浙江省台州市书生中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题

浙江省台州市书生中学2020-2021学年高二下学期期末数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}
13A x x =-≤<，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =（ ）
A ．{}0,1
B ．{}1,0,1-
C ．
1,0,1,2
D ．{}2,1,0,1,2--
2．已知复数11i
z i
+=-，则z =（ ）
A ．2
B
C ．0
D ．1
3．6
1x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．20-
B ．20
C ．30-
D ．30
4．设a ，b R ∈，则“a b >”是“ln ln a b >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不
必要条件 5．函数()2x x
x
f x e e -=
+的大致图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1AA 中点，F 为线段11C D 上靠近1D 的三等分点，则异面直线1A B 与EF 所成角的余弦值为( )
A ．
114
B ．
14
C D ．
17
7．已知2
0b <<，随机变量X 的分布列如图：
则当b 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小 C ．()D X 先增后减 D ．()D X 先减后增
8．若函数()1ln 1x
f x x x
-=-+，且()()210f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．11,23⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
9．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，
过点1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若
20AB BF ⋅=，且
12150
F AF ∠=，则2e =( )
A ．7-
B ．7
C ．7
D ．7+
10．已知数列{}n a 满足101a <<，()142
n n n a t
a t R a ++=
∈+，若对于任意*n N ∈，都有
103n n a a +<<<，则t 的取值范围是（ ）
A ．(]1,3-
B ．[]0,3
C ．()3,8
D ．()8,+∞
二、双空题
11．已知实数x 、y 满足条件0220y y x x y ⎧⎪
⎨⎪+-⎩
，则2x y -的最小值为__________，最大
值为__________.
12．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为_______表面积为_______．
13．在ABC 中，6
A π
=
，A 的角平分线AD 交BC 于点D ，
若AB =
，AC =则，BC =_______，AD =_______．
14．设函数()2,0
1,04x e x f x x x x ⎧≤⎪
=⎨-++>⎪
⎩
则()0f f ⎡⎤=⎣⎦_______；
若方程()f x b =有且仅有1个实数根，则实数b 的取值范围是_______．
三、填空题
15．某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有_______． 16．己知0x >，0y >，且212+=x y ，若23
22
+≥-x y m m 恒成立，则实数m 的取值范围_______．
17．已知向量a ，b 满足||3a =，1b ||=，若存在不同的实数()1212,0λλλλ≠，使得
3i i i c a b λλ=+，且()()0(1,2),i i i c a c b -⋅-==则12c c -的取值范围是__________
四、解答题
18．已知函数(
))2sin cos =+∈f x x x x x R ． （1）求12π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
f 的值 （2）若0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的取值范围；
19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD
，1AB
AA ==
（1）证明：1A C BD ⊥；
（2）求直线AC 与平面11BB D D 所成的角θ的大小.
20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知342n n S a =-（1n ≥且n ∈+N ），n T 是数列
{}2log n a 的前n 项和．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求满足231112021
1114040
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
-⋯-≥
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n T T T 的最大正整数n 的值． 21．已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>以抛物线28y x =的焦点为顶点，且离心率为
1
2
. （1）求椭圆E 的方程；
（2）若直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线4x =-相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP OA OB =+（其中O 为坐标原点），试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP TQ ⋅为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP TQ ⋅的值；若不存在，请说明理由.
22．已知函数()()3
3
R 33f x x ax a a =++∈+
（1）讨论函数()f x 的单调性
（2）若函数()f x 恰有一个零点0x ，且00x <． （i ）求a 的取值范围； （ii ）求0x 的最大值
参考答案
1．C 【分析】
直接利用集合交集的定义进行运算即可. 【详解】
因为{}
13A x x =-≤<，{}2,1,0,1,2B =--，由交集的定义可得
A B =
1,0,1,2.
故选：C 【点睛】
本题考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道基础题. 2．D 【分析】 先将复数11i
z i
+=-化简，再求模长即可. 【详解】
()2
22
1112=112
i i i i z i i i ++++===--
||1z ∴==
故选：D 【点睛】
此题考查复数的化简和模长计算公式，属于简单题目. 3．A 【分析】
首项写出展开式的通项，再令x 的指数为1，从而计算可得； 【详解】
解：二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()66216611r
r r r r r
r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，
令620r -=，解得3r =，所以()3
3
46120T C =-=-
故选：A
本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．B 【分析】
根据ln y x =的定义域和单调性，判断充分必要条件. 【详解】
ln y x =的定义域是()0,∞+，并且单调递增，
当a b >时，不能推出ln ln a b >，因为有可能不满足定义域，但当ln ln a b >时，a b >成立，所以“a b >”是“ln ln a b >”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断，属于基础题型. 5．D 【分析】
判断函数的奇偶性，可排除A ，B ；利用基本不等式，可排除C. 【详解】 ∵()()2x
x x f x
e e
f x -+--=
=-
∴()f x 为奇函数， 图象关于原点对称，排除A ，B 当0x >时，()
f x x <=，排除C
故选：D 【点睛】
本题主要考查函数图象和性质等基础知识，考查特殊与一般等思想方法. 6．B 【分析】
以1D 为坐标原点，以11111,,D A D C D D 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，再利用
111|cos ,|||
A B EF
A B EF A B EF ⋅〈〉=
⋅即可求解.
如图建立空间直角坐标系，则知1(3,0,0)A ，(3,3,3)B ，33,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，(0,1,0)F ，
所以1(0,3,3)
A B =，33,1,2EF ⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
，
所以1113|cos ,|14||3A B EF A B EF A B EF ⋅〈〉=
==⋅.
故选：B. 【点睛】
本题考查了空间向量法求线面角、考查了基本运算能力，属于基础题. 7．A 【分析】
根据期望及方差公式计算即可得到答案. 【详解】 由已知，23
a b +=
，1
()3E X b =-+，
所以()22111[1()]()333D X b b a =---
+⨯+-+⨯+21
[1()]3
b b --+⨯ 2252511()39612b
b b =-++=--+，所以当b 在20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
内增大时，()D X 增大.
故选：A 【点睛】
本题主要考查根据分布列求随机变量的均值及方差，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
8．C 【分析】
首先求出函数的定义域，判断函数出()f x 为奇函数且在()1,1-上单调递减，利用单调性以
及奇偶性可得11112121a a a a -<-<⎧⎪
-<<⎨⎪<-⎩
，解不等式组即可.
【详解】
由题知()f x 的定义域为()1,1-，且()12ln ln 111x f x x x x x -⎛⎫
=-=-- ⎪++⎝⎭
， 所以()f x 为奇函数且在()1,1-上单调递减， 由()()210f a f a +->，
可知()()21f a f a >-，于是有111
12121a a a a
-<-<⎧⎪-<<⎨⎪<-⎩
，解得1
03a <<.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查函数基本性质、不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力、抽象概括能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等思想方法，属于基础题. 9．A 【解析】
如图：
20AB BF ⋅=
2AB BF ∴⊥，1290F BF ∠
= 12150F AF ∠=，1230B AF ∴∠
=
设2BF x =，则22AF x =
，AB =
由双曲线定义可得：12
2F A AB BF a +-=
12F A a x ∴=+
212AF AF a -=，122F A x a =-
故222x a a x -=+
，解得)
21x a =
则1F B = 在12Rt
F BF 中，由勾股定理可得：2221212F B BF F F +=
即(
))()2
2
2
2
12a c ⎡⎤+=⎣
⎦
得(2
2
7a c -=
27e ∴=-
故选A
点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，依据题意得到直角三角形，本题的关键是求出三角形三边的长度与a 的数量关系，借助勾股定理求出离心率的取值，本题属于中档题，需要理解关键步骤． 10．B 【分析】
利用排除法，将3t =，1
2
t =-代入验证排除，即可得结果. 【详解】
解：用排除法：当3t =时，143
2
n n n a a a ++=+，明显有0n a >，
下面用数学归纳法证明3n a <， 当1n =时，1013a <<<，成立； 假设当n k =时，3k a <成立，
则当1n k =+时，14355
4432232
k k k k a a a a ++=
=-<-=+++，
所以当1n k =+时，13k a +<成立， 综上：对任意*n N ∈，都有3n a <；
另外()2
1(3)1434320222
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +-++++---=-==>+++， 所以1n n a a +<，
所以当3t =时，103n n a a +<<<恒成立，排除CD ；
当1
2t =-时，142
12n n n a a a +=+-，若1n =，则12141
22a a a -=+，因为101a <<，此时20a <是
有可能的，故排除A ， 故选：B. 【点睛】
本题考查数列的函数性质，如单调性，值域，利用排除法可方便得出结果，是一道难度较大的题目. 11．2
3
-
2. 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案. 【详解】
由实数x 、y 满足条件0220y y x x y ⎧⎪
⎨⎪+-⎩
作出可行域如图，
化目标函数2z x y =-为22
x z
y =-， 由图可知，当直线22
x z
y =
-过B 时直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值，等于2202-⨯=. 由220
y x x y =⎧⎨+-=⎩，解得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
当直线22x z
y =
-过A 时直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，等于2222333
-⨯=-. 故答案为：2
3
-
；2.
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
12．
3
8++ 【分析】
（1）首先由三视图还原几何体，再根据几何体和线面的位置关系，计算几何体的体积；（2）分别求每个面的面积，再求和. 【详解】
（1）由三视图可知，几何体是四棱锥，如图所示，
底面ABCD 是正方形，PAB △是正方形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，
点P 到平面ABCD 的距离2d ==，
1
223P ABCD V -∴=⨯⨯=
（2）ADP △和PBC 是直角边为2的等腰直角三角形，1
2222
ADP
S
=⨯⨯=，
PDC △是等腰三角形，PD PC ==2DC =,
DC ∴边上的高h =
=，
所以四棱锥的表面积11
222222822
S =⨯+
⨯⨯+⨯=
故答案为：3
；8+【点睛】
本题考查三视图，几何体的体积和表面积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型.
13
【分析】
利用余弦定理可得BC 的长，在ADC 中由正弦定理可得AD 的长. 【详解】
在ABC 中，由余弦定理，
222
2cos 2622BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-=，所以BC =；
所以ABC 为等腰三角形，120B ∠=，30A C ==， 在ADC 中，15135ADC B ∠=∠+=，
由正弦定理，
sin sin AD AC C ADC =∠，即6
sin 30AD =，解得AD =.
【点睛】
本题主要考查正余弦定理解三角形，考查学生数学运算求解能力，是一道容易题. 14．
14 0b ≤或1
12
b <≤
【分析】
（1）直接代入求值；（2）首先画出函数()y f x =的图象，转化为()y f x =与y b =的图象有1个交点时，根据图象求实数b 的取值范围. 【详解】
（1）()0
01f e ==，()()11
011144f f f ==-++=⎡⎤⎣⎦；
（2）方程()f x b =有且仅有1个实数根，即y b =与()y f x =的图象有1个交点，
当0x >时，2
2
111422y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝
⎭，max 12y =，
画出函数()y f x =的图象，由图可知当y b =与()y f x =只有1个交点时，0b ≤或
1
12
b <≤
故答案为：14；0b ≤或1
12
b <≤ 【点睛】
本题考查分段函数求值，根据方程实根个数求参数的取值范围，重点考查函数与方程的思想，属于基础题型. 15．300 【分析】
根据题意，分2步进行分析：①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，分2步进行分析：
①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有
551602
A ⨯=种情况， ②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况， 则有605300⨯=种不同的顺序， 故答案为：300． 【点睛】
本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 16．3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【分析】
利用“1”的替换求出2x y +的最小值92
，再解不等式2
3922m m -≤即可.
【详解】
因为12112219
2()(2)(5)(54)2222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当22y x x y
=，
即32x y ==
时等号成立，所以2
3922m m -≤，解得332m -≤≤.
故答案为：3
,32⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，涉及到解一元二次不等式，是一道中档题.
17．222⎡⎡⎣⎣
，
【分析】
设a b k ⋅=，(
)()
0i i c a c b -⋅-=变形（数量积的运算）得12,λλ是方程
26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，利用韦达定理求得12λλ-，则
12123c c a b λλ-=-+可表示为k 的函数，由k 的范围可得结论，在题中注意k 的范围的
确定． 【详解】
111(1)3c a a b λλ-=-+，111(31)c b a b λλ-=+-，
设a b k ⋅=（33k -≤≤），由()()
110c a c b -⋅-=得2
11()0c a b c a b -+⋅+⋅=，
整理得2
116(3)4(3)0k k k λλ+-++=， 同理2
226(3)4(3)0k k k λλ+-++=，
所以12,λλ是方程2
6(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，由120λλ≠得0k ≠，
3k =-时方程无解，故0k ≠且3k ≠-，8(3)(6)0k k ∆=+->，
1223
λλ+=，126(3)
k
k λλ=
+，
所以
12λλ-==
=， 2
2
2
3(3)696(a b a b a a b b k +=+=+⋅+=+
所以12121236(c c a b k λλλ-=-+=
-=
由33k -<≤且0k ≠得12c c -的范围是[2,(22,2．
故答案为：[2,(22,2．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，解题关键是设a b k ⋅=后通过数量积的运算把12,λλ是方程
26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，这样可用韦达定理求得12λλ-，从而求得目标
12c c -关于k 的函数，属于难题．
18．（1）-1；（2）,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
. 【分析】
（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式化简，再代入求值即可； （2）根据x 的范围求出23
x π
-的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：（1）因为())2sin cos =+∈f x x x x x R
所以())
1cos 211 sin 2sin 22sin 22
223π-⎛
⎫=
+==- ⎪⎝
⎭x f x x x x x ，sin 2112123f πππ⎛⎫
⎛⎫∴-=⨯--=- ⎡⎤⎢⎪⎥⎣⎦
⎪⎝⎭⎝⎭
（2）
02x π
≤≤
，22333
x πππ∴-≤-≤，
∴当23
3
x π
π
-
=-
时，即0x =时，()f x 的最小值为，
当232x ππ
-=时，即512x π
=时，()f x 的最大值为1，即()f x 的取值范围为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，属于中档题. 19．（1）证明见解析；（2）4
π
【分析】
（1）通过线面垂直判定定理证明BD ⊥平面1ACC A ，进而得到1A C BD ⊥；
（2）取11B D 中点1O ，联结1OO ，1O C ，通过已知条件得出四边形11AOCO 为正方形，得出1COO ∠即为所求角，进而可得结果. 【详解】
（1）由题意易得：BD AC ⊥，又1A O ⊥平面ABCD ，
BD ⊂平面ABCD ，∴1
AO BD ⊥，又1AO AC O ⋂=， ∴BD ⊥平面1ACC A ，又AC ⊂平面11ACC A ， ∴1A C BD ⊥
（2）取11B D 中点1O ，联结1OO ，1O C ，11O A ，
又∵1AB AA ==
ABCD 是正方形，∴1OA OC ==，
由题意易得1
AOA △为直角三角形，∴11A O =， 由棱柱的性质以及1A O ⊥平面ABCD ，可得四边形11AOCO 为正方形， ∴11A C OO ⊥，由（1）得1A C BD ⊥，1BD OO O ⋂=, ∴1A C ⊥面11BB D D ，∴1COO ∠即为所求角，且大小为
4
π
， 即直线AC 与平面11BB D D 所成的角为4
π. 【点睛】
本题主要考查了通过线面垂直得出线线垂直，直线与平面所成角的求法，属于中档题. 20．（1）212n n a -=；（2）2020.
【分析】
（1）由数列{}n a 的前n 项和与项满足342n n S a =-，*n N ∈．消掉和n S 可得数列{}n a 是等比数列，进而求数列{}n a 的通项公式．
（2）由（1）可得22og 1l n
a n =-，则2
n T n =，即可得到121111
1112n n T T T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭，再解不等式即可； 【详解】
解：（
1）因为342n n S a =-
当1n =时，11342S a =-，解得12a =，
当2n 时，11342n n S a --=-，113344n n n n S S a a --∴-=-，即14n n a a -= 因为120a =≠，故0n a ≠，
∴
1
4n
n a a -=，则{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列． 故121
242n n n a --=⋅=．
（2）由（1）得：2221
2
o 1l g log 2n n a n -==-， ()()
221222121log log log 13212
+-=++
+=++
+-∴=
=n n n n T a a a n n ．
即
22222222222
121111112131411
11111123234⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫---=---=⋅⋅⋅
⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭n n T T T n n
()()2222
132435111
2342…⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++=
=⋅⋅⋅⋅n n n n n
， 令
1202124040
+≥n n ，解得2020n ≤．故满足条件的最大正整数n 的值为2020 【点睛】
本题考查数列项与和的转化，等比数列的通项公式，解整数不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（1）22
143
x y +=；
（2）存在，且定点T 的坐标为()1,0-. 【分析】
（1）求出抛物线的焦点坐标可得出a 的值，由椭圆E 的离心率可得c 的值，进而可得出b 的值，由此可求得椭圆E 的方程；
（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出点P 的坐标，由点P 在椭圆E 上得出22443m k =+，并求出点Q 的坐标，设点(),0T t ，计算出OP TQ ⋅，由OP TQ ⋅为定值求出t ，由此可求得定点T 的坐标. 【详解】
（1）抛物线2
8y x =的焦点坐标为()2,0，
由题意可知2a =，且1
2
c e a =
=，1c ∴=
，则b == 因此，椭圆E 的方程为22
143
x y +=；
（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，
联立22143y kx m
x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩
，消去y 并整理得()222
4384120k x kmx m +++-=，
由韦达定理得122843km
x x k +=-
+，则()1212
26243
m y y k x x m k +=++=+， ()12122286,,4343km
m OP OA OB x x y y k k ⎛⎫=+=++=- ⎪++⎝⎭，即点
2286,4343km
m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
，
由于点P 在椭圆E 上，则22
2
281611434433
km m k k ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22
443m k =+，
联立4y kx m x =+⎧⎨
=-⎩，得4
4x y m k =-⎧⎨=-⎩
，则点()4,4Q m k --，
设在x 轴上是否存在一点(),0T t ，使得OP TQ ⋅为定值，()4,4TQ t m k =---，
()()()222
84642188634342
km t m m k k t ktm km m OP TQ k m m ++-+++⋅===++为定值， 则10t +=，得1t =-，
因此，在x 轴上存在定点()1,0T -，使得OP TQ ⋅为定值. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在定点满足某条件问题的求解，考查计算能力，属于中等题.
22．（1）答案见解析；（2）（i ）()1,-+∞；（ii ）1-. 【分析】
（1）由题意可知()'
233f
x x a =+，分0a ≥与0a <两种情况讨论即可；
（2）（i ）当0a ≥时，由零点存在性定理易得满足题意，当0a <时，只需满足0>f
，
解不等式即可；（ii ）更换主元，令()3
3
0033=+++g a a x a x ，即等价于()g a 在()1,-+∞上
有零点，即()min 0=≤g a g ，再分情况讨论即可.
【详解】
解（1）由题意可知()'
233f
x x a =+，
当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增，
当0a <时，令'
0f
x
，得x =
当<x x >
时，()'0f x >，当<<x ()'
0f x <，
所以()f x 在(,-∞上递增，(上递减，)
+∞上递增，
（2）（i ）由（1）得当0a ≥时，因为()3
030=+>f a ，
()()()3
322232391850--=--+--++=---<f a a a a a a a ，
所以()f x 在区间()2,0--a 必有一个零点，符合题意；
当0a <时，故要()f x 恰有一个负零点，只需满足0>f ，即3230a +>，
令()0,=-+∞t ，故2230t t +-<， 解得01t <<，所以10a -<<． a ∴的取值范围为()1,-+∞．
（ii ）存在00x <，使得方程33
00330x ax a +++=成立，
令()3
3
0033=+++g a a x a x ，
即等价于()g a 在()1,-+∞上有零点，即()min 0=≤g a g
，
()()()2
3
000013212-=-+=-+g x x x x ，()3
003=+g x ，
故当0x ()00g <，存在零点；
00x <时，()10g ->，
故只需()30230min g a g x x ==+≤，
令()0,=-+∞m x ，
故2230m m +-<，解得01m <<，
所以10--<<x ．可得01x ≤-．
综上：0x 的最大值为1-．
【点晴】
本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道有一定难度的压轴题.。