六年级下册奥数讲义-奥数方法：筛选法

解某些数学题时，根据题目的条件不易找到答案，这时我们可以考虑
所有可能的答案，然后进行检验，排除所有不正确的答案，筛选出题目的
答案。

这种解题方法叫做筛选法。

筛选法适用于可能答案为有限个或可以确定答案范围的数学问题，
其解题步骤一般为先根据一部分条件求出所有可能的答案(或范围)，然
后根据另一部分条件检验，排除不合适的，便可找到问题的答案。

[例1] 六(1)班同学连带队老师共49人去水上公园坐船游园。

游
船中甲种船限载5人，租金6元；乙种船限载3人，租金4元。

带队老师用
了最省钱的租船方案，那么，他们共租甲种船租乙种船共用租金
分析与解答
因为6÷5=1．2(元)，而4÷3=昕以要使钱最省，必须多租
甲船，故有三种方案:
方案一，租用甲种船10只，可载人5×10=50(人)，租金为10×6=6D(元) 方案二，租9只甲种船，2只乙种船，可载人9×5+2×3=51(人)，租
金为9×6+2×4=62(元)
方案三，租8只甲种船，3只乙种船，可载人5×8+3×3=49(人)，租
金为8×6+3×4=60(元)
故可租甲种船10只，或甲种船8只和乙种船3只，共用租金60元。

[例2]把一张纸剪成6块，从所得的纸片中取出若干块，每块各剪
成6块，再从所有的纸片中取出若干块，每块各剪成6块……如此进行下去，到剪完某一次后停止。

所得的纸片总数有可能是2000，2001，2002，2003这四个数中的．
分析与解:
由题意可知，在原来6块的基础上，拿出若干块，每块各剪成6块，即除去原来的若干块，增加若干个5块，所得的纸片总数应是6+5n块，也就是说，这个数减去6后能被5整除，或被5除余1，在2000，2001，2002，2003这四个数中，只有2001被5除余1，所以是2001。

[例3]一个四位数是一个平方数，并且前两位数字相同，后两位数
字也相同，求这个四位数。

思路剖析
本题可先根据条件:“一个四位数是一个平方数”列出所有可能的答案，然后进行筛选，得出本题的解。

[例4] 已知蟋蟀有6只脚，蜘蛛有8只脚，一个盒子里的蟋蟀与蜘蛛共有46只脚，问蟋蟀与蜘蛛各有多少只?
思路剖析
先根据条件蟋蟀与蜘蛛共有46只脚。

考虑蜘蛛的只数有哪些可能
性，一一列举，然后进行筛选。

解答
因为蟋蟀与蜘蛛共有46只脚，所以蜘蛛的只数只可能为1、2、3、4、5。

见表1。

对这六种情况逐一考察，根据蟋蟀的脚数应该是6的倍数，可得两解，蜘蛛两只，蟋蟀5只；或蜘蛛5只，蟋蟀1只。

[例5】写出12个都是合数的连续自然数。

思路剖析
我们在寻找质数的过程中，可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数:90、91、92、93、94、95、96。

我们把筛选法继续运用下去，把考查的
范围扩大一些就行了。

解答
用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数:
114，115，116，117，118，119，120，
121，122，123，124，125，126。

[例6] 有30枚贰分硬币和8枚伍分硬币，用这些硬币不能构成的1 分到l元之间的币值有多少种?
思路剖析
1分到1元的币值共100种，故剔除按题中条件可以构成的币值，便可求出本题答案。

解答
因为38枚硬币的总币值为100分(即1元)，除50与100外，其余98 种币值均可两两配对，即:(1，99)，(2，98)，(3，97)，…，(49，51)。

每一对币值中若有一个可用这38枚硬币中的部分硬币构成，则与之配对的另一个可以用余下的硬币构成。

显然有:2分，4分，6分，…，48分这24种偶数币值可以用若干枚贰分币构成。

在上述构成方法上，用一枚伍分币换去两枚贰分币便可构成5 分，7分，9分，…，49分这23种奇数币值。

另50分和100分均可构成。

故不能构成的币值有
100-(24+23)×2-2=4(种)即1分、3分、97分、99分。

思路剖析
本题宜采用穷举和删选相结合的办法来解。

先列出1—99这99个数的平方，再用删选法缩小范围，在剩下的数中进行适当组合，求出答案。

[例8] 在1至100的自然数中，不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数，占这100个自然数的百分之几?
思路剖析
此题我们可以根据题意，先找出1至100的自然数中，或能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的自然数的个数。

就能知道本题的答案。

显然剔除这些数后，剩下的数均符合条件。

所以，在1至100的自然数中，不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的自然数有100- 74=26(个)，占这100个自然数的26％。

点津
同枚举法类似，运用筛选法解题同样必须考虑到既不重复也无遗游的问题，即一方面要考虑到所有可能的答案，另一方面要剔除掉所有不符合条件的答案，这就要求我们能综合考虑题意，并能善于结合运用分类、枚举、表格、图示等多种方法。

1．在口里填上适当的数字，使七位数口1992口口能同时被9、25、8整除。

2．从1到400的所有自然数中，不合数字3的自然数有多少个?
3．已知x是大于1的数，下面各等式中哪一个有可能成立:
(A)x+x=x·x (B)x+x=x÷x
(C)x-x=x·x (D)x·x=x÷x
4．一个两位质数的十位数和个位数都是质数，这样的数有哪些?
5．两个学校一校和二校有同样多的同学参加数学竞赛，学校准备用汽车把学生送往考场，一校用的汽车，每车坐15人，二校用的汽车，每车坐13人，结果二校比一校要多派一辆汽车，后来，各校各增加一人参加竞赛，这样，两校需要的汽车一样多，最后，又决定每校再各增1人，二校又要比一校多派一辆汽车，问最后两校共有多少人参加竞赛?
6．是三个最简真分数，如果这三个分数的分子都加上C，则三个分数的和为6，求这三个真分数。

7．如图l所示小明的学期考试成绩单给小红弄污了，请你帮他算．
英语成绩和平均成绩。

8．如果在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，并且要求这个数值尽可能小，求这个六位数是多少?
9．一次数学考试都是填空题，小明答错的恰是题目总数的小勇答错5题，两人都答错的题目占总数的已知小明、小勇都答对的题目数
超过了试题总数的一半，那么他们都答对了多少题?
10．学校先后举行了60米跑、跳远、跳绳三种比赛。

据统计，参加60 米跑的有807人，跳远的739人，跳绳的437人；其中，同时参加60米跑、跳远的593人，同时参加跳远、跳绳的371人，同时参加60米跑、跳绳的267人；其中又有213人参加了全部三项比赛，求参赛学生的总人数?。