高中数学 滚动复习9 5.3 诱导公式课时作业(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数

滚动复习9
一、选择题(每小题5分，共40分) 1．sin(－16π3)的值为( D ) A ．－32B ．－12
C.12
D.32
解析：sin(－16π3)＝－sin 16π3＝－sin(5π＋π3)＝－(－sin π3)＝32，故
选D.
2．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( D )
A ．1
B ．2sin 2α
C ．0
D ．2
解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.
3．已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈(π2，π)，则sin(π＋α)＝( A )
A ．－1－k 2B.1－k 2
C ．±1－k 2
D ．－k
解析：∵cos α＝k ，α∈(π2，π)，∴sin α＝
1－cos 2α＝1－k 2，∴sin(π
＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A.
4．若角α的终边经过点P (sin780°，cos(－330°))，则sin α＝( C ) A.32B.12 C.22D ．1
解析：因为sin780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin60°＝32，cos(－330°)
＝cos(－360°＋30°)＝cos30°＝32，所以P (32，32)，所以sin α＝22.
5．化简sin(α＋π2)·cos(α－3π2)·tan(π2－α)的结果是( C )
A ．1
B ．sin 2α
C ．－cos 2α
D ．－1
解析：因为sin(α＋π2)＝cos α，cos(α－3π2)＝cos[π＋(π2－α)]＝－
sin α，tan(π2－α)＝sin (π2－α)cos (π2－α)
＝cos αsin α，所以原式＝cos α·(－sin α)cos αsin α＝－
cos 2α，选C.
6．若|sin α|＝cos(π2＋α)，则角α的集合为( D )
A ．{α|2k π≤α≤π＋2k π，k ∈Z }
B ．{α|2k π≤α≤π2＋2k π，k ∈Z }
C ．{α|2k π≤α≤3π2＋2k π，k ∈Z }
D ．{α|π＋2k π≤α≤2π＋2k π，k ∈Z }
解析：本题考查三角函数的诱导公式以及三角函数值符号的判
定．∵|sin α|＝cos(π2＋α)＝－sin α，∴sin α≤0，∴角α的集合为{α|π＋
2k π≤α≤2π＋2k π，k ∈Z }，故选D.
7．已知cos29°＝m ，则sin241°tan151°的值是( B )
A.1－m 2m
B.1－m 2
C.m 2－1m D ．－1－m 2
解析：本题考查诱导公式以及平方关系式的应用．∵sin241°＝sin(180°＋61°)＝－sin61°＝－cos29°，tan151°＝tan(180°－29°)＝－tan29°，∴sin241°tan151°＝sin29°＝1－cos 229°＝1－m 2，故选B.
8．k 为整数，化简sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin (k π－θ)·cos (k π＋θ)
的结果是( B )
A ．±1
B ．－1
C ．1
D ．tan θ
解析：当k 为偶数时，设k ＝2n ，n ∈Z ，则
原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin (2n π－θ)·cos (2n π＋θ)＝sin (π＋θ)·cos (π－θ)－sin θ·cos θ
＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ
＝－1.
当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则
原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]
＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin (π－θ)·cos (π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)
＝－1. 综上，原式的值为－1.
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．sin315°－cos135°＋2sin570°的值是－1.
解析：本题考查三角函数的诱导公式的应用．原式＝sin(360°－45°)－cos(180°－45°)＋2sin(360°＋210°)＝－sin45°＋cos45°＋
2sin210°＝－22＋22＋2sin(180°＋30°)＝－2sin30°＝－2×12＝－1.
10．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝－ 3.
解析：本题考查利用三角函数的诱导公式解决求值问题．由cos(π2
＋φ)＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3. 11．给出下列四个结论，其中正确的结论序号是③④.
①sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角；
②若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13；
③若α≠k π2(k ∈Z )，则tan(π2＋α)＝－1tan α；
④若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α＝1.
解析：由诱导公式二，知α∈R 时，sin(π＋α)＝－sin α，所以①错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(2k π－α)＝cos(－α)＝cos α，此
时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos[(2k ＋1)π－α]＝
cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以②错误．若α≠k π2(k ∈Z )，
则tan(π2＋α)＝sin (π2＋α)cos (π2＋α)＝cos α－sin α
＝－1tan α，所以③正确．将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0.若sin α＝0，则cos α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1；若cos α＝0，则sin α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1，故sin n α＋cos n α＝1.所以④正确．
三、解答题(共45分)
12．(15分)化简：cos (π－θ)
cos θ[sin (3π2－θ)－1]＋
cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin (π2＋θ)－sin (3π2＋θ)
. 解：原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ
＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ
(1＋cos θ)(1－cos θ)＝21－cos 2θ
＝2sin 2θ.
13．(15分)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象
限角，求sin (－α－3π2)cos (3π2－α)
cos (π2－α)sin (π2＋α)
·tan 2(π－α)的值． 解：原式＝－sin (π＋π2＋α)cos (π＋π2－α)
sin αcos α
·tan 2α ＝－sin (π2＋α)cos (π2－α)sin αcos α·tan 2α＝－cos αsin αsin αcos α
·tan 2α＝－tan 2α. ∵方程5x 2
－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2. 又α是第三象限角，
∴sin α＝－35，cos α＝－45.
∴tan α＝34，故原式＝－tan 2α＝－916.
14．(15分)已知A ，B ，C 为△ABC 的内角．
(1)求证：cos 2
A ＋
B 2＋cos 2
C 2＝1； (2)若cos(π2＋A )sin(3π2＋B )tan(C －π)<0，求证：△ABC 为钝角三
角形．
证明：(1)∵在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，∴A ＋B 2＝π2－C 2，
∴cos A ＋B 2＝cos(π2－C 2)＝sin C 2.
∴cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝sin 2C 2＋cos 2C 2＝1. (2)∵cos(π2＋A )sin(3π2＋B )tan(C －π)<0，
∴－sin A ·(－cos B )·tan C <0，即sin A cos B tan C <0. 又A ，B ，C ∈(0，π)，∴sin A >0，∴cos B tan C <0， 即cos B <0，tan C >0或tan C <0，cos B >0，
∴B 为钝角或C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．。