2012年高考真题理科数学解析分类汇编6平面向量

2012年高考真题理科数学解析分类汇编6 平面向量
1.【2012高考重庆理6】设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且//,⊥+
（A （B （C ） （D ）10 【答案】B
【解析】因为c b c a //,⊥，所以有042=-x 且042=+y ，解得2=x ，2-=y ，即
)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+b a 10=+，选B.
2.【2012高考浙江理5】设a ，b 是两个非零向量。

A.若|a+b |=|a |-|b |，则a ⊥b
B.若a ⊥b ，则|a +b |=|a |-|b |
C.若|a +b |=|a |-|b |，则存在实数λ，使得b =λa
D.若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |-|b | 【答案】C
【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立． 3.【2012高考四川理7】设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使
||||
a b
a b =
成立的充分条件是（ ） A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b = 【答案】C 【解析】A.|
||
|b a =为既不充分也不必要条件；B.可以推得
||||
a b
a b =
|
||
|b a =为必要不充分条件；C ．为充分不必要条件；D 同B.
[点评]本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.
4.【2012高考辽宁理3】已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是 (A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a +b =a -b 【答案】B
【解析】一、由|a +b |=|a -b |，平方可得a ⋅b =0,
所以a ⊥b ，故选B
二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a +b |=|a -b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b ，故选B
【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。

解析一是利用向量的运算来解，解析二是利用了向量运算的几何意义来解。

5.【2012高考江西理7】在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则
22
2
PA PB PC
+=
A ．2
B ．4
C ．5
D ．10 【答案】D
命题意图：本题主要考查两点间的距离公式，以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数学思想.
【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设0,),,0(),0,(>b a b B a A ，
则)2,2(b a D ，)4,4(b a P ,所以1616)4()4(22222b a b a PC +=+=，16916)4()4(222
22b a b b a PB +=-+=，
16
169)4()4(2222
2b a b a a PA +
=+-=，
所
以
2
2222222
2
10)1616(101616916916PC b a b a b a PB PA =+=+++=+,所以102
2
2
=+PC
PB PA ，选D. 点评】对于非特殊的一般图形求解长度问题，由于是选择题，不妨尝试将图形特殊化，以方便求解各长
度，达到快速求解的目的.体现考纲中要求掌握两点间的距离公式.来年需要注意点到直线的距离公式. 6.【2012高考湖南理7】在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC = 1则___BC =.
【答案】A
【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.
1
cos 2B BC ∴=-.又由余弦定理知222
cos 2AB BC AC B AB BC
+-=⋅，解得BC =.
【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC 的夹角为B ∠的外角. 7.【2012高考广东理3】若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC = A ．（-2,-4） B ． (3,4) C ． (6,10) D ． (-6,-10) 【答案】A
【解析】)4,2()7,4()3,2(--=-=-=．故选A ．
8.【2012高考广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β，定义β
ββ
αβα∙∙=
．若平面向量a ，b 满足|a|≥|b |＞0，a 与b 的夹角)4,0(π
θ∈，且b a 和 都在集合}|2
{Z n n
∈中，则b a =
A ．12 B.1 C. 32 D. 52
【答案】C
【解析】因为22cos ||>
≥=∙=θθb a b b b a b a ，1cos <≤==θθa b
， 且b a 和 都在集合}|2{Z n n ∈中，所以21|
|==θa b a b ，θcos 21
||=
a b ，所以2cos 22<==θθb a ，因为)4,0(π
θ∈，所以21<<b a ，故有23=b a ．故选C ．
9.【2012高考安徽理8】在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34
π
后，得向量OQ ，则点Q 的坐标是（ ）
()
A (- ()B
(- ()C
(2)-- ()
D (-
【答案】A
【命题立意】本题考查平面向量与三角函数交汇的运算问题。

【解析】【方法一】设34
(10cos ,10sin )cos ,sin 55
OP θθθθ=⇒=
=， A
C
则33(10cos(),10sin())(44
OQ ππ
θθ=+
+=-． 【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转
32
π
后得(8,
6OM =-，则
),2)
O Q O P O =+-． 10.【2012高考天津理7】已知ABC ∆为等边三角形，AB=2，设点P ，Q 满足λ=，
)1(λ-=，R ∈λ，若2
3
-=∙CP BQ ，则λ=
（A ）
21 （B ）2
21± （C ）
2101± （D ）2
2
23±- 【答案】A
【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.
【解析】如图
，设c AC b AB ==, ，则2,2=∙==，又
c
b AQ BA BQ )1(λ-+-=+=，
λ+-=+=，由
2
3-
=∙得
2
3)1(1()(])1([2-
=∙+-+--=+-∙-+-λλλλλ，即
2
3)1(24)1(42-
=+-+--λλλλ，整理01442=+-λλ，即0)12(2
=-λ，解得21=λ选A.
11.【2012高考全国卷理6】ABC ∆中，AB 边上的高为CD ，若,,0,||1,||2C B aC A ba b a b ==⋅===，
则AD =
A ．1
133a b - B ．
2233a b - C ．3355a b - D ．4455
a b - 答案D
【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用，结合运用特殊直角三角形求解点D 的位置的运用。

【解析】由0a b ⋅=可得90ACB ∠=︒，
故AB =
用等面积法求得5CD =，
所以5
AD =，故4444
()5555
AD AB CB CA a b =
=-=-，故选答案D 12.【2012高考新课标理13】已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则
_____b = 【答案】
【解析】因为102=-，所以10)
2(2
=-
b a ，即104=∙
-
，所以
10454
=-+
06
=--
23=2-=（舍去）.
13.【2012高考浙江理15】在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ⋅=________. 【答案】-16
【解析】法一此题最适合的方法是特例法．
假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图，
AM ＝3，BC ＝
10，AB ＝AC ． cos ∠BAC ＝
34341008
23417
+-=-⨯．AB AC ⋅＝cos 16AB AC BAC ⋅∠=-
法二：163104
1
41)21()21(2222-=+⨯-=+-=+∙+-
=∙AM AM . 14.【2012高考上海理12】在平行四边形ABCD 中，3
π
=
∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、
N 分别是边BC 、CD |
||
|CD BC =
，则⋅的取值范围是 。

【答案】
[2,5].
【解析】法1
=
=λ（0≤λ≤1），
则λ==λ,)1(λ-==)1(λ-，
则⋅=))((DN AD BM AB ++=])1()[(λλ-++ =⋅+2
)1(λ-+2
AD λ+AB AD ⋅-)1(λ, 又∵⋅=2×1×3
cos
π
=1，2AB =4，2
AD =1，
∴⋅=6)1(5222++-=+--λλλ，
∵0≤λ≤1，∴2≤⋅≤5，即⋅的取值范围是[2,5].
法2：以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为
1
,2==AD AB ，所以
51
(0,0),(2,0),(,1)(,1).22
A B C D 设
1515515151(,1)(), , - , - , (2,()sin ).
22224284423
N x x BM CN CN x BM x M x x π≤≤===+--则根据题意，有)8
3235,4821(
),1,(x
x AM x AN --==→
→. 所以83235)4821(x x x AN AM -+-=∙→
→
⎪⎭⎫
⎝⎛≤≤252
1x ，所以2 5.AM AN →→
≤∙≤
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.
15.【2012高考山东理16】如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动。

当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为
______________.
【答案】)2cos 1,2sin 2(--
【解析】法1：因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2=PA ，即圆心角
2=∠PCA
,,则2
2π
-
=∠PCA ,所以2c o s )2
2s i n (-=-
=π
PB ，
2sin )2
2cos(=-=π
CB ，所以2s i n 22-=-=CB x p ，2cos 11-=+=PB y p ，所以
)2c o s 1,2s i n 2(--=OP 。

法2：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨
⎧+=+=θ
θ
sin 1cos 2y x ，且22
3,2-=
=∠π
θP
C D ，则点P 的坐标为⎪⎩
⎪⎨⎧
-=-+=-=-+=2
cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2π
πy x ，即)2cos 1,2sin 2(--=OP .
16.【2012高考北京理13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为______。

【答案】1，1
【解析】根据平面向量的数量积公式=⋅=⋅DA DE CB DE θcos ||||DA DE ⋅，由图可知，
||cos ||DA DE =⋅θ，因此1||2==⋅DA CB DE ，
=⋅=⋅αcos ||||DC DE DC DE αcos ||⋅DE ，而αcos ||⋅DE 就是向量DE 在DC 边上的射影，要想
让DC DE ⋅最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为，所以长度为1． 17.【2012高考安徽理14】若平面向量,a b 满足：23a b -≤，则a b 的最小值是_____。

【答案】9
8
-
【命题立意】本题考查平面向量的模与数量积的运算。

【解析】
22
2
2
234949
4449448
a b a b a b
a b a b a
b a b a b a b -≤⇔+≤++≥≥-⇒+≥-⇔≥-
18.【2012高考江苏9
】（5分）如图，在矩形ABCD
中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF
=，则AE BF 的值是 ▲ ．。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

【解析】
由2AB AF =，得cos AB
AF FAB ∠
=cos =AF FAB DF ∠。

∵AB =22DF =，∴1DF =。

∴1CF =。

记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。

又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。

∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE
BF AE
BF AE BF
θαβαβαβ
+-
(
)
=cos cos sin sin =122
1AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯-=。

本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。