函数图象变换及综合运用高三数学总复习教案 新课标 人教版 教案

函数图象变换及综合运用高三数学总复习教案
重点难点分析：
函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面刻画函数的变化规律。

通过函数图象，可以形象地反映函数的性质，利用函数图象既有助于记忆各类初等函数的性质，又可以运用数形结合的方法去解决某些问题。

在中学阶段，画函数图象有两种基本方法，一是描点法，这种方法要与研究函数性质结合起来，切忌画图的随意性；二是图象变换法，它是把常见函数图象与图象变换的知识结合起来，可以研究各种不同函数的性质。

在这一部分，首先应熟悉各种变换规则，并且从各个角度将不同变换方法进行对比，从中总结规律，达到熟练掌握的目的。

例题讲解：例1．若f(x)的图象过(0,1)点，则f-1(x)的图象过________点，f(x+1)的图象
过______点，f-1(x+1)的图象过______点。

分析：由于f(x)的图象与f-1(x)的图象关于直线y=x对称，所以f-1(x)的图象过(1,0)点。

f(x+1)的图象是由f(x)的图象向左平移一个单位得到，而f(x)的图象过(0,1)点，所以
f(x+1)的图象过
(-1,1)点。

f-1(x+1)的图象是由f-1(x)的图象向左平移一个单位得到，而f-1(x)的图象过(1,0)点，所以
f-1(x+1)图象过(0,0)点。

注意：f(x)与f-1(x)图象关于y=x对称，而f(x+1)与f-1(x+1)的图象并不关于y=x对称，事实上它们不是函数与反函数的关系。

读者可以按照上面所说的平移、对称的过程作图，可发
现它们是关于y=x+1对称的。

例2．
1）把函数y=(x-2)2+2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的
函数解析式为_____。

2）将函数y=2x的图象向________平移_________个单位，再作关于直线y=x对称的图象可
得出函数y=log2(x+1)的图象。

分析：关于函数图象变换经常会考察这两个内容，给出函数解析式说明变换过程，或给出
变换过程写解析式。

1)中，把图象左移一个单位，解析式变为y=(x+1-2)2+2=(x-1)2+2,向上平移一个单位，解
析式变为
y=[(x-1)2+2]+1=(x-1)2+3.
2）中，先逆向考虑，y=log2(x+1)图象作关于y=x对称的图象得原函数为y=2x-1，因而应
将y=2x的图象向下平移一个单位得到。

例3．函数y=21-x与y=21+x的图象关于________对称。

分析：（一）把它们都看成是由y=2x作图象变换而得到的。

y=2x y=2x+1.
y=2x y=2-x y=2-(x-1)=21-x.
从而y=21+x与y=21-x图象关于y轴对称。

（二）不妨设f(x)=21+x则f(-x)=21-x.
而f(x)与f(-x)图象关于y轴对称，因而y=21+x图象与y=21-x图象关于y轴对称。

注意：在横轴上的平移，对称，翻折，伸缩等变换，都是相对于自变量x而言，即要分析
前后x发生了什么样的变化，来确定图形的变化。

如y=f(2x)
y=f[2(x-1)]，只能是自变量x减去1，又
y=f(x+1)y=f(-x+1)，负号只能加在自变量x上。

上题中，由y=2-x 到y=2-x+1，并非向左平移一个单位，“+1”仅仅是“-x”加上1，对于自变量x而言，发生的变化是由x变成x-1，因而是向右平移一个单位。

例4．函数y=x2-3|x|+(x∈R)的单调区间有________。

分析：设f(x)=x2-3x+,则y=x2-3|x|+=(|x|)2-3|x|+=f(|x|),
由翻折变换知
因而，函数的增区间有[-，0]和[,+∞)；减区间有(-∞,-]和[0, ].
注意：这两个增区间和减区间不能合并，事实上，y=x2-3|x|+在[-，0]∪[,+∞)不
具有单调性。

例5．已知函数f(x)的图象如图，求作y=f-1(-x+1)的图象。

分析：y=f(x) y=f-1(x)
y=f-1(-x)
y=f-1[-(x-1)]=f-1(1-x).
注意：不能先得到y=f(1-x)再作关于y=x的对称图象，因为y=f(1-x)与y=f-1(1-x)不是互为反函数的关系。

例6．作函数y=的图象。

分析：必须选择好变换的顺序。

y=y= y=
注意：在第二步中，翻折变换是对x而言，因而绝对值应加在x上。

本题不能先翻折再平移，
因为
y= y=y=, 所得
并非所求图象。

例
7．试讨论方程 |x2-4x+3|=a的解的个数(a∈R).
分析：本题采用数形结合的方式。

把方程的解的个数看成函数y=|x2-4x+3|和函数y=a的交点个数。

y=|x2-4x+3|的图象是y＇=x2-4x+3的图象保留x轴以上部分，将x轴以下部分沿x轴翻折上来形成的图象，而y=a是一条垂直于y轴的直线，如图，由图象可知，a<0时，方程无实解。

a=0或a>1时，方程有两个实数解；a=1时，方程有三个实数解；0<a<1时，方程有四个实数解。

例8．给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y=(x∈R,x≠).
求证：这个函数图象关于直线y=x成轴对称图形。

分析：（一）要证明f(x)的图象关于y=x对称，需要证明y=f(x)图象上任意一点P关于
y=x的对称点P＇仍在
y=f(x)的图象上。

因而设P(x0,y0)是y=f(x)上任一点，则y0=，而P(x0,y0)关于直线y=x
的对称点的坐标
为P＇(y0,x0),只需验证P＇(y0,x0)也在y=f(x)上。

∵ f(y0)==
=x0,
∴ (y0,x0)也在y=f(x)的图象上，
∴ y=f(x)=(x∈R,x≠)图象关于y=x对称。

（二）联想到函数与反函数图象之间的关系，我们只需证明函数的反函数就是它本身即可。

从而由
y==()=(1+)
∵x≠, ∴≠0,∴y≠,
反解x，得x=( y≠) 即f-1(x)=(x≠)，
∴ f(x)=f-1(x),又∵ y=f(x)与y=f-1(x)图象关于y=x对称，
∴ y=f(x)=(x≠)的图象关于直线y=x成轴对称图形。

注意：函数与反函数的图象对称是两个函数关于y=x的对称问题，而本题是要证明函数图
象自身关于y=x对称。

例9．已知f(x)当x∈R时恒满足f(2+x)=f(2-x)，若方程f(x)=0恰有5个不同的实数根，
求各根之和。

分析：由f(2+x)=f(2-x)，则y=f(x)图象关于x=2对称，从而
f(x)=0的解若≠2则应成对出现。

由题意，作出草图如右，
∴∴ x1+x2+x3+x4+x5=10.
例10．已知x1是方程x+lgx=3的解，x2是方程x+10x=3的解，则x1+x2=_______.
分析：方程化为lgx=3-x, 10x=3-x,
∴ x1为y=lgx与y=3-x交点横坐标，x2为y=10x与y=3-x交点横坐标，
∵ y=lgx与y=10x互为反函数，其图象关于y=x对称，而y=x与y=3-x垂直，从而，如图
中A、B关于y=x对称，AB中点为M，
联立，可求M(,),
由中点坐标公式，∴x1+x2=3.
例11．若f(x)=|lgx|,当a<b<c时，f(a)>f(c)>f(b).则下列不等式中正确的为（）。

A、(a-1)(c-1)>0
B、ac>1
C、ac=1
D、ac<1
分析：作出y=|lgx|的图象，可知其单调性，
若1<a<b<c，则f(a)<f(b)<f(c).
若0<a<b<c<1, 则f(a)>f(b)>f(c)，与已知矛盾。

∴ a<1, c>1而b不定，又∵|lga|>|lgc|,
∴ -lga>lgc, lga+lgc=lg(ac)<0, ∴ ac<1 ,选D。

例12．已知函数f(x)=.
1)判断f(x)是否存在反函数，若存在，求出f-1(x)。

2)f-1(x)的图象是否过(0,1)点，是否与y=x有交点？
3)求f-1(x)≤f-1(0)的补集。

分析：1）判断函数是否有反函数标准有①是单调函数②确
定函数的映射是一一映射。

y1=单增，y2=-单增。

∴ y=在(0,+∞)上单增，从而它有反函数，
运用极根思想，当x趋于0，趋于0，-趋于-∞，
∴y→-∞，当x→+∞时，→+∞, -→0, ∴y→+∞。

∴函数值域(-∞,+∞)且()2-y-1=0.
或，
∵=|y|≥y,
∴ y+>0,y-<0, ∴,
从而 f-1(x)=()2 (x∈R).
2)显然f-1(x)过(0,1)点，从而f(x)过(1,0)点，而要判断y=f-1(x)与y=x有无交点，只要
判断y=f(x)与y=x有无交点。

作y=f(x)示意图如右：
0<x≤1时，∵f(x)在(0,+∞)单增，∴f(x)≤f(1)=0<x, ∴f(x)<x,
x>1时，f(x)==x.
综上，x>0时，f(x)<x, 从而y=f(x)与y=x无交点，也即y=f-1(x)与y=x无交点。

3) ∵ f-1(x)≤f-1(0)即≤1，解得x≤0.
从另一角度看，y=f(x)与y=f-1(x)具有相同的单调性，∵ y=f(x)在(0,+∞)单增，
∴ y=f-1(x)在R上单增，
∵ f-1(x)≤f-1(0), ∴x≤0.。