2017届高三数学一轮复习课件：2-2 函数的单调性与最值

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考点例析 对点微练
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判断(或证明)函数的单调性
【典例 1】讨论函数 f(x)＝x2a－x 1(a＞0)在 x∈(－1,1)上的单调性。
解析：法一(定义法) 设－1＜x1＜x2＜1， 则 f(x1)－f(x2)＝x21a－x11－x22a－x21 ＝ax1x22－x21－ax11－xa22x－2x121＋ ax2 ＝axx221－－x11xx122x－2＋11。 ∵－1＜x1＜x2＜1，a＞0， ∴x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，(x21－1)(x22－1)＞0。 ∴f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， 故函数 f(x)在(－1,1)上为减函数。
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法二(导数法) f′(x)＝ax2－x2－1－122ax2＝－xa2－x2＋121。 当 a＞0 时，f′(x)＜0； 所以当 a＞0 时，f(x)在(－1,1)上是递减的。
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[规律方法] 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解。 (2)可导函数则可以利用导数判断。但是，对于抽象函数单调性的证明，只 能采用定义法进行判断。
(3)若 f(x)是增函数，g(x)是增函数，则 f(x)·g(x)也是增函数。(× ) 解析：错误。举反例：设 f(x)＝x，g(x)＝x－2 都是定义域 R 上的增函数， 但是 f(x)·g(x)＝x2－2x 在 R 上不是增函数。 (4)已知函数 y＝f(x)在 R 上是增函数，则函数 y＝f(－x)在 R 上是减函 数。( √ ) 解析：正确。易知函数 y＝f(x)与 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对称，由对称 性可知结论正确。
当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数，故选 C。
答案：C
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求函数的单调区间
【典例 2】求下列函数的单调区间： (1)y＝－x2＋2|x|＋1；
－x2＋2x＋1，x≥0， 解析：(1)由于 y＝－x2－2x＋1，x＜0，
－x－12＋2，x≥0， 即 y＝－x＋12＋2，x＜0。 画出函数图象如图所示，单调递增区间 为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)。
因为 x2－x＋1＝x－122＋34， 所以－13≤1－x2－1x＋1＜1，即－13≤y＜1。
故函数的最小值为－13。
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(2)令 t＝ x，则 t≥0，所以 y＝t－t2＝－t－122＋14，结合图象，当 t ＝12，即 x＝14时，ymax＝14。
(3)当 x≥1 时，函数 f(x)＝1x为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值， 为 f(1)＝1；当 x＜1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值， 为 f(0)＝2，故函数 f(x)的最大值为 2。
2
又 u＝x2－3x＋2 的对称轴 x＝32，且开口向上。
∴u＝x2－3x＋2 在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调
增函数。
而 y＝log1 u 在(0，＋∞)上是单调减函数，
2
∴y＝log1 (x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为
2
(－∞，1)。
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(2)y＝log1 (x2－3x＋2)。
2
解析：(2)令 u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作 y＝log1 u 与 u＝x2－3x＋2 的复合函数。
2
令 u＝x2－3x＋2＞0，则 x＜1 或 x＞2。
∴函数 y＝log1 (x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)。
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【微练 2】(1)函数 f(x)＝|x－2|x 的单调减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
(2)函数 f(x)＝(3－x2)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－3,1)
D．(－∞，－3)和(1，＋∞)
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【微练 1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－x＋1 1
D．f(x)＝－|x|
解析：当 x＞0 时，f(x)＝3－x 为减函数；
当 x∈0，23时，f(x)＝x2－3x 为减函数， 当 x∈23，＋∞时，f(x)＝x2－3x 为增函数； 当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－x＋1 1为增函数；
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[规律方法] 求函数最值的常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值。 (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值。 (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件 后用基本不等式求出最值。
第二十五页，编辑于星期六：点Βιβλιοθήκη 五十七分。()A．2
B．－2
C．2 或－2
D．0
解析：当 a>0 时，由题意得 2a＋1－(a＋1)＝2，即 a＝2；当 a<0 时，a＋1 －(2a＋1)＝2，即 a＝－2，所以 a＝±2，故选 C。
答案：C
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4．函数 f(x)＝log1 (x2－4)的单调递增区间为______。
【微练 3】函数 f(x)＝xx2－＋18(x＞1)的最小值为________。
解析：方法一：(基本不等式法) f(x)＝xx2－＋18＝x－12＋x－21x－1＋9＝(x－1)＋ x－9 1＋2
≥2 x－1·x－9 1＋2＝8， 当且仅当 x－1＝x－9 1，即 x＝4 时，f(x)min＝8。 方法二：(导数法) f′(x)＝x－x4－1x＋2 2， 令 f′(x)＝0，得 x＝4 或 x＝－2(舍去)。 当 1＜x＜4 时，f′(x)＜0， f(x)在(1,4)上递减； 当 x＞4 时，f′(x)＞0，f(x)在(4，＋∞)上递增， 所以 f(x)在 x＝4 处取到最小值， 即 f(x)min＝f(4)＝8。 答案：8
x2－2x，x≥2， 解析：(1)由于 f(x)＝|x－2|x＝－x2＋2x，x＜2。 结合图象可知函数的单 调递减区间是[1,2]，故选 A。 (2)f′(x)＝－2x·ex＋ex(3－x2)＝ex(－x2－2x＋3)＝ex[－(x＋3)(x－1)]。当－3 ＜x＜1 时，f′(x)＞0，所以函数 y＝(3－x2)ex 的单调递增区间是(－3,1)，故选 C。 答案：(1)A (2)C
2
解析：函数 y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)， 因为函数 y＝f(x)由 y＝log1 t 与 t＝g(x)＝x2－4 复合而成，
2
又 y＝log1 t 在(0，＋∞)上单调递减，
2
g(x)在(－∞，－2)上单调递减， 所以函数 y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增。 答案：(－∞，－2)
x1< x 2⇔f(x1)<f(x2) 函数图象上升的
导数法
导数大于零
运算法
递增＋递增
复合法 内外层单调性相同
区间 D 上单调递减 x1< x 2⇔f(x1)>f(x2) 函数图象下降的
导数小于零 递减＋递减 内外层单调性相反
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二、小题查验 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 y＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)。( × ) 解析：错误。一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并 集符号“∪”连接，也不能用“或”连接。
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2．下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是( ) A．y＝e－x B．y＝x3 C．y＝lnx D．y＝|x|
解析：由所给选项知只有 y＝x3 的定义域是 R 且为增函数，故选 B。 答案：B
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3．若函数 y＝ax＋1 在[1,2]上的最大值与最小值的差为 2，则实数 a 的值是
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微知识❸ 函数的最大值与最小值 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： (1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M ；存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M ， 那么，我们称 M 是函数 y＝f(x)的最大值。 (2)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M ；存在 x0∈I，使得f(x0)＝M ， 那么我们称 M 是函数 y＝f(x)的最小值。 微知识❹ 函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x 2∈D(x1≠x 2)，则 (1)fxx11－ －fx2x2>0(或x1－x2fx1－fx2>0⇔f(x)在 D 上单调递增； (2)fxx11－ －fx2x2<0(或x1－x2fx1－fx2<0⇔f(x)在 D 上单调递减。
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求函数的最值
【典例 3】(1)函数 y＝x2x－2－x＋x 1的最小值1 为__－__13____。 (2)函数 y＝ x－x(x≥0)的最大值为___4_____。
(3)函数 f(x)＝1x，x≥1，
的最大值为___2___。
－x2＋2，x＜1
解析：(1)y＝x2x－2－x＋x 1＝1－x2－1x＋1。
第二章 函数、导数及其应用
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第二节 函数的单调性与最值
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一、知识清单 微知识❶ 增函数与减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I： (1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个 自变量的值 x1，x2， 当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 增函数 。 (2)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个 自变量的值 x1， x2，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 减函数 。 微知识❷ 单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x) 在这一区间具有(严格的) 单调性 ，区间 D 叫做 y＝f(x)的 单调区间 。
(2)函数 f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数 f(x)的单调递增区间为[a， b]。( × )
解析：错误。f(x)在区间[a，b]上是递增的并不能排除 f(x)在其他区间上 也是递增的，而 f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着 f(x)在其他区间上不可能 是增加的。
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5．设 a 为常数，函数 f(x)＝x2－4x＋3。若 f(x＋a)在[0，＋∞)上是增函数， 则 a 的取值范围是________。
解析：∵f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴f(x＋a)＝(x＋a－2)2－1， 且当 x∈[2－a，＋∞)时，函数 f(x＋a)单调递增， 因此 2－a≤0，即 a≥2。 答案：[2，＋∞)
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微知识❺ 对勾函数的单调性 对勾函数 y＝x＋ax(a>0)的递增区间为(－∞，－ a]和[ a，＋∞)；递 减区间为[－ a，0)和(0， a]，且对勾函数为奇函数。
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微知识❻ 函数单调性常用结论
区间 D 上单调递增
定义法 图象法
[规律方法] 求函数单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单 调区间。 (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求单调区间。 (3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图 象的直观性写出它的单调区间。 (4)导数法：利用导数值的正负确定函数的单调区间。 提醒：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单 调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结。