福建师大附中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

合集下载

福建师大附中年高二上数学(文)期末试题及答案.doc

福建师大附中201X —201X 学年度上学期期末考试高二数学文试题（满分：150分，时间：120分钟）一、选择题：（每小题5分，共60分；四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知命题 :p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（***） A.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0≥xB.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0>xC.:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｄ. :p x ⌝∀∈R ，sin 1x >2.某物体的位移S （米）与时间t （秒）的关系是23)(t t t S -=,则物体在2t =秒时的瞬时速度为（***）A. 1m/sB. 2m/sC. 1-m/sD. 7m/s3．已知定点A 、B ，且2||=AB ，动点P 满足1||||=-PB PA ，则点P 的轨迹为（***） A. 双曲线 B. 双曲线一支 C.两条射线 D. 一条射线 4．抛物线 2x y = 的准线方程是（***）A.4 x + 1 = 0 Ｂ.4 y + 1 = 0 Ｃ.2 x + 1 = 0 Ｄ.2 y + 1 = 05．:p 若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零，:q 若2->m ，则022=-+m x x 有实根，则（***） A.""q p ∨为真 B.""p ⌝为真 C.""q p ∧为真Ｄ.""q ⌝为假6. 某公司的产品销售量按函数)(t f y =规律变化，在],[b a t ∈时，反映该产品的销售量的增长速度先快后慢的图象可能是（***）7. 设 :p “0=k ”, :q “直线1:+=kx y l 与抛物线x y 42=只有一个公共点”，则p 是q （***）条件bA. 充分且非必要B. 必要且非充分C. 充分且必要D. 既非充分也非必要8.曲线()ln f x x x =在点(1,0)处的切线方程为（***）A. 1y x =-+B.1y x =-C.y ex e =-D.y ex e =-+9．若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 = 1 所表示的曲线不可能．．．是（***） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆或双曲线 D. 抛物线10.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此双曲线的离心率为（***）C. 12 D. 1211.已知数列{}n a 满足2112,4(2),3n n n a a a n --=-=≥记132n n n a T -=，如果对任意的正整数n ，都有n T M ≥，则实数M 的最大值为（***）A. 2B. 3C. 4D. 512．函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线2y x =的图象绕原点沿逆时针方向旋转90就得到函数2y x =的图象.若把双曲线2213x y -=绕原点按逆时针方向旋转一定角度θ后，能得到某一个函数的图象，则旋转角θ可以是（***）A ．30B ．45C ．60D ．90 二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则n a = ******14．点P 在双曲线122=-y x 上运动，O 为坐标原点，线段PO 中点M 的轨迹方程是 ***** 15．设12,F F 是椭圆223448x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，满足123sin 5PF F ∠=，12PF F ∆的面积为6，则2PF = *****16．已知点),(y x P 满足椭圆方程1222=+y x ，则1-x y的最大值为***** 三、解答题：（本大题共6题，满分74分） 17. （本题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos b A B =.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3b =，sin 2sin C A =，求,a c 的值.18. （本题满分12分）已知{}n a 为等差数列，且13248,12a a a a +=+= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值. 19．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点坐标为，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，A 为左顶点，F 为椭圆的右焦点，求AP FP ∙的取值范围.20．（本小题满分12分）已知直线l 经过抛物线24x y =的焦点，且与抛物线交于B A ,两点，点O 为坐标原点. （Ⅰ）证明：AOB ∠为钝角.（Ⅱ）若AOB ∆的面积为4，求直线l 的方程;21.如图，有一边长为2米的正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．（Ⅰ）请建立适当的直角坐标系．．．．．．．．．．，求阴影部分的边缘线OC 的方程;（Ⅱ）如何画出切割路径EF，使得剩余部分即直角梯形ABEF 的面积最大？并求其最大值．22. 如图，设AB 、''A B 分别是圆22:4O x y +=和椭圆22:14x C y +=的弦，且弦的端点在y 轴的异侧，端点A 与'A 、B 与'B 的横坐标分别相等，纵坐标分别同号.（Ⅰ）若弦''A B 所在直线斜率为1-，且弦''A B 的中点的横坐标为45，求直线''A B 的方程；（Ⅱ）若弦AB 过定点3(0,)2M ，试探究弦''A B 是否也必过某个定点. 若有，请证明；若没有，请说明理由.BCEx参考答案1.B2.C3.B4.B5.A6.D7. A8.B9.D 10.D 11.A 12.C 13.3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩; 14.22441x y -=; 15. 23PF =; 16.17.解： (I)由sin cos b A B =及正弦定理sin sin a bA B=，得sin B B =，所以tan B =(0,)B π∈,∴ 3B π=(Ⅱ)由sin 2sin C A =及sin sin a bA B=，得2c a =，由3b =及余弦定理2222cos b a c a B =+-，得229a c ac =+-,所以a =c =18.解：(I)设数列{}n a 的公差为d ,112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，2d =所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-= （Ⅱ）由(1)可得1()(22)(1)22n n n a a n n S n n ++===+ 因1a ，k a ，2k S +成等比数列，所以212k k a a S +=，从而2(2)2(2)(3)k kk =++，即2560k k --=，解得6k =或1k =-（舍去），因此6k =19.解：（I）依题意得：2222112b a c e c a a b c ⎧=⎪=⎧⎪==⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩，∴椭圆方程为22143x y += （Ⅱ）设(,)P x y ，(2,0),(1,0)A F -，则222AP FP x x y ∙=+-+---（*）点P 满足223412x y +=，223(1)4x y ∴=-代入（*）式，得：211(22)4AP FP x x x ∙=++-≤≤ 根据二次函数的单调性可得：AP FP ∙的取值范围为[0,4] 20.解：(I)依题意设直线l 的方程为：1y kx =+（k 必存在）2214404y kx x kx x y=+⎧⇒--=⎨=⎩，216160k ∆=+>∴设直线l 与抛物线的交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则有221212124,1,44x x x x y y =-==121230x x y y ∴+=-<，依向量的数量积定义，cos 0AOB ∠<即证AOB ∠为钝角 (Ⅱ) 由（I ）可知:2124(1)AB x k =-=+,d =∴142A OB S A B d ∆===,k ∴= ∴直线方程为1,1y y =+=+21. 解：(I)以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为2(02)y ax x =≤≤ ∵点C 的坐标为(2,1)， ∴221a =，14a =故边缘线OC 的方程为21(02)4y x x =≤≤. (Ⅱ)要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为21(,)(02)4P t t t <<， ∵12y x '=， ∴直线EF 的的方程可表示为211()42y t t x t -=-，即21124y tx t =-，由此可求得21(2,)4E t t -，21(0,)4F t -. 2211|||(1)|144AF t t =---=-，2211|||()(1)|144BE t t t t =---=-++，设梯形ABEF 的面积为()S t ，则 []1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++2155(1)222t =--+≤. ∴当1t =时，5().2S t =故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m .22．解：（Ⅰ）由题意得：直线''A B 的方程为y x m =-+22225844044y x mx mx m x y =-+⎧⇒-+-=⎨+=⎩，280160m ∆=->，∴设''1122(,),(,)A x y B x y12441255x x m m +∴==∴=，将1m =代入∆检验符合题意，故满足题意的直线''A B 方程为：1y x =-+（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圆O 的方程为：224.x y +=分设11(,)A x y 、22(,)B x y 、'1(,)A x m 、'2(,)B x n ， ∵点A 在圆O 上， ∴22114x y +=，………①∵点'A 在椭圆C 上， ∴22114x m +=，………② 联立方程①②解得：12y m =，同理解得：2.2y n = ∴'11(,)2y A x 、'22(,)2y B x ∵弦AB 过定点3(0,)2M ，∴12x x ≠且AM BM k k =，即12123322y y x x --=，化简得12212132y x y x x x -=-直线''A B 的方程为：21112122()2y y y y x x x x --=--，即212112y y y x x x -=+-1221212()y x y x x x --，由12212132y x y x x x -=-得直线''A B 的方程为：212112y y y x x x -=+-34，∴弦''A B 必过定点'3(0,)4M . 解法二：由（Ⅰ）得：圆O 的方程为：设11(,)A x y 、22(,)B x y ，∵圆O 上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12倍可得到椭圆C ，又端点A 与'A 、B 与'B 的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，∴'11(,)2y A x 、'22(,)2y B x 由弦AB 过定点3(0,)2M ，猜想弦''A B 过定点'3(0,)4M .∵弦AB 过定点3(0,)2M ，∴12x x ≠且AM BM k k =，即12123322y y x x --=……①''11113312422A M y y k x x --==,''22223312422B M y y k x x --== 由①得''A M k =''B M k ， ∴弦''A B 必过定点'3(0,)4M .。

【精品】2017-2018学年福建师大附中高二(上)期末数学试卷(文科)(word解析版)

2017-2018学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A，B，C，D四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）点M的极坐标是（），则点M的直角坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．以上都不对2．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．4x+1=0 B．4y+1=0 C．2x+1=0 D．2y+1=03．（5分）“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）下列命题中是真命题的是（）①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题；④“x2=9，则x=3”的否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④6．（5分）若k＞1，则关于x、y的方程（1﹣k）x2+y2=k2﹣1所表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线7．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），若直线l与y=x2交于A，B两点，则线段AB的中点M对应的参数t的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．8．（5分）与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，且与圆C2：（x﹣3）2+y2=9外切的动圆圆心P的轨迹方程是（）A．x2﹣=1（x＜0）B．x2﹣=1C．﹣=1（x＜0） D．﹣=19．（5分）已知点A（2，2），点P为抛物线x2=4y的动点，F点为抛物线的焦点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．4 B．C．D．611．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线l交x轴于R点，过抛物线上一点P（4，4）作PQ ⊥l于Q，则梯形PQRF的面积为（）A．12 B．14 C．16 D．1812．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距长的一半为c，直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为恰好为c，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．13．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，c是半焦轴距，P是双曲线上异于顶点的点，满足ctan∠PF1F2=atan∠PF2F1，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，1+） B．（，1+）C．（1+，1+） D．（1+，+∞）二、填空题（每小题5分，共25分）14．（5分）命题“∀x∈R，x3≥0恒成立．”的否定为．15．（5分）双曲线16y2﹣9x2=144的虚轴长为．16．（5分）与参数方程（t为参数）等价的普通方程为．17．（5分）已知P（x，y）为椭圆+y2=1上的动点，则代数式x2+2x﹣y2的最大值为．18．（5分）某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16m，当水面上涨2m时，水面宽变为12m，此时桥洞顶部距水面高度为米．三、解答题（要求写出过程，共60分）19．（12分）已知抛物线y2=4x，过焦点F斜率为K的直线L交抛物线于A，B两点．（1）若K=2，求弦AB的中点的坐标；（2）若弦AB的长为8，求直线L的斜率K．[选修4-4：极坐标与参数方程]20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线B：x2+y2=1经过伸缩变换后，变为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l：x+4y﹣8=0的距离最短，并求出点D的直角坐标．[选修4-4：极坐标与参数方程]21．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l 的斜率．22．（12分）已知直线l：y=kx+2交双曲线C：x2﹣y2=1右支于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）是否存在直线l使得•=﹣1，若存在，请写出；若不存在，请说明理由．23．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（2，3），P3（﹣2，3），P4（0，2）中恰好有三点在椭圆C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过（2，0）点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线C于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．2017-2018学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）答案与解析一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A，B，C，D四个选项中，只有一项符合题目要求）1．【分析】直接利用极坐标与直角坐标的互化，求出结果即可．【解答】解：∵x=ρcosθ，y=ρsinθ．∴点M的极坐标为（3，），则该点的直角坐标为（，）．故选：A．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的方法，属于基础题．2．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣，即4y+1=0．故选：B．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．3．【分析】由真值表可知若p∧q为真命题，则p、q都为真命题，从而p∨q为真命题，反之不成立，从而求解．【解答】解：：∵p∨q为真命题，则p、q中只要有一个命题为真命题即可，p∧q为真命题，则需两个命题都为真命题，∴p∨q为真命题不能推出p∧q为真命题，而p∧q为真命题能推出p∨q为真命题∴“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了利用充要条件定义判断充分必要性的方法，利用真值表判断命题真假的方法，熟记真值表是解决本题的关键．4．【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．【解答】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．5．【分析】①先写出否命题，然后判断；②写出命题的逆命题，然后判断；③写出命题的逆否命题，然后判断；④写出命题的否命题，然后判断．【解答】解：①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题是：“若x2+y2=0，则x，y全为零”，是真命题；②“正多边形都相似”的逆命题是：“相似的多边形都是正多边形”，是假命题；③“若m＞0，则x2+x﹣m=0中△=1+4m＞0，方程有实根”为真命题，其逆否命题也是真命题；④“x2=9，则x=3”的否命题是：“x2≠9，则x≠3”，是真命题．∴是真命题的是①③④．故选：B．【点评】本题主要考查四种命题的关系以及四种命题真假的判断，是基础题．6．【分析】利用K的范围，判断二次方程的形式，即可推出结果．【解答】解：k＞1，可得（1﹣k）＜0，k2﹣1＞0，关于x、y的方程（1﹣k）x2+y2=k2﹣1所表示的曲线是：焦点在y轴上的双曲线．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．7．【分析】将直线的参数方程代入抛物线方程，由韦达定理和参数t的几何意义，可得所求值．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），若直线l与y=x2交于A，B两点，可得1+t=t2，即3t2﹣2t﹣4=0，即有t1+t2=，则线段AB的中点M对应的参数t的值为（t1+t2）=，故选：C．【点评】本题考查直线的参数的几何意义，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8．【分析】设圆心P的坐标为（x，y），根据动圆与圆C1，C2外切，建立等式关系，化简可得答案．【解答】解：由题意，与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，其圆心（﹣3，0），r=1，圆C2：（x﹣3）2+y2=9外切，其圆心（3，0），r=3，圆心P的坐标为（x，y），圆C2过圆心，∴x＜0；动圆与圆C1，C2外切：∴．两边平方整理可得：x2﹣=1（x＜0）．故选：A．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，与圆有关的性质，是中档题．9．【分析】先由抛物线的标准方程求得焦点F的坐标，再设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标是（1，0 ）；设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为2﹣（﹣1）=3．故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．10．【分析】由题意能够推导出△PF1F2是直角三角形，其面积=．【解答】解：∵|PF1|：|PF2|=4：3，∴可设|PF1|=4k，|PF2|=3k，由题意可知3k+4k=7，∴k=1，∴|PF1|=4，|PF2|=3，∵|F1F2|=5，∴△PF1F2是直角三角形，其面积===6．故选：D．【点评】本题考查椭圆的性质，判断出△PF1F2是直角三角形能够简化运算．11．【分析】求梯形PQRF的面积，关键是确定梯形的上底，下底，及高的长，利用抛物线的定义即可求得．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，焦点为F，准线l交x轴于R点∴抛物线的准线方程为：x=﹣1，FR=2∵过抛物线上一点P（4，4）作PQ⊥L于Q∴|QR|=4，|PQ|=5∴梯形PQRF的面积为故选：B．【点评】本题考查梯形的面积，解题的关键是利用抛物线的几何性质，正确运用梯形的面积公式．12．【分析】由椭圆与直线y=x交于（c，c）点，代入椭圆的方程，利用椭圆的离心率及取值范围，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由已知可得：椭圆+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，椭圆与直线y=x交于（c，c）点，则，即，整理得：e4﹣3e2+1=0，（1＜e＜1），解得e2=．∴e=，故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆a，b与c的关系，考查计算能力，属于中档题．13．【分析】由题意可得e==，设P（m，n）为双曲线的右支上一点，由F1（﹣c，0），F2（﹣c，0），运用直线的斜率公式和m＞a，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由ctan∠PF1F2=atan∠PF2F1，可得e==，设P（m，n）为双曲线的右支上一点，由F1（﹣c，0），F2（c，0），可得=﹣•=﹣=﹣1﹣，由m＞a可得﹣1﹣＞﹣1+=﹣1+，即有e+1＞，即e2﹣2e﹣1＞0，解得e＞1+．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用直线的斜率公式和双曲线的范围，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）14．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即；故答案为：【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．15．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，即可得到虚轴长．【解答】解：双曲线16y2﹣9x2=144的标准方程为：，可得a=3，b=4，所以双曲线的虚轴长为8．故答案为：8．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．16．【分析】消去参数t可得普通方程，注意x的范围．【解答】解：由x=，∴x≥1．那么2x=2．y=2．消去参数t可得：y=2x﹣3（x≥1）故答案为：y=2x﹣3（x≥1）【点评】本题考查了参数方程化普通方程，注意x，y的范围．17．【分析】由题意求得y2=1﹣，且﹣2≤x≤2，代入要求的式子化简并利用二次函数的性质，求出它的最大值．【解答】解：∵P（x，y）为椭圆+y2=1上的动点，∴y2=1﹣，且﹣2≤x≤2，∴代数式x2+2x﹣y2 =x2+2x﹣（1﹣）=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，故当x=2时，代数式x2+2x+y2取得最大值为7，故答案为：7．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，二次函数的性质，属于中档题．18．【分析】先根据题目条件建立直角坐标系，设出抛物线的方程，然后利用点在曲线上，确定方程，求得点的坐标，也就得到水面的宽．，【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线y=ax2+c，由题意可知抛物线过点（6，2），（8，0）．所以解得a=﹣，c=；所以抛物线解析式为y=﹣x2+，令x=0，得y=；所以当水面上涨2m时，水面宽变为12m，此时桥洞顶部距水面高度为﹣2=米．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的应用，以及待定系数法求方程，注意点在曲线上，则点的坐标满足解析式，注意：建坐标系不同，解析式不同，属于基础题，三、解答题（要求写出过程，共60分）19．【分析】（1）抛物线y2=4x的交点F（1，0）．设弦AB的中点的坐标（x0，y0）．当k=2时，直线L的方程为：y=2（x﹣1），即y=2x﹣2．与抛物线方程，利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．（2）设直线L的方程为：y=k（x﹣1），与抛物线方程联立化为：ky2﹣4y﹣4k=0，利用根与系数的关系及其|AB|==8．（或利用|AB|=x1+x2+p也可以）．即可得出．【解答】解：（1）抛物线y2=4x的交点F（1，0）．设弦AB的中点的坐标（x0，y0）．当k=2时，直线L的方程为：y=2（x﹣1），即y=2x﹣2．联立，化为：y2﹣2y﹣4=0，△＞0．y1+y2=2，∴y0==1，∴1=2（x0﹣1），解得x0=．∴弦AB中点坐标为．（2）设直线L的方程为：y=k（x﹣1），联立，化为：ky2﹣4y﹣4k=0，∴y1+y2=，y1y2=﹣4．k≠0，△＞0．∴|AB|===8．（或利用|AB|=x1+x2+p也可以）．∴k2=1，∴直线L的斜率为±1．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-4：极坐标与参数方程]20．【分析】（Ⅰ）由坐标伸缩变换，代入x2+y2=1中化简即得曲线C的标准方程；（Ⅱ）设出曲线C的参数方程，利用参数表示点D的坐标，求出它到直线l的距离最小值对应的点D的坐标即可．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由得，代入x2+y2=1中，整理得曲线C的标准方程为+y′2=1；（Ⅱ）曲线C的参数方程为（θ为参数）；设D（3cosθ，sinθ），它到直线l：x+4y﹣8=0的距离为d==，令sinφ=，cosφ=，则d=，当sin（θ+φ）=1时，d取得最小值为；此时θ+φ=+2kπ，k∈Z；∴θ=﹣φ+2kπ，k∈Z；则cosθ=cos（﹣φ）=sinφ=，sinθ=sin（﹣φ）=cosφ=；∴点D的坐标为D（3cosθ，sinθ）=（，）．【点评】本题考查了坐标变换与参数方程的应用问题，是中档题．[选修4-4：极坐标与参数方程]21．【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，圆心到直线的距离d=．∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．22．【分析】（Ⅰ）由直线与双曲线组成方程组，消去y得关于x的方程，根据题意列出不等式组，求得k的取值范围；（Ⅱ）假设存在直线l使得•=﹣1，利用坐标表示列出关于k的方程，解方程求得k的值，再判断是否存在这样的直线．【解答】解：（Ⅰ）由直线l：y=kx+2与双曲线C：x2﹣y2=1组成方程组，得，消去y得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣5=0；设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则，解得﹣＜k＜﹣1，∴k的取值范围是（﹣，﹣1）；（Ⅱ）假设存在直线l使得•=﹣1，即x1x2+y1y2=﹣1，∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=﹣1，∴（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+5=0，则（1+k2）•+2k•+5=0，化简得﹣5﹣5k2+8k2+5﹣5k2=0，即2k2=0，解得k=0，不符合﹣＜k＜﹣1，∴不存在这样的直线l．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，是中档题．23．【分析】（Ⅰ）由题意值选P2，P3，P4三点，求得b和a的值，即可写出椭圆C的标准方程；（Ⅱ）讨论直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时求得|DE|+|FG|=14；直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为y=k（x﹣2），利用弦长公式求得|DE|的值，设直线l2的方程为y=﹣（x﹣2），同理求得|FG|的值，再求|DE|+|FG|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，应该选P2，P3，P4三点，则b=2，代入椭圆方程得，+=1，解得a=4，所以椭圆C的标准方程是+=1；…（4分）（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性知|DE|+|FG|=6+8=14；当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为y=k（x﹣2），设D（x1，y1），E（x2，y2），联立，消去y整理得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0；…（6分）由根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=；所以|DE|=|x1﹣x2|=•=•=；…（8分）设直线l2的方程为y=﹣（x﹣2），同理求得|FG|=，所以|DE|+|FG|=+=；…（9分）设t=k2+1，所以t＞1，所以|DE|+|FG|=，因为t＞1，所以0＜≤，所以|DE|+|FG|的取值范围是[，14）；…（12分）综上所述，|DE|+|FG|的取值范围是[，14]．【点评】本题考查了直线与椭圆的方程和应用问题，也考查了弦长公式应用问题，考查了计算与推理能力，是难题．。

2017-2018学年福建省福建师大附中高二6月期末考试数学(文)试题Word版含答案

2017-2018学年福建省福建师大附中高二6月期末考试数学（文）试题(满分：150分；完卷时间：120分钟)友情提示:所有答案都必须填写在答题卡上,答在本试卷上无效一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填涂在答题卡上） 1．已知集合{}||A y y x ==，{}lg(1)B x y x ==+，则AB =（）A. [0,)+∞B. (0,)+∞C. [1,)-+∞D. (1,)-+∞ 2．设复数z 满足(1)1i z i -=+（i 为虚数单位），则2017z=（）A.1B. iC.1-D.i - 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-4．设1a >，则0.3log a 、0.3a 、0.3a 的大小关系是（）A. 0.30.3log 0.3a a a <<B. 0.30.3log 0.3a a a <<C. 0.30.30.3log a a a <<D. 0.30.30.3log a a a << 5．若0()3f x '=-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（）A ．34-B ．6-C ．9-D ．12- 6．下列结论中，正确的是（）①命题“若22ac bc <，则a b <”的逆命题是真命题②命题“若0x y +≠，则,x y 不全为零”的否命题是真命题 ③设x R ∈，则“1x <”是“21x <”的充分不必要条件 ④“p ⌝”为假是“p q ∧”为真的必要不充分条件A. ①③B. ②④C. ①②④D. ②③④ 7．如下表定义函数()f x ，()g x ：则满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是（）A. 0或1B. 0或2C.1或6D. 2或6 8．为了得到函数sin(2)4y x π=+的图象，可将函数cos2y x =的图象（）A. 向左平移4π B. 向左平移8π C. 向右平移4π D. 向右平移8π9. 一个三角形的三边长分别2、1 ） A.2πB. 23πC. 34πD. 56π10．已知sin(3)2cos(4)ααππ--=，则()()()sin 5cos 232sin sin 2παπαπαα-+-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的值为（）A ．74 B ．74- C ．34 D ．34- 11．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，3()2x f x x a =++，则[(1)]f f-=（）A ．81-B ．35-C ．11-D ．11 12．若1201x x <<<，则（） A. 2121ln ln xxe e x x ->-B. 2121ln ln x xe e x x -<-C. 1221xxx e x e >D. 1221xxx e x e <二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡上） 13.已知函数()f x =()f x 在(1,1)处的切线方程为．14.已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为．15.“2x ≠或3y ≠”是“5x y +≠”的条件.（充分非必要；必要非充分；充要；既不充分也不必要）16．设偶函数()f x 对任意x ∈R 都有1(5)()f x f x +=-，且当[2,0]x ∈-时，()f x x =，则(2016)f =________________.三、解答题（共6题，共70分，要求写出解答过程或者推理步骤，请把答案写在答题卡上） 17．(本题满分12分)已知集合{}2|280A x x x =--≤，{}[(1)][(1)]0,B x x m x m m R =---+≥∈.（Ⅰ）若[1,4]A B =，求m 的值；（Ⅱ）若A B R ≠，求m 的取值范围.18．(本题满分10分)已知命题:p 函数21y x mx =++在(1,)-+∞上单调递增；命题:q 函数244(2)1y x m x =+-+大于零恒成立. 若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos 20cos A B a bC c--+=.（Ⅰ）求sin sin BA；（Ⅱ）若c =7cos 8C =，求ABC ∆的面积.20．(本题满分12分)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E F 、在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设()AE FB x cm ==. （Ⅰ）若广告商要求包装盒侧面积2()S cm 最大，试问x 应取何值？（Ⅱ）若广告商要求包装盒容积3()V cm 最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.21．(本题满分12分)已知函数22()sin sin ()6f x x x π=--，x R ∈.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-的最大值和最小值.22．(本题满分12分)π为圆周率， 2.718e =为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间；（Ⅱ）求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数与最小数(写清具体过程)；（Ⅲ）试比较e π与3π的大小(写清具体过程).2017-2018学年福建省福建师大附中高二6月期末考试数学（文）试题参考答案(满分：150分；完卷时间：120分钟)友情提示:所有答案都必须填写在答题卡上,答在本试卷上无效一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二.填空题(本大题共4小题,每小题5分, 共20分)13．210x y -+= 14．3 15. 必要非充分 16．1三. 解答题：（本大题共6小题,共70分）17.(本小题满分12分)【参考答案】（Ⅰ）{}{}2|280|24A x x x x x =--≤=-≤≤，由[1,4A B =可得1x =为方程[(1)][(x m x m ---+=的根，则[1(1)][1(1)]0m m ---+=，解之得02m m ==或.(3分)当0m =，得{}{}2|10|11B x x x x x =-≥=≤-≥或，此时[1,4]AB =.当2m =，得{}|13B x x x =≤≥或，此时[1,4]A B ≠.综上可得0m =.(7分)（Ⅱ）由22(1)(1)0x mx m m -+-+=得11x m x m =-=+或，则{}|11B x x m x m =≤-≥+或，由AB R ≠得1214m m -<-+>或，解得1m <-或3m >.从而m 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞.(12分)18．(本小题满分10分)【参考答案】:由题意，若p 为真命题，则12m-≤-，得2m ≥.若q 为真命题，则216(2)160m ∆=--<，解得13m <<.(4分)又“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则,p q 一真一假. (5分) 当p 为真q 为假时，得213m m m ≥⎧⎨≤≥⎩或，解得3m ≥. 当p 为假q 为真时，得213m m <⎧⎨<<⎩，解得12m <<.(9分)综上，可得m 的取值范围为(1,2)[3,)+∞.(10分)19.(本小题满分12分)【参考答案】（Ⅰ）由正弦定理可得2sin a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =，其中2R 为ABC ∆外接圆的直径，则22sin 22sin sin 2sin 2sin sin a b R A R B A Bc R C C--⨯-==，那么 cos 2cos sin 2sin 0cos sin A B A BC C--+=，去分母，整理，可得sin cos cos sin C A C A +=2(sin cos cos sin )C B C B +，即sin()2sin()C A C B +=+,从而sin 2sin B A =,sin 2sin BA=. (6分) （Ⅱ）由（Ⅰ）得sin 2sin B A =，结合正弦定理可得sin 2sin b Ba A==.在ABC ∆中，由余弦定理可得222222467cos 248a b c a a C ab a +-+-===，由此可解得2a =，则24b a ==，又7c o s 8C =，则sin 8C ==，从而11sin 24228ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. (12分)20．(本小题满分12分)【参考答案】(Ⅰ)，高为)x cm -，所以包装盒侧面积230)8(30)8()2x x S x x x +-=⨯-=-≤⨯8225=⨯，当且仅当30x x =-，即15x =时，等号成立.所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则15x =. (6分) (Ⅱ)包装盒容积2322)(030)V x x x =-=-+<<，2(20)V x '=-+=--，当0V '>得020x <<，当0V '<得2030x <<，所以当20x =时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的边长为，高为，包装盒的高与底面边长的比为12.(12分)21．(本小题满分12分)【参考答案】(Ⅰ) 由已知有1cos(2)1cos211cos23()(cos22)22222x x x f x x x π---=-=+-112cos2sin(2)4426x x x π=-=-，(4分) 所以()f x 的最小正周期为22ππ=.(6分)(Ⅱ) 因为()f x 在区间[,]36ππ--上是减函数，在区间[,]64ππ-上是增函数，1()34f π-=-，1()62f π-=-，()44f π=，所以()f x 在区间[,]34ππ-上的的最大值为4，最小值为12-.(12分)22．(本小题满分12分)【参考答案】：(Ⅰ)ln ()x f x x =的定义域为(0,)+∞，又21ln ()xf x x-'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函数()f x 单调递增，当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减，故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞.(4分)(Ⅱ)注意到3e π<<，由(1)得ln ln 3ln 3eeππ<<，由ln ln 33ππ<可得33ππ<，由ln 3ln 3e e <可得33e e <，由ln ln e eππ<可得e e ππ<，则6个数中的最大数在3π，3e ，e π三数中，最小数在3π，3e ，eπ三数中.由于33e e ππ<<，则6个数中的最大数为3π。

福建师大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．已知直线方程y﹣3=（x﹣4），则这条直线的倾斜角是（）A．150°B．120°C．60°D．30°2．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6）C．（﹣1，﹣3，6）D．（1，﹣3，﹣6）3．已知α，β是平面，m，n是直线．下列中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∩β，则α⊥β4．已知l1：mx+y﹣2=0，l2：（m+1）x﹣2my+1=0，若l1⊥l2则m=（）A．m=0 B．m=1 C．m=0或m=1 D．m=0或m=﹣15．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN 所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（）A．6πB．C．3πD．12π7．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x﹣2）2+（y+1）2=18．已知实数x，y满足（x+5）2+（y﹣12）2=25，那么的最小值为（）A．5 B．8 C．13 D．189．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C． D．10．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为64+80π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．812．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（）A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离D．m⊥n且n与圆O相离二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0恒过的一个定点是．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣BD﹣C的正切值为．15．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是．16．若直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点，则k的取值范围是．17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC 的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于．18．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°②45°③60°④105°⑤120°⑥165°其中正确答案的序号是．（写出所有正确答案的序号）三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标（2）在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程；（3）求△ACD的面积．20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=16和圆C2：（x﹣7）2+（y﹣4）2=4，（1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标．2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．已知直线方程y﹣3=（x﹣4），则这条直线的倾斜角是（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由直线的斜率等于直线倾斜角的正切值求得答案．【解答】解：化直线方程y﹣3=（x﹣4）为，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tan，∴α=60°．故选：C．2．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6）C．（﹣1，﹣3，6）D．（1，﹣3，﹣6）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】由点P的坐标，利用点关于x轴对称的条件，建立相等关系，可得其对称点的坐标．【解答】解：设p（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标为（x，y，z），则x=1，y=﹣3，z=﹣6，所以对称点的坐标为（1，﹣3，﹣6）．故选：C．3．已知α，β是平面，m，n是直线．下列中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∩β，则α⊥β【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α；在B中，m与n平行或异面；在C中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在D中，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：∵在A中：若m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故A 正确；在B中：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故B错误；在C中：若m⊥α，m⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故C正确；在D中：若m⊥α，m∩β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：B．4．已知l1：mx+y﹣2=0，l2：（m+1）x﹣2my+1=0，若l1⊥l2则m=（）A．m=0 B．m=1 C．m=0或m=1 D．m=0或m=﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：y﹣2=0，x+1=0，此时两条直线相互垂直，∴m=0．当m≠0时，∵l1⊥l2，∴﹣m×=﹣1，解得m=1．综上可得：m=0，或m=1．故选：C．5．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN 所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用异面直线所成的角的定义，取A′A的中点为E，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE成的角．【解答】解：取A′A的中点为E，连接BE，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE 成的角，由题意得B′M⊥BE，故异面直线B′M与CN所成角的大小为90°，故选D．6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（）A．6πB．C．3πD．12π【考点】球的体积和表面积．【分析】长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出体积【解答】解：长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，设球的半径为r，所以2r==，所以这个球的体积积：=π故选：B．7．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x﹣2）2+（y+1）2=1【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标，可得要求的对称圆的方程．【解答】解：由于圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标为（4，﹣1），半径为1，故圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（x﹣4）2+（y+1）2=1，故选：A．8．已知实数x，y满足（x+5）2+（y﹣12）2=25，那么的最小值为（）A．5 B．8 C．13 D．18【考点】圆的标准方程．【分析】由题意画出图形，利用的几何意义结合图象得答案．【解答】解：如图，圆（x+5）2+（y﹣12）2=25的圆心M（﹣5，12），|MO|=，的几何意义为圆（x+5）2+（y﹣12）2=25上的点到原点的距离，则最小值为|OM|﹣5=13﹣5=8．故选：B．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C． D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．10．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】点与圆的位置关系．【分析】设P（x，y），要使∠APB=90°，只要求出P到AB中点的距离以及圆上的所有点到AB中点距离范围．【解答】解：设P（x，y），要使∠APB=90°，那么P到AB中点（﹣1，2）的距离为，而圆上的所有点到AB中点距离范围为[，]，即[，3]，所以使∠APB=90°的点P的个数只有一个，就是AB中点与圆心连线与圆的交点；故选B11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为64+80π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半圆柱与半球的组合体．【解答】解：由俯视图可知几何体为半圆柱与半球的组合体，半圆柱与半球的半径均为r，半圆柱的高为2r，∴几何体的表面积为为+++πr×2r+2r×2r=5πr2+4r2=64+80π．解得r=4．故选：C．12．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（）A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离D．m⊥n且n与圆O相离【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用直线m是以P为中点的弦所在的直线可求得其斜率，进而根据直线n的方程可判断出两直线平行；表示出点到直线n的距离，根据点P在圆内判断出a，b和r的关系，进而判断出圆心到直线n的距离大于半径，判断出二者的关系是相离．【解答】解：直线m是以P为中点的弦所在的直线∴直线m⊥PO，∴m的斜率为﹣，∵直线n的斜率为﹣∴n∥m圆心到直线n的距离为∵P在圆内，∴a2+b2＜r2，∴＞r∴直线n与圆相离故选A二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0恒过的一个定点是（2，3）．【考点】恒过定点的直线．【分析】把所给的直线分离参数，再令参数的系数等于零，即可求得定点的坐标．【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0，即k（2x﹣y﹣1）+（﹣x+2y﹣4）=0，一定经过直线2x﹣y﹣1=0 和直线﹣x+2y﹣4=0的交点（2，3），故答案为：（2，3）．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣BD﹣C的正切值为．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取BD的中点O，连接OC1，OC，则∠COC1就是二面角C1﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角C1﹣BD﹣C的正切值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则，CD=BC=CC1=a，取BD的中点O，连接OC1，OC，则∠COC1就是二面角C1﹣BD﹣C的平面角，∵CO==，∴tan∠COC1==．故答案为：．15．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（x﹣2）2+（y+1）2=1．【考点】轨迹方程；圆的标准方程．【分析】设圆上任意一点为A，确定A与AP中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，即可得到结论．【解答】解：设圆上任意一点为A（x1，y1），AP中点为（x，y），则，∴代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=116．若直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点，则k的取值范围是﹣1≤k＜1或k=．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】曲线y=表示一个半圆，如图所示．当直线过点A（﹣1，0）时，直线y=﹣x+k与半圆只有一个交点；当直线过点B（1，0），C（0，1）时，直线y=﹣x+k与半圆有两个交点，此时k=1；当直线位于此两条直线之间时满足题意．当直线y=﹣x+k与半圆相切时只有一个公共点，也满足条件．【解答】解：曲线y=表示一个半圆，如图所示．当直线过点A（﹣1，0）时，直线y=﹣x+k与半圆只有一个交点，此时k=﹣1；当直线过点B（1，0），C（0，1）时，直线y=﹣x+k与半圆有两个交点，此时k=1；当直线y=﹣x+k与半圆相切时只有一个公共点，k=．因此当﹣1≤k＜1时，或k=，直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点．故答案为﹣1≤k＜1，或k=．17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于．【考点】直线与平面所成的角．【分析】先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AB1的长度，在直角三角形AEB1中，即可求得结论．【解答】解：由题意不妨令棱长为2，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，故DA=，由勾股定理得A1D==过B1作B1E⊥平面ABC，则∠B1AE为AB1与底面ABC所成角，且B1E=，如图作A1S⊥AB于中点S，∴A1S=，∴AB1==∴AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故答案为：18．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°②45°③60°④105°⑤120°⑥165°其中正确答案的序号是④或⑥．（写出所有正确答案的序号）【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由两平行线间的距离=，得直线m和两平行线的夹角为30°．再根据两条平行线的倾斜角为135°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为2，可得直线m和两平行线的夹角为30°．由于两条平行线的倾斜角为135°，故直线m的倾斜角为105°或165°，故答案为：④或⑥．三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标（2）在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程；（3）求△ACD的面积．【考点】待定系数法求直线方程；点到直线的距离公式．【分析】（1）设AC的中点为M，则由M为AC的中点求得M（，），设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，求得D的坐标．（2）求得直线CD的斜率K CD，可得CD边上的高线所在直线的斜率为，从而在△ACD 中，求得CD边上的高线所在直线的方程0．（3）求得，用两点式求得直线CD的方程，利用点到直线的距离公式求得点A到直线CD的距离，可得△ACD的面积．【解答】解：（1）由于平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3），设AC的中点为M，则M（，），设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，有，解得，所以，D（3，8）．（2）∵直线CD的斜率K CD==5，所以CD边上的高线所在直线的斜率为，故△ACD中，CD边上的高线所在直线的方程为，即为x+5y﹣19=0．（3）∵C（2，3），D（3，8），∴，由C，D两点得直线CD的方程为：5x﹣y﹣7=0，∴点A到直线CD的距离为=，∴．20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明EF∥PA，利用中位线定理即可得证；（Ⅱ）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA⊥面PDC，进而转化为证明PA⊥PD，PA⊥DC，易证三角形PAD为等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD，得CD⊥PA；（Ⅲ）设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）可证PD⊥平面EFM，则∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，通过解Rt△FEM可得所求二面角的正切值；【解答】（Ⅰ）证明：ABCD为平行四边形，连结AC∩BD=F，F为AC中点，E为PC中点，∴在△CPA中EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，∴CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，又，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD，CD∩PD=D，且CD、PD⊂面ABCD，PA⊥面PDC，又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC；（Ⅲ）解：设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B﹣PD﹣C 的平面角，Rt△FEM中，，，，故所求二面角的正切值为；21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系建立坐标系，利用|CD|=|CB|，确定圆的方程；（2）令x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少．【解答】解：（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为（﹣16，0），（16，0），（0，8）．又圆心C在y轴上，故可设C（0，b）．…因为|CD|=|CB|，所以，解得b=﹣12．…所以圆拱所在圆的方程为：x2+（y+12）2=（8+12）2=202=400…（2）当x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，…距涨水后的水面约5.6m，因为船高6.5m，顶宽8m，所以船身至少降低6.5﹣5.6=0.9（m）以上，船才能顺利通过桥洞．…22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论；（Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．因为CA=CB，所以OC⊥AB．由于AB=AA1，，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB．因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以．又，则，故OA1⊥OC．因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．又△ABC的面积，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=16和圆C2：（x﹣7）2+（y﹣4）2=4，（1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出k，即可求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，根据⊙C1和⊙C2的半径，及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2，可得⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离2倍，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）若切线的斜率存在，可设切线的方程为y﹣6=k（x﹣4），则圆心C1到切线的距离，解得，所以切线的方程为：5x﹣12y+52=0；若切线的斜率不存在，则切线方程为x=4，符合题意．综上所述，过P点的圆C1的切线方程为5x﹣12y+52=0或x=4．…（2）设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l1的方程为：y﹣b=k（x﹣a）（k≠0），即kx﹣y+b﹣ak=0（k≠0），则直线l2的方程为：，即x+ky﹣bk﹣a=0．因为圆C1的半径是圆C2的半径的2倍，及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，所以圆C1的圆心到直线l1的距离是圆C2的圆心到直线l2的距离的2倍，即…整理得|ak﹣b|=|2a﹣14+（2b﹣8）k|从而ak﹣b=2a﹣14+（2b﹣8）k或b﹣ak=2a﹣14+（2b﹣8）k，即（a﹣2b+8）k=2a+b﹣14或（a+2b﹣8）k=﹣2a+b+14，因为k的取值有无穷多个，所以或，…经检验点P1和点P2满足题目条件．…2016年7月31日。

福建师大附中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．抛物线y=2x2的准线方程是（）A．B．C．D．2．“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥03．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．下列中为真的是（）A．“若x＞y，则|x|＞|y|”的逆B．“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否C．“x＞1，则x2＞1”的否D．“若x=y，则sinx=siny”的逆否5．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=6．已知p：∀x∈[1，2]，x2≥a；q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若p∧q是真，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣2或a=1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥1 D．﹣2≤a≤17．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．88．函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）的部分图象可能是（）A．B．C．D．9．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．10．下列不等式对任意的x∈（0，+∞）恒成立的是（）A．x﹣x2≥0 B．e x≥ex C．lnx＞x D．sinx＞﹣x+1 11．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，则p=（）A．2 B．C．D．412．已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＜e2013f（0）B．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＞e2013f（0）C．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＜e2013f（0）D．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＞e2013f（0）二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=．14．函数y=xe x+1在点（0，1）处的切线方程为．15．已知A（﹣1，0），B是圆C：（x﹣1）2+y2=8（C为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BC于P，则动点P的轨迹方程为．16．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知某物体的位移S（米）与时间t（秒）的关系是S（t）=3t﹣t2．（Ⅰ）求t=0秒到t=2秒的平均速度；（Ⅱ）求此物体在t=2秒的瞬时速度．18．已知椭圆的两焦点是F1（﹣1，0），F2（1，0），离心率e=．（1）求椭圆方程；（2）若P在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=1，求cos∠F1PF2．19．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；（3）若关于x的方程f（x）=k有三个零点，求实数k的取值范围．20．如图，有一块抛物线形钢板，其下口宽为2米，高为2米．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是抛物线的下口，上底CD的端点在抛物线上．（Ⅰ）请建立适当的直角坐标系，求抛物线形钢板所在抛物线方程；（Ⅱ）记CD=2x，写出梯形面积S以x为自变量的函数关系式，并指出定义域；（Ⅲ）求面积S的最大值．21．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点．（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．22．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣1+lnx（x＞0）．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在上是增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a＞1，使得方程f（x）=x2﹣1在区间（1，e）上有解，若存在，试求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．2015-2016学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．抛物线y=2x2的准线方程是（）A．B．C．D．【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p=1，因看错方程形式马虎导致错误．2．“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0【分析】根据全称的否定是特称即可得到结论．【解答】解：根据全称的否定是特称，则“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的的否定，比较基础．3．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f （x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．下列中为真的是（）A．“若x＞y，则|x|＞|y|”的逆B．“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否C．“x＞1，则x2＞1”的否D．“若x=y，则sinx=siny”的逆否【分析】根据四种真假关系进行判断即可．【解答】解：A．“若x＞y，则|x|＞|y|”的逆为若|x|＞|y|，则x＞y，当x=﹣2，y=0时，满足x|＞|y|，但x＞y不成立，即逆为假．B．“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否是若x≠1，则x2+x﹣2≠0，当x=﹣2时，满足x≠1，但x2+x ﹣2=0，故否为假．C．的否为若“x≤1，则x2≤1，当x=﹣2时，满足x≤1，但x2≤1不成立，故的否为假．D．“若x=y，则sinx=siny”为真．则的逆否为真．故选：D【点评】本题主要考查的真假判断，涉及的四种形式，比较基础．5．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．6．已知p：∀x∈[1，2]，x2≥a；q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若p∧q是真，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣2或a=1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥1 D．﹣2≤a≤1【分析】根据二次函数的最值，一元二次方程解的情况和判别式△的关系即可求出p，q下a的取值范围，再根据p∧q为真得到p，q都为真，所以对前面所求a的取值范围求交集即可．【解答】解：p：x2在[1，2]上的最小值为1，∴a≤1；q：方程x2+2ax+2﹣a=0有解，∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1，或a≤﹣2；若p∧q是真，则p，q都是真；∴，∴a=1，或a≤﹣2；∴实数a的取值范围是{a|a≤﹣2，或a=1}；故选A．【点评】考查根据单调性求二次函数的最值，一元二次方程解的情况和判别式△的关系，以及p∧q的真假和p，q真假的关系．7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．8．函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性，单调性和特殊点的函数值的对应性进行排除．【解答】解：∵f（x）=x﹣sinx（x∈R）是奇函数，∴图象关于原点对称，∴排除D．∵函数的导数为f'（x）=1﹣cosx≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，∴排除C．∵f （﹣）=﹣=﹣=1﹣≈﹣0.57＞﹣1，∴排除B ，故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，要充分利用函数的对称性，单调性和特殊值的符号进行判断是解决函数图象题的基本方法．9．设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【分析】设|PF 2|=x ，在直角三角形PF 1F 2中，依题意可求得|PF 1|与|F 1F 2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF 2|=x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，∴|PF 1|=2x ，|F 1F 2|=x ，又|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c∴2a=3x ，2c=x ，∴C 的离心率为：e==．故选D ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF 1|与|PF 2|及|F 1F 2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．10．下列不等式对任意的x ∈（0，+∞）恒成立的是（）A ．x ﹣x 2≥0B ．e x ≥exC ．lnx ＞xD ．sinx ＞﹣x+1【分析】对于A ，C ，D 分别列举反例，对于B ，构造函数f （x ）=e x ﹣ex ，利用导数可求f （x ）的最小值为0，故可判断．【解答】解：对于A ，x=3时，显然不成立；对于B ，设f （x ）=e x ﹣ex ，∴f ′（x ）=e x ﹣e ，当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴x=1时，f （x ）取得最小值为0，∴f （x ）≥0，∴e x ≥ex ，故B 正确；对于C，x=e时，显然不成立；对于D，x=π时，显然不成立；故选B．【点评】本题以为载体，考查恒成立问题，解题时，错误的结论列举反例，正确的结论需要严格的逻辑证明．11．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，则p=（）A．2 B．C．D．4【分析】利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出．【解答】解：过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D．∵，∴|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，∴，即，∴．故选C．【点评】熟练掌握抛物线的定义、相似三角形的性质是解题的关键．12．已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＜e2013f（0）B．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＞e2013f（0）C．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＜e2013f（0）D．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＞e2013f（0）【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f'（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：令，则，因为f（x）＞f'（x），所以g′（x）＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，所以g（﹣2013）＞g（0），即，所以e2013f（﹣2013）＞f（0），，所以f（2013）＜e2013f（0）．故选C．【点评】本题考查了导数的运算，由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式，属逆向思维，属中档题．二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=1．【分析】把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，则c==2，解得k=1．故答案为：1．【点评】此题考查学生掌握椭圆的简单性质化简求值，是一道中档题．14．函数y=xe x+1在点（0，1）处的切线方程为x﹣y+1=0．【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=xex+1，∴f'（x）=xex+ex，当x=0时，f'（0）=1得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为：y﹣1=1×（x﹣0），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．已知A（﹣1，0），B是圆C：（x﹣1）2+y2=8（C为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BC于P，则动点P的轨迹方程为．【分析】由题意画出图形，可得|PA|+|PC|=|CB|=＞2，可得动点P的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，则答案可求．【解答】解：如图，圆C：（x﹣1）2+y2=8的圆心C（1，0），半径为r=|CB|=，由图可知，∵P是AB的垂直平分线上的点，∴|PA|=|PB|，则|PA|+|PC|=|CB|=，∵，∴动点P的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1．∴动点P的轨迹方程为．故答案为：．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了椭圆的定义，体现了数学转化思想方法，是中档题．16．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是[1，）．【分析】先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减得解．【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又f'（x）=4x﹣，由f'（x）=0，得x=．据题意，，解得1≤k＜故答案为：[1，）【点评】本题主要考查函数的单调性与导函数的关系．属基础题．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知某物体的位移S（米）与时间t（秒）的关系是S（t）=3t﹣t2．（Ⅰ）求t=0秒到t=2秒的平均速度；（Ⅱ）求此物体在t=2秒的瞬时速度．【分析】（Ⅰ）根据平均速度公式计算即可，（Ⅱ）求导并令t=2得在t=2秒时的瞬时速度，【解答】解：（Ⅰ）米/秒（Ⅱ）∵S′（t）=3﹣2t，∴S′（2）=﹣1米/秒．【点评】本题考查了导数的概念及其实际应用，属于基础题．18．已知椭圆的两焦点是F1（﹣1，0），F2（1，0），离心率e=．（1）求椭圆方程；（2）若P在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=1，求cos∠F1PF2．【分析】（1）由题意设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），可得c=1，=，又a2=b2+c2，解得即可得出．（2）由|PF1|﹣|PF2|=1，|PF1|+|PF2|=4，联立解得|PF1|，|PF2|．在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1PF2=，即可得出．【解答】解：（1）由题意设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），∵椭圆的两焦点是F1（﹣1，0），F2（1，0），离心率e=．∴c=1，=，又a2=b2+c2，解得a=2，b2=3．∴椭圆的标准方程为：．（2）∵|PF1|﹣|PF2|=1，|PF1|+|PF2|=4，联立解得|PF1|=，|PF2|=．在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1PF2===．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；（3）若关于x的方程f（x）=k有三个零点，求实数k的取值范围．【分析】（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=，f′（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而函数的极值；（3）由（2）得到函数的单调区间进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2﹣b由题意知，解得，∴所求的解析式为f（x）=x3﹣4x+4；（2）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，∴因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值；（3）由（2）知，得到当x＜﹣2或x＞2时，f（x）为增函数；当﹣2＜x＜2时，f（x）为减函数，∴函数f（x）=x3﹣4x+4的图象大致如图．由图可知：．【点评】本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．20．如图，有一块抛物线形钢板，其下口宽为2米，高为2米．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是抛物线的下口，上底CD的端点在抛物线上．（Ⅰ）请建立适当的直角坐标系，求抛物线形钢板所在抛物线方程；（Ⅱ）记CD=2x，写出梯形面积S以x为自变量的函数关系式，并指出定义域；（Ⅲ）求面积S的最大值．【分析】（I）以抛物线定点为原点建立坐标系，使用待定系数法求出解析式；（II）设梯形高为h，用x，h表示出C点坐标，代入解析式得出x，h的关系，代入梯形面积公式即可；（III）利用导数判断S（x）的单调性，根据单调性得出最值．【解答】解：（I）如图，建立直角坐标系xoy，使抛物线的顶点在坐标原点，且抛物线的对称轴在y轴上．则A（﹣1，﹣2 ），B（1，﹣2），设抛物线的标准方程为：x2=2py（p＜0）．∵点B在抛物线上，∴12=2p（﹣2）求得p=﹣，∴抛物线的方程为：．（II）设梯形的高为h，∵CD=2 x 则C（x，﹣2+h ）．又点C在抛物线上，∴，解得h=﹣2x2+2．∴S（x）==2（﹣x3﹣x2+x+1）．定义域为（0，1）．（III）∵S（x）=2（﹣x3﹣x2+x+1）．∴S′（x）=2（﹣3x2﹣2x+1）=﹣2（3x﹣1）（x+1）．令S′（x）=0，解得x=﹣1（舍）或x=．当0时，S′（x）＞0，当时，S′（x）＜0，∴S（x）在上为增函数，上为减函数，∴当x=时，面积S取得最大值=．答：梯形的面积S的最大值为．【点评】本题考查了待定系数法求曲线方程，导数与函数的最值，属于中档题．21．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点．（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．【分析】（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，由△=（4k﹣4）2﹣16k2＞0，得k＜，由=，，知y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=，由以AB为直径的圆经过原点O，能求出直线l的方程．（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），由，得，故线段AB的中垂线方程为，由此能求出△POQ面积的取值范围．【解答】解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，则由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，=，，所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=，因为以AB为直径的圆经过原点O，所以∠AOB=90°，即，所以，解得k=﹣，即所求直线l的方程为y=﹣．（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），则由（1）得，，所以线段AB的中垂线方程为，令y=0，得==，又由（1）知k ＜，且k ≠0，得或，所以，所以=，所以△POQ 面积的取值范围为（2，+∞）．【点评】本题考查直线l 的方程的求法和求△POQ 面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．22．已知函数f （x ）=x 2﹣ax ﹣1+lnx （x ＞0）．（Ⅰ）当a=3时，求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若f （x ）在上是增函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a ＞1，使得方程f （x ）=x 2﹣1在区间（1，e ）上有解，若存在，试求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）将a=3代入f （x ），求出函数的导数，解不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于：，恒成立，根据函数的单调性，求出2x+在闭区间的最小值即可；（Ⅲ）假设存在，等价转化为：当a ＞1，函数h （x ）=lnx ﹣ax 在区间（1，e ）上有零点，得出矛盾，假设不成立．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f （x ）=x 2﹣3x ﹣1+lnx ，∴，解得x ＞1或，又∵x ＞0，∴f （x ）单调增区间为；（Ⅱ）若f （x ）在上是增函数，则对任意，f ′（x ）≥0恒成立，∴，等价于：，2x2﹣ax+1≥0恒成立，等价于：，恒成立令，∴，∴g（x）在上为减函数，（Ⅲ）假设a＞1，方程f（x）=x2﹣1在区间（1，e）有解，等价转化为：当a＞1，函数h（x）=lnx﹣ax在区间（1，e）上有零点令，解得：，又∵x＞0，∴h（x）单调增区间为，单调减区间，∵a＞1，∴，∴h（x）在（1，e）上为减区间，而h（1）=﹣a＜0，故h（x）在（1，e）上不存在零点．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．。

【精品】2017-2018学年福建师大附中高一(上)和高二(上)期末数学试卷(学生解析版)

2017-2018学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β3．（5分）已知直线l1：2x+ay=2，l2：a2x+2y=1且l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1 B．0 C．﹣1 D．0或﹣14．（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A．21 B．19 C．9 D．﹣115．（5分）在正四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k 的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）D．[﹣2，]7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3 B．2 C．2 D．28．（5分）已知三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为（）A．B．C．D．9．（5分）直线y=x+m与曲线=x有公共点，则实数m的取值范围是（）A．[﹣4，4]B．[﹣4，4] C．[﹣4，4] D．[﹣4，4]10．（5分）已知圆C1（x+2）2+（y﹣1）2=1，圆C2（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上有四个不同点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则b的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣10，10）D．（﹣10，﹣2）∪（2，10）12．（5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（）A．MD⊥MB B．MD⊥PCC．AB⊥AD D．M是棱PC的中点二、填空题：每小题5分，共30分.13．（5分）设A（3，4，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB中点M到点C距离为．14．（5分）已知过点M（﹣3，0）的直线l被圆x2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，那么直线l的方程为．15．（5分）已知实数a，b满足（x+5）2+（y﹣12）2=16，那么的最小值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m ∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．17．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）18．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=AC=，BC=2，则三棱锥P ﹣ABC外接球的表面积为．三、解答题：5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（12分）如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C 在直线l：x﹣2y+2=0上．（Ⅰ）求AB边上的高CE所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．20．（12分）如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求AE与平面BDE所成角的大小；（3）求三棱锥D﹣BEF的体积．21．（12分）如图是某圆拱桥的示意图，水面跨度EF=4m，拱高OM=6m，现有一艘船宽为4m，水面以上高4.5m（平顶），这条船能否从桥下通过？22．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与等边三角形PAD所在平面互相垂直，点E，F分别为PC，AD的中点．（1）求证：PA∥平面EBD；（2）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PFB？若存在，指出点N的位置，并证明结论；若不存在，说明理由．23．（12分）已知点A是圆C：（x﹣4）2+y2=36上的动点，点B的坐标是（﹣2，﹣4），线段AB中点的轨迹为M．（1）求轨迹M的方程；（2）斜率为1的直线l交轨迹M于P，Q两点．设点D（1，﹣2）．①若OP⊥OQ，求直线l的方程；②当△DPQ面积取最大值时，求直线l的方程．2017-2018学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷答案与解析一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．【分析】由题意可知，直线x+y+1=0的斜率为k=﹣，设其倾斜角为α，由tanα=﹣，可得直线x+y+1=0的倾斜角．【解答】解：设其倾斜角为α，∵直线x+y+1=0的斜率为k=﹣，∴tanα=﹣，又α∈[0°，180°），∴α=120°．故选：C．【点评】本题考查直线的倾斜角，着重考查直线的倾斜角与斜率间的关系，属于基础题．2．【分析】对于A、由面面平行的判定定理，得A是假命题对于B、由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n 都平行的平面，则所得平面与α、β都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论．对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可．【解答】解：对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题B正确．对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正确；对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故选：B．【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目．3．【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【解答】解：当a=0时，直线l1：x=1，l2：2y=1，此时满足l1⊥l2，∴a=0适合题意；当a≠0时，直线直线l1：2x+ay=2化为y=﹣+，可得斜率，l2：a2x+2y=1化为y=﹣，可得斜率k2=﹣．∵l1⊥l2，∴k1k2=﹣（﹣）=a=﹣1，解得a=﹣1，综上可得：a=0或a=﹣1．故选：D．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．4．【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴，解得：m=9．故选：C．【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．5．【分析】由A1B∥D1C，得∠AD1C是异面直线A1B与AD1所成角，由此能求出异面直线A1B与AD1所成角的正弦值．【解答】解：在正四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，设AA1=2AB=2，∵A1B∥D1C，∴∠AD1C是异面直线A1B与AD1所成角，AD1=CD1=，AC=，∴cos∠AD1C==．∴sin∠AD1C==．∴异面直线A1B与AD1所成角的正弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．【分析】由直线系方程求出直线l所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与线段AB上点的斜率的最小值和最大值得答案．【解答】解：∵直线l：y=k（x﹣2）+1过点P（2，1），连接P与线段AB上的点A（1，3）时直线l的斜率最小，为，连接P与线段AB上的点B（﹣2，﹣1）时直线l的斜率最大，为．∴k的取值范围是．故选：D．【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题．7．【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P﹣ABCD中，最长的棱为PA，即PA===2，故选：B．【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．8．【分析】以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B1到平面ABC1的距离．【解答】解：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则B1（，，1），A（0，0，0），B（，，0），C1（0，1，1），=（，，1），=（，，0），=（0，1，1），设平面ABC1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣），∴点B1到平面ABC1的距离：d===．故选：A．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查线线平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．【分析】由x=，化简得x2+y2=16，且x≥0，可知这个曲线应该是半径为4，圆心是（0，0）的半圆，化出图象，数形结合即可求出实数m的取值范围．【解答】解：由x=，化简得x2+y2=16，且x≥0，∴该曲线是半径为4，圆心是（0，0）的半圆，如图：直线在第四象限与曲线相切时解得m=﹣，当直线y=x+m经过点（0，4）时，m=4．∴直线y=x+m与曲线=x有公共点，则实数m的取值范围是[，4]．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．【分析】求出圆C1，C2的圆心坐标和半径，作出圆C1关于x轴的对称圆，连结，则与x轴的交点即为P点，此时M点为PC1与圆C1的交点，N为PC2与圆C2的交点，|PM|+|PN|的最小值为||﹣（3+1）．【解答】解：由圆，圆，知圆C1的圆心为（﹣2，1），半径为1，圆C2的圆心为（3，4）半径为3．如图，圆C1关于x轴的对称圆为圆（x+2）2+（y+1）2=1．连结，交x轴于P，则P为满足使|PM|+|PN|最小的点，此时M点为PC1与圆C1的交点，N为PC2与圆C2的交点．最小值为||﹣（3+1），而||=，∴|PM|+|PN|的最小值为．故选：C．【点评】本题考查了圆方程的综合应用，考查了利用对称关系求曲线上两点间的最小距离，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．【分析】求出圆心和半径，比较半径和2，圆上有四个不同的点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则圆心到直线的距离应小于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，若圆上有四个不同的点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则圆心到直线的距离d=＜，∴﹣2＜b＜2，∴b的取值范围是（﹣2，2），故选：A．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．12．【分析】由已知得BD⊥PA，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，进而BD⊥PC．由此得到当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，平面MBD⊥平面PCD．【解答】解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD．而PC属于平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．故选：B．【点评】本题考查面面垂直的条件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．二、填空题：每小题5分，共30分.13．【分析】求出A，B的中点M的坐标，然后利用距离公式求解即可．【解答】解：设A（3，4，1），B（1，0，5），则AB中点M（2，2，3），∵C（0，1，0），∴M到点C距离为：=．故答案为：．【点评】本题考查空间点的坐标的求法，距离公式的应用，考查计算能力．14．【分析】设直线方程为y=k（x+3）或x=﹣3，根据直线l被圆圆x2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，可得圆心到直线的距离为3，利用点到直线的距离公式确定k值，验证x=﹣3是否符合题意．【解答】解：设直线方程为y=k（x+3）或x=﹣3，∵圆心坐标为（0，﹣2），圆的半径为5，∴圆心到直线的距离d==3，∴=3，∴k=，∴直线方程为y=（x+3），即5x﹣12y+15=0；直线x=﹣3，圆心到直线的距离d=|﹣3|=3，符合题意，故答案为：x=﹣3或5x﹣12y+15=0．【点评】本题考查了待定系数法求直线方程，考查了直线与圆相交的相交弦长公式，注意不要漏掉x=﹣3．15．【分析】推导出，（0≤θ＜2π），从而==2，进而当sinθ+γ）=﹣1时，取最小值为6．【解答】解：∵实数a，b满足（x+5）2+（y﹣12）2=16，∴，（0≤θ＜2π），∴===2，∴当sinθ+γ）=﹣1时，取最小值为6．故答案为：6．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，考查圆的参数方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．17．【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为寸．则盆中水的体积为（立方寸）．所以则平地降雨量等于（寸）．故答案为3．【点评】本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是基础题．18．【分析】根据已知利用正弦定理和余弦定理求出底面半径，及球心距，代入球的表面积公式，可得答案．【解答】解：∵AB=AC=，BC=2，∴cosA==，则sinA=，故底面ABC的外接圆半径r==，由PA⊥平面ABC，PA=2，得：球心到底面ABC的距离d=1，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4π=13π，故答案为：13π．【点评】本题考查的知识点是球的体积和表面积，难度中档．三、解答题：5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．【分析】（I）由题意可知，E为AB的中点，E（3，2），利用斜率计算公式、点斜式即可得出．（II）由得C（4，3），利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）由题意可知，E为AB的中点，E（3，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）且k CE=﹣=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴CE所在直线方程为y﹣2=x﹣3，即x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）由得C（4，3），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴|AC|=|BC|=，AC⊥BC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=|AC|•|BC|=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴S△ABC【点评】本题考查了斜率计算公式、点斜式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．【分析】（1）由AC⊥BD，得DE⊥平面ABCD，从而AC⊥DE，由此能证明AC⊥平面BDE．（2）设AC∩BD=O，连接AE，EO，由AC⊥平面BDE，得∠AEO是AE与平面BDE所成角，由此求出AE与平面BDE所成角．=V B﹣DEF，由（3）推导出平面ADEF⊥平面ABCD，从而AB⊥AD，三棱锥D﹣BEF的体积V D﹣BEF此能求出结果．【解答】证明：（1）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD，DE⊂平面BDE，BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE．…（4分）解：（2）设AC∩BD=O，连接AE，EO，∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，∴∠AEO是AE与平面BDE所成角，…（6分）在Rt△EAD中，EA==2，AO=，∴在Rt△EOA中，sin∠AEO==，∴∠AEO=30°，即AE与平面BDE所成角为30°．…（8分）（3）∵DE⊥平面ABCD，DE⊂平面ADEF，∴平面ADEF⊥平面ABCD，∴AB⊥AD，∵平面ADEF∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面ADEF，…（10分）∴三棱锥D﹣BEF的体积V D=V B﹣DEF===．…（12分）﹣BEF【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．【分析】建立适当的平面直角坐标系xOy，利用坐标表示出点F、M，设出圆的标准方程并求出，再利用圆的方程判断这条船是否能从桥下通过．【解答】解：以EF所在直线为x轴，以OM所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy．则有F（2，0），M（0，6）；…（2分）由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为x2+（y﹣b）2=r2；∵F（2，0），M（0，6）在圆上∴；…（6分）解得，b=﹣2，r2=64；∴圆的方程是x2+（y+2）2=64；…（8分）当x=2时，（y+2）2=36；∵y＞0，∴y=4＜4.5 …（11分）∴这条船不能从桥下通过．…（12分）【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．22．【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE，则PA∥OE，由此能证明PA∥平面EBD．（2）取AB的中点N，连接CN，交BF于点M，推导出CN⊥BF，PF⊥AD，从而PF⊥平面ABCD，进而PF⊥CN，CN⊥平面PBF，由此能证明存在N为AB的中点，使得平面PCN⊥平面PFB．【解答】证明：（1）连接AC交BD于点O，连接OE．…（1分）∴O为AC的中点，∵点E为PC的中点，∴PA∥OE，…（3分）∵OE⊂平面EBD，PA⊄平面EBD，…（4分）∴PA∥平面EBD．解：（2）存在N为AB的中点，使得平面PCN⊥平面PFB．…（6分）证明：取AB的中点N，连接CN，交BF于点M，由正方形ABCD可知，△ABF≌△BCN，∴∠ABF=∠BCN，∵∠CNB+∠BCN=90°，∴∠CNB+∠ABF=90°，∴CN⊥BF，…（8分）∵平面ABCD⊥平面PAD，PF⊥AD，平面ABCD∩平面PAD=AD，PF⊂平面PAD，∴PF⊥平面ABCD，∵CN⊂平面ABCD，∴PF⊥CN，…（10分）∵BF、PF⊂平面PBF，BF∩PF=F，…（11分）∴CN⊥平面PBF，∵CN⊂平面PCN，∴平面PCN⊥平面PBF．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足面面垂直的点的位置的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、几何体的内切球的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23．【分析】（1）设点M（x，y），点A（x0，y0）是圆C：（x﹣4）2+y2=36上的动点，根据线段AB中点的轨迹为M．结合中点坐标可得轨迹方程．（2）①设出直线方程，设而不求的思想，根据OP⊥OQ，即可求解．②设圆心（1，﹣2）到直线y=x+m的距离为d，即AB=2，那么△DPQ面积S=，转化为二次函数问题，即可求解．【解答】解：（1）设点M（x，y），点A（x0，y0），依题意得，即∵点A（x0，y0）是圆C：（x﹣4）2+y2=36上的动点，∴（x0﹣4）2+y02=36∴（2x+2﹣4）2+（2y+4）2=36整理可得（x﹣1）2+（y+2）2=9∴轨迹M的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=9；（2）①假设存在直线l，设y=x+mA（x1，y1），B（x2，y2）∵OP⊥OQ，∴x1•x2+y1•y2=0由，得2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，由△＞0得，．x1+x2=﹣m﹣1，∴y1•y2=（x1+m）（x2+m）=∴x1•x2+y1•y2=0即m2+3m﹣4=0解得：m=1或m=﹣4；∴直线l的方程为y=x+1或y=x﹣4②设圆心（1，﹣2）到直线y=x+m的距离为d∴AB=2∴△DPQ面积S===此时d==解得：m=0或m=﹣6，∴直线l的方程为y=x或y=x﹣6．【点评】考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．2017-2018学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A，B，C，D四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）点M的极坐标是（），则点M的直角坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．以上都不对2．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．4x+1=0 B．4y+1=0 C．2x+1=0 D．2y+1=03．（5分）“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）下列命题中是真命题的是（）①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题；④“x2=9，则x=3”的否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④6．（5分）若k＞1，则关于x、y的方程（1﹣k）x2+y2=k2﹣1所表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线7．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），若直线l与y=x2交于A，B两点，则线段AB的中点M对应的参数t的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．8．（5分）与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，且与圆C2：（x﹣3）2+y2=9外切的动圆圆心P的轨迹方程是（）A．x2﹣=1（x＜0）B．x2﹣=1C．﹣=1（x＜0） D．﹣=19．（5分）已知点A（2，2），点P为抛物线x2=4y的动点，F点为抛物线的焦点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．4 B．C．D．611．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线l交x轴于R点，过抛物线上一点P（4，4）作PQ ⊥l于Q，则梯形PQRF的面积为（）A．12 B．14 C．16 D．1812．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距长的一半为c，直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为恰好为c，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．13．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，c是半焦轴距，P是双曲线上异于顶点的点，满足ctan∠PF1F2=atan∠PF2F1，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，1+） B．（，1+）C．（1+，1+） D．（1+，+∞）二、填空题（每小题5分，共25分）14．（5分）命题“∀x∈R，x3≥0恒成立．”的否定为．15．（5分）双曲线16y2﹣9x2=144的虚轴长为．16．（5分）与参数方程（t为参数）等价的普通方程为．17．（5分）已知P（x，y）为椭圆+y2=1上的动点，则代数式x2+2x﹣y2的最大值为．18．（5分）某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16m，当水面上涨2m时，水面宽变为12m，此时桥洞顶部距水面高度为米．三、解答题（要求写出过程，共60分）19．（12分）已知抛物线y2=4x，过焦点F斜率为K的直线L交抛物线于A，B两点．（1）若K=2，求弦AB的中点的坐标；（2）若弦AB的长为8，求直线L的斜率K．[选修4-4：极坐标与参数方程]20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线B：x2+y2=1经过伸缩变换后，变为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l：x+4y﹣8=0的距离最短，并求出点D的直角坐标．[选修4-4：极坐标与参数方程]21．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l 的斜率．22．（12分）已知直线l：y=kx+2交双曲线C：x2﹣y2=1右支于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）是否存在直线l使得•=﹣1，若存在，请写出；若不存在，请说明理由．23．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（2，3），P3（﹣2，3），P4（0，2）中恰好有三点在椭圆C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过（2，0）点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线C于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．2017-2018学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）答案与解析一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A，B，C，D四个选项中，只有一项符合题目要求）1．【分析】直接利用极坐标与直角坐标的互化，求出结果即可．【解答】解：∵x=ρcosθ，y=ρsinθ．∴点M的极坐标为（3，），则该点的直角坐标为（，）．故选：A．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的方法，属于基础题．2．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣，即4y+1=0．故选：B．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．3．【分析】由真值表可知若p∧q为真命题，则p、q都为真命题，从而p∨q为真命题，反之不成立，从而求解．【解答】解：：∵p∨q为真命题，则p、q中只要有一个命题为真命题即可，p∧q为真命题，则需两个命题都为真命题，∴p∨q为真命题不能推出p∧q为真命题，而p∧q为真命题能推出p∨q为真命题∴“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了利用充要条件定义判断充分必要性的方法，利用真值表判断命题真假的方法，熟记真值表是解决本题的关键．4．【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．【解答】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．5．【分析】①先写出否命题，然后判断；②写出命题的逆命题，然后判断；③写出命题的逆否命题，然后判断；④写出命题的否命题，然后判断．【解答】解：①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题是：“若x2+y2=0，则x，y全为零”，是真命题；②“正多边形都相似”的逆命题是：“相似的多边形都是正多边形”，是假命题；③“若m＞0，则x2+x﹣m=0中△=1+4m＞0，方程有实根”为真命题，其逆否命题也是真命题；④“x2=9，则x=3”的否命题是：“x2≠9，则x≠3”，是真命题．∴是真命题的是①③④．故选：B．【点评】本题主要考查四种命题的关系以及四种命题真假的判断，是基础题．6．【分析】利用K的范围，判断二次方程的形式，即可推出结果．【解答】解：k＞1，可得（1﹣k）＜0，k2﹣1＞0，关于x、y的方程（1﹣k）x2+y2=k2﹣1所表示的曲线是：焦点在y轴上的双曲线．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．7．【分析】将直线的参数方程代入抛物线方程，由韦达定理和参数t的几何意义，可得所求值．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），若直线l与y=x2交于A，B两点，可得1+t=t2，即3t2﹣2t﹣4=0，即有t1+t2=，则线段AB的中点M对应的参数t的值为（t1+t2）=，故选：C．【点评】本题考查直线的参数的几何意义，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8．【分析】设圆心P的坐标为（x，y），根据动圆与圆C1，C2外切，建立等式关系，化简可得答案．【解答】解：由题意，与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，其圆心（﹣3，0），r=1，圆C2：（x﹣3）2+y2=9外切，其圆心（3，0），r=3，圆心P的坐标为（x，y），圆C2过圆心，∴x＜0；动圆与圆C1，C2外切：∴．两边平方整理可得：x2﹣=1（x＜0）．故选：A．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，与圆有关的性质，是中档题．9．【分析】先由抛物线的标准方程求得焦点F的坐标，再设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标是（1，0 ）；设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为2﹣（﹣1）=3．故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．10．【分析】由题意能够推导出△PF1F2是直角三角形，其面积=．【解答】解：∵|PF1|：|PF2|=4：3，∴可设|PF1|=4k，|PF2|=3k，由题意可知3k+4k=7，∴k=1，∴|PF1|=4，|PF2|=3，∵|F1F2|=5，∴△PF1F2是直角三角形，其面积===6．故选：D．【点评】本题考查椭圆的性质，判断出△PF1F2是直角三角形能够简化运算．11．【分析】求梯形PQRF的面积，关键是确定梯形的上底，下底，及高的长，利用抛物线的定义即可求得．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，焦点为F，准线l交x轴于R点∴抛物线的准线方程为：x=﹣1，FR=2∵过抛物线上一点P（4，4）作PQ⊥L于Q∴|QR|=4，|PQ|=5∴梯形PQRF的面积为故选：B．【点评】本题考查梯形的面积，解题的关键是利用抛物线的几何性质，正确运用梯形的面积公式．12．【分析】由椭圆与直线y=x交于（c，c）点，代入椭圆的方程，利用椭圆的离心率及取值范围，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由已知可得：椭圆+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，椭圆与直线y=x交于（c，c）点，则，即，整理得：e4﹣3e2+1=0，（1＜e＜1），解得e2=．∴e=，故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆a，b与c的关系，考查计算能力，属于中档题．13．【分析】由题意可得e==，设P（m，n）为双曲线的右支上一点，由F1（﹣c，0），F2（﹣c，0），运用直线的斜率公式和m＞a，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由ctan∠PF1F2=atan∠PF2F1，可得e==，设P（m，n）为双曲线的右支上一点，由F1（﹣c，0），F2（c，0），可得=﹣•=﹣=﹣1﹣，由m＞a可得﹣1﹣＞﹣1+=﹣1+，即有e+1＞，即e2﹣2e﹣1＞0，解得e＞1+．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用直线的斜率公式和双曲线的范围，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）14．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即；故答案为：【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．15．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，即可得到虚轴长．【解答】解：双曲线16y2﹣9x2=144的标准方程为：，可得a=3，b=4，所以双曲线的虚轴长为8．故答案为：8．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．16．【分析】消去参数t可得普通方程，注意x的范围．【解答】解：由x=，∴x≥1．那么2x=2．y=2．消去参数t可得：y=2x﹣3（x≥1）故答案为：y=2x﹣3（x≥1）【点评】本题考查了参数方程化普通方程，注意x，y的范围．17．【分析】由题意求得y2=1﹣，且﹣2≤x≤2，代入要求的式子化简并利用二次函数的性质，求出它的最大值．【解答】解：∵P（x，y）为椭圆+y2=1上的动点，∴y2=1﹣，且﹣2≤x≤2，∴代数式x2+2x﹣y2 =x2+2x﹣（1﹣）=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，故当x=2时，代数式x2+2x+y2取得最大值为7，故答案为：7．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，二次函数的性质，属于中档题．。

福建师大附中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

2016-2017学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．抛物线y=x2的焦点到准线距离为（）A．1 B．2 C．D．2．已知，则双曲线C1：与C2：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等3．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．4．在平面内，已知双曲线的焦点为F1，F2，则|PF1|﹣|PF2|=6是点P在双曲线C上的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件5．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值是（）A．B．C．3 D．46．下列命题：（1）“若am2≥bm2，则a≥b”的否命题；（2）“全等三角形面积相等”的逆命题；（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”的逆否命题；其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A．B．C．D．8．设F1、F2是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．9．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为3．若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为，则抛物线C2的方程为（）A．x2=33y B．x2=33y C．x2=8y D．x2=16y10．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．11．已知F为双曲线的左焦点，P，Q为C右支上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PFQ的周长为（）A．28 B．36 C．44 D．4812．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分）13．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5＞0”的否定是．14．某质点的位移函数是s（t）=2t3﹣gt2（g=10m/s2），则当t=3s时，它的速度是．15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．16．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则QF等于．17．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A B2，使|A1B1|=|A B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．18．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是．三、解答题：（本大题共5小题，共60分）19．已知曲线．（1）求曲线过点P（2，4）的切线方程；（2）求满足斜率为1的曲线的切线方程．20．已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．21．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．22．在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．23．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的顶点B到左焦点F1的距离为2，离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A为椭圆C的右頂点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．2016-2017学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．抛物线y=x2的焦点到准线距离为（）A．1 B．2 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的标准方程：x2=2y，2p=2，p=1，则焦点坐标（0，），准线方程：y=﹣，焦点到准线距离d=﹣（﹣）=1．【解答】解：由抛物线的标准方程：x2=2y，可知焦点在y轴上，2p=2，p=1，则焦点坐标（0，），准线方程：y=﹣，∴焦点到准线距离d=﹣（﹣）=1，故选A．2．已知，则双曲线C1：与C2：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，焦距即可得到结论．【解答】解：双曲线C1：可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；双曲线C2：可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；所以两条双曲线的焦距相等．故选D．3．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的性质，借助公比q表示出S4和a1之间的关系，易得a2与a1间的关系，然后二者相除进而求得答案．【解答】解：由于q=2，∴∴；故选：C．4．在平面内，已知双曲线的焦点为F1，F2，则|PF1|﹣|PF2|=6是点P在双曲线C上的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的定义．【分析】双曲线的焦点为F1，F2，由|PF1|﹣|PF2|=6，知点P在双曲线C上；由点P在双曲线C上，知|PF1|﹣|PF2|=6，或|PF1|﹣|PF2|=﹣6．【解答】解：∵双曲线的焦点为F1，F2，∴|PF1|﹣|PF2|=6⇒点P在双曲线C上，点P在双曲线C上⇒|PF1|﹣|PF2|=6，或|PF1|﹣|PF2|=﹣6．所以|PF1|﹣|PF2|=6是点P在双曲线C上的充分不必要条件．故选B．5．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值是（）A．B．C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线y2=4x可得焦点F（1，0），准线l方程为：x=﹣1．过点Q作QM⊥准线l交抛物线于点P，则此时点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值．【解答】解：由抛物线y2=4x可得焦点F（1，0），准线l方程为：x=﹣1．过点Q作QM⊥准线l交抛物线于点P，则此时点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值=2﹣（﹣1）=3．故选：C．6．下列命题：（1）“若am2≥bm2，则a≥b”的否命题；（2）“全等三角形面积相等”的逆命题；（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”的逆否命题；其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据四种命题的定义，写出对应的命题，可判断（1）（2），根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断（3）．【解答】解：（1）“若am2≥bm2，则a≥b”的否命题为“若am2＜bm2，则a＜b”为真命题，故（1）正确；（2）“全等三角形面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”为假命题，故（2）错误；（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”为真命题，其逆否命题也为真命题，故（3）正确；故选：B．7．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项【解答】解：观察可知阴影部分的面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项D符合要求，故选D．8．设F1、F2是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．9．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为3．若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为，则抛物线C2的方程为（）A．x2=33y B．x2=33y C．x2=8y D．x2=16y【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可知：双曲线渐近线为bx±ay=0，e==3，则c=3a，焦点（0，），到bx±ay=0的距离d===，求得p，即可求得抛物线C2的方程．【解答】解：由题意可得双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线为y=±x，化为一般式可得bx±ay=0，离心率e===3，解得：b=2a，c=3a，又抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点为（0，），故焦点到bx±ay=0的距离d===，∴p===4，∴抛物线C2的方程为：x2=8y故选C．10．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．11．已知F为双曲线的左焦点，P，Q为C右支上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PFQ的周长为（）A．28 B．36 C．44 D．48【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决．求出周长即可．【解答】解：∵双曲线C：的左焦点F（﹣5，0），∴点A（5，0）是双曲线的右焦点，则b=4，即虚轴长为2b=8；双曲线图象如图：∵|PF|﹣|AP|=2a=6 ①|QF|﹣|QA|=2a=6 ②而|PQ|=16，∴①+②得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12，∴周长为l=|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44，故选：C．12．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设|AF1|=x，|AF2|=y，利用椭圆的定义，四边形AF1BF2为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴，即x2+y2=（2c）2=12，②由①②得x=2﹣，y=2+．设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′，则2a′=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c′=2，∴C2的离心率是e==，故选：D．二、填空题：（每小题5分，共30分）13．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5＞0”的否定是∀x∈R，都有x2+2x+5≤0．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题是特此命题，则命题的否定是：∀x∈R，都有x2+2x+5≤0，故答案为：∀x∈R，都有x2+2x+5≤014．某质点的位移函数是s（t）=2t3﹣gt2（g=10m/s2），则当t=3s时，它的速度是24m/s．【考点】导数的几何意义．【分析】根据导数在物理学上的意义，位移的导数是速度，速度的导数是加速度，求导后求出t=3s秒时的速度．【解答】解：∵路程函数s（t）=2t3﹣gt2=2t3﹣×10t2=2t3﹣5t2，∴速度函数为v（t）=s′（t）=6t2﹣10t，∴v（3）=s′（3）=54﹣30=24故答案为：24m/s15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【考点】抛物线的应用．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．16．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则QF等于3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故答案为：3．17．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A B2，使|A1B1|=|A B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设出双曲线的方程，并根据题意画出图象，根据对称性和条件判断出双曲线的渐近线斜率的范围，列出不等式并转化为关于离心率的不等式，再求解即可．【解答】解：不妨设双曲线的方程是=1（a＞0，b＞0），由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，且不可能存在|A1B1|=|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°＜≤tan60°，则，∵b2=c2﹣a2，∴，解得e∈．故答案为．18．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是﹣=1（x＞3）．【考点】轨迹方程．【分析】根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．【解答】解：如图，△ABC与圆的切点分别为E、F、G，则有|AE|=|AG|=8，|BF|=|BG|=2，|CE|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故答案为：﹣=1（x＞3）．三、解答题：（本大题共5小题，共60分）19．已知曲线．（1）求曲线过点P（2，4）的切线方程；（2）求满足斜率为1的曲线的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）设切点为（m，n），求出导数，求得切线的斜率，切线的方程，代入点P坐标，解方程可得切点的横坐标，进而得到切线的方程；（2）设出切点，可得切线的斜率，求得切点的横坐标，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：（1）设切点为（m，n），函数的导数为y′=x2，可得切线的斜率为k=m2，切线的方程为y﹣n=m2（x﹣m），即为y﹣m3﹣=m2（x﹣m），代入点P，可得4﹣m3﹣=m2（2﹣m），化简为m3﹣3m2+4=0，解得m=﹣1或2，即有切线的斜率为1或4，可得切线的方程为y=4x﹣4或y=x+2：（2）设切点为（x0，y0），可得切线的斜率为k=x02=1，解得x0=±1，切点为（1，），（﹣1，1），所求切线的方程为y﹣=x﹣1或y﹣1=x+1，即有3x﹣3y+2=0或x﹣y+2=0．20．已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质；复合命题的真假；双曲线的简单性质．【分析】由p真与q真分别求得m的范围，利用复合命题的真假判断即可求得符合题意的实数m的取值范围．【解答】解：p真，则有9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3…2分q真，则有m＞0，且e2=1+=1+∈（，2），即＜m＜5…4分若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q一真一假．①若p真、q假，则0＜m＜3，且m≥5或m≤，即0＜m≤；…6分②若p假、q真，则m≥3或m≤0，且＜m＜5，即3≤m＜5…8分故实数m的取值范围为0＜m≤或3≤m＜5…10分21．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故a n=2+（n﹣2）×=n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n=，①S n=，②①﹣②得S n==，解得S n==2﹣．22．在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．【考点】向量的共线定理；平面的概念、画法及表示．【分析】（1）直线l与椭圆有两个不同的交点，即方程组有2个不同解，转化为判别式大于0．（2）利用2个向量共线时，坐标之间的关系，由一元二次方程根与系数的关系求两根之和，解方程求常数k．【解答】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为，代入椭圆方程得．整理得①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=，解得或．即k的取值范围为．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由方程①，．②又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数k．23．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的顶点B到左焦点F1的距离为2，离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A为椭圆C的右頂点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知列出关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，△MNA为等腰直角三角形，求出M的坐标，可得直线MN过点；当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由判别式大于0可得4k2﹣m2+1＞0，再由AM⊥AN，且椭圆的右顶点A为（2，0），由向量数量积为0解得m=﹣2k或，然后分类求得直线MN的方程得答案．【解答】解：（1）由题意可知：，解得：，故椭圆的标准方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，△MNA为等腰直角三角形，∴|y1|=|2﹣x1|，又，M，N不与左、右顶点重合，解得，此时，直线MN过点；当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，由方程组，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0，．由已知AM⊥AN，且椭圆的右顶点A为（2，0），∴，，即，整理得5m2+16km+12k2=0，解得m=﹣2k或，均满足△=4k2﹣m2+1＞0成立．当m=﹣2k时，直线l的方程y=kx﹣2k过顶点（2，0），与题意矛盾舍去．当时，直线l的方程，过定点，故直线过定点，且定点是．2017年2月21日。

福建师大附中高二上学期期末考试数学(文)试题

福建师大附中2017-2018学年上学期期末考试卷高二文科数学·选修1-1一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若点M 的极坐标是（6,3π），则点M 的直角坐标为（）A. （233，23） B （23，23） C.（23，233） D.以上都不对2．抛物线y x =2的准线方程是( )A ．014x =+B ．014=+yC ．012x =+D ．012=+y3.“命题q p ∧为真命题”是“命题q p ∨为真命题”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若双曲线22221x y a b-=)0,0(>>b a ）A. 2y x =±B. y =C. 12y x =± D. y = 5．下列命题中是真命题的是（）①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题; ③“若m>0，则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题; ④“29x =，则3x =”的否命题.A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④6.若1>k ，则关于y x ,的方程1)-1222-=+k y x k （表示的曲线是( )A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线7.已知直线l 的参数方程为t t y t x (21123⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==为参数），若直线l 与2x y =交于B A ，两点，则线段AB 的中点M 对应的参数t 的值为（）A ．-2B ．-1C ．31D ．32 8．与圆1)3(:221=++y x C 外切，且与圆93-x :C 222=+y ）（外切的动圆圆心P 的轨迹方程是（）A. )01822<=-x y x （ B . 1822=-y x C. )015422<=-x y x （ D. 15422=-y x 9．已知点A （2，2），点P 为抛物线y x 42=的动点，F 点为抛物线的焦点，则PA +PF 的最小值为（）A ．1B ． 2C ．3D ．410. 设12,F F 是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.4B.6C.22D.2411.抛物线x y 42=的焦点为F ，准线l 交x 轴于R ，过抛物线上一点)4,4(P 作l PQ ⊥于Q ，则梯形PQRF 的面积是（）A 12B 14C 16D 1812．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦距长的一半为c ，直线x y =与椭圆的一个交点的横坐标为恰好为c ，则椭圆的离心率是（） A.221-+ B. 231-+ C. 251-+ D. 2101-+13.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，焦距长的一半为c ，P 是双曲线上异于顶点的点，满足1221tan tan F PF a F PF c ∠=∠，则双曲线的离心率e 的取值范围为（）A.），（211+ B.），（212+ C.），（3121++ D.），（∞++21二、填空题（每小题5分，共25分） 14.命题“0,3≥∈∀xR x 恒成立.”的否定为___________________________15.双曲线44191622=-x y 的虚轴长为 _____________ 16.与参数方程⎩⎨⎧=+=1-21t y t x （t 为参数）等价的普通方程为_____________17. 已知),(P y x 为椭圆1422=+y x 上的动点，则代数式22243y x x ++的最大值为________ 18.某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16m ，当水面上涨2m 时，水面宽变为12m ，此时桥洞顶部距水面高度为_________米.三、解答题（要求写出过程，共60分） 19. (本小题满分12分)已知抛物线24y x =，过焦点F 斜率为K 的直线L 交抛物线于A ，B 两点．（1）若K=2，求弦AB 的中点的坐标；（2）若弦AB 的长为8，求直线L 的斜率K .20. (本小题满分12分)选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线B ：122=+y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx ''3后，变为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：084=-+y x 的距离最短，并求出点D 的直角坐标.21. (本小题满分12分)选修4-4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =求l 的斜率．22.(本小题满分12分)已知直线2:+=kx y l 交双曲线1:22=-y x C 右支于B A ，两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在直线l 使得1-=∙OB OA ，若存在，请写出；若不存在，请说明理由.23.(本小题满分12分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，四点)11(1，P ，)3,2(2P ，)3,2-(3P ，)32,0(4P 中恰好有三点在椭圆C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过），（02点作两条相互垂直的直线21,l l 分别交曲线C 于G F E D ,,,四个点，求FG DE +的取值范围．福建师大附中2017-2018学年上学期期末考试卷高二文科数学·选修1-1参考答案A B A B B D C A C B B C D0,300<∈∃x R x ； 8 ； )1(32≥-=x x y ； 7 ；71819、（1）解当2=k 时，直线)1(20:-=-x y l 即22-=x y联合24242222-⋅=⇒⎩⎨⎧=-=y y x y x y ， 01640422>+=∆=-- y y 221=+y y 10=∴y 230=∴x∴弦AB 中点坐标为)1,23(（2）设直线)1(:-=x k y l联立0444)1(22=--⇒⎩⎨⎧=-=k y ky xy x k y ⎩⎨⎧>+=∆≠0161602k k 81411122212=++=-+=∴kk k x x k AB 或px x ++=21AB 也可以2221k k =+∴ 21k =∴直线的斜率为1±20、（1）⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==''1'3'y y x x x y y x x 代入122=+y x1'9'22=+y x 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 'cos 3'y x （θ为参数）设)sin ,cos 3(θθD ， 178sin 4cos 3-+=θθd178)sin 54cos 53(5-+=θθ令54cos ,53sin ==ϕϕ 则178)sin(5-+=θϕd当1)sin(=+θϕ时，17173min =dq k k ∈+=+,22ππθϕq k k ∈+-=,22πϕπθ53sin )2cos(cos ==-=∴ϕϕπθ 54cos )2sin(sin ==-=ϕϕπθ )54,59()sin ,cos 3(=∴θθD21.（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-=由||AB得23cos ,tan 8αα==，所以l的斜率为3或22、⎩⎨⎧+==-2122kx y y x⇒054)1(22=---kx x k 设交点),(11y x A ，),(22y x B150150140)1(20)4(01221221222-<<-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=>-=+>-+=∆≠-k k x x k k x x k k k （2）假设存在直线使得1-=∙OB OA即12121-=+y y x x ⇒ 1)2)(2(2121-=+++kx kx x x05)(2)1(21212=++++x x k x x k0514215)1(222=+-+--+k kk k k⇒055855222=-++--k k k 022=k ⇒0=k 不符合15-<<-k故不存在这样的直线 23.解（Ⅰ）应该选432,,P P P所以C 的方程式1121622=+y x ． …………………………4分 (Ⅱ) 当直线21,l l 中有一条直线的斜率不存在时，1486=+=+FG DE当直线1l 的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程)2(-=x k y ，设D ),(11y x ，),(22y x E联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=11216)2(22y x x k y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=…………6分 21221634k x x k +=+， 2221434816kk x x +-= 所以=DE2122124)(1x x x x k -+⋅+=2243)1(24k k ++=…………8分设直线2l 的方程为)2(1--=x ky ，所以2234)1(24kk FG ++= 所以)43)(34()1(1682222k k k FG DE +++=+…………9分设12+=k t ，所以1>t ，所以2112168tt FG DE -+=+ 因为1>t ，所以41102≤-<tt ，所以FG DE +的取值范围是96[,14)7．………12分综上所述，FG DE +取值范围是]14,796[。

福建省福建师范大学第二附属中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(wold含答案)

福建师大二附中2017-2018学年第二学期高二期末考数学（文）试卷（满分150分，完卷时间：120分钟）一、选择题（每小题5分，共60分）１.设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,2,3,5A =， {}2,4,6B =，则右图中的阴影部分表示的集合为( )A. {}2B. {}4,6C. {}1,3,5D. {}4,6,7,82.“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不不充分也不必要条件3．已知1sin 3θ=， ,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()3sin sin 2ππθθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值为( ) A.19 B.19-C. 9D. 9- 4.已知角βα,均为锐角，且) A ．35.在△ABC 中，已知C A A C B sin sin 3sin sin sin 222=--，则角B 的大小为( )A ．150°B ．30°C ．120°D ．60° 6．函数1cos 2+=x y 的定义域是( )C.)(322,32Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D.)(322,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 7.函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π,且其图象向右平移12π个单位长度后得到的图象对应的函数为奇函数,则函数f (x )的图象( )A.关于点）（0,6π对称 B.关于直线125π=x 对称 C.关于点），（0125π对称 D.关于直线12π=x 对称 8．若cos 2πsin4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭则cos sin αα+的值为( )A.B.12-D.129.在ABC ∆中,已知60A =,1b =,其面积为ABC S ∆=,则sin sinsin a b cA B C++=++( )A.10.若βα,均为锐角，135)cos(-=+βα，54)3cos(-=+πβ，则=+)6cos(πα( )A.6533B.6563C.6533-D.6563- 11.已知)2,21（P 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx A x f 图象的一个最高点，B,C 是与P 相邻的两个最低点，若,257cos =∠BPC 则)(x f 图象的对称中心可以是（） A.（0，0） B.（1，0） C.（2，0） D.（3，0）12．将函数x x f 2cos 2)(=的图象向右平移6π个单位得到)(x g 的图象，若)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡30a ，和⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,2πa 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ， B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡26ππ，C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡36ππ，D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡834ππ，二、填空题（每小题5分，共20分）13.若,3tan =α则=+2)cos (sin αα14.若,"R x ∈∃使"012<++ax x 是假命题，则实数a 的取值范围为15.化简)120cos(3)60sin(2)60sin(x x x -︒-︒-+︒+的结果是16.在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为c b a ,,，若，0cos 2,1=+=A c b bc 则当角B 取得最大值时，ABC ∆的周长为三、解答题（第17题10分，其余各题12分，共70分） 17.（1）化简︒+︒︒︒130sin -1sin130cos1302sin130-12（2）化简ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-(α为第二象限角) 18．在ABC ∆中，角,,,C B A 的对边分别为,,,c b a 且B c a C b cos )2(cos -=．（1）求角B 的大小；（2）求C A sin sin +的取值范围.19.已知函数()22sin cos 3cos +1f x x x x x =+-，R x ∈,求：（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当∈x 2,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调区间.20.设命题:p 实数x 满足01222≤-+-m x x ，其中1212:,0≥+>x q m .（1）若2=m ，且p 或q 为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.l21.如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB （不计B 离河岸的距离），且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧CD 的交点为E ．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45︒，30︒和60︒．（1）求烟囱AB 的高度；（2）如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．22.已知函数)2||,0,0()sin()(πϕωϕω<>>++=A B x A x f 的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求出函数)(x f 的一个解析式；（2）根据(1)的结果，若函数)0)((>=k kx f y 的周期为32π，当]3,0[π∈x 时，方程m kx f =)(恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围；1-12 BBDDAD CDCACA13、14、15、0 16、18解：（Ⅰ）在中，∵，由正弦定理，得．（3分）．（5分）∵, ∴，∴．（6分）∵，∴．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得且，（8分）（11分），．（12分）的取值范围是．（13分）19解：（1），最小正周期（2）增区间，减区间20.21. 解：（1）设AB的高度为，在△CAB中，因为，所以，………………………………1分在△OAB中，因为，，………………………………2分所以，，………………………………………………………4分由题意得，解得．………………………………………6分答：烟囱的高度为15米．……………………………………………………………7分（2）在△OBC中，，…………………10分所以在△OCE中，．…………………13分答：CE的长为10米．……………………………………………………14分22.解：(1)设的最小正周期为T，得．由得．又解得令，即，，又，解得．所以．(2)因为函数的周期为，又，所以．令，因为，所以．如图，在上有两个不同的解的条件是，所以方程在时恰好有两个不同的解的条件是，即实数的取值范围是．。

福建师大附中2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(精品解析)

福建师大附中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.对于实数m，n，“”是“方程对应的曲线是椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：当时，方程的曲线不一定是椭圆，例如：当时，方程的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到；由上可得：“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：B．先根据看能否得出方程的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出，即可得到结论．本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，本题是一个基础题．2.已知椭圆的长轴长为6，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：椭圆的长轴长为6，，解得，，该椭圆的离心率为．故选：A．利用椭圆性质求解．本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．3.命题“若，则”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：若，则，成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，逆命题为：若，则，为假命题，当时，满足，但不成立，则否命题为假命题，故真命题的个数为2个，故选：B．根据四种命题真假之间的关系进行判断即可．本题主要考查四种命题真假关系的判断，根据逆否命题的等价性只需要判断两个命题即可，4.双曲线C：的离心率，则它的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：双曲线C：的离心率，可得，，可得，双曲线的渐近线方程为：故选：B．利用双曲线的离心率求出双曲线的渐近线中a，b的关系，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5.若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标为A. B.C. 或D. 或【答案】D【解析】解：设，的导数为，即有在点处的切线的斜率为，由切线垂直于直线，可得，解得，可得，或，．即，或．故选：D．设，求出的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程可得m，进而得到n，可得切点的坐标．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为，属于基础题．6.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是A. 10B. 11C. 12D. 16【答案】D【解析】解：根据系统抽样的方法和特点，样本的编号成等差数列，一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，故此等差数列的公差为13，故还有一个同学的学号是16，故选：D．根据系统抽样的方法和特点，样本的编号成等差数列，由条件可得此等差数列的公差为13，从而求得另一个同学的编号本题主要考查系统抽样的定义和方法，注意样本的编号成等差数列，属于基础题．7.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共有个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．故选：D．先求出基本事件总数，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．8.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，若，则线段AB的中点到x轴的距离为A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】解：设，F为焦点，抛物线准线方程，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：，由抛物线定义两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号，故选：C．设，根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为，根据抛物线的定义可知，根据两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得d的最小值．本题主要考查了抛物线的应用灵活利用了抛物线的定义，考查分析问题解决问题的能力．9.若椭圆的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，得，设由题意可得：，，．负值舍去．故选：B．化椭圆方程为标准方程，根据可知，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，是中档题．10.已知函数，则的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：当时，，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，恒成立，在上单调递增，故选：A．去绝对值，化为分段函数，根据导数和函数单调性关系即可求出．本题考查了导数和函数单调性关系，需要分类讨论，属于中档题．11.已知函数的图象过点，为函数的导函数，e为自然对数的底数，若，下恒成立，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：构造函数，则，在上单调递增，，，，故选：B．构造函数，确定在上单调递增，，化为，即可得出结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．12.已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点为，圆的圆心为，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故选：C．先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．本题主要考查了抛物线的应用考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.抛物线的准线方程是______．【答案】【解析】解：由题意，抛物线的标准方程为，，开口朝上，准线方程为，故答案为：．先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线方程．本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．14.曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】解：曲线，可得，切线的斜率为：．切线方程为：，即：．故答案为：．求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．15.已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点且，则的面积为______．【答案】【解析】解：抛物线方程为的准线方程为，，，，的面积为，故答案为：．利用抛物线的定义，可得M的坐标，即可求得的面积．本题考查抛物线的定义，考查三角形面积的计算，确定M的坐标是关键．16.若函数在处有极小值，则常数c的值为______．【答案】2【解析】解：函数，，又在处有极值，，解得或6，又由函数在处有极小值，故，时，函数在处有极大值，故答案为：2．根据函数在处有极小值，得到，解出关于c的方程，再验证是否为极小值即可．本题考查函数在某一点取得极值的条件，是中档题，本题解题的关键是函数在这一点取得极值，则函数在这一点点导函数等于0，注意这个条件的应用．17.已知动点在椭圆C：上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则线段的最小值为______．【答案】【解析】解：依题意知，点M在以为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，当PF最小时，切线长PM最小．由图知，当点P为右顶点时，最小，最小值为：．此时故答案为：依题意知，该椭圆的焦点，点M在以为圆心，1为半径的圆上，当PF最小时，切线长PM最小，作出图形，即可得到答案．本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查作图与分析问题解决问题的能力，属于中档题．18.若函数恒有两个零点，则a的取值范围是______．【答案】【解析】解：令，得，令，则，在上单调递增，在上单调递减，作出和的函数图象，如图所示：有两个零点，和的函数图象有两个交点，，解得，的取值范围是：故答案为：令得出，做出两函数的图象，根据图象判断两函数最值的大小关系，得出a的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数最值的计算，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19.已知函数的图象过点，且在和上为增函数，在上为减函数．求的解析式；求在R上的极值．【答案】解：的图象过点，，又由已知得，是的两个根，，，故分由已知可得是的极大值点，是的极小值点，，极大值分极小值【解析】函数在和上为增函数，在上为减函数，说明，是的两个根，求导后解方程即可；利用导数求极值，先求函数的导函数，令导函数等于0，解出x的值，为函数的极值点，由已知可得是的极大值点，是的极小值点，然后把极值点代入原函数，求出函数值即可．本题主要考查了应用导数求函数的极值、导数在函数中的应用，极值的意义，解题时要透彻理解函数与其导函数的关系，熟练运用消元化简的技巧提高解题效率．20.从某保险公司的推销员中随机抽取50名，统计这些推销员某月的月销售额单位：千元，由统计结果得如图频数分别表：作出这些数据的频率分布直方图；估计这些推销员的月销售额的平均数同一组中的数据用该组区间的中点作代表；根据以上抽样调查数据，公司将推销员的月销售指标确定为千元，试判断是否有的职工能够完成该销售指标．【答案】解：根据题意填写频率分布表，如下；作出频率分布直方图如图所示；计算，估计这些推销员的月销售额的平均数为千元；根据题意，计算销售额小于千元的有，则公司将推销员的月销售指标确定为千元时，有的职工能够完成该销售指标．【解析】根据题意填写频率分布表，作出频率分布直方图；根据题意计算平均数即可；根据题意计算销售额小于千元的频率，从而得出结论．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数与频率的计算问题，是基础题．21.已知动圆C过点，并与直线相切．求动圆圆心C的轨迹方程E；已知点，，过点Q的直线l交曲线E于点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为，，求证：为定值，并求出此定值．【答案】解：设，动圆C过点，并与直线相切，，化简，得动圆圆心C轨迹方程为．证明：当AB斜率为0时，直线PA，PB斜率不存在不合题意，舍去当AB斜率不为0时，设AB方程：，即，设，，由，得，恒成立，，，设直线PA，PB的斜率分别为，，则，为定值．【解析】设，由动圆C过点，并与直线相切，列出方程，由此能求出动圆圆心C轨迹方程．设AB方程，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率公式，结合已知条件能证明为定值．本题考查动圆圆心的轨迹方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，考查抛物线、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线的斜率公式等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．22.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．求椭圆C的标准方程；直线与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．【答案】解：椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，设椭圆标准方程为，椭圆的离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．焦点为分分，，解得，，椭圆C的标准方程分直线与椭圆交点，或，，，分设A，，，直线AB的方程为，与联立得分由，得，分由韦达定理得，，分由A，B两点位于直线两侧，得，即，，解得，分，当时，S最大值为分【解析】设椭圆标准方程为，由已知得，，由此能求出椭圆C的标准方程．先求出，设直线AB的方程为，与联立，得，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式，结合已知能求出四边形APBQ面积的最大值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式的合理运用．23.已知函数．讨论函数的单调性；若恒成立，求时，实数b的最大值．【答案】解：，定义域为分，，分令，则，当时，令，则；令，则，或，在，单调递减；单调递增；分当时，，且仅在时，，在单调递减；分当时，令，则；令，则，或，在 1 ，单调递减；单调递增分综上所述，当时，在，单调递减；单调递增；当时，在单调递减；当时，在，单调递减；单调递增分若恒成立，恒成立分令，，即分，，，在单调递减，单调递增；分，，令，单调递增，，即b的最大值为分【解析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；问题转化为恒成立，令，，即，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出b的最大值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

福建省师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)

福建师大附中2017-2018学年下学期期中考试卷高二文科数学·选修1-2一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（）① 2018能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2018是偶数；A. ①②③B. ②①③C. ②③①D. ③②①【答案】C【解析】分析：根据三段论的一般模式进行排序即可．详解：由题意知，“一切偶数都能被2整除”是大前提，“2018是偶数”是小前提，“2018能被2整除”是结论．故这三句话按三段论的模式排列顺序为②③①．故选C．点睛：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断．2.用反证法证明命题“三角形的内角中最多只有一个内角是钝角”时，应先假设（）A. 没有一个内角是钝角B. 有两个内角是钝角C. 有三个内角是钝角D. 至少有两个内角是钝角【答案】D【解析】分析：根据反证法证题的步骤，作出与求证结论相反的假设即可．详解：由题意知，三角形中内角的钝角数可分为一个、两个和三个三种情况，所以“三角形的内角中最多只有一个内角是钝角”的反面是“至少有两个是钝角”．故选D．点睛：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3.若实数，则与的大小关系是A. B. C. D. 不确定【答案】B【解析】试题分析：由题可设；。

即需证；成立，则成立。

考点：分析法证明不等式.4.若复数则“”是“是纯虚数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先由复数为纯虚数求出实数的值，然后根据充分必要条件的定义进行判断可得结论．详解：若复数为纯虚数，则，解得．∴“”是“是纯虚数”的充要条件．故选C．点睛：判断p是q的什么条件，可根据定义从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．5.某工厂为了确定工效，进行了5次试验，收集数据如下：（加工时间经检验，这组样本数据的两个变量与具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量，下列判断正确的是（）A. 负相关，其回归直线经过点B. 正相关，其回归直线经过点C. 负相关，其回归直线经过点D. 正相关，其回归直线经过点【答案】D【解析】分析：由表中数据可得随的增大而增大，故与成正相关关系．求得加工零件个数和加工时间的平均数得到的样本中心，即可得回归直线经过的点．详解：由表中数据可得随的增大而增大，故与成正相关关系．又，∴样本中心为．又回归直线过样本中心，∴其回归直线经过点．故选D．点睛：回归直线过样本点中心是一条重要性质，根据这一性质可求线性回归方程中的未知参数，也可根据回归方程求原数据中的未知参数．6.观察下列算式：，，，，，，，，…用你所发现的规律可得的末位数字是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据给出的数据归纳出规律：2的次方的末位数字分别为2,4,8,6这4个数字循环，然后分析与一个周期中的第几项的末尾数相同即可．详解：由题意得，2的次方的末位数字分别为2,4,8,6这4个数字循环，即以4为周期．又，∴的末位数字与的末位数字相同，∴的末位数字是4．故选B．点睛：本题考查归纳推理，对归纳推理的考查包括数的归纳和形的归纳两种类型，其中数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，从中发现规律得到一般性的结论．7.如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则（）A. 2B. 3C.D.【答案】A【解析】试题分析：由图可知，，，则，∴，故选．考点：复数的运算.8.给出下面四个类比的结论：①实数a,b,若ab=0，则a=0或b=0；类比向量，若，则或；②实数a,b,有；类比向量，有；③向量，有；类比复数z，④实数a,b,若，则a=b=0；类比复数有，则；其中类比结论正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】试题分析：①错误，因为若向量互相垂直，则；③错误，因为是复数的模是一个实数，而是个复数，比如若，则，;④错误，若假设复数，，则，但是，．②正确．故选B．考点:1．类比推理；2．复数运算；3．向量运算．9.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位A. k＞4?B. k＞5?C. k＞6?D. k＞7?【答案】A【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，输出，所以判断框内为，故选C. 考点：程序框图.10.下列不等式对任意的恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数的相关知识对每个选项分别验证可得结论．详解：对选项A，当时，，所以不成立，故A不正确．对选项B，当时，，所以不成立，故B不正确．对于C，令，则，则当时，单调递减；当时，单调递增，所以，故，即．故C正确．对于D，当时，，所以不成立，故D不正确．综上可得选C．点睛：本题考查函数恒成立问题，解题时转化为求函数最值的问题处理，注意导数在解题中的应用．另外在解答选择题的过程中，还应注意举反例在解题中的应用．11.如图，可导函数在点P（，）处的切线为：，设，则下列说法正确的是（）A. ，是的极大值点B. ，是的极小值点C. ，不是的极值点D. ，是的极值点【答案】B【解析】分析：由导数的几何意义得在点处的切线方程为，从而可得函数的解析式，求其导数后可得且是的极小值点．详解：由题意可得函数在点处的切线方程为，∴，∴，∴．又当时，，故单调递减，当时，，故单调递增．∴是是的极小值点．故选B．点睛：本题考查函数图象的应用及函数极值的判定，解题的关键是求得函数的解析式，对其求导后再结合图象得到导函数的符号，并结合极大（小）值的定义进行判断．12.已知，为的导函数，则的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，为奇函数，关于原点对称，排除B，D，设，令，当时,,时,，,h(x)有极小值：,所以，在x>0时，有两个根，排除C.所以图象A正确，本题选择A选项.13.设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由不等式分离参数可得恰有两个整数解，然后结合函数的图象求解可得实数的取值范围．详解：由，得恰有两个整数解．令，则，由于在上单调递增，且，∴当时，单调递增，当时，单调递减．画出函数的图象如下图所示．结合图象可得，当恰有两个整数解时，需满足，即，∴实数的取值范围是．故选C．点睛：（1）已知函数的零点个数（方程解的个数或不等式解的情况）求参数的取值范围时，一般可借助函数图象的直观性求解，解题时先分离参数得到具体的函数，然后再画出函数的图象，最后结合题意求解．（2）求参数的范围时，要注意不等式端点处的等号能否取得．二、填空题（每小题5分，共25分）14.已知复数满足，则＝_______．【答案】【解析】分析：根据复数除法的法则求解可得复数．详解：∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的除法运算，考查学生的运算能力，属容易题．15.若根据10名儿童的年龄x（岁）和体重y（㎏）数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是y = 2 x + 7 ，已知这10名儿童的年龄分别是2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，则这10名儿童的平均体重是__________㎏．【答案】15【解析】分析：根据所给的10名儿童的年龄做出平均年龄，即得样本中心点的横坐标，把横坐标代入线性回归方程求出纵坐标，即为要求的平均体重．详解：∵10名儿童的年龄分别是2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，∴这10名儿童的平均年龄是又由题意得用年龄预报体重的回归方程是，∴当时，，即这10名儿童的平均体重是．点睛：本题考查线性回归方程过样本中心这一结论和利用回归方程进行预测，属于容易题，主要考查学生的计算能力和运用知识解决问题的能力．16.已知曲线在点处的切线与曲线相切, 则的值为．【答案】【解析】试题分析：的导数为，曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即．由于切线与曲线相切，故可联立，得，又，两线相切有一切点，所以有，解得．故答案为：．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.【方法点晴】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键，难度中档.求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据得到的值．17.在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A，B，C做了一项预测：A说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”.B说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”.C说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”.比赛结果出来后，发现A，B，C三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是________.【答案】甲【解析】分析：利用反证法对甲、乙、丙三人的说法分别分析，即可得到结论．详解：假设A的判断都正确，则冠军为乙，那么B的判断也都正确，与题意矛盾，故假设不成立．假设B的判断都正确，则冠军为丙，那么甲的判断也都正确，与题意矛盾，故假设不成立．假设C的判断都正确，则冠军为甲，那么A的判断一对一错，B的判断都错，满足题意，假设成立．所以冠军是甲．点睛：本题是有关推理的问题，主要考查学生推理论证的能力和分析能力，解题的关键是采用反证法的思想，对每个人的说法分别分析、排除，从而得到结果．18.已知函数在其定义域上不单调，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先求出函数在其定义域上单调递增合单调递减时的取值范围，求出其补集即为所求的范围．详解：∵，∴．①若函数在上单调递增，则在上恒成立，∴在上恒成立，由于在上无最大值，∴函数在上不单调递增．②若函数在上单调递减，则在上恒成立，∴在上恒成立，又，当且仅当，即时等号成立，∴．综上可得当函数在其定义域上不单调时，实数的取值范围是．点睛：（1）函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立，且在该区间的任意子区间内都不恒等于0，然后通过分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．（2）由于本题中给出的是函数不单调，故可先求出函数单调时参数的取值范围，然后在取其补集即可．三、解答题（要求写出过程，共60分）19.已知平行四边形的三个顶点对应的复数为（1）求点B所对应的复数；（2）若，求复数所对应的点的轨迹.【答案】（1）；（2）复数z对应点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆【解析】分析：（1）根据复数加法的几何意义，求得的坐标即可得到点B对应的复数．（2）根据复数模的意义可得复数z 所对应的点的轨迹为圆，并可求得其方程．详解：（1）由已知得，∴，∴点对应的复数．（2）设复数所对应的点，∵，∴点到点的距离为1，∴复数所对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，且其方程为.点睛：本题考查复数的几何意义及其应用，解题的关键是正确理解和掌握“复数、复平面内的点、向量”之间的一一对应的关系，学会从形的角度认识复数．20.为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间（单位：分钟）绘制成频数分布表，如下表所示：若把每天阅读时间在60分钟以上（含60分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图：（1）根据已知条件完成2x2列联表;（2）并判断是否有的把握认为“阅读达人”跟性别有关？附：参考公式【答案】（1）20；（2）见解析【解析】分析：（1）根据频率分布表和等高条形图可得列联表．（2）根据列联表中的数据求得，然后与临界值表中的数据对照可得结论．详解：（1）由频数分布表得，“阅读达人”的人数是11+7+2=20人，根据等高条形图得列联表如下：（2）由列联表可得，故没有的把握认为“阅读达人”跟性别有关．点睛：（1）独立性检验的步骤：①构造2×2列联表；②计算K2；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．（2）用独立性检验解题应注意的问题：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的K2相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p．21.（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【答案】（1）V（r）=（300r﹣4r3）（0，5）（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元∴蓄水池的总建造成本为元所以即∴∴又由可得故函数的定义域为6分（2）由（1）中，可得（）令，则∴当时，，函数为增函数当，函数为减函数所以当时该蓄水池的体积最大12分.考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数.22.设函数（1）若，求的极值；（2）证明：当且时，.【答案】（1）有极大值，有极小值；（2）见解析【解析】分析：（1）当时，，求导后根据导函数的符号判断出函数的单调性，然后根据单调性求得函数的极值．（2）由题意得，令，然后根据导数证明即可得原不等式成立．详解：（1）时，，∴．当时单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．∴当时,有极大值，且极大值为；当时,有极小值，且极小值为．（2）已知．令，则．∵，∴当时，，单调递增，∴，∴当时，．点睛：（1）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程，再判断的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析．若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．（2）证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立，解题时可转化为求函数最值的问题处理．23.设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当函数由最大值且最大值大于时，求的取值范围.【答案】(1)详见解析（2）【解析】试题分析：对函数求导，借助导数工具研究函数的单调性，求导后中含有参数，所以对进行分类讨论，分情况说清楚函数的单调性；根据第一步对函数的单调性的研究可以发现函数的最大值为，根据题意需要满足，即，设，找出在恒成立的条件的范围.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，①当，即时，，函数在上单调递增；②当时，令，解得，i）当时，，函数单调递增，ii）当时，，函数单调递减；综上所述：当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当函数有最大值且最大值大于，，即，令，且在上单调递增，在上恒成立，故的取值范围为.。

2017-2018学年福建省福建师范大学第二附属中学高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版

福建师大二附中2017-2018学年第二学期高二年期末考数学试卷（满分：150分完卷时间：120分钟，）班级姓名座号准考证号．一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项） 1.如果复数2－bi1＋2i 的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为( )A. 2B ．－2C ．－23 D.232．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y后得到的曲线方程为( ) A ．y ＝3sin xB ．y ＝3sin 2xC ．y ＝3sin 12xD ．y ＝13sin 2x3．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中m 的值为（）A ．3B ．3.5C ．4.5D ．2.54．已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且6826.0)42(=≤≤X P ，则=>)4(X P （） A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585 5.5(21)(2)x x -+的展开式中含4x 项的系数为( )A ．30B ．70C ．90D ．1506将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（） A ．12 B ．24 C ．36 D ．727.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件A:“甲骰子的点数大于4”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”,则P(B|A)的值等于 ( )A.31B.181C.61 D.91 8. 设随机变量X 的分布列如下若E(X)=815,则D(X)等于( ) A.327B.329C.6432D.64559.=====a b +=（） A ．109 B ．1033 C.199 D ．2910.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种.A. 120B. 260C. 340D. 420 11. 7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（）A ． 60 B.120 C.240 D.36012．已知0a >，若存在0x >，使得(2ln )1ax x -≥能成立，则实数a 的取值范围是（）． A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上） 13.已知X 服从二项分布B （n,p ）,且E(3X+2)=9.2，D(3X+2)=12.96，则二项分布的参数 n= ，,p= .14.已知三个正态分布密度函数e 21)(ii x σπ=ϕ（R ∈x ，3,2,1=i ）的图象如图所示,123,,μμμ的大小关系是；123,,σσσ的大小关系是 .15.已知椭圆12222=+b y a x 的面积计算公式是ab S π=，则2-=⎰_______.（10题图）16.设函数()0f x=的根为 .n三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X，求X的分布列和期望EX.18. （本题满分12分）全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定,“全面二孩”从2016年元旦起开始实施,A市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度,随⨯列联表：机抽取了男性市民30人、女性市民70人进行调查,得到以下的22（1的把握认为A市市民“支持全面二孩”与“性别”有关？（2）现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男性市民和女性市民的人数；（3）将上述调查所得到的频率视为概率,.现在从A 市所有市民中,采用随机抽样的方法抽取3位市民进行长期跟踪调查,记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X .①求X 的分布列；②求X 的数学期望()E X 和方差()D X .，其中n a b c d =+++参考数据：19. （本题满分12分）元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运号则打8折；若没有摇出幸运号则不打折.（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选中第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率.（2）若你看中一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.20. （本题满分12分）近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．图1 图2（1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，）：①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．附注：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②参考数据：．21. (本题满分12分)已知函数()()2ln 2a f x x a R x =-∈.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a >，设函数()()2g x f x x a =-有唯一零点，求a 的值.22.（本小题满分10分）已知在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点D 的极坐标是31,2π⎛⎫⎪⎝⎭,曲线C 的极坐标方程为21cos ρθ=-.（1）求点 D 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程；（2）若经过点D 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求DA DB ⋅的最小值.福建师大二附中2017-2018学年第二学期高二年期末考数学试卷（满分：150分完卷时间：120分钟，）班级姓名座号准考证号．一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项） 1.如果复数2－bi1＋2i 的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为( C )A. 2B ．－2C ．－23 D.232．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后得到的曲线方程为(A )A ．y ＝3sin xB ．y ＝3sin 2xC ．y ＝3sin 12xD ．y ＝13sin 2x3．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中m 的值为（ A ）A ．3B ．3.5C ．4.5D ．2.54．已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且6826.0)42(=≤≤X P ，则=>)4(X P （ B ）（A ）0.1588 （B ）0.1587 （C ）0.1586 （D ）0.1585 5.5(21)(2)x x -+的展开式中含4x 项的系数为(B )A ．30B ．70C ．90D ．1506将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ C ）（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）727.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件A:“甲骰子的点数大于4”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”,则P(B|A)的值等于 ( C )A.B. C. D.8. 设随机变量X 的分布列如下若E(X)=815,则D(X)等于 (D ) A.327B.329C.6432D.64559.=====a b +=（A ） A ．109 B ．1033 C.199 D ．2910.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ D ）种.A. 120B. 260C. 340D. 420 11. 7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（C ）A ． 60 B.120 C.240 D.36012．已知0a >，若存在0x >，使得(2ln )1ax x -≥能成立，则实数a 的取值范围是（）． A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上） 13.已知X 服从二项分布B （n,p ）,且E(3X+2)=9.2，D(3X+2)=12.96，则二项分布的参数n,p 的值分别为6 * ，0.4 * .14.已知三个正态分布密度函数222)(e 21)(i i x ii x σμ--σπ=ϕ（R ∈x ，3,2,1=i ）的图象（8题图）如图所示,123,,μμμ的大小关系是 123123,μμμσσσ<==<* ；123,,σσσ的大小关系是 * .15.已知椭圆12222=+b y a x 的面积计算公式是ab S π=，则2-=⎰_π______.16.设函数则方程()0n f x =的根为.三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX .17. 解：（1）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==．由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==．第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.46a =⨯=．（2）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人．随机变量X 服从超几何分布．031263185(0)204C C P X C ===，1212631815(1)68C C P X C ===， 2112631833(2)68C C P X C ===，3012631855(3)204C C P X C ===．所以随机变量X 的分布列为∴数学期望5153355012322046868204EX =⨯+⨯+⨯+⨯=18.全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定,“全面二孩”从2016年元旦起开始实施,A 市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度,随机抽取了男性市民30人、女性市民70人进行调查,得到以下的22⨯列联表：（1的把握认为A 市市民“支持全面二孩”与“性别”有关？（2）现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男性市民和女性市民的人数；（3）将上述调查所得到的频率视为概率,.现在从A 市所有市民中,采用随机抽样的方法抽取3位市民进行长期跟踪调查,记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X .①求X 的分布列；②求X 的数学期望()E X 和方差()D X .，其中n a b c d =+++参考数据：18.解：（1）由列联表可得K 2所以没有90%的把握认为“支持全面二孩”与“性别”有关.（2）依题意可知，所抽取的15位市民中,男性市民有，女性市民有. （3）（i ）由22⨯列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为率，即从A由于总体容量很大，故X 可视作服从二项分布，即，所以从而X 的分布列为：（10分）（ii ）E （X ） D （X ）=np19. 元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运号则打8折；若没有摇出幸运号则不打折.（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选中第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率.（2）若你看中一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.19.试题解析：（1）选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球为事件A ，则()223344416P A ⨯⨯==⨯⨯，故所求概率()()232471116256P P A P A ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭．（2）若选择方案一，则需付款100.69.4-=（万元）．若选择方案二，设付款金额为X 万元，则X 可能的取值为6,7,8,10，()()221122322122156,74441644416P X P X ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯======⨯⨯⨯⨯，()2232232217844416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯， ()31016P X ==，故X 的分布列为所以()1573678107.937516161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）9.4<（万元），所以选择第二种方案根划算． 20．（1）；（2）①，②万元.【解析】分析：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为，则．（2）①由得，即关于的线性回归方程为．其中，则关于的线性回归方程为，据此可得②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为，则该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元.详解：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为所以．（2）①由得，即关于的线性回归方程为．因为，所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元.点睛：本题主要考查非线性回归方程及其应用，离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21. (本题满分12分)已知函数()()2ln 2a f x x a R x =-∈.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a >，设函数()()2g x f x x a =-有唯一零点，求a 的值.21.解：（Ⅰ）由题可知函数()f x 为()0,+∞()2222()a x a x f x xx '=--=…………………………………1分①当0a ≤时，()0f x '≥在()0,+∞上恒成立此时函数()f x 在()0,+∞上单调递增 …………………………………2分②当0a >时，令()0f x '=，则x =x =当(x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>此时函数()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增 …………………………4分（Ⅱ）由题可知()22ln 2g x x a x ax =--， ()2222x ax ag x x--'=.令()0g x '=，即20x ax a --=，因为0,0a x >>，所以102a x -=< (舍去)，22a x +=. …………5分当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增， …………………………6分所以()g x 的最小值为()2g x . …………………………………7分因为函数()g x 有唯一零点，所以()20g x =， …………………………………8分由()()220,{0,g x g x ='=即2222222220,{0,x alnx ax x ax a --=--= …………………………………9分可得222ln 0a x ax a +-=，因为0a >，所以()222ln 10*x x +-=，设函数2ln 1y x x =+-，因为当0x >时该函数是增函数，所以0y =至多有一解.…………………………………10分因为当1x =时，0y =， …………………………………11分所以方程()*的解为21x =，即12a +=，解得12a =. …………………………12分（22）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）（1）()0,1-，244y x =+；（2）3.【解析】试题分析：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得点D 的直角坐标，由21cos ρθ=-可得cos 2ρρθ=+，从而得()2222x y x +=+，化简即得曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 的倾斜角是α，则l 的参数方程变形为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩,代入244y x =+,得()22sin 4cos 2sin 30t t ααα-+-=,设其两根为12,t t ，则1223sin t t α=-，从而1223sin DA DB t t α⋅==，当90α=︒时, DA DB ⋅取得最小值3. 试题解析：（1）点D 的直角坐标是()0,1-,2,cos 21cos ρρρθθ=∴=+-,即()2222x y x +=+,化简得曲线C 的直角坐标方程是244y x =+. （2）设直线l 的倾斜角是α，则l 的参数方程变形为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩,代入244y x =+,得()22sin 4cos 2sin 30t t ααα-+-=,设其两根为12,t t ，则12122233,sin sin t t DA DB t t αα=-∴⋅==,当90α=︒时, DA DB ⋅取得最小值3. 考点：1、参数方程；2、坐标变换；3、一元二次方程根与系数的关系．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

福建师大附中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

福建师大附中年高二上数学(文)期末试题及答案.doc

【精品】2017-2018学年福建师大附中高二(上)期末数学试卷(文科)(word解析版)

2017-2018学年福建省福建师大附中高二6月期末考试数学(文)试题Word版含答案

福建师大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

福建师大附中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

【精品】2017-2018学年福建师大附中高一(上)和高二(上)期末数学试卷(学生解析版)

福建师大附中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

最新-福建师大附中2018年上学期高二数学期末考试001 精品

最新-福建师大附中2018年上学期高二数学期末考试002

福建师大附中高二上学期期末考试数学(文)试题

福建省福建师范大学第二附属中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(wold含答案)

福建师大附中2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(精品解析)

福建省师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)

2017-2018学年福建省福建师范大学第二附属中学高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版