2019-2020学年江西省景德镇市数学高二下期末教学质量检测试题含解析

2019-2020学年江西省景德镇市数学高二(下)期末教学质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知随机变量ξ服从正态分布2(12)B ，，若(2)0.8P ξ≤=，则(02)P ξ≤≤=（ ） A ．1
B ．0.8
C ．0.6
D ．0.3
2．已知函数ln ,0
(),0
x x f x ax x >⎧=⎨⎩…，若方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．（0，+∞）
B ．（0，1）
C ．（－∞，0）
D ．（0，
1
e
） 3．安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A ．120种
B ．180种
C ．240种
D ．480种
4．在三棱锥S ABC -中，41SA BC ==，5SB AC ==，34SC AB ==，则三棱锥S ABC -外接
球的表面积为（ ） A ．25π
B ．100
C ．50π
D ．502π
5．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，
2π
,43
BAC AP ∠==，23AB AC ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π
B ．48π
C ．64π
D ．72π 6．已知空间向量 向量且
,则不可能是
A ．
B ．1
C ．
D ．4
7．为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点.已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
8．设随机变量ξ服从正态分布()1,4N ，且()20.3P ξ>=，则()01P ξ<<=（ ） A ．0.15
B ．0.2
C ．0.4
D ．0.7
9．已知命题:p x R ∀∈，1sin x e x ≥+.则命题p ⌝为（ ） A ．x R ∀∈，1sin x e x <+
B ．x R ∀∈，1sin x e x ≤+
C ．0x R ∃∈，0
01sin x e
x ≤+ D ．0x R ∃∈，0
01sin x e
x <+
10．若关于x 的不等式2ln 0ax x x --≥恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(1,)+∞
B ．[
)1,+∞
C ．(,)e +∞
D ．[),e +∞
11．设有下面四个命题
1:p 若1x >，则0.30.3x >；
2:p 若()~4,0.3X B ，则()0.84D X =； 3:p 若ln 1x x +>，则1x >；
4:p 若()2~3,X N σ，则()()25P X P X <>>.
其中真命题的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．用反证法证明命题“若1x <-，则2230x x -->”时，正确的反设为（ ） A ．x ≤﹣1
B ．x ≥﹣1
C ．x 2﹣2x ﹣3≤0
D ．x 2﹣2x ﹣3≥0
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数.若存在实数t ，对任意的[]1,x m ∈，都有()()1ln f x t f x +≤+，则正整数m 的最大值为__________．
14．学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下：
甲说：“A 作品获得一等奖”； 乙说：“C 作品获得一等奖”； 丙说：“,B D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“A 或D 作品获得一等奖”. 评奖揭晓后发现这四位同学中只有两位预测正确，则获得一等奖的作品是_______. 15．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若
3376
S T =，则22a
b =__________．
16．命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立；命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立.若命题p q ∧为真，则实数a 的取值范围为___________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．某中学学生会由8名同学组成，其中一年级有2人，二年级有3人，三年级有3人，现从这8人中任意选取2人参加一项活动.
（1）求这2人来自两个不同年级的概率；
（2）设X 表示选到三年级学生的人数，求X 的分布列和数学期望.
18．在直角坐标系xOy 中，()()2,0,2,0A B -，不在x 轴上的动点C 满足,AC BC CD AB ⊥⊥于点,D P 为CD 的中点。

(1)求点P 的轨迹E 的方程；
(2)设曲线E 与y 轴正半轴的交点为H ，斜率为
1
2
的直线交E 于,M N 两点，记直线,MH BN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k +是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

19．（6分）从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则实验结束
(1)求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率； (2)记实验次数为X ，求X 的分布列及数学期望．
20．（6分）在直角坐标系xOy
中，直线的参数方程为1222x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C
的极坐标方程为ρ= （1）若l 与C 相交于,A B 两点，()2,0P -，求PA PB ⋅；
（2）圆M 的圆心在极轴上，且圆M 经过极点，若l 被圆M 截得的弦长为1，求圆M 的半径． 21．（6分）已知函数f （x ）＝|x ﹣a|+2a ，且不等式f （x ）≤4的解集为{x|﹣1≤x ≤3}． （1）求实数a 的值．
（2）若存在实数x 0，使f （x 0）≤5m 2+m ﹣f （﹣x 0）成立，求实数m 的取值范围． 22．（8分）已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】
因()20.8P ξ≤=，故由正态分布的对称性可知()() (
2)0.2022120.6P P P ξξξ>=⇒≤≤=≤≤=，
应选答案C 。

2．D 【解析】 【分析】
由方程的解与函数图象的交点关系得：方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根等价于()y f x =的图象与()()y g x f x ==--的图象有5个交点，作图可知，只需y ax =与曲线y lnx =在第一象限有两个交点即可。

利用导数求过某点的切线方程得：过原点的直线与y lnx =相切的直线方程为1
y
x e
=，即所求a 的取值范围为1
0a e
<<，得解． 【详解】
设()()g x f x =--，则()y g x =的图象与()y f x =的图象关于原点对称，
方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根等价于函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有5个交点，由图可知，只需y ax =与曲线y lnx =在第一象限有两个交点即可， 设过原点的直线与y lnx =切于点0(P x ，0)y ，由1()f x x
'=， 则过原点的直线与y lnx =相切，000
1
()y lnx x x x -=-， 又此直线过点(0,0)，所以01lnx =， 所以0x e =，即f '（e ）1e
=
， 即过原点的直线与y lnx =相切的直线方程为1
y x e
=， 即所求a 的取值范围为1
0a e
<<，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了方程的解与函数图象的交点个数问题的关系应用及利用导数求切线方程。

3．C
【解析】 【分析】
根据题意，分两步进行分析：先将5项工作分成4组，再将分好的4组进行全排，对应4名志愿者，分别求出每一步的情况数，由分步计数原理计算即可得到答案。

【详解】
根据题意，分2步进行分析：
（1）先将5项工作分成4组，有2
510C =种分组方法；
（2）将分好的4组进行全排，对应4名志愿者，有4
424A =种情况；
分步计数原理可得：1024240⨯=种不同的安排方式。

故答案选C 【点睛】
本题考查排列、组合的综合应用，注意题目中“每人至少完成1项，每项工作由1人完成”的要求，属于基础题。

4．C 【解析】
分析：首先通过题中的条件，得到棱锥的三组对棱相等，从而利用补体，得到相应的长方体，列式求得长方体的对角线长，从而求得外接球的半径，利用球体的表面积公式求得结果. 详解：对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线），
设长方体的长、宽、高分别是,,a b c ，则有2222
2241
2534a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩
，
三个式子相加整理可得22250a b c ++=，
所以长方体的对角线长为
所以其外接球的半径R =
， 所以其外接球的表面积2450S R ππ==，故选C.
点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的体积问题，在解题的过程中，注意根据题中所给的三棱锥的特征，三组对棱相等，从而将其补体为长方体，利用长方体的外接球的直径就是该长方体的对角线，利用相应的公式求得结果. 5．C 【解析】 【分析】
先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且
1
22
GO AP =
=，由于PA
⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可. 【详解】
在ABC V
中，23AB AC ==，23BAC π∠=
，可得6
ACB π∠=， 则ABC V 的外接圆的半径
2323
π
2sin 2sin 6
AB r ACB =
==，取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且1
22
GO AP =
=， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心， 则222OA OG AG =+，即外接球半径()
2
2223
4R =
+=，
则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=. 故选C.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 6．A 【解析】 【分析】 由题求得的坐标，求得
，结合
可得答案.
【详解】
，
利用柯西不等式可得
.
故选A. 【点睛】
本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题. 7．B 【解析】 【分析】
根据几何概率的计算公式可求，向正方形内随机投掷点，落在阴影部分的概率()200
P A 600
=，即可得出结论． 【详解】
本题中向正方形内随机投掷600个点，相当于600个点均匀分布在正方形内， 而有200个点落在阴影部分，可知阴影部分的面积2
20033600
=⨯=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是一个关于几何概型的创新题，属于基础题.解决此类问题的关键是读懂题目意思，然后与学过的知识相联系转化为熟悉的问题．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的． 8．B 【解析】 【分析】
根据正态密度曲线的对称性得出()()02P P ξξ<=>，再由()01P ξ<<=
()0.50P ξ-<可计算出答案．
【详解】
由于随机变量ξ服从正态分布()1,4N ，
由正态密度曲线的对称性可知()()020.3P P ξξ<=>=， 因此，()()010.500.2P P ξξ<<=-<=，故选B ． 【点睛】
本题考查正态分布概率的计算，充分利用正态密度曲线的对称性是解题的关键，考查计算能力，属于基础
题． 9．D 【解析】 【分析】
利用全称命题的否定解答. 【详解】
命题:p x R ∀∈，1sin x e x ≥+.命题p ⌝为0x R ∃∈，001sin x
e x <+.
故选D 【点睛】
本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 10．B 【解析】 【分析】
2
ln 0ax x x --≥恒成立等价于()2ln 0x x a x x +>≥
恒成立，令()2
ln x x
f x x
+=， 则问题转化为()max a f x ≥，对函数()f x 求导，利用导函数求其最大值，进而得到答案 。

【详解】
2ln 0ax x x --≥恒成立等价于()2ln 0x x a x x +>≥
恒成立，令()2
ln x x
f x x +=， 则问题转化为()max a f x ≥，
()()312ln 0x x
f x x x --'=
>，令()12ln g x x x =--，
则()()22
10x g x x x x +'=--=->，所以当0x >时，()0g x '<
所以()12ln g x x x =--在()0,∞+单调递减且()10g =， 所以()f x '在()0,1上单调递增，在()1,+∞上的单调递减， 当1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 1f x =， 所以1a ≥ 故选B 【点睛】
本题考查利用导函数解答恒成立问题，解题的关键是构造函数()2
ln x x
f x x +=，属于一般题。

11．C 【解析】
分析：对四个命题逐一分析即可.
详解：对1:p 若1x >，则0.30.3x <，故1p 不正确；
对2:p 若()~4,0.3X B ，则()()10.84D X np p =-=，故2p 正确； 对3:p 若ln 1x x +>，则1x >，故3p 正确；
对4:p 若()
2
~3,X N σ，对称轴为3x =，则()()25P X P X <>>，故4p 正确.
故选：C.
点睛：本题考查了命题真假的判断，是基础题. 12．C 【解析】 【分析】
根据反证法的要求，反设时条件不变，结论设为相反，从而得到答案. 【详解】
命题“若1x <-，则2230x x -->”，
要用反证法证明，则其反设需满足条件不变，结论设为相反， 所以正确的反设为2 230x x -≤-， 故选C 项. 【点睛】
本题考查利用反证法证明时，反设应如何写，属于简单题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．4 【解析】
分析：先根据单调性得1ln 1ln x x t x --≤+≤+对任意的[]
1,x m ∈都成立，再根据实数t 存在性得
max min (1ln )(1ln )x x x x ---≤+-，即得1ln111ln m m ---≤+-，解得正整数m 的最大值.
详解：因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数，对任意的[]
1,x m ∈，都有()()1ln f x t f x +≤+，所以1ln 1ln x x t x --≤+≤+对任意的[]
1,x m ∈都成立， 因为存在实数t ，所以max min (1ln )(1ln )x x x x ---≤+- 即得1ln111ln 3ln ,m m m m ---≤+--≤，，
因为1,2,3,4m m >=成立，55-3ln5m =>，，所以正整数m 的最大值为4.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论
分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 14．C 【解析】
若A 获得一等奖,则甲、丙、丁的话是对的,与已知矛盾;若B 获得一等奖,则四人的话是错误的,与已知矛盾;若C 获得一等奖,则乙、丙的话是对的,满足题意;所以获得一等奖的作品是C . 15．
76
【解析】
分析：首先根据等差数列的性质得到32323,3S a T b ==，利用分数的性质，将项的比值转化为和的比值，从而求得结果.
详解：根据题意有
3222233736S a a b b T ===，所以答案是76
. 点睛：该题考查的是有关等差数列的性质的问题，将两个等差数列的项的比值可以转化为其和的比值，结论为
21
21
m m m m a S b T --=，从而求得结果. 16．1(,2)2
【解析】
分析：命题p q ∧为真，则p q ，都为真，分别求出取交集即可. 详解：命题p q ∧为真，则p q ，都为真，
对p ，[]
1,1x ∃∈-，使得2x a <成立，则1
2
a >；
对q ，()0,x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立，则1a x x
<+，
又12x x +
≥=（当且仅当1x =时取等）
， 2a ∴<，
故
1
22
a <<. 故答案为1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
. 点睛：本题考查函数的性质，复合命题的真假判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17． (1)
3
4
.(2)见解析.
【解析】 【分析】
（1）正难则反，先求这2人来自同一年级的概率，再用1减去这个概率，即为这2人来自两个不同年级的概率；
（2）先求X 的所有可能的取值，为0,1,2，再分别求012X X X ===，， 时对应的概率P 进而得到分布列，利用1
()n
i i
i E X X P ==∑ 计算可得数学期望。

【详解】
（1）设事件A 表示“这2人来自同一年级”,
()2
222332
81
4
C C C P A C ++== 这2人来自两个不同年级的概率为()13
1144
P A -=-=. （2）随机变量X 的可能取值为0,1,2,
()25285014C P X C === ,()11
532815128C C P X C === ,()23283
228
C P X C ===
所以X 的分布列为
0121428284
EX =⨯
+⨯+⨯= 【点睛】
本题考查古典概型的概率求解、离散型随机变量的分布列、数学期望的计算，属于基础题型。

18．（1）()2
2124
x y x +=≠±；
（2）定值0 【解析】 【分析】
（1）解法一：设点P 的坐标为()(),0x y y ≠，可得出点()2,C x y ，由AC BC ⊥，转化为1AC BC k k ⋅=-，利用斜率公式计算并化简得出曲线E 的方程，并标出x 的范围；
解法二：设点()(),0P x y y ≠，得出()2,C x y ，由AC BC ⊥知点C 在圆2
2
4x y +=上，再将点()
2,C x y 的坐标代入圆的方程并化简，可得出曲线E 的方程，并标出x 的范围； （2）先求出点H 的坐标，并设直线MN 的方程为()1
12
y x m m =
+≠±，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线MN 的方程与曲线E 的方程联立，列出韦达定理， 利用斜率公式并代入韦达定理计算出
120k k +=来证明结论成立。

【详解】
（1）解法一：设点()(),0P x y y ≠，因为CD x ⊥轴，P 为CD 的中点，则(),2C x y ，
AC BC ⊥Q ，所以，1AC BC
k k ⋅=-，即22122y y x x ⋅=--+，化简得2
214
x y +=， 所以，E 的方程为()2
2124
x y x +=≠±；
解法二：依题意可知点C 的轨迹方程为()2
2
42x y x +=≠±，
设点()(),0P x y y ≠，因为CD x ⊥轴，P 为CD 的中点，所以，(),2C x y ， 所以()
2
2
24x y +=，即2
214
x y +=，
所以，E 的方程为()2
2124
x y x +=≠±；
（2）依题意可知()0,1H ，设直线MN 的方程为()1
12
y x m m =
+≠±， ()11,M x y 、()22,N x y ，
由221214
y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222220x mx m ++-=， 所以2840m ∆=->，122x x m +=-，2
1222x x m =-，
所以()()()
12121212121212122y x x y y y
k k x x x x --+-+=
+=-- ()()()()()
121212
1212121112122
2222x m x x x m x x m x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫
+--++ ⎪ ⎪+-+-+⎝⎭⎝⎭=
=-- ()()()
212221222
02m m m m x x -+-⋅--+=
=-，
所以，12k k +为定值。

【点睛】
本题考查动点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合问题，考查将韦达定理法在直线与圆锥曲线综合问题中的应用，这类问题的求解方法就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理求解，运算量大是基本特点，化简是关键，考查计算能力，属于难题。

19．（1）
3
7
；（2）x 的分布列为 x
1
2
3
4
p
1328
928
528
128
()14
E x =
【解析】 【分析】 【详解】
（I ）11262
83
()7
C C P A C == （II ）1122622813(1)28C C C P X C +===；2112
642222
869
(2)28C C C C P X C C +==⋅=； 22112
64222222
8645
(3)28
C C C C C P X C C C +==⋅⋅=；；
X 的分布列为 X 1
2
3
4
P
13
28
928
528
128
()12342828282814
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯= 点评：对于古典概型的问题，主要是理解试验的基本事件空间，以及事件发生的基本事件空间利用比值来求解概率，结合排列组合的知识得到．而分布列的求解关键是对于各个概率值的求解，属于中档题． 20．（1）6；（2）13. 【解析】 【分析】
（1）将直线参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用12PA PB t t ⋅=求解得到结果；（2）写出l 的普通方程并假设圆M 的直角坐标方程，利用弦长为1建立a 与d 的关系，再结合圆心到直线距离公式得到方程，解方程求得a ，即为圆的半径. 【详解】
（1
）由ρ=22
10x y +=
将1222x t y ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入2210x y +=，得2260t t --= 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则126t t =- 故126PA PB t t ⋅==
（2）直线l
0y -+= 设圆M 的方程为()()2
220x a y a a -+=> 圆心(),0a 到直线l
的距离为d =
因为1=，所以()2
2232144
a d a +=-=
解得：13a =或1a =-（舍） 则圆M 的半径为13 【点睛】
本题考查直线参数方程中参数的几何意义、极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程.解决直线参数方程问题中距离之和或积的关键，是明确直线参数方程标准形式中的参数的几何意义，将距离问题转化为韦达定理的形式.
21．（1）a ＝1（2）（﹣∞，6
5
-]∪[1，+∞） 【解析】 【分析】
（1）解不等式f （x ）≤4，根据其解集，得到a 的值；（2）将所求不等式转化为5m 2+m ≥[f （x ）+f （﹣x ）]min ，得到f （x ）+f （﹣x ）的最小值，从而得到关于m 的不等式，解出m 的取值范围. 【详解】
（1）由f （x ）＝|x ﹣a|+2a ≤4，得2a ﹣4≤x ﹣a ≤﹣2a+4， ∴3a ﹣4≤x ≤﹣a+4，
∵不等式f （x ）≤4的解集为{x|﹣1≤x ≤3}，
∴34143a a -=-⎧⎨-+=⎩
，∴a ＝1；
（2）由（1）知f （x ）＝|x ﹣1|+2，
∵存在实数x 0，使f （x 0）≤5m 2+m ﹣f （﹣x 0）成立，
∴只需5m 2+m ≥[f （x ）+f （﹣x ）]min
∵f （x ）+f （﹣x ）＝|x ﹣1|+|x+1|+4≥|（x ﹣1）﹣（x+1）|+4＝6， 当且仅当（x ﹣1）（x+1）≤0，即﹣1≤x ≤1时取等号， ∴5m 2+m ≥6， ∴6
5
≤-
m 或m ≥1， ∴m 的取值范围为（﹣∞，6
5
-]∪[1，+∞）． 【点睛】
本题考查解绝对值不等式，绝对值不等式的恒成立问题，属于中档题. 22． (1) 4(,)(2,)3
-∞-⋃+∞. (2)
12
. 【解析】
分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可； （2）由f （x ）≤a|x+3|得a ≥
131
x x x +++-，利用绝对值三角不等式处理即可.
详解：（1）当2a =-时，()13,1
3,1131,1x x f x x x x x -≤-⎧⎪
=-+-<≤⎨⎪->⎩
()5f x >的解集为：()4,2,3
⎛⎫
-∞-⋃+∞ ⎪⎝
⎭
（2）由()3f x a x ≤+得：113x a x x +≥
-++
由1321x x x -++≥+，得：1113
2
x x x +≤
-++ 得1
2
a ≥
（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立）， 故a 的最小值为1
2
.
点睛：绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。