吉林省长春市市第二十九中学2022年高三数学文联考试题含解析

吉林省长春市市第二十九中学2022年高三数学文联考试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形
成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点为中心﹐其中﹐分别为原点到两个顶点的向
量﹒若将原点到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为的形式﹐则的最大值为（）。

A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
D
知识点：向量的表示；分类讨论.
解析：解：
因为若求的最大值﹐所以考虑右图中的6个顶点之向量即可﹒
讨论如下﹕
(1) 若﹐故﹒
(2) 若﹐故﹒
(3) 若﹐故﹒(4) 若﹐故﹒
(5) 若﹐故﹒
(6) 若﹐故﹒
因此﹐的最大值为﹒故选D﹒
思路点拨：根据题意分类讨论即可.
2. 284和1024的最小公倍数
是
（）
A．1024 B．142 C．72704 D．568
参考答案：
C
3. 对于函数则下列正确的是（）
A．该函数的值域是[－1，1]
B．当且仅当时，该函数取得最大值1
C．当且仅当
D．该函数是以π为最小正周期的周期函数
参考答案：
C
略
4. 已知命题，，那么命题为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
略
5. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
参考答案：
C
略
6. 函数在上的图象是
参考答案：
A
因为函数为偶函数，所以图象关于轴对称，所以排除D. ,排除B. ,排除C,所以选A.
7. 若点P是函数上任意一点，则点P到直线的最小距离为（）A．B．C．D．3
参考答案：
A
略
8. 在中，D为BC中点，若，，则的最小值是( )
(A) (B) (C) (D) 参考答案：
D
9. 在△ABC中，已知，，，则△ABC的面积等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
因为△ABC中,已知A=30°,C=45°,所以B=180°?30°?45°=105°.
因为a=2,也由正弦定理.
所以△ABC的面积，
10.
不等式的解集是（）
A． B． (2,)
C． D．
参考答案：
答案：A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在
，此时圆上一点的位置在
，圆在轴上沿正向滚动。

当圆滚动到圆心位于
时，
的坐标为
______________.
参考答案：
因为圆心移动的距离为2，所以劣弧，即圆心角,
,
则
,所以
，，所以
，
，所以。

12. 直线与圆相切，则
k=
参考答案：
【知识点】点到直线距离
.H2
【答案解析】0 解析：圆心到直线距离
【思路点拨】利用点到直线距离公式计算即可.
13.
己知抛物线M 的开口向下，其焦点是双曲线的一个焦点，则
M 的标准方程
为 .
参考答案：
14. 函数在区间上的值域是 。

参考答案：
略
15. 已知函数
（）的一段图象如右图所示，则函数的解析式
为 ，
=
参考答案：
；
16. 在
中，角
所对的边分别为
且
，
，若
,则
的取值范围是 .
参考答案：
17. 已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则
________________.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在三棱锥P -ABC 中，底面ABC ，．点D 、E 、N 分别为棱PA 、PC 、BC
的中点，M是线段AD的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．
参考答案：
（1）见解析；（2）；（3）4
【分析】
（1）取中点，连接、，证明平面平面得到答案.
（2）以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案. （3）设，则，，，利用夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）取中点，连接、，∵为中点，∴，
∵平面，平面，∴平面．
∵为中点，∴，又、分别为、的中点，∴，则．
∵平面，平面，∴平面．
又，平面，平面
∴平面平面，又平面，则平面．
（2）∵底面，．
∴以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．∵，，
∴，，，，，，
则，，设平面的一个法向量为，
由，得，取，得．
由图可得平面的一个法向量为．
∴．
∴二面角的余弦值为，则正弦值为．
（3）设，则，，．
∵直线与直线所成角的余弦值为，
∴．
解得：或（舍）．
∴当与重合时直线与直线所成角的余弦值为，此时线段的长为4．
【点睛】本题考查了线面平行，二面角，异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
19. 在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．
（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a的值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ
整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1
直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0
（Ⅱ）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：
直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，
所以：
2|3a﹣16|=5|a|，
利用平方法解得：a=32或．
20. （12分）
设抛物线C：y2=2x，点A (2,0)，A(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
⑴当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
⑵证明：∠ABM=∠ABN．
参考答案：
解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．
所以直线BM的方程为y=或．
（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．
当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．
直线BM，BN的斜率之和为
．①
将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
．
所以k BM+k BN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN．
综上，∠ABM=∠ABN．
21. 已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=k（x﹣1）（k∈R）．
（1）若两个实数a，b满足0＜a＜b，且f（a）=f（b），求4a﹣b的取值范围；
（2）证明：当k＜1时，存在x0＞1，使得对任意的x∈（1，x0），恒有f（x）＞g（x）；
（3）已知0＜a＜b，证明：存在x0∈（a，b），使得．
参考答案：
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）由题意可得4a﹣b=﹣b，利用函数的单调性即可求出4a﹣b的取值范围，
（2）令g（x）=lnx﹣k（x﹣1），x∈（1，+∞），求导，利用导数和函数的单调性和最值得关系即可求出，
（3）问题转化为h（a）＞0且h（b）＜0，即证＜＜．再构造函数，利用单调性即可证明．
【解答】解：（1）由0＜a＜b，且f（a）=f（b）得a=，（b＞1），
故有4a﹣b=﹣b，b＞1，
易知函数y=﹣b在（1，+∞）上单调递减，
而b=1时y=3；b→+∞时，y→﹣∞，
所以，4a﹣b的取值范围是（﹣∞，3）；
（2）证明：令g（x）=lnx﹣k（x﹣1），x∈（1，+∞），
则有g′（x）=﹣k=，x∈（1，+∞），当k≤0或k≥1 时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=0，?x∈（1，+∞）均满足题意；
当0＜k＜1时，＞1，令g′（x）＞0，得1＜x＜，
令g′（x）＜0，解得：x＞，
故g（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减，
取x0=，对任意，有g′（x）＞0，从而g（x）在（1，+∞），上单调递增，
所以 g（x）＞g（1）=0，即f（x）＞g（x）．
综上，当k＜1时，存在x0＞1，使得对任意的x∈（1，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）证明：记h（x）=﹣，
要证存在x0∈（a，b），使得，
即证函数h（x）在（a，b）上存在零点．
因h（x）在（0，+∞）上单调递减，
故只需证h（a）＞0且h（b）＜0，即证＜＜．①，
下证：当0＜a＜b时，①式成立．
记M（x）=lnx﹣x+1，x＞0，
由M′（x）==1=，
可得M（x）在（0，1）上单调增，（1，+∞）上单调减，
由0＜a＜b，得＞1，0＜＜1，
从而有f（）＞f（1）且f（）＜f（1），
即有ln﹣+1＞0且ln﹣+1＜0，
化简得＜lnb﹣lna＜
．
又b﹣a＞0，故有证＜＜．成立．
22. 函数f（x）=，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直（其中e 为自然对数的底数）．
（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；
（2）求证：当x＞1时，＞．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a=1，求导数，求单调区间和极值，令m＜1＜m+1，解不等式即可得到取值范围；
（2）不等式＞即为?＞，令g（x）
=，通过导数，求得＞，令h（x）=，运用导数证得h（x）＜h（1）=，原不等式即可得证．
【解答】解：（1）∵f′（x）=，
f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为﹣，
由切线与直线e2x﹣y+e=0垂直，
可得f′（e）=﹣，即有﹣=﹣
解得得a=1，
∴f（x）=，f′（x）=﹣（x＞0）
当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
∴x=1是函数f（x）的极大值点
又f（x）在（m，m+1）上存在极值
∴m＜1＜m+1 即0＜m＜1故实数m的取值范围是（0，1）；
（2）不等式＞
即为?＞
令g（x）=
则g′（x）=，
再令φ（x）=x﹣lnx，则φ′（x）=1﹣=，
∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴x＞1时，g（x）＞g（1）=2
故＞．
令h（x）=，则h′（x）=，
∵x＞1∴1﹣e x＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数
∴x＞1时，h（x）＜h（1）=，
所以＞h（x），即＞．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值，同时考查构造函数求导数，判断单调性，运用单调性证明不等式，属于中档题．。