．
【点睛】
本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的性质定理判断A 选项；证明△OPC ≌△OPD 判断B 选项；根据△OPC ≌△OPD 即可判断C 选项；证明△DPE ≌△CPF 判断D 选项．
【详解】
∵OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，
∴PC=PD ，故A 选项正确；
∵∠ODP=∠OCP=90︒，
又∵OP=OP ，PC=PD ，
∴Rt △OPC ≌Rt △OPD ，
∴OC=OD ，故B 选项正确；
∵△OPC ≌△OPD ，
∴CPO DPO ∠=∠，故C 选项正确；
∵∠PDE=∠PCF=90︒，PD=PC ，∠DPE=∠CPF ，
∴△DPE ≌△CPF ，
∴PE=PF ，
∵PF>PC ，
∴PE>PC ，故D 选项错误；
故选：D ．
【点睛】
此题考查三角形角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
求出DE 的值，代入面积公式得出关于AB 的方程，求出即可．
【详解】
解：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DE=DF=2，
∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，
∴12=1
2×AB×DE+
1
2
×AC×DF，
∴24=AB×2+3×2，
∴AB=9，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
4．D
解析：D
【分析】
根据三角形的高线、角平分线的性质及全等三角形的判定分析各个选项即可．
【详解】
解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，此选项错误；
②有两边及一角对应相等的两个三角形全等，此选项错误；
③有两角和一边对应相等，满足AAS或ASA，此选项正确；
④在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；
在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．
则到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，此选项错误；
⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，此选项错误．
正确的有一个③，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法及三角形的角平分线，垂心等概念，熟练掌握概念和性质是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．
【详解】
∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴点P到OB的距离为5，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是
解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定定理进行证明并依次判断．
【详解】
解：A、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
B、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；
C、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
D、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
故选：B．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，灵活判定命题真假，熟记定理并灵活应用解决问题是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
利用角平分线的性质定理判断A；利用直角三角形两锐角互余判断B；证明
△AED≌△ACD，由此判断C；利用三角形三边关系得到AC+CD>AD，由此判断D．
【详解】
∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DE=DC，∠BAD=∠DAC，
∵BD+DC=BC，
∴BD+ED=BC，故A正确；
∵∠C=90︒，
∴∠B+∠BAC=90︒，
∴∠B+2∠DAC=90︒，故B错误；
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠C=90︒,
又∵∠BAD=∠DAC，DE=CD，
∴△AED≌△ACD，
∴∠ADE=∠ADC，
∴AD平分∠EDC，故C正确；
在△ACD中，AC+CD>AD，
∴ED＋AC>AD，故D正确；
【点睛】
此题考查三角形的三边关系，角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠，再根据
1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒；然后根据外角的性质可得
2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答．
【详解】
解：在ABC ∆和CED ∆中，
AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()ABC CED SSS ∴∆≅∆，
B E ∴∠=∠，FCD FD
C ∠=∠
1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠，
2CFE x ∴∠=︒，
2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒，
FDC x ∴∠=︒．
故答案为C ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
利用全等三角形的判断方法进行求解即可．
【详解】
A 、因为 BM ∥CN ，所以∠ABM=∠DCN ，又因为∠A=∠D ， AM=DN ，
所以△ABN ≅△DCN(AAS)，故A 选项不符合题意；
B 、因为∠M=∠N ，∠A=∠D ， AM=DN ，
所以△ABN ≅△DCN(ASA)，故B 选项不符合题意；
C 、BM=CN ，不能判定△ABN ≅△DCN ，故C 选项符合题意；
D 、因为AB=CD ，∠A=∠D ， AM=DN ，
所以△ABN ≅△DCN(SAS)，故D 选项不符合题意．
故选：C ．
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．C
解析：C
【分析】
由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．
【详解】
∵AD FC =，
∴AC=FD ，
∵AB FE =，
∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△， 故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，
故选：C ．
【点睛】
此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
根据题意可证明ABE ACD ≅，即得到B C ∠=∠．再利用三角形外角的性质，可求出DME ∠，继而求出BMD ∠．
【详解】
根据题意ABE ACD ≅（SAS ），
∴30B C ∠=∠=︒
∵DME B BDC ∠=∠+∠，BDC C A ∠=∠+∠
∴307030130DME B A C ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒
∴180********BMD DME ∠=︒-∠=︒-︒=︒
故选A ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．利用三角形外角的性质求出DME B A C ∠=∠+∠+∠是解答本题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．
【详解】
解：∵∠AOC ＝∠BOC ，
∴OC 是∠AOB 的角平分线，① 符合题意；
∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD ＝PE ，
∴OC 是∠AOB 的角平分线，② 符合题意；
在Rt △POD 和Rt △POE 中，
OD DE OP OP =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △POD ≌Rt △POE ，
∴∠AOC ＝∠BOC ，
∴OC 是∠AOB 的角平分线，③ 符合题意；
∵∠DPO=∠EPO ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴在△POD 和△POE 中，
DPO EPO PDO PEO OP OP =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠∠∠
∴△POD ≌△POE （AAS ），
∴∠AOC ＝∠BOC ，
∴OC 是∠AOB 的角平分线，④ 符合题意，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；
二、填空题
13．或或【分析】要判定△ABC ≌△ADC 已知AC 是公共边具备了一组边和一组角对应相等故添加CB=CD ∠BAC=∠DAC ∠B=∠D 后可分别根据SASASAAAS 能判定△ABC ≌△ADC 【详解】解：添加CB
解析： BC DC =或CAB CAD ∠=∠或B D ∠=∠
【分析】
要判定△ABC ≌△ADC ，已知ACB ACD ∠=∠，AC 是公共边，具备了一组边和一组角对应相等，故添加CB=CD 、∠BAC=∠DAC 、∠B=∠D 后可分别根据SAS 、ASA 、AAS 能判定△ABC ≌△ADC ．
【详解】
解：添加CB=CD ，结合ACB ACD ∠=∠，AC=AC ，根据SAS ，能判定△ABC ≌△ADC ； 添加∠BAC=∠DAC ，结合ACB ACD ∠=∠，AC=AC ，根据ASA ，能判定△ABC ≌△ADC ； 添加∠B=∠D ，结合ACB ACD ∠=∠，AC=AC ，根据AAS ，能判定△ABC ≌△ADC ； 故添加的条件是 BC DC =或CAB CAD ∠=∠或B D ∠=∠．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、
AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．4【分析】当PC 垂直于OB 时PC 最小根据角平分线的性质可求最小值【详解】解：当PC ⊥OB 时PC 最小∵PC ⊥OB ∴PC=PD=4故答案为：4【点睛】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质能够根据垂线段最
解析：4
【分析】
当PC 垂直于OB 时，PC 最小，根据角平分线的性质可求最小值．
【详解】
解：当PC ⊥OB 时，PC 最小，
∵AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，PC ⊥OB ，
∴PC=PD=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，能够根据垂线段最短的性质判断出点C 的位置，并根据角平分线的性质得出PC=PD 是根关键．
15．【分析】过点作于作于利用平行线的性质可证得OM ⊥BD 进而可证得MN 为AC 和BD 的距离根据角平分线的性质可知OE=OM=OE 即可求得MN 的长度
【详解】解：如图过点作于作于∵分别平分和∴又∥∴又∴三点共
解析：10
【分析】
过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ，利用平行线的性质可证得OM ⊥BD ，进而可证得MN 为AC 和BD 的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE ，即可求得MN 的长度．
【详解】
解：如图，过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ．
∵OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，
∴OM OE ON 5===，
又 AC ∥BD ，OM AC ⊥，
∴OM BD ⊥，又ON BD ⊥，
∴M ，O ，N 三点共线，
∴ AC 与BD 之间的距离为MN=OM ON 10+=．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出AC 和BD 之间的距离是解答的关键．
16．或或或【分析】先根据对顶角相等可得再根据三角形全等的判定定理即可得【详解】由对顶角相等得：当时由定理可证当时由定理可证当时由定理可证当时则由定理可证故答案为：或或或【点睛】本题考查了对顶角相等三角形 解析：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD
【分析】
先根据对顶角相等可得AOC BOD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得．
【详解】
由对顶角相等得：AOC BOD ∠=∠，
AO BO =，
∴当CO DO =时，由SAS 定理可证AOC BOD ≅，
当A B ∠=∠时，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，
当C D ∠=∠时，由AAS 定理可证AOC BOD ≅，
当//AC BD 时，则A B ∠=∠，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，
故答案为：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD ．
【点睛】
本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
17．【分析】先添加辅助线过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过点作于点根据角平分线的判定性质定义以及三角形外角的性质邻补角的定义角的和差等可求得【详解】解：过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过 解析：46︒
【分析】
先添加辅助线“过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ”，根据角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等可求得
()1462
ADB CBE BAC ∠=
∠-∠=︒． 【详解】 解：过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ，如图：
∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥ ∴12
BAD BAC ∠=
∠，DE DF = ∵136ACD ∠=︒ ∴18044DCF ACD ∠=︒-∠=︒
∵44BCD ∠=︒，92ACB ACD BCD ∠=∠-∠=︒
∴CD 平分BCF ∠
∵DF AC ⊥，DG BC ⊥
∴DF DG =
∴DE DG =
∵DE AB ⊥，DG BC ⊥
∴BD 平分CBE ∠ ∴12
DBE CBE ∠=
∠ ∴ADB DBE BAD ∠=∠-∠
1122CBE BAC =∠-∠ ()12
CBE BAC =∠-∠ 12
BCA =∠ 46=︒．
故答案是：46︒
【点睛】
本题考查了角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
18．6【分析】过点P 作PH ⊥AMPQ ⊥AN 连接AP 根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ 再根据三角形的面积求出BC 然后求出AC+AB 再
根据S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC
解析：6
【分析】
过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解.
【详解】
解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP
∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线
∴PH=PE，PE=PQ
∴PH=PE=PQ=3
∵S△BPC=1
2
×BC×PE=7.5
∴BC=5
∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC
=1
2
×AC×PQ+
1
2
×AB×PH-7.5
=1
2
×3（AC+AB）-7.5
∵AC+AB+BC=14，BC=5
∴AC+AB=9
∴S△ABC=1
2
×3×9-7.5=6 cm2
【点睛】
本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S△ABC的面积的表示．
19．【分析】过D作DE⊥AB于E根据角平分线的性质得出DE=DC即可求出答案【详解】解：过D作DE⊥AB于E∵∠C=90°AD平分∠BACDC=2∴DE=DC=2即点D到线段AB的距离等于2故答案为：2
解析：【分析】
过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出DE=DC，即可求出答案．
【详解】
解：过D 作DE ⊥AB 于E ，
∵∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DC=2，
∴DE=DC=2，
即点D 到线段AB 的距离等于2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出DE=DC 是解此题的关键． 20．8【分析】由题意可得进而证明结合已知条件证明故根据分别求出与的面积即可【详解】在和中故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质熟记全等三角形的判定定理是解题关键
解析：8
【分析】
由题意可得90ADC CEA ∠=∠=︒，进而证明EAH HCD ∠=∠，结合已知条件证明BEC HEA ∆≅∆，故8EC EA == ，根据AHC AEC AEH S S S ∆∆∆=-分别求出AEH S ∆与AEC S ∆的面积即可．
【详解】
AD BC ⊥，CE AB ⊥，
90ADC CEA ∴∠=∠=︒，
AHE CHD ∠=∠，
EAH CEH HCD ADC ∴∠+∠=∠+∠，
EAH HCD ∴∠=∠，
在BEC △和HEA △中，
90BEC HEA HCD EAH
EB EH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()BEC HEA AAS ∴≅，
EC EA ∴=，
8EA =，
8EC ∴=，
6EH =，
11862422
AEH S AE EH ∆∴=⨯⋅=⨯⨯=，
11883222
AEC S AE EC ∆=⋅=⨯⨯=， 32248AHC AEC AEH S S S ∆∆∆∴=-=-=．
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理是解题关键．
三、解答题
21．见详解
【分析】
先证明ACE △≅DBF ，从而得∠DBF=∠ACE ，进而即可得到结论．
【详解】
∵AB DC =，
∴+AB BC DC BC =+，即：AC=DB ，
∵//AE FD ，
∴∠A=∠D ，
又∵AE FD =，
∴ACE △≅DBF （SAS ），
∴∠DBF=∠ACE ，
∴CE ∥BF ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及平行线的判定和性质定理，熟练掌握SAS 证明三角形全等，是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）312∠=∠+∠，证明见解析．
【分析】
（1）根据SSS 证BAE CAD ≅，推出 1BAE ∠=∠即可；
（2）根据全等三角形性质推出1BAE ∠=∠，2ABE ∠=∠，代入 3BAE ABE ∠=∠+∠求出即可．
【详解】
证明：（1）∵在BAE △和CAD 中
AE AD AB AC BE DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴
()BAE CAD SSS ≌， ∴1BAE ∠=∠，∴1BAE EAC EAC ∠+∠=∠+∠，
∴BAC EAD ∠=∠．
（2）312∠=∠+∠，
证明：∵BAE CAD △≌△，
∴1BAE ∠=∠，2ABE ∠=∠，
∵3BAE ABE ∠=∠+∠，
∴312∠=∠+∠．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形外角性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等．
23．∠CAQ ＝65°
【分析】
先根据三角形外角和定理求出∠EHQ 的度数，再根据平行的性质和判定证明DE ∥AF ，可以求出∠FAQ 的度数，再由角平分线的性质即可得出结果．
【详解】
解：∵∠EHQ 是△DHQ 的外角，
∴∠EHQ ＝∠1+∠Q ＝65°，
∵BD ∥GE ，
∴∠E ＝∠1＝50°，
∵∠AFG ＝∠1＝50°，
∴∠E ＝∠AFG ，
∴DE ∥AF ，
∴∠FAQ ＝∠EHQ ＝65° ，
∵AQ 平分∠FAC ，
∴ ∠CAQ ＝∠FAQ ＝65°．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，平行线的性质和判定，解题的关键是熟练运用这些性质定理进行求解．
24．（1）见解析；（2）A(
32，52)或(52，-32)． 【分析】
（1）过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ．根据“K 字模型”即可证明AH=DM 和AH=EN ，即EN=DM ，再根据全等三角形的判定和性质即可证明DG=EG ，即点G 是DE 的中点．
（2）分情况讨论①当A 点在OB 的上方时，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．根据“K 字模型”即可证明AC BD OC AD DE ===，，再利用B 点坐标即可求出A 点坐标．②当A 点在OB 的下方时，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．同理即能求出A 点坐标．
【详解】
（1）如图，过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ，则∠DMA=90°，∠ENG=90°．
∵∠BHA=90 ，
∴∠2+∠B=90°．
∵∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠1 ．
在△ABH 和△DAM 中1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABH ≅△DAM （AAS ），
∴AH=DM ．
同理 △ACH ≅△EAN （AAS ），
∴ AH=EN ．
∴EN=DM ．
在△DMG 和△ENG 中MGD NGE DMG ENG DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△DMG ≅△ENG （AAS ）．
∴DG=EG ．
∴点G 是DE 的中点．
（2）根据题意可知有两种情况，A 点分别在OB 的上方和下方．
①当A 点在OB 的上方时，如图，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．
利用“K 字模型”可知ACO BDA ≅，
∴AC BD OC AD DE ===，，
设AC x =，则BD x =，
∵1DE BD BE x =+=+，
∴1OC AD DE x ===+，
又∵4CD AD AC =+=，即14x x ++=， 解得32x =
， ∴32
AC =，35122DE =+=． 即点A 坐标为(
32，52)．
②当A点在OB的下方时，如图，作AP垂直于y轴，BM垂直于x轴，PA和BM的延长线交于点Q．
根据①同理可得：
5
2
AP=，
3
2
MQ=．
即点A坐标为(5
2
，
3
2
-)．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质．熟练利用三角形的判定方法是解答本题的关键．
25．（1）∠BDE＝105°；（2）见解析；（3）全等，理由见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠DEB=∠EBC=35°，再根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据三角形的外角性质得出∠EGH＞∠ABC，又根据平行线的性质得出
∠ABC=∠ADE，即可得出答案；
（3）根据全等三角形判定的“SAS”定理即可得到结论．
【详解】
（1）解：∵DE//BC，∠EBC＝35°，
∴∠DEB＝∠EBC＝35°，
又∵∠BDE+∠DEB+∠DBE＝180°，∠DBE＝40°，
∴∠BDE＝105°；
（2）证明：∵∠EGH是△FBG的外角，
∴∠EGH＞∠ABC，
又∵DE//BC，
∴∠ABC＝∠ADE，
∴∠EGH＞∠ADE；
（3）全等．
证明：E 是AC 和FG 的中点，
∴AE ＝CE ，FE ＝GE ，
在△AFE 和△CEG 中，
AE CE AEF CEG FE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AFE ≌△CGE （SAS ）．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质的应用，全等三角形的判定，三角形内角和定理，能运用三角形外角性质进行推理是解此题的关键．
26．（1）6；35；（2）用等式表示OEA ∠与ACB ∠之间的数量关系是
OEA ∠=ACB ∠．证明见解析．
【分析】
（1）根据示例可求出结果；
（2）过点O 作BC 的平行线交CA 的延长线于点F ．证明△AOF ≌△ABC 可得OF=BC ，即可得OE=OF ，所以∠OEF=∠OFE ，进一步可得结论．
【详解】
解：（1）∵在如图2中，如果OG=4，∠x OG=120°，那么点G 在平面内的位置记为G （4，120°）
∴如果点N 在平面内的位置记为N （6，35°），那么ON=6；xON ∠=35°；
故答案为：6；35；
（2）用等式表示OEA ∠与ACB ∠之间的数量关系是：OEA ∠=ACB ∠.
证明：过点O 作BC 的平行线交CA 的延长线于点F ．
ACB F ∴∠=∠．
∵点A , B 在平面内的位置分别记为(,0)a ︒,(2,0)a ︒,
2OB OA ∴=
OA AB ∴=
在△AOF 和△ABC 中，
,,,ACB F OAF BAC OA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AOF≌△ABC．
∴OF=BC．
∵OE=BC．
∴OE=OF．
∠=∠．
∴F OEA
∠=∠，
又∵ACB F
∠=∠．
∴OEA ACB
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，三角形全等的判定与性质，证明△AOF≌△ABC是解答本题的关键．。