4-3第三节 平面向量数量积与平面向量应用举例2015年高考总复习)
第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例
变式训练２ 已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosφ， sinφ)，
且a与b之间满足关系|ka＋b|＝ 3 |a－kb|，其中
k∈R且k＞0. (1)用k表示a·b； (2)求a·b的最小值，并求此时a与b夹角θ的大小．
【解析】
(1) | ka b | 3 | a kb |, | ka b |2 3 | a kb |2 , k 2 a 2 2 ka b b 2 3(a 2 2 ka b k 2b 2 ), 即 a b （3 k 2） a 2 (3k 2 1)b 2 .
| a ||b| 2
又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a与b的 夹角为60°.
平面向量的数量积与向量垂直
已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°， k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
分析 向量垂直的充要条件可得(a＋2b)·(ka－b)＝0， 可得含k的方程组，则问题可解
解
①...3分
直线 l 与椭圆有两个不同的交
点 P 和 Q 等价于
8k 2 4(1 k 2) 4k 2 2 0, 2
解得 k 2 或 k 2 ,
2
2
则 k 的取值范围为（
， 2 ）（ 2 ， ）.. 5 分
2
2
(2)设 P（ x1,y1 ） ,Q (x2,y2), 则 O POQ (x1x2,y1y2),
【解析】
( 2 ), ( 2 ) | |2 2 0, 2 1,
| 2 | 4 | |2 4 | |2
4 2 4 10.
【答案】
10
平面向量的综合应用问题
(12分) 在平面直角坐标系xOy中，经过点
(0，2 )且斜率为k的直线l与椭圆x2 y 2 1 有两
第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例-高考状元之路
第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例预习设计 基础备考知识梳理1．平面向量的数量积 若两个 向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作规定：零向量与任一向量的数量积为两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 ，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是2．平面向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度∣a ∣与b 在a 方向上的投影 的乘积．3．平面向量数量积的重要性质=⋅=⋅e a a e )1((2)非零向量⇔⊥b a b a ,,(3)当a 与b 同向时，=⋅b a当a 与b 反向时，=⋅b a =⋅a a , =||a=θcos )4(||)5(b a ⋅.|||b a4．平面向量数量积满足的运算律=⋅b a )1( （交换律）；=⋅=⋅)())(2(b a b a λλ （A 为实数）；=+c b a ).)(3(5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量),,(),,(2211y x b y x a ==则=⋅b a 由此得到：(1)若),,(y x a =则=2||a ，或=||a(2)设),,(),,(2211y x B y x A 则A ，B 两点间的距离=||AB =||(3)设),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a典题热身1．下列四个命题中真命题的个数为 ( )①若,0=⋅b a 则;b a ⊥②若,c b b a ⋅=⋅且,0=/b 则⋅=c a);().(C b a c b a ⋅⋅=⋅③.)(222b a b a ⋅=⋅④4.A 2.B 0.c 3.D答案：C2．在△ABC 中，,10,2,3===BC AC AB 则=⋅. ( )23.-A 32.-B 32.c 23.D 答案：D3．已知平面向量b a b a +-=-=λ),2,4(),3,1(与a 垂直，则=λ( )1.-A 1.B2.-c 2.D答案：A4．已知),7,4(),3,2(-==b a 则a 在b 上的投影为( )13.A 513.B 565.c 65.D答案：C5．已知,2)(,6||,1||=-⋅==a b a b a 则向量a 与b 的夹角是( )6π⋅A 4π⋅B 3π⋅c 2π⋅D 答案：C课堂设计 方法备考题型一 平面向量的数量积运算和向量的模【例1】已知向量),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos x x b x x a -==且⋅-∈]4,3[ππx (1)求b a ⋅及|;|b a +(2)若|,|)(b a b a x f +-⋅=求)(x f 的最大值和最小值，题型二 利用向量的数量积求其夹角【例2】已知,21)()(,21,1||=+⋅-=⋅=b a b a b a a 求 (l)a 与b 的夹角；(2)a-b 与a+b 的夹角的余弦值．题型三 利用向量的数量积解决平行与垂直问题【例3】设向量,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(βββαα===c b a ).sin 4β-(1)若a 与b-2c 垂直，求)tan(βα+的值；(2)求||c b +的最大值；(3)若,16tan tan =βα求证：.//b a题型四 平面向量数量积的应用【例4】已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量),,(b a m =),sin ,(sin A B n = ).2,2(--=a b p(1)若,//n m 求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若,p m ⊥边长,2=c 角,3π⋅=C 求△ABC 的面积．技法巧点1．向量数量积性质的应用 向量数量积的性质⇔=⋅⋅=⋅=0,||||cos ,||b a b a b a a a a θ,b a ⊥因此，用平面向量数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题．2．证明直线平行、直线、线段相等等问题的基本方法(1)要证,CD AB =可转化证明22CD =或.||||=(2)要证两线段,//CD AB 只要证存在一实数,0=/λ使等式λ=成立即可．(3)要证两线段,CD AB ⊥只需证.0..= 失误防范1．数量积a ·b 中间的符号“．”不能省略，也不能用“×”来替代．0.2=⋅b a 不能推出0=a ，或.0=b 因为0=⋅b a 时，有可能.b a ⊥)0(.3=/⋅=⋅a c a b a 不能推出.c b =4．一般地，,).()(a c b c b a =/⋅即乘法的结合律不成立．因b a ⋅是一个数量，所以c b a )(⋅表示一个与c 共线的向量，同理右边a c b )(⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下.)()(a C b c b a ⋅=/⋅5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，><,应为,120 而不是.60随堂反馈1．（2011．清远调研）在△ABC 中，已知a ，b ，c 成等比数列，且,43cos ,3==+B c a 则⋅等于 ( ) 23.A 23.-B 3.c 3.-D答案：B2．（2011,台州一模）已知向量a ，b 的夹角为,1||,120=a ,5||=b 则|3|b a -等于( )7.A 6.B 5.C 4.D答案：A3．(2011．湖北高考)若向量),1,1(),2,1(-==b a 则b a +2与b a -的夹角等于( )4.π-A 6π⋅B 4π⋅c 43.πD 答案：C4．(2011．全国卷)设向量a ，b 满足=⋅==b a b a ,1||||,21-则=+|2|b a ( ) 2.A 3.B 5.c 7.D答案：B5．（2011．江苏高考）已知21,e e 是夹角为32π的两个单位向量，⋅+=-=2121,2e ke b e e a 若,0=⋅b a 则实数k 的值为 答案：45 高效作业 技能备考一、选择题1．(2010．安徽高考)若向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( ) ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a c -.与b 垂直 b a D //. 答案：C2．(2010．重庆高考)若向量a ，b 满足===⋅||,1||,0b a b a ,2则=-|2|b a ( )0.A 22.B 4.C 8.D答案：B3．(2010．四川高考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，如果BC -=+=162那么||等于 ( ) 8.A 4.B 2.C 1.D答案：C4．（2010．辽宁高考）平面上O ，A ，B 三点不共线，若,a =,b =则△OAB 的面积等于( )222)(|.|.b a b a A ⋅- |222)(|.b a b a B ⋅+⋅222)(||||21.b a b a c ⋅-⋅ 222)(21.b a b a D ⋅+⋅ 答案：C5．(2010．杭州质检)向量.2),1,(),2,1(b a c x b a +===,2b a d -=若,//d c 则实数x 的值等于（ ）21.A 21.-B 61.c 61.-D 答案：A6．(2011．汕头模拟)如图所示，在△ABC 中，=∠==ABC BC AB ,4,30 AD 是边BC 上的高，则. 的值等于( )0.A 4.B 8.c 4.-D答案：B二、填空题7．（2011．天津高考）已知直线梯形ABCD 中，,//BC AD ,90 =∠ADC ,2=AD P BC ,1=是腰DC 上的动点，则|3|+的最小值为答案：58．（2010．浙江高考）若平面向量),0(,b a a b a =/=/满足=||b ,1且a 与b-a 的夹角为,120则||a 的取值范围是答案：)332,0(9．（2011．浙江高考）若平面向量βα、满足,1||,1||≤=βα且以向量βα、为邻边的平行四边形的面积为,21则βα和的夹角θ的取值范围是 答案：]65,6[ππ三、解答题10．（2010．江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点).1,2(),3,2()2,1(----C rB A(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足,0)(=⋅-t 求t 的值．11．(2011．湖南高考)已知向量).2,1(),sin 2cos ,(sin =-=b a θθθ(1)若a∥b，求θtan 的值；(2)若,00|,|||π<<=b a 求θ的值．12．(2011．江苏高考)已知向量]).0,[)(sin ,(cos πααα-∈=OA 向量),5,0(),1,2(-==n m 且).(n OA m -⊥(1)求向量;(2)若,0,102)cos(πβπβ<<=-求).2cos(βα-。
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：4.3平面向量的数量积及应用举例
【解】 (1)证明：由|a－b|＝ 2得(a－b)2＝2， 即|a|2－2a· b＋|b|2＝2. 又∵|a|2＝|b|2＝1 ∴a· b＝ 0 因此，a⊥b. (2)由 a＋b＝c
cos α＋cos β＝0 得 sin α＋sin β＝1
，
由 cos α＝－cos β，0＜β＜α＜π 得 α＋β＝π. 又 sin α＋sin β＝1， 1 ∴sin α＝sin β＝2. 5π π ∴α＝ 6 ，β＝6.
第3课时
平面向量的数量积及应用举例
• • • • •
(一)考纲点击 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平 面向量的垂直关系．
• •
|x|2 1 当 x≠0 时， 2＝ ； y |b| y2 ＋ 3 ＋1 x x
y ∵x2＋ y 1 3x＋1≥ ， 4
|x|2 ∴|b|2≤4. |x| ∴|b|≤2. 答案：2
易错易混：向量综合运算的问题 → → 【典例】 (2014· 衡阳模拟)已知向量AB＝(2－k，－1)，AC＝(1， k)． (1)若△ABC 为直角三角形，求 k 值； (2)若△ABC 为等腰直角三角形，求 k 值．
1．两个向量的夹角 → 已知两个非零向量 a 和 b(如图)，作OA＝a， → OB＝b，则∠AOB＝θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角，当 θ＝0° 时，a 与 b 同向；当 θ＝180° 时，a 与 b 反向 ；如果 a 与 b 的夹角是 90° ，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
b＝0 ； (2)a⊥b⇔ a· －|a||b| ， (3)当 a 与 b 同向时， a· b＝|a|· |b|； 当 a 与 b 反向时， a· b＝
2015届高考数学总复习第四章 第三节平面向量的数量积精讲课件 文
变式探究
3 ． (2012· 淮南模拟 ) 若向量 a ＝ (2,1) ， b ＝ (3 ， x) ，若 (2a －
b)⊥b，则x的值为( B ) A．3 C．－1 B．－1或3 D．－3或1
4．(2012· 山东实验中学诊断)△ABC的外接圆的圆心为O，
变式探究 5．(2013· 梅州二模)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向 量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
解析： ∵ 已知 a ＝ ( － 3,2) ， b ＝ ( － 1,0) ，向量 λa ＋ b 与 a －2b垂直，
∴(λa＋b)· (a－2b)＝0，
即(－3λ－1,2λ)· (－1,2)＝0，
有当－1≤λ≤0时，|a＋b|＝|a|－|b|才能成立，否则不能成立，
故D错误． 答案：C
求向量的数量积 【例2】 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；
(3)若
＝a， ＝b，求△ABC的面积．
自主解答：
解析：(1)∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析：利用向量运算法则，特别是|a|2＝a2求解．
由 |a ＋ b| ＝ |a| －|b| 知 (a ＋ b)2 ＝ (|a| － |b|)2 ，即 a2 ＋ 2a· b ＋ b2 ＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，∴a· b＝－|a||b|.∵a· b＝|a||b|· cos ∴cos a，b ＝－1，∴ a，b a ，b ， ＝π，此时a与b反向共线，
平面向量的数量积及平面向量的应用举例
3．求向量模的常用方法：利用公式 |a|2＝a2，将模的运算转化为向量数量 积的运算．
失误防范
1．零向量：(1)0 与实数 0 的区别，不可 写错：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·＝ 0 0≠0；(2)0 的方向是任意的，并非没有方 向，0 与任何向量平行，我们只定义了非 零向量的垂直关系．
课前热身
1．若向量a，b，c满足a∥b 且a⊥c，则c· (a＋2b)＝( )
A．4
C．2
B．3
D．0
答案：D
2．已知向量 a，b 满足 a· b＝0，|a|＝1， |b|＝2，则|2a－b|＝( A．0 C．4 ) B．2 2 D．8
答案：B
3． (2011· 高考大纲全国卷)已知抛物线 C： y2＝4x 的焦点为 F，直线 y＝2x－4 与 C 交于 A，B 两点，则 cos∠AFB＝( 4 3 A. B. 5 5 3 4 C．－ D．－ 5 5 )
a· b 2 则 cosθ＝ ＝ ＝ ， |a||b| 2 2 1× 2 π 又 θ∈[0，π]，∴θ＝ . 4 π 即 a 与 b 的夹角为 . 4
1 2
(2)∵(a－b)2＝a2－2a· 2 b＋b 1 1 1 ＝1－2× ＋ ＝ ， 2 2 2 2 ∴|a－b|＝ ， 2 ∵(a＋b)2＝a2＋2a· 2 b＋b 1 1 5 ＝1＋2× ＋ ＝ ， 2 2 2
量积等于0说明两向量的夹角为直角,
数量积小于0且两向量不共线时两向量
的夹角是钝角．
考点3 两向量的平行与垂直关系
向量的平行、垂直都是两向量关系中 的特殊情况，判断两向量垂直可以借 助数量积公式．如果已知两向量平行 或垂直可以根据公式列方程(组)求解
例3
已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角
第六章 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 课件(共64张PPT)
法二：如图，以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x
轴，垂直 BC 且过点 B 的直线为 y 轴，建立平面直角坐
标系，则 B(0，0)易知 E(－2，0)，A(－3， 3 )，又 BD
＝ 25＋12－2×5×2 3×cos 30° ＝ 7 ，所以 D(2，
3 )，于是B→D ＝(2， 3 )，A→E ＝(1，－ 3 )，所以
＝|b|＝|c|＝1.若 a·b＝12 ，则(a－b)·(2b－c)的值可能为( ) A．3－ 3 B．－2 C．0 D．－ 2 (2)(一题多解)(2019·天津卷)在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝2 3 ，
AD＝5，∠A＝30°，点 E 在线段 CB 的延长线上，且 AE＝BE，则B→D ·A→E ＝________．
所以(a－b)·(2b－c)的值可能为－2，0，－ 2 .故选 BCD.
(2)法一：△AEB 为等腰三角形，易得BE ＝2，所以A→E ＝A→B ＋B→E ＝
→ AB
－25
→ AD
，则B→D
·A→E
＝(A→D
－A→B
)·A→B－25A→D
＝－25
→ AD
2－A→B
2＋75
→ AD
·A→B
＝－10－12＋21＝－1.
与 b 的夹角 θ 为( )
A．π6
B.
π 3
C．23π
D．56π
D
[cos θ＝aa·bb
＝－2×6 63
＝－
3 2
，又 0≤θ≤π，则 θ＝5π 6
.]
4．设向量 a＝(1，0)，b＝(－1，m)，若 a⊥(ma－b)，则 m＝________． 解析： a＝(1，0)，b＝(－1，m)，则 ma－b＝(m＋1，－m). 由 a⊥(ma－b)得 a·(ma－b)＝0， 即 m＋1＝0，m＝－1. 答案： －1
2015届高考数学一轮复习课件：第27讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
返回目录 第六页，编辑于星期五：十点 一分。
第27讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
•双 向 固 基 础
3．向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量O→A＝a＝(x1，y1)，O→B＝b＝(x2，y2)．
向量表示
坐标表示
向量 a 的模 |a|＝ a2
a，b 的数量 a·b＝|a||b|cos
积
θ
a 与 b 共线 a∥b⇔b＝λa
②a⊥b⇔__a_·b_＝__0__． ③当 a 与 b 同向时，a·b＝___|a_|_|b_|__；当 a 与 b 反向时， a·b＝_－__|_a_||b_|__．特别地，a·a＝____|a_|_2 __或|a|＝__a_·__a___．
a·b
④cos θ＝__|a_|_|b_|___． ⑤|a·b|____≤____|a||b|.
(2)向量的投影
设两个非零向量 a 与 b 的夹角为θ，|_a_|c_o_s__θ__称为向量 a 在 b 方向上的投影；|_b_|c_o_s__θ__称为向量 b 在 a 方向上的投
影．
返回目录
第三页，编辑于星期五：十点 一分。
第27讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
•双 向 固基础__数__量向 ___量_，a不在是向b 量方．向当上0(或°≤b θ在<9a0°方，向它上是)的__正投__数影__是__一；当个
第27讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
•
•
点 面 讲 考 向
► 例探1究点(1)一[2013·平太原面调向研量] 已的知数O→A量＝(积2，的1)，运O→算B＝(1，
2)，将O→B绕点 O 逆时针旋转π6 得到O→C，则O→A·O→C＝(
2015高考数学配套课件：4-3 平面向量的数量积及平面向量的应用
东
么A→E·B→D＝A→D＋12A→B·(A→D－A→B)＝2.
金 太 阳
[答案] (1)C (2)2
书 业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十五页，编辑于星期五：十五点 八分。
抓主干 考点 解密 研考向 要点 探究 悟典题 能力 提升 提素能 高效 训练
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（理）
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
金 太
判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面 阳
书
几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第一页，编辑于星期五：十五点 八分。
高考总复习 A 数学（理）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
平面向量的数量积
悟典题
能力
提升
1．两个向量的夹角
提素能 高效 训练
π A.2
2π B. 3
3π C. 4
5π D. 6
解析：a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a2|＋|a||b|cos 〈a，b〉＝0，
山 东
金
故cos
〈a，b〉＝－ 9 6
＝－ 3
23，故所求夹角为56π.
太 阳 书
答案：56π
业 有
限
公
司
菜 单 隐藏
第五页，编辑于星期五：十五点 八分。
限 公
(3)对λ∈R，λ(a·b)＝
＝(λa)·b
a．·(λb)
司
菜 单 隐藏
第七页，编辑于星期五：十五点 八分。
高考总复习 A 数学（理）
最新2015年高考数学总复习教案43平面向量的数量积及平面向量的应用举例
2015年高考数学总复习教案43平面向量的数量积及平面向量的应用举例第四章平面向量与复数第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例(对应学生用书(文)、(理)65～67页)考情分析考点新知①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直．平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示.②了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.1. (必修4P77练习第2(1)题改编)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________．答案：－3 2解析：a·b＝|a|·|b|cos135°＝2×3×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝－3 2.2. (必修4P80练习第3题改编)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a 与b的夹角为________．答案：π3解析：∵ cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝12，∴〈a，b〉＝π3.3. (必修4P81习题2.4第2题改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________．答案： 3解析：|a－b|＝（a－b）2＝a2＋b2－2a·b＝12＋22－2×1×2cos60°＝ 3.4. (必修4P81习题2.4第3(1)题改编)已知两个单位向量e1、e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________． 答案：－6解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝π3，所以b1·b2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.5. (必修4P84习题4改编)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是________． 答案：菱形解析：四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0知其为平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝0即DB→·AC →＝0知该平行四边形的对角线互相垂直，从而该四边形一定是菱形．1. 向量数量积的定义 (1) 向量a 与b 的夹角(2) 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，并规定零向量与任一向量的数量积为0. 2. 向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角，则 (1) e·a ＝a·e. (2) a ⊥ba ·b ＝0．(3) 当a 与b 同向时，a ·b ＝|a||b|； 当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|；特殊的，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4) cosθ＝a·b |a||b|.(5) |a·b|≤|a|·|b|.3. 向量数量积的运算律(1) 交换律：a·b＝b·a.(2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3) 数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．4. 平面向量数量积的坐标表示(1) 若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.故a⊥b x1x2＋y1y2＝0.(2) 设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．(3) 若向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)的夹角为θ，则有cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22. [备课札记]题型1向量平行与垂直的充分条件例1已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1) 若a⊥b，求x的值；(2) 若a∥b，求|a－b|的值．解：(1) 若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2) 若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，a－b＝(－2，0)，∴ |a－b|＝（－2）2＋02＝2；当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，a－b＝(2，－4)，∴ |a－b|＝22＋（－4）2＝2 5.综上，可知|a－b|＝2或2 5.变式训练已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－ka＋1t b，m∈R，k、t为正实数．(1) 若a∥b，求m的值；(2) 若a⊥b，求m的值；(3) 当m＝1时，若x⊥y，求k的最小值．解：(1) 因为a ∥b ，所以1·m －2·(－2)＝0，解得m ＝－4. (2) 因为a ⊥b ，所以a·b ＝0， 所以1·(－2)＋2m ＝0，解得m ＝1. (3) 当m ＝1时，a ·b ＝0. 因为x ⊥y ，所以x·y ＝0.则x·y ＝－ka2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1t －k （t2＋1）a ·b ＋(t ＋1t )b2＝0.因为t ＞0，所以k ＝t ＋1t ≥2，当t ＝1时取等号， 即k 的最小值为2.题型2 向量的夹角与向量的模例2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b)·(2a ＋b)＝61. (1) 求a 与b 的夹角θ； (2) 求|a ＋b|；(3) 若AB→＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解：(1) ∵ (2a －3b)·(2a ＋b)＝61， ∴ 4|a|2－4a·b －3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴ 64－4a·b －27＝61， ∴ a·b ＝－6.∴ cos θ＝a·b |a||b|＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，∴ θ＝2π3.(2) 可先平方转化为向量的数量积． |a ＋b|2＝(a ＋b)2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴ |a ＋b|＝13.(3) ∵ AB→与BC →的夹角θ＝2π3，∴ ∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB→|＝|a|＝4，|BC →|＝|b|＝3， ∴ S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 备选变式（教师专享）已知非零向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0 ，向量a 、b 的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a 与c 的夹角为________． 答案：90°解析：由题意，得c ＝－a －b ，a ·c ＝－a2－a·b ＝－|a|2－|a||b|cos120°＝－|a|2＋12|a||b|＝－|a|2＋12|a|·2|a|＝－|a|2＋|a|2＝0，所以a ⊥c ，即a 与c 的夹角为90°. 题型3 平面向量与三角函数的交汇例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋c)·BC →·BA →＋cCA→·CB →＝0. (1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝23，试求AB→·CB →的最小值．解：(1) 因为(2a ＋c)BC→·BA →＋cCA →·CB →＝0，所以(2a ＋c)accosB ＋abccosC ＝0， 即(2a ＋c)cosB ＋bcosC ＝0，所以(2sinA ＋sinC)cosB ＋sinBcosC ＝0， 即2sinAcosB ＋sin(B ＋C)＝0. 因为sin(B ＋C)＝sinA ≠0，所以cosB ＝－12，所以B ＝2π3.(2) 因为b2＝a2＋c2－2accos 2π3，所以12＝a2＋c2＋ac≥3ac ，即ac≤4，所以AB →·CB →＝accos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立， 所以AB→·CB →的最小值为－2. 备选变式（教师专享）(2013·山东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cosB ＝79. (1) 求a ，c 的值； (2) 求sin(A －B)的值．解：(1) 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB ，得b2＝(a ＋c)2－2ac(1＋cosB)，又a ＋c ＝6，b ＝2，cosB ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2) 在△ABC 中，sinB ＝1－cos2B ＝429， 由正弦定理得sinA ＝asinB b ＝223，因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cosA ＝1－sin2A ＝13，因此sin(A －B)＝sinAcosB －cosAsinB ＝10227.例4 (2013·泰州市期末)已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ、θ∈R. (1) 求|a|2＋|b|2的值； (2) 若a ⊥b ，求θ； (3) 若θ＝π20，求证：a ∥b.(1) 解：∵ |a|＝cos2λθ＋cos2（10－λ）θ， |b|＝sin2（10－λ）θ＋sin2λθ， ∴ |a|2＋|b|2＝2.(2) 解：∵ a ⊥b ，∴ cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0， ∴ sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，∴ sin10θ＝0， ∴ 10θ＝k π，k ∈Z ，∴ θ＝k π10，k ∈Z.(3) 证明：∵ θ＝π20，cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin[(10－λ)θ] ＝cos λπ20·sin λπ20－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－λπ20·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－λπ20＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，∴ a ∥b. 备选变式（教师专享）(2013·陕西卷)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cosx ，－12，b ＝(3sinx ，cos2x)，x ∈R, 设函数f(x)＝a·b.(1) 求f (x)的最小正周期.(2) 求f (x) 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1) f(x)＝a·b ＝cosx ·3sinx －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.最小正周期T ＝2π2＝π.所以f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，最小正周期为π. (2) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，由标准函数y ＝sinx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象知，f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.所以，f (x) 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件． 【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 学生错解：解： ∵ e1·e2＝|e1|·|e2|·cos60°＝2×1×12＝1， ∴ (2te1＋7e2)·(e1＋te2) ＝2te21＋7te22＋(2t2＋7)e1·e2 ＝8t ＋7t ＋2t2＋7＝2t2＋15t ＋7.因为向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0， 即2t2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.审题引导： 当(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0时，其夹角一定为钝角吗？ 规范解答： 解： ∵ e1·e2＝|e1|·|e2|·cos60°＝2×1×12＝1，(2分) ∴ (2te1＋7e2)·(e1＋te2) ＝2te21＋7te22＋(2t2＋7)e1·e2＝8t ＋7t ＋2t2＋7＝2t2＋15t ＋7.(4分)因为向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0， 即2t2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.(9分)当向量2te1＋7e2与向量e1＋te2反向时， 设2te1＋7e2＝λ(e 1＋te2)，λ<0， 则⎩⎨⎧2t ＝λ，λt ＝72t2＝7t ＝－142或t ＝142(舍)．(12分)故t 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.(14分) 错因分析： 向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，可得(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但由(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，并不能推出向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角．如t ＝－142时，(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为π，所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0仅是向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角的必要条件，而不是充分条件．探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件．1. (2013·南通三模)在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB ＝1，EF ＝2，CD ＝ 3.若AD→·BC →＝15，则AC →·BD →＝________． 答案：13解析：2EF →＝AB →＋DC →，平方并整理得AB →·DC →＝2，即AB →·(AC→－AD →)＝AB →·AC →－AB→·AD →＝2，①由AD →·BC →＝15，得AD →·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →＝15，② ②－①，得AC→·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝13. 2. (2013·山东)已知向量AB→与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC→，且AP →⊥BC →，则实数λ＝________． 答案：712解析：∵ AP →⊥BC →，∴ AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC→－AB →)＝－λAB →2＋AC →2＋(λ－1)AC →·AB →＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解之得λ＝712. 3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上．若AB→·AF →＝2，则AE →·BF →＝________．答案： 2解析：(解法1)由AB→·AF →＝2， 得|AB→|·|AF →|·cos ∠FAB ＝ 2. 由矩形的性质，得|AF→|·cos ∠FAB ＝DF. ∵ AB ＝2，∴ 2·DF ＝2，∴ DF ＝1.∴ CF ＝2－1.记AE→和BF →之间的夹角为θ，∠AEB ＝α，∠FBC ＝β，则θ＝α＋β. 又∵ BC ＝2，点E 为BC 的中点，∴ BE ＝1.∴ AE→·BF →＝|AE →|·|BF →|·cos θ ＝|AE→|·|BF →|·cos (α＋β) ＝|AE→|·|BF →|·(cos αcos β－sin αsin β) ＝|AE→|cos α·|BF →|·cos β－|AE →|sin α·|BF →|sin β ＝BE·BC －AB·CF ＝1×2－2(2－1)＝ 2.(解法2)以A 为坐标原点、AB 为x 轴建立直角坐标系，则B(2，0)，D(0，2)，C(2，2)，E(2，1)，可设F(x ，2)．由AB →·AF →＝2，计算可得x ＝1，AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.4. 设点O 是△ABC 的三边中垂线的交点，且AC2－2AC ＋AB2＝0，则BC→·AO →的范围是__________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2解析：BC→·AO→＝BC→·(AD→＋DO→)＝BC→·AD→＋BC→·DO→＝BC→·AD→＝12(AC→－AB→)·(AB→＋AC→)＝12(AC→2－AB→2)．∵ AC2－2AC＋AB2＝0，即AB2＝2AC－AC2，∴ BC→·AO→＝12AC2－12(2AC－AC2)＝AC2－AC＝⎝⎛⎭⎪⎫AC－122－14.∵ AB2≥0，∴ 2AC－AC2≥0，∴ 0＜AC＜2，∴ BC→·AO→∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2.1. 已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，求x、y的值使(xa＋yb)⊥a，且|xa＋yb|＝1. 解：由a＝(3，4)，b＝(4，3)，有xa＋yb＝(3x＋4y，4x＋3y)．(xa＋yb)⊥a(xa＋yb)·a＝03(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0，即25x＋24y＝0.①又|xa＋yb|＝1|xa＋yb|2＝1，有(3x＋4y)2＋(4x＋3y)2＝1，整理得25x2＋48xy＋25y2＝1，即x(25x＋24y)＋24xy＋25y2＝1，②由①②有24xy＋25y2＝1，③将①变形代入③可得y＝±57，再代回①得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2435，y＝－57和⎩⎪⎨⎪⎧x＝－2435，y＝57.2. 已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1) 求证：(a－b)⊥c；(2) 若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．(1) 证明：(a －b)·c ＝a·c －b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0，∴(a －b)⊥c.(2) 解：|ka ＋b ＋c|＞1|ka ＋b ＋c|2＞1k2a2＋b2＋c2＋2ka·b ＋2ka·c ＋2b·c ＞1. ∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a 、b 、c 夹角均为120°，∴a2＝b2＝c2＝1，a ·b ＝b·c ＝a·c ＝－12.∴k2－2k ＞0，即k ＞2或k ＜0.3. 设两向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由已知得e21＝4，e22＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.∴ (2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te21＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22＝2t2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t2＋15t ＋7＜0，得－7＜t ＜－12. 设2te1＋7e2＝λ(e 1＋te2)(λ＜0)， ∴ ⎩⎨⎧2t ＝λ，7＝tλ. ∴ 2t2＝7， ∴ t ＝－142，此时λ＝－14.即t ＝－142时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 4. (2013·辽宁卷)设向量a ＝(3sinx ，sinx)，b ＝(cosx ，sinx)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1) 若|a|＝|b|.求x 的值；(2) 设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．解：(1) 由|a|2＝(3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x.|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1.由|a|＝|b|，得4sin2x ＝1，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sinx ＝12，所以x ＝π6. (2) f(x)＝a·b ＝3sinx ·cosx ＋sin2x＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1，所以f(x)的最大值为32.1. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a 要引起足够重视，是求距离常用的公式．2. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．3. 应用向量运算将问题转化为与代数函数有关的问题，其中转化是关键．4. 向量与三角的交汇是高考最常见的题型之一，其中用向量运算进行转化，化归三角函数问题或三角恒等变形等问题是常规的解题思路和基本方法．请使用课时训练（A ）第3课时（见活页）.[备课札记]。
第__3__讲___平面向量的数量积及平面向量应用举例
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． ．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． ．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． ．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向 ．能运用数量积表示两个向量的夹角， 量的垂直关系． 量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． ．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． ．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
迁移发散 2．在直角△ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，求k的值． ．在直角△ 的值． 中 已知＝ ， ， ， 的值
考向三 平面向量的夹角与模的问题
1 1 【例 3】 已知 ＝ 1，a·b＝ ， (a－ b)·(a＋b)＝ . 】 已知|a|＝ ， ＝ － ＋ ＝ 2 2 的夹角； 求： (1)a 与 b 的夹角； (2)a－b 与 a＋b 的夹角的余弦值． － ＋ 的夹角的余弦值． 1 1 解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝ ，∴|a|2－|b|2＝ ， 2 2 1 2 又∵|a|＝1，∴|b|＝ |a|2－ ＝ . 2 2 设 a 与 b 的夹角为 θ， 1 a·b 2 2 则 cos θ＝ ＝ ＝ ， |a||b| 2 2 1· 2 ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.
解析： ＝ ， ，则有2a＋ ＝ ＋ ＋ ＝ 解析：设b＝(x，y)，则有 ＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)， ， 解得b＝ － 解得 ＝(－5,12)，故cos〈a，b〉＝ ， 〈 ， 〉 答案： 答案：C
2015高考数学一轮总复习课件：4.3 平面向量的数量积及平面向量应用举例
例 2. （1）已知 a＝（－2，1），b＝（0，2），若向量 a＋λb 与 2a＋b 垂
直，则实数 λ 的值为
；
（2）设向量 a，b 的夹角为 θ，且 a＝（3，3），2b－a＝（－1，1），则
cos θ＝
思路点拨：（1）把向量 a＋λb 与 2a＋b 用 a，b 的坐标表示出来，利用 a⊥b ⇔x1x2＋y1y2＝0 列方程求解.（2）首先利用加减法的坐标运算求出向量 b， 再求出向量的模和数量积，代入 cos 〈a，b〉公式求解.
（2）以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，
则A→B＝（ 2，0）.设A→F＝（x，2），则由条件得 2x＝ 2，得 x＝1， 从而 F（1，2），A→E＝（ 2，1），B→F＝（1－ 2，2）， 于是A→E·B→F＝ 2.
第二十页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
题型2 ·平面向量的垂直与夹角问题
拓展提升
向量与实数的相关概念及运算的区别 设 a，b，c 是实数，p，q，r 为向量，则： （1）由 a·b＝0，可得 a＝0 或 b＝0；但 p·q＝0 却不能得出 p＝0 或 q＝0. （2）若 a≠0，则由 ab＝ac 可得 b＝c；但若 p≠0，由 p·q＝p·r 却不能推出 q ＝r. （3）a（bc）＝（ab）c（结合律）成立；但（p·q）·r 与 p·（q·r）一般是不 相等的，向量的数量积是不满足结合律的. （4）|a·b|＝|a|·|b|，但|p·q|≤|p||q|，等号当且仅当 p∥q 时成立
解析：设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有（a＋2b）·（a－b）＝a2＋a·b－2b2
1
π
＝－7＋2cos θ＝－6，∴cos θ＝2，∵0≤θ≤π，∴θ＝3
高考数学一轮复习3 第3讲 平面向量的数量积及应用举例
第3讲平面向量的数量积及应用举例最新考纲考向预测1.通过物理中的功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.命题趋势平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍是选择题与填空题.核心素养数学运算、逻辑推理1．向量的夹角(1)条件：平移两个非零向量a和b至同一起点，结论：∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角．(2)范围：0°≤θ≤180°.特殊情况：当θ＝0°时，a与b共线同向．当θ＝180°时，a与b共线反向．当θ＝90°时，a与b互相垂直．2．向量的数量积(1)条件：两个向量a与b，夹角θ，结论：数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ．(2)数量积的几何意义条件：a的长度|a|，b在a方向上的投影|b|cos_θ(或b的长度|b|，a在b方向上的投影|a|cos_θ)，结论：数量积a·b等于|a|与|b|cos_θ的乘积(或|b|与|a|cos_θ的乘积)．3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝a，b．结论几何表示坐标表示向量的模|a|＝a·a |a|＝x21＋y21夹角余弦cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x2＋y2a⊥b充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y2常用结论1．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2；(2)|a±b|＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．常见误区1．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．2．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．3．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )(3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33D ．3解析：选B.a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，所以|b |＝－1224×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝6.3．(多选)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(－2，4)，则( ) A ．a ∥b B ．(a ＋b )·a ＝－5 C ．b ⊥(a －b )D ．2|a |＝|b |解析：选ABD.因为1×4＝－2×(－2)，所以a ∥b ，又a ＋b ＝(－1，2)，所以(a ＋b )·a ＝－5.a －b ＝(3，－6)，b ·(a －b )≠0，所以C 错误，|a |＝5，|b |＝25，2|a |＝|b |，故选ABD.4．已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ＝________． 解析：cos θ＝a·b |a||b|＝－632×6＝－32，又因为0≤θ≤π，所以θ＝5π6. 答案：5π65．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝|b |＝1，且a ⊥(a －λb )，则实数λ＝________．解析：由题意，得a ·b ＝|a ||b |cos π3＝12，因为a ⊥(a －λb )，所以a ·(a －λb )＝|a |2－λa ·b ＝1－λ2＝0，所以λ＝2.答案：2平面向量数量积的运算(1)(2021·内蒙古赤峰二中、呼市二中月考)已知向量a ，b 的夹角为π3，若c ＝a |a|，d ＝b |b|，则c ·d ＝( ) A.14B ．12 C.32 D ．34(2)(多选)已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB→|，下列结论正确的是( ) A.CA→在CB →方向上的投影长为－ 3 B.OA →·AB →＝OA →·AC →C.CA→在CB →方向上的投影长为 3 D.OB →·AB →＝OC →·AC→ 【解析】 (1)c ·d ＝a |a|·b |b|＝|a||b|cos a ，b |a||b|＝cos π3＝12.故选B.(2)由OA→＋AB →＋AC →＝0得OB →＝－AC →＝CA →，所以四边形OBAC 为平行四边形．又O 为△ABC 外接圆的圆心，所以|OB→|＝|OA →|，又|OA →|＝|AB →|，所以△OAB 为正三角形．因为△ABC 的外接圆半径为2，所以四边形OBAC 是边长为2的菱形，所以∠ACB ＝π6，所以CA →在CB →上的投影为|CA →|cos π6＝2×32＝3，故C 正确．因为OA →·AB→＝OA →·AC →＝－2，OB →·AB →＝OC →·AC→＝2，故B ，D 正确．【答案】 (1)B (2)BCD计算向量数量积的三个角度(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．1．已知向量a ，b 满足a ·(b ＋a )＝2，且a ＝(1，2)，则向量b 在a 方向上的投影为( )A.55 B ．－55 C ．－255D ．－355解析：选D.由a ＝(1，2)，可得|a |＝5，由a ·(b ＋a )＝2，可得a ·b ＋a 2＝2，所以a ·b ＝－3，所以向量b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－355.故选D.2．(2020·重庆第一中学月考)已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a ，c 的数量积为( )A ．0B ．－2a 2C ．2a 2D ．－a 2解析：选A.由非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，可得c ＝－(a ＋b )，所以a ·c ＝a ·[－(a ＋b )]＝－a 2－a ·b ＝－a 2－|a |·|b |·cosa ，b．由于a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，所以a ·c ＝－a 2－|a |·|b |cos 120°＝－|a |2－2|a |2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.故选A.3．(一题多解)(2020·武昌区高三调研)在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝π2，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上一点，且BP ＝2P A ，那么CP →·CA →＋CP →·CB→＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4解析：选D.通解：由已知得|CA →|＝|CB →|＝2，CA →·CB→＝0，AP →＝13(CB →－CA →)，所以CP →·CA →＋CP →·CB →＝(CA →＋AP →)·CA →＋(CA →＋AP →)·CB →＝|CA →|2＋AP →·CA →＋CA →·CB →＋AP →·CB →＝|CA →|2＋13(CB →－CA →)·(CB→＋CA →)＝|CA →|2＋13|CB →|2－13|CA →|2＝22＋13×22－13×22＝4. 优解：由已知，建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0，0)，A (2，0)，B (0，2)，设P (x ，y )．因为BP ＝2P A ，所以BP →＝2P A →，所以(x ，y －2)＝2(2－x ，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43y ＝23，所以CP →·CA →＋CP →·CB →＝(43，23)·(2，0)＋(43，23)·(0，2)＝4.故选D.平面向量数量积的应用角度一 求两平面向量的夹角(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos〈a ，a ＋b 〉＝( )A ．－3135B ．－1935 C.1735D ．1935(2)(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉＝( )A.73 B ．23 C.79D ．29【解析】 (1)由题意，得a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝25－6＝19，|a ＋b |＝a2＋2a·b ＋b2＝25－12＋36＝7，所以cosa ，a ＋b＝a·（a ＋b ）|a||a ＋b|＝195×7＝1935，故选D.(2)因为a ，b 是单位向量，所以|a |＝|b |＝1.又因为a ·b ＝0，c ＝7a ＋2b ，所以|c |＝（7a ＋2b ）2＝3，a ·c ＝a ·(7a ＋2b )＝7， 所以cos 〈a ，c 〉＝a·c |a||c|＝73.因为〈a ，c 〉∈[0，π]，所以sin 〈a ，c 〉＝23.故选B. 【答案】 (1)D (2)B求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系．(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x1x2＋y1y2x21＋y 21·x 2＋y 2.角度二 求平面向量的模(2020·四川双流中学诊断)如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，AB →与AC →的夹角为60°，则|MA→|＝________．【解析】 因为M 为BC 的中点，所以AM→＝12(AB →＋AC →)，所以|MA→|2＝14(AB →＋AC →)2 ＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝134， 所以|MA→|＝132. 【答案】 132求向量的模或其范围的方法(1)定义法：|a |＝a2＝a·a ，|a ±b |＝（a±b ）2＝a2±2a·b ＋b2. (2)坐标法：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x2＋y2.(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．[提醒] (1)求形如m a ＋n b 的向量的模，可通过平方，转化为数量的运算． (2)用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角不等式进行最值的求解．角度三 两平面向量垂直问题已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP→⊥BC →，则实数λ的值为________．【解析】 因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0.又AP→＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0， 所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－9λ＋4＝0.解得λ＝712.【答案】 712有关平面向量垂直的两类题型根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|a ＋2b |＝( ) A ．22 B ．25 C.17D ．15解析：选 C.因为a －b ＝(3，2)，所以|a －b |＝5，所以|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝5－2a ·b ＝5，则a ·b ＝0，所以|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝17，所以|a ＋2b |＝17.故选C.2．(多选)设a ，b 是两个非零向量，则下列命题为假命题的是( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 解析：选ABD.对于A ，若|a ＋b |＝|a |－|b |， 则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |，得a ·b ＝－|a ||b |≠0，a 与b 不垂直，所以A 为假命题；对于B ，由A 解析可知，若a ⊥b ，则|a ＋b |≠|a |－|b |，所以B 为假命题； 对于C ，若|a ＋b |＝|a |－|b |， 则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |， 得a ·b ＝－|a ||b |，则cos θ＝－1，则a 与b 反向，因此存在实数λ，使得b ＝λa ，所以C 为真命题． 对于D ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则a ·b ＝λ|a |2，－|a ||b |＝λ|a |2，由于λ不能等于0， 因此a ·b ≠－|a ||b |，则|a ＋b |≠|a |－|b |， 所以D 不正确． 故选ABD.3．(一题多解)已知正方形ABCD ，点E 在边BC 上，且满足2BE →＝BC →，设向量AE→，BD →的夹角为θ，则cos θ＝________． 解析：方法一：因为2BE→＝BC →，所以E 为BC 的中点．设正方形的边长为2，则|AE →|＝5，|BD →|＝22，AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →·(AD →－AB →)＝12|AD →|2－|AB →|2＋12AD →·AB →＝12×22－22＝－2，所以cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.方法二：因为2BE→＝BC →，所以E 为BC 的中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则点A (0，0)，B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，所以AE →＝(2，1)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.答案：－1010向量数量积的综合应用在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．【解】 (1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝bsin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得()422＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1.故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． Ｋ在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，2cos 2 C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m·n ＝0.(1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，所以cos C ＝12，而∠C ∈(0，π)，所以∠C ＝π3. (2)由AD→＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， 所以2CD→＝CA →＋CB →， 两边平方得4|CD→|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.①又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ， 所以a 2＋b 2－ab ＝12.②由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝23.核心素养系列4 逻辑推理——平面向量与三角形的“四心”三角形的“四心”：设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA→＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔a OA→＋b OB →＋c OC →＝0. 类型一 平面向量与三角形的“重心”问题已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP→＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC→]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点【解析】 取AB 的中点D ，则2OD→＝OA →＋OB →， 因为OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， 所以OP→＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →] ＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →，而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，所以P ，C ，D 三点共线，所以点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心． 【答案】 C类型二 平面向量与三角形的“内心”问题在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP→＝xOB →＋yOC→，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B ．1463 C ．43D ．62【解析】 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， 所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463. 【答案】 B类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心【解析】 因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC→|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．【答案】 B类型四 平面向量与三角形的“外心”问题已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO→＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫45，35 B ．⎝⎛⎭⎪⎫35，45C.⎝⎛⎭⎪⎫－45，35 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－35，45【解析】 取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC→， OM →＝AM →－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →－xAB→. 由OM →⊥AB →，得⎝⎛⎭⎪⎫12－x AB →2－yAC →·AB→＝0，①由ON →⊥AC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →2－xAC →·AB→＝0，② 又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB2→， 所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC →22＝－12，③把③代入①，②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35.故实数对(x ，y )为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.【答案】 A[A 级 基础练]1．设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53D ．32解析：选A.c ＝a ＋k b ＝(1，2)＋k (1，1)＝(1＋k ，2＋k )，因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，b ·c ＝(1，1)·(1＋k ，2＋k )＝1＋k ＋2＋k ＝3＋2k ＝0，所以k ＝－32.2．若向量OF1→＝(1，1)，OF2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A.10 B ．25 C.5D ．15解析：选 C.由于F 1＋F 2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F 1＋F 2|＝（－2）2＋（－1）2＝5.3．(2020·贵阳市第一学期监测考试)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.109 B ．259 C.269D ．89解析：选A.方法一：因为|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2，所以AB →·AC →＝0，即∠BAC ＝90°.所以AE →·AF →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋13（AC →－AB →）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AC →－13（AC →－AB →）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB→＋13AC →·(23AC →＋13AB →)＝29AB →2＋29AC →2＝109，故选A.方法二：因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2，所以AB →·AC →＝0，即AB→⊥AC →，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (0，1)，E (23，23)，F (43，13)，所以AE →·AF →＝(23，23)·(43，13)＝89＋29＝109，故选A.4．(多选)在△ABC 中，下列命题正确的是( ) A.AB→－AC →＝BC →B.AB→＋BC →＋CA →＝0 C ．若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形D ．若AC→·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形 解析：选BC.由向量的运算法则知AB →－AC →＝CB →；AB →＋BC →＋CA →＝0，故A 错，B对；因为(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0， 所以|AB→|2＝|AC →|2，即AB ＝AC ， 所以△ABC 为等腰三角形，故C 对；因为AC →·AB →>0，所以角A 为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选BC. 5．(2020·安徽示范高中名校月考)已知a ，b ，c 均为单位向量，a 与b 的夹角为60°，则(c ＋a )·(c －2b )的最大值为( )A.32 B ．3 C ．2D ．3解析：选B.设c 与a －2b 的夹角为θ.因为|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝3，所以|a －2b |＝3，所以(c ＋a )·(c －2b )＝c 2＋c ·(a －2b )－2a ·b ＝1＋|c ||a －2b |cos θ－1＝3cos θ，所以(c ＋a )·(c －2b )的最大值为3，此时cos θ＝1.故选B.6．(2020·湖南、河南、江西3月联考)设非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |，cos a ，b＝13，a ·(a －b )＝16，则|b |＝________． 解析：因为|a |＝3|b |，cos a ，b＝13，所以a ·(a －b )＝9|b |2－|b |2＝8|b |2＝16，所以|b |＝2.答案：27．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． 解析：因为|a |＝|a ＋2b |， 所以|a |2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2， 所以a ·b ＝－|b |2， 令a 与b 的夹角为θ.所以cos θ＝a·b |a||b|＝－|b|23|b||b|＝－13. 答案：－138．(2020·新高考卷改编)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB→的取值范围是________． 解析：AP →·AB →＝|AP →|·|AB →|·cos ∠P AB ＝2|AP →|·cos ∠P AB ，又|AP →|cos ∠P AB 表示AP →在AB →方向上的投影，所以结合图形可知，当P 与C 重合时投影最大，当P 与F 重合时投影最小．又AC →·AB →＝23×2×cos 30°＝6，AF →·AB →＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P 在正六边形ABCDEF 内部运动时，AP →·AB→∈(－2，6)．答案：(－2，6)9．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )． (1)若a ⊥(a ＋b )，求|b |的值；(2)若a ＋2b ＝(4，－7)，求向量a 与b 夹角的大小． 解：(1)由题意得a ＋b ＝(3，－1＋x )． 由a ⊥(a ＋b )，可得6＋1－x ＝0， 解得x ＝7，即b ＝(1，7)， 所以|b |＝50＝52.(2)由题意得，a ＋2b ＝(4，2x －1)＝(4，－7)， 故x ＝－3，所以b ＝(1，－3)，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝（2，－1）·（1，－3）5×10＝22，因为〈a ，b 〉∈[0，π]， 所以a 与b 的夹角是π4.10．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC→＝0，求t 的值．解：(1)由题设知，AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．所以|AB→＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)方法一：由题设知，OC→＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11， 所以t ＝－115.方法二：AB →·OC →＝tOC →2，AB →＝(3，5)，t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115. [B 级 综合练]11．(多选)(2020·山东九校联考)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →＝－1B.OE→＋OC →＝0 C ．|OA→＋OB →＋OC →|＝32 D.ED→在BC →方向上的投影为76 解析：选BCD.由题意知E 为AB 的中点，则CE ⊥AB ，以E 为原点，EA ，EC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0，0)，A (1，0)，B (－1，0)，C (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233， 设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO→＝(1，y )，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233，因为BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ， 解得y ＝32，即O 是CE 的中点，则OE→＋OC →＝0，所以选项B 正确；|OA→＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32，所以选项C 正确； 因为CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，所以选项A 错误；ED→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)． 故ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确．故选BCD.12．(2020·山东济宁一中月考)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP→＝m AC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP →|的最小值为( )A. 2 B ．43 C ．3D ． 3解析：选 D.令CP→＝k CD →(0<k <1)，则AP →＝AC →＋CP →＝AC →＋k CD →＝AC →＋k (AD →－AC →)＝AC →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →－AC →＝2k 3AB →＋(1－k )AC→＝m AC →＋12AB →，所以1－k ＝m ，2k 3＝12，所以m ＝14，因为△ABC 的面积为23，所以12|AC →|·|AB →|·32＝23，所以|AC →|·|AB→|＝8，所以|AP →|＝116|AC →|2＋14|AB →|2＋18|AC →||AB →|＝1＋116|AC →|2＋16|AC →|2≥3，当且仅当|AC→|＝4时取“＝”，所以|AP →|的最小值为 3.故选D.13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.(1)若AB→⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →； (2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解：(1)由题设知AB→＝(n －8，t )， 因为AB→⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0. 又因为5|OA →|＝|AB →|，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8， 所以OB→＝(24，8)或OB →＝(－8，－8)． (2)由题设知AC→＝(k sin θ－8，t )，因为AC→与a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k . 因为k >4，所以0<4k <1，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k ， 由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)， 所以OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.14．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC→|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC→＋OD →|的最小值；(2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解：(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)， 由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC→＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22， 所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，所以当t ＝22时，|OC→＋OD →|有最小值，最小值为22.(2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC→＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4，因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1. 所以当θ＝π8时，m ·n 取得最小值，为1－2.[C 级 创新练]15．在Rt △ABC 中，∠C 是直角，CA ＝4，CB ＝3，△ABC 的内切圆与CA ，CB分别切于点D ，E ，点P 是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若CP →＝xCD →＋yCE →，则x ＋y 的值可以是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选 B.设△ABC 内切圆的圆心为O ，半径为r ，连接OD ，OE ，则OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，所以3－r ＋4－r ＝5，解得r ＝1，故CD ＝CE ＝1，连接DE ，则当x ＋y ＝1时，P 在线段DE 上，但线段DE 均不在阴影区域内，排除A ；在AC 上取点M ，在CB 上取点N ，使得CM ＝2CD ，CN ＝2CE ，连接MN ，所以CP→＝x 2CM →＋y2CN→，则当点P 在线段MN 上时，x 2＋y 2＝1，故x ＋y ＝2.同理，当x ＋y ＝4或x ＋y ＝8时，点P 不在△ABC 内部，排除C ，D ，故选B.16．定义两个平面向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin a ，b，则关于平面向量上述运算的以下结论中，①a ⊗b ＝b ⊗a ； ②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ； ③若a ＝λb ，则a ⊗b ＝0；④若a ＝λb 且λ>0，则(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )． 正确的序号是________．解析：①恒成立，②λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin a ，b，(λa )⊗b ＝|λa |·|b |sina ，b，当λ<0时，λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b 不成立，③a ＝λb ，则sin a ，b＝0，故a ⊗b ＝0恒成立，④a ＝λb ，且λ>0，则a＋b＝(1＋λ)b，(a＋b)⊗c＝|1＋λ||b|·|c|sin b，c，(a⊗c)＋(b⊗c)＝|λb|·|c|sin b，c＋|b|·|c|sin b，c＝|1＋λ||b|·|c|sin b，c，故(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)恒成立．答案：①③④。
2015年高考数学一轮复习课时训练第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
第3节平面向量的数量积及平面向量的应用课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013年高考大纲全国卷)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ等于( B )(A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1解析:m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),由题意知(m+n)·(m-n)=0,即-(2λ+3)-3=0,因此λ=-3.故选B.2.(2013年高考湖北卷)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为( A )(A) (B)(C)-(D)-解析:=(2,1),=(5,5),设,的夹角为θ,则在方向上的投影为||cos θ===.故选A.3.若向量a、b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a+b|等于( B )(A)2(B)2(C)4 (D)12解析:|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos 60°=4+4+2×2×2×=12,|a+b|=2.故选B.4.(2013广东高三综合测试)对于任意向量a、b、c,下列命题中正确的是( D )(A)|a·b|=|a||b| (B)|a+b|=|a|+|b|(C)(a·b)c=a(b·c) (D)a·a=|a|2解析:a·a=|a|·|a|cos 0°=|a|2.故选D.5.(2013潮州市高三期末质检)平面四边形ABCD中,+=0,(-)·=0,则四边形ABCD是( B )(A)矩形(B)菱形(C)正方形(D)梯形解析:由+=0,得=-=,故平面四边形ABCD是平行四边形,又(-)·=0,故·=0,所以DB⊥AC,即对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.6.(2013浙江金丽衢十二校联考)在△ABC中,=(cos 18°,cos 72°),=(2cos 63°,2cos 27°),则角B等于( B ) (A)(B)(C)(D)解析:·=2cos 18°cos 63°+2cos 72°cos 27°=2sin 27°cos 18°+2cos 27°sin 18°=2sin(27°+18°)=2sin 45°=.而||=1,||=2,∴cos B==,又B∈(0,π),故B=.故选B.7.(2013河北唐山一模)已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为( C )(A)(B)(C)(D)解析:设a与b的夹角为θ,由|a|=1,|b|=2,得(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=1+1×2×cos θ-2×4=-6,解得cos θ=.再由0≤θ≤π可得θ=.故选C.二、填空题8.一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1、F2成60°角,且F1、F2的大小分别为2和4,则F3的大小为.解析:由题意知F3=-(F1+F2),∴|F3|=|F1+F2|,∴|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,∴|F 3|=2.答案:29.(2013佛山质检(二))已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,(a-b)⊥a,向量a与b的夹角为.解析:∵(a-b)⊥a,∴(a-b)·a=a2-a·b=0,∴a·b=1,设a与b夹角θ则cos θ==,又θ∈[0,π],所以θ=.答案:10.(2013广东六校联考)如图所示,等边△ABC中,AB=2AD=4AE=4,则·= .解析:=+=-+,=+=-+,·=(-+)·(-+)=·--=×4×4cos A-×42-×42=9-8-4=-3.答案:-311.(2013清远市调研)定义:对于向量a,b的运算a×b的结果是一个向量,它的方向与a,b都平行的平面垂直,a×b的长度(即模)为|a×b|=|a|·|b|sin θ,其中θ为a与b的夹角,若a=(1,2),b=(2,1),计算||= .解析:由已知可得cos θ==,故sin θ=,据已知定义可得||==.答案:三、解答题12.已知a=(1,2),b=(-2,n)(n>1),a与b的夹角是45°.(1)求b;(2)若c与b同向,且a与c-a垂直,求c.解:(1)∵a·b=2n-2,|a|=,|b|=,∴cos 45°===,∴3n2-16n-12=0(n>1).∴n=6或n=-(舍).∴b=(-2,6).(2)由(1)知,a·b=10,|a|2=5.又∵c与b同向,∴可设c=λb(λ>0).∵(c-a)·a=0,∴λb·a-|a|2=0.∴λ===.∴c=b=(-1,3).13.设a=(1+cos x,1+sin x),b=(1,0),c=(1,2).(1)求证:(a-b)⊥(a-c);(2)求|a|的最大值,并求此时x的值.(1)证明:由已知得a-b=(cos x,1+sin x),a-c=(cos x,sin x-1),则(a-b)·(a-c)=(cos x,1+sin x)·(cos x,sinx-1)=cos2x+sin2x-1=0.故(a-b)⊥(a-c).(2)解:|a|===≤=+1.当sin=1,即x=+2kπ(k∈Z)时,|a|有最大值+1.B组14.(2013肇庆中小学质量评估检测)定义空间两个向量的一种运算a ⊗b=|a|·|b|sin <a,b>,则关于空间向量上述运算的以下结论中,①a⊗b=b⊗a;②λ(a⊗b)=(λa)⊗b;③(a+b)⊗c=(a⊗c)+(b⊗c);④若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊗b=|x1y2-x2y1|.恒成立的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①显然恒成立;②λ(a⊗b)=λ|a|·|b|sin<a,b>,(λa)⊗b=|λa|·|b|sin<λa,b>,当λ<0时,λ(a⊗b)=(λa)⊗b不成立.③当a,b,c不共面时,(a+b)⊗c=(a⊗c)+(b⊗c)不成立,例如取a,b,c为两两垂直的单位向量,易知(a+b)⊗c=,(a⊗c)+(b⊗c)=2.④由a⊗b=|a|·|b|·sin <a,b>,a·b=|a|·|b|cos <a,b>,可知(a⊗b)2+(a·b)2=|a|2·|b|2,(a⊗+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2,故ab)2=|a|2·|b|2-(a·b)2=(+)(+)-(x⊗b=|x1y2-x2y1|恒成立,故恒成立的个数是2.故选B.15.(2013年高考天津卷)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E 为CD的中点.若·=1,则AB的长为.解析:如图·=(+)·(+)=(+)·(-)=·-·+·-·=||||×-||2+1=1.得||=||=,则AB的长为.答案:16.(2013年高考陕西卷)已知向量a=(cos x,-), b=(sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在[0,]上的最大值和最小值.解:f(x)=(cos x,-)·(sin x,cos 2x)=cos xsin x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=cos sin 2x-sin cos 2x=sin2x-.(1)f(x)的最小正周期为T===π,即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤.由正弦函数的性质,知当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1.当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值-,因此,f(x)在[0,]上的最大值是1,最小值是-.。
高考数学总复习第四篇平面向量(必修4)第3节《平面向量的数量积及平面向量的应用》
反思归纳
(1)求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量 积的几何意义. (2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减运算或 数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是 相等还是互补.
【跟踪训练 1】 (1)(2018·浙江温州一模)已知△ABC 的边 BC 的垂直平分线交
BC 于 Q,交 AC 于 P,若| AB |=1,| AC |=2,则 AP · BC 的值为( )
(A)3
(B) 3 2
(C) 3 (D) 3 2
解析:(1)因为 BC 的垂直平分线交 BC 于 Q,所以 QP · BC =0, AP · BC =( AQ + QP )· BC = AQ · BC + QP · BC
结论
几何表示
坐标表示
模
夹角
a⊥b 的 充要条件 |a·b|与
|a||b| 的关系
|a|=__a__a___ cos θ= a b
ab
__a_·_b_=_0___
|a·b|≤_|_a_|_|_b_|__ (当且仅当 a∥b 时等号成立)
|a|= x12 y12 cos θ= x1x2 y1y2
x12 y12 x22 y22
AB · BC =
.
解析:(2)在△ABC 中,| AB + AC |=| AB - AC |,可得| AB + AC |2=| AB - AC |2,
即有
2
AB
+
2
AC
+2
AB
·
AC
=
2
AB
+
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4．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ，|a|＝2，|b|＝ 3，则向 量 a 和向量 b 的数量积 a· b＝________.
3 解析 a· b＝2× 3× 2 ＝3.
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高考这样考 1.直接利用数量积进行平面向量的运算． 2.利用平面向量的数量积计算两个向量的夹角问题． 3.利用平面向量的数量积解决垂直问题.
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备考这样做 1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法． 2.理解数量积的运算性质． 3.利用数量积解决向量的几何问题.
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D 读教材· 抓基础
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【答案】
(1)－25
5 (2) 2
【规律方法】 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义； 利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度 创造性地解题，充分利用了已知条件．
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→ → 方法 2：由图知，无论 E 点在哪个位置，DE在CB方向上的投 影都是 CB＝1，
→ → → ∴DE· CB＝|CB|· 1＝1，
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(4)若 a， b∈R， 则|a· b|＝|a|· |b|， 但对于向量 a， b， 却有|a· b|≤|a||b|， 等号当且仅当 a∥b 时成立．
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解析
答案 D
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3．设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a⊥b，则|a＋b| ＝( ) A. 5 C．2 5 B. 10 D．10
解析 ∵a⊥b，∴a· b＝0，即 x－2＝0，∴x＝2. ∴a＝(2,1)， ∴a2＝5， b2＝5， |a＋b|＝ a＋b2＝ a2＋2a· b＋b2 ＝ 5＋5＝ 10.
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疑 点 清 源 1．对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的 有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同， 再观察夹角． (2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时， 其夹角为 0，共线且反向时，其夹角为 π. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向 量夹角的范围．
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→ → 当 E 运动到 B 点时， DE在DC方向上的投影最大即为 DC＝1， → → → ∴(DE· DC)max＝|DC|· 1＝1.
可知 B 是错误的．
答案 B
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2．已知|a|＝4，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120° ，则 b 在 a 方向 上的投影为( A．2 C．－2 ) 3 B.2 3 D．－2
3 |b|cosθ＝3cos120° ＝－ . 2
3．平面向量数量积的重要性质
|a|cosθ (1)e· a＝a· e＝___________ ； a· b＝0 (2)非零向量 a，b，a⊥b⇔____________； |a||b| ； (3)当 a 与 b 同向时，a· b＝________
－|a||b| ， a2 ，|a|＝________； 当 a 与 b 反向时，a· b＝_________ a· a＝___
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→ → → → → → 【思维启迪】 (1)找出AB与BC、BC与CA、CA与AB的夹角是 问题的关键． a· b (2)利用投影的定义 |b| 求解．
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答案 3
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5．已知|a|＝1，|b|＝6，a· (b－a)＝2，则向量 a 与 b 的夹角 θ ＝________.
解析 ∵a· (b－a)＝a· b－a2＝2，∴a· b＝2＋a2＝3. a· b 3 1 ∴cosθ＝ ＝ ＝ . |a|· |b| 1×6 2 π ∴向量 a 与 b 的夹角为3.
a· (λb) (2)(λa)· b＝λ(a· b)＝__________ (λ 为实数)； a· c＋b· c (3)(a＋b)· c＝____________.
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5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第三节 ►► 平面向量数量积与平面向量应用举例
读教材· 抓基础
研考点· 知规律
拓思维· 培能力
x1x2＋y1y2 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a· b＝________________ ，
由此得到：
2 2 2 2 x ＋ y x ＋ y (1)若 a＝(x，y)，则|a| ＝__________，或|a|＝___________.
2
→ (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|＝|AB|
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2．平面向量数量积的几何意义
|b|cosθ 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影_________
的乘积．
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听课记录
π (1)如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且 B＝2，cosA 3 4 ＝ ，cosC＝ ， 5 5
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→ → → → → → ∴AB· BC＋BC· CA＋CA· AB → → → → ＝BC· CA＋CA· AB ＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A) ＝－20cosC－15cosA 4 3 ＝－20×5－15×5＝－25. 2e1 a· b e1＋3e2· (2)a 在 b 方向上的投影为 |b| ＝ |2e1| 2e2 e2 2＋3 5 1＋6e1· ＝ ＝ ＝ . 2 2 2
π 答案 3
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Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
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题型一
平面向量数量积的运算
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基 础 自 评 1．已知向量 a，b 和实数 λ，下列选项中错误的是( A．|a|＝ a· a C．λ(a· b)＝λa· b
解析
)
B．|a· b|＝|a|· |b| D．|a· b|≤|a|· |b|
|a· b|＝|a|· |b||cosθ|， 只有 a 与 b 共线时， 才有|a· b|＝|a||b|，
规定：零向量与任一向量的数量积为_______. 0
a· b＝0 两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是__________ ，两个非 a· b＝± |a||b| 零向量 a 与 b 平行的充要条件是_________________.
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→ → → 【例 1】 (1)已知点 A，B，C 满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5， → → → → → → 则AB· BC＋BC· CA＋CA· AB的值是________． π (2)(2013· 江西卷)设 e1，e2 为单位向量，且 e1，e2 的夹角为3， 若 a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量 a 在 b 方向上的投影为________．
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第四章
第三节
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新课标A版数学
解析