巧用“斜率”

巧用“斜率”
巧用“斜率”
近年来，高考物理对学生数学能力的考查要求逐渐提高，尤其是图像中的斜率问题。

斜率问题有两种类型：一种是图像的斜率表示某一物理量的变化率，另一种是图像的斜率表示某一物理常量。

一、“斜率”表示某一物理量的变化率
1.“斜率”表示物理量随时间的变化率
在“位移─时间”图表中，斜率■表示速度；在“速度—时间”图像中，斜率表示加速度；在“磁通量—时间”图像中，斜率表示感应电动势。

例1.图1为某一运动物体的“速度—时间”图像，其初速度为v0，末速度为vt，加速度为a，则下列说法正确的是（）
a.物体做曲线运动
b.v＞■，a逐渐减小
c.v=■，a逐渐增大
d.v＜■，a逐渐减小
解析：①因为在“速度—时间”图像上，只能表示出在同一直线上的“正”“负”两个方向，所以在“速度—时间”图像上，只能描述物体做直线运动的情况；②如果物体做匀变速运动，该物体速度的直线与时间轴的夹角的正切就表示物体的加速度。

据此，我们可以外延一下：如果物体不做匀变速运动，表示物体运动的图线为一曲线，曲线上每一点的切线与时间轴的夹角为该点的瞬时加速
度。

由图像上可以看出，每点切线与时间t轴的夹角θ的正切，即每点的斜率逐渐减小，所以物体做加速度逐渐减小的运动；③用直线连接表示物体a速度的曲线1的两个端点，连接的直线2表示物体做匀加速直线运动，则由所学知识知道，连线2下面的阴影部分的“面积”s1为匀加速运动的位移，而表示物体a速度的曲线1下方的“面积”s1+s2则表示物体a的位移，因■=■，■＞■，故答案选b。

2.“斜率”表示物理量随空间的变化率
例2.有一垂直纸面向里的非匀强磁场，其感应强度沿y方向不变，而沿x方向均匀减小，减小率为0.05t/m。

一个边长为10cm的长方形铝框，总电阻为0.25ω，铝框平面与磁场方向垂直。

在外力作用下，它以20m/s的速度沿x正方向做匀速直线运动。

求铝框中感应电流的大小。

解析：题意中“减小率为0.05t/m”是指磁感应强度b沿+x方向的变化率，即（■）=0.05t/m。

设某时刻线框左、右两边所处的磁感应强度分别为b1、b2，则该时刻两边产生的电动势分别为
e1=b1lv，e2=b2lv，合电动势e=e1-e2=(b1-b2)lv=△blv，△b 为沿x方向上距l的两点磁感应强度的变化量，大小为△b=（■）l=0.05×0.1=0.005（t）。

所以，铝框中感应电流大小为i=■=■
=0.04(a)。

二、“斜率”表示某一物理常量
1.利用“u—i图像斜率分析电阻值r
例3.一白炽灯泡为220v、60w，加上电压由零渐变到220v。

在此过程中，电压u和电流i的关系可用图像表示，以下四个图像中，符合事实的是（）
图2
解析：“u-i”图像中任一点(i,u)的斜率■就是该状态下的电阻值。

电流越大,温度越高,电阻率越大,因此电阻值越大,斜率也应越大。

a中斜率不变,c中斜率减小,d中斜率先变大后减小,均不符合实验事实,故答案应选b。

2．利用“u-i”图像斜率求电源内电阻r
由闭合电路欧姆定律e=u+ir，可得外电压u随电流i的变化关系为u=-ir+e。

当断路时，路端电压u等于电源电动势e；当短路时，im=■，则图线斜率k=tanθ=r，所以图线斜率的绝对值等于电源的内电阻r。

3．利用“a—f”图像斜率求物体质量m
例4.两物体a、b都静止在同一水平面上，它们的质量分别为ma、mb，与水平面间的动摩擦因数分别为μa、μb。

现用平行于水平面的
拉力f拉a、b，所得两物体加速度a与f关系图像分别如图3所示，则正确的是（）
⑴ma＜mb ⑵ma＞mb ⑶μa＞μb ⑷μa＜μb
a.⑴⑵
b.⑴⑷
c.⑴⑶
d.⑵⑶
解析：由牛顿第二定律得f-μmg=ma，即a=■f-μg。

所以，图像斜率表示质量的倒数，ma＜mb。

图线在纵轴上的截距表示-μg，所以μa＞μb，故答案选c。