四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期第一次月考试题 理

四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期第一次月考试题理
第I卷(选择题共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合
，则
A. B.
C. D.
2.设命题，则为
A. B.
C. D.
3.已知，复数，，且为实数，则
A. B. C. 3 D. -3
4.“m＝﹣2”是“直线2x+（m﹣2）y+3＝0与直线（6﹣m）x+（2﹣m）y﹣5＝0垂直”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，1)内是增函数的是
A. B. C. D.
6.设等比数列的前项和为，若，，则
A. 63
B. 62
C. 61
D. 60
7.已知，则
A. B. C. D.
8.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cōng），周四丈八尺，高一丈一尺。

问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8
尺，高1丈1尺。

问它的体积是（）？”（注：1丈=10尺，取）
A. 704立方尺
B. 2112立方尺
C. 2115立方尺
D. 2118立方尺
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A. 264
B. 270
C. 274
D. 282
10.设：关于的方程有解；：关于的不等式对于
恒成立，则是的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也
不必要条件
11.已知双曲线的左右焦点分别为，，斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点，若，则双曲线的离心率是
A. B. C. 2 D.
12.已知定义在上的函数满足，且，则
的解集是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.已知的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______.
14.在某次语文考试中，、、三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，C说：“没有得优秀”；说：“我得了优秀”；说：“说得是真话”。

事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．
15.幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______.
16.定义在上的函数的导函数为，.若对任意，都有
，则使得成立的的取值范围为______.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（本大题满分12分）
如图，已知的内角，，的对边分别是，，，且，点是的中点，，交于点，且，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的面积.
18.（本大题满分12分）
已知四棱锥中，底面，，，，.
（Ⅰ）当变化时，点到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）当直线与平面所成的角为45°时，求二面角的余弦值.
19.（本大题满分12分）
在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若圆与直线交于，两点，且，求的值．
20.（本大题满分12分）
随着“北京八分钟”在韩国平昌冬奥会惊艳亮相，冬奥会正式进入了北京周期，全社会对冬奥会的热情空前高涨.
（Ⅰ）为迎接冬奥会，某社区积极推动冬奥会项目在社区青少年中的普及，并统计了近五年来本社区冬奥项目青少年爱好者的人数（单位：人）与时间（单位：年），列表如下：
依据表格给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明(计算结果精确到0.01).
(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式，参考数据
.
（Ⅱ）某冰雪运动用品专营店为吸引广大冰雪爱好者，特推出两种促销方案.
方案一:每满600元可减100元；
方案二:金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折. v
两位顾客都购买了1050元的产品，并且都选择第二种优惠方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；
②如果你打算购买1000元的冰雪运动用品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
21.（本大题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：当时，，．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取最大值时的值
23.已知函数，，为实数.（10分）
（Ⅰ）若，，求不等式的解集；
（Ⅱ）当，时，函数的最大值为7，求的最小值.
2021-2022度秋四川省宜宾市四中高三第一学月考试
理科数学试题答案
1.C
2.B
3.B
4.A
5.D
6.A
7.B
8.B
9.A 10.B 11.B 12.A
13.15 14.C 15.2 16.
17.解（1），由得
，
由余弦定理得，
，:
（2）连接，如下图：是的中点，，，
，
在中，由正弦定理得，
，，
，，
，，，
，，
，
18.（1）由，，知，则，
由面，面得，由，，面，则面，则点到平面的距离为一个定值，.
（2）由面，为在平面上的射影，则为直线与平面所成的角，则，所以.
由，得，故直线、、两两垂直，因此，以点
为坐标原点，以、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间
直角坐标系，易得，，，于是，，设平面的法向量为，则，即，取，
则
，，于是；显然为平面的一个法向量，于是，
分析知二面角的余弦值为.
19.解：（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为
．故可设的圆心为，则有
，解得．则圆的半径为，所以圆的方程为．
（2）设，，其坐标满足方程组
消去，得方程．
由已知可得，判别式，且，
．①
由于，可得．
又，
所以．②
由①②得，满足，故．
20.（1）由题知，，，
，
∴
.
∴与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.
（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件，则，
故所求概率为.
②若选择方案一，则需付款元，
若选择方案二，设付款元，则可能取值为700,800,900，1000.
；
；
；
.
∴元，
∵，∴选择方案二更划算.
21.（1）解：由题意知，，. 当时，对恒成立，
所以当时，；当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由题意知，即证当时，对任意，
恒成立，
令，，
所以，.
因为，，则，所以函数在上单调递减，
所以，
当时，，.
22.（1）由得，
将代入得：
，故曲线的极坐标方程为.
由得，
将代入得，故曲线的直角坐标方程为. （2）设点、的极坐标分别为，，
将分别代入曲线、极坐标方程得：，，则
，其
中为锐角，且满足，，当时，取最大值，此时，
23.（1）由题，即，（1）
当时，由（1）式可得，故此时；
当时，由（1）式可得，故此时；
当时，由（1）式可得，故此时；
综上所述，不等式的解集为.
（2）因为，
故，即，所以，
则，当且仅当，时取等号，
所以的最小值为.。