【精品】初中数学中考专题《图形的相似与位似》真题汇编1

专题21 图形的相似与位似真题汇编
总分数 100分时长:不限
题型单选题填空题综合题
题量 3 5 8
总分 6 10 84
1(2分)（2017长沙中考）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合(H 不与端点C，D重合)，折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD的周长为m，的周长为n，则的值为（）
A.
B.
C.
D. 随H点位置的变化而变化
2(2分)（2017衡阳中考）如图，已知点A，B分别茬反比例函数y=(x>0)，y=-(x>0)的图象上，则OA⊥OB，则的值为（）
A.
B. 2
C.
D. 4
3(2分)（2017永州中考）如图，在中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则的面积为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4(2分)（2017娄底中考）湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图.若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是
____1____千米(结果精确到1千米).
5(2分)（2017湘潭中考）如图，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，则
与的面积比____1____.
6(2分)（2017湘潭中考）如图，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，则
与的面积比____1____.
7(2分)（2017岳阳中考）如图，☉O为等腰的外接圆，直径AB=12，P为弧上任意一点(不与B，C重合)，直线CP交AB延长线于点Q，☉O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是____1____(写出所有正确结论的序号).
①若∠PAB=30°，则弧的长为π；
②若，则AP平分∠CAB；
③若PB=BD，则；
④无论点P在弧上的位置如何变化，CP·GQ为定值.
8(2分)（2017长沙中考）如图，三个顶点的坐标分别发A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，已知
点B'的坐标是(3，0)，则点A'的坐标是____1____.
9(10分)（2017邵阳中考）如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.
(1)(3分)【问题引入】
(1)若点O是AC的中点，；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
(2)(3分)【探索研究】
(2)若点O是AC上任意一点(不与A，C重合).求证：；
(3)(4分)【拓展应用】
(3)如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点
D，E，F.若，求的值.
10(12分)（2017永州中考）已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点.
(1)(4分)如图3，若E是OD上的动点(不与O，D重合)，连接CE，过E点作EF⊥CE，
交AB于点F，当时，请猜想的值(请直接写出结论).
(2)(4分)如图1，若点E是OD的中点，点F是AB上一点，且使得∠CEF=90°，过点
E作，交AB于点M，交CD于点N.求证：
④∠AEM=∠FEM；
②点F是AB的中点；
(3)(4分)如图2，若点E是OD上一点，点F是AB上一点，且使，
请判断△EFC的形状，并说明理由；
11(8分)（2017株洲中考）如图，AB为☉O的一条弦，点C是劣弧AB的中点，E是优弧AB 上一点，点F在他的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D.
(1)(4分)求证：；
(2)(4分)若线段BD的长为2，且，求的面积.
(注：根据圆的对称性可知DC⊥AB)
12(12分)（2017常德中考）如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点(2，2)，
在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过点P作PA⊥x轴于点A，PC⊥y 轴于点C，延长PC交抛物线于点E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N 的对称点.
(1)(3分)求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
(2)(3分)求证：四边形PMDA是平行四边形；
(3)(4分)求证：，并求出当它们的相似比为时的点P的坐
标.
13(10分)（2017常德中考）如图，中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于点E，AC于点F.
(1)(4分)如图1，若BD=BA，求证：；
(2)(6分)如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于点M，求证：
①GM=2MC；
②.
14(6分)（2017邵阳中考）如图所示，直线DP和圆O相切于点C，交直径AE的延长线于点P.过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B.作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO.
(1)(3分)求∠P与∠AEB的大小.
(2)(3分)求证：DA=DC；
15(14分)（2017怀化中考）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点G.
(1)(3分)求抛物线的函数表达式；
(2)(3分)若点D是y轴上的一点，且以B，G，D为顶点的三角形与相似，
求点D的坐标；
(3)(4分)如图2，轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动
点，过点H且y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
(4)(4分)若点K为抛物线的顶点，点M(4，m)是该抛物线上的一点，在x轴、y轴上
分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标.
16(12分)（2017湘西土家族苗族自治州中考）如图，已知抛物线
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-3，0).
(1)(4分)求b的值及点B的坐标；
(2)(4分)试判断的形状，并说明理由；
(3)(4分)一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点
B出发，以每秒1个单位的速度向点C运动(当点P运动到点B时，点Q随之停止运动).
设运动时间为t秒，当t为何值时与相似？
专题21 图形的相似与位似真题汇编
参考答案与试题解析
1(2分)（2017长沙中考）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合(H 不与端点C，D重合)，折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD的周长为m，的周长为n，则的值为（）
A.
B.
C.
D. 随H点位置的变化而变化
【解析】本题考查三角形相似的判定和性质.设正方形ABCD的边长AB=1，DH=x，DE=y，则由折叠的性质易得HE=AE=1-y，CH=1-x，∠EHG=90°.因为∠CHG+∠DHF=180°-∠EHG=90°，∠DEH+∠DHE=90°，所以∠DEH=∠CHG，又因为∠D=∠C=90°，所以，
所以，，解得，，
则在中，有，即
，化简得，则△GCH的周长
，又因为正方形ABCD
的周长m=4AB=4，所以，故选B.
【答案】B
2(2分)（2017衡阳中考）如图，已知点A，B分别茬反比例函数y=(x>0)，y=-(x>0)的图象上，则OA⊥OB，则的值为（）
A.
B. 2
C.
D. 4
【解析】本题考查相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质.如图，过点A作AM⊥y 轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，∴∠AMO=∠BNO=∠AOB=90°，∴∠BON+∠OBN=90°，又∵OA⊥OB，∴∠AOM+∠BON=180°-∠AOB=90°，∴∠AOM=∠OBN，，
又∵点A在反比例函数的图象上，∴AM·OM=1，
∴，同理，∴，
∴，∴，即，故选B.
利用反比例函数的解析式得三角形的面积是解答本题的突破点.
【答案】B
3(2分)（2017永州中考）如图，在中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则的面积为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【解析】本题考查相似三角形的判定与性质.∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴，∴，又AD=1，AC=2，△ACD的面积为1，∴，
∴，故选C.
知道相似三角形的判定和性质是解题的关键.
【答案】C
4(2分)（2017娄底中考）湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图.若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是
____1____千米(结果精确到1千米).
【解析】本题考查比例尺的基本性质.根据题意，设实际距离为x厘米，由比例尺可列出方程，解得x=550003000厘米≈5500千米.
【知识拓展】比例尺的基本性质：，需要主要单位要统一
【答案】5500
5(2分)（2017湘潭中考）如图，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，则
与的面积比____1____.
【解析】本题考查中位线定理、三角形相似的性质.因为D，E分别是边AB，鉇C的中点，DE是的中位线，所以，且相似为DE∶BC=1∶2，所以
.
两个相似三角形的面积比等于相似比的平方.
【答案】1∶4
6(2分)（2017湘潭中考）如图，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，则
与的面积比____1____.
【解析】本题考查中位线定理、三角形相似的性质.因为D，E分别是边AB，鉇C的中点，DE是的中位线，所以，且相似为DE∶BC=1∶2，所以
.
两个相似三角形的面积比等于相似比的平方.
【答案】1∶4
7(2分)（2017岳阳中考）如图，☉O为等腰的外接圆，直径AB=12，P为弧上
任意一点(不与B，C重合)，直线CP交AB延长线于点Q，☉O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是____1____(写出所有正确结论的序号).
①若∠PAB=30°，则弧的长为π；
②若，则AP平分∠CAB；
③若PB=BD，则；
④无论点P在弧上的位置如何变化，CP·GQ为定值.
【解析】本题考查圆的相关性质和定理、圆周角、圆心角、垂径定理、弧长计算、相似三角形的判定和性质.①因为∠PAB=30°，则弧的圆心角为60°，弧长为
，故①错误；②连接OP，则OP⊥PD因为AB为直径，所以等腰△ABC为等腰直角三角形，所以∠CBA=∠CAB=45°，因为PD∥BC，所以∠PDA=∠CBA=∠POD=45°，所以，所以∠GAP=22.5°，所以AP平分∠CAB，故②正确；③PB=BD，
DP为切线，则∠BPD=∠BDP=∠PAB，因为△APD内角和180°，∠APB=90°，所以
∠BPD=∠BDP=∠PAB=30°.因为AB=12，所以PB=BD=6.过点B作BE⊥PD于点E，则BE=3，
，故③正确；④过点O作DF⊥CP于点F，连接OC，OP，则CO⊥AB，则∠COP=2∠COF=2∠CAP，则∠COF=∠CAP.因为∠COF+∠OCF=∠Q+∠OCF，所以∠Q=∠COF=∠CAP，则，所以CP·CQ==(6)2=72，故④正确，所以正确的是②③④.
【答案】②③④
8(2分)（2017长沙中考）如图，三个顶点的坐标分别发A(2，4)，B(6，0)，O(0，
0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，已知
点B'的坐标是(3，0)，则点A'的坐标是____1____.
【解析】本题考查位似图形的性质、勾股定理的应用.设点A在正比例函数y=kx的图象上，则有4=2k，解得k=2，所以正比例函数的解析式为y=2x，因为与是以点O为位似中心的位似图形，则不妨设点A'的坐标为(a，2a)(a>0)，由OB=6，OB'=3，所以位似比为2∶1，则OA=2OA'，即，解得a=1，则点A'的坐标为(1，2).
【答案】(1，2)
9(10分)（2017邵阳中考）如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.
(1)(3分)【问题引入】
(1)若点O是AC的中点，；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
(2)(3分)【探索研究】
(2)若点O是AC上任意一点(不与A，C重合).求证：；
(3)(4分)【拓展应用】
(3)如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点
D，E，F.若，求的值.
【解析】
(1)【名师指导】本题考查阅读理解能力、利用已知结论解决新的问题的能力.
作交BN的延长线于点G，由与
求解；
(2)将(1)中结论代换即可；
(3)利用(2)中的结论进行计算.
【答案】
(1)解：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
∵，∴∠G=∠BNM.
又∠B=∠B，∴.
∴.∴.
∴，即.
同理，在和中，.
∴
(2)证明：由(1)知
∴.
(3)在中，点P是AD上一点，过点P的直线与AB，BD的延长线分别相交于点F，C，
由(2)可得.
在中，点P是AD上一点，过点P的直线与AC，CD的延长线分别交于点E，B，
由(2)可得.
∴
∴.
10(12分)（2017永州中考）已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点.
(1)(4分)如图3，若E是OD上的动点(不与O，D重合)，连接CE，过E点作EF⊥CE，
交AB于点F，当时，请猜想的值(请直接写出结论).
(2)(4分)如图1，若点E是OD的中点，点F是AB上一点，且使得∠CEF=90°，过点
E作，交AB于点M，交CD于点N.求证：
④∠AEM=∠FEM；
②点F是AB的中点；
(3)(4分)如图2，若点E是OD上一点，点F是AB上一点，且使，
请判断△EFC的形状，并说明理由；
【解析】
(1)略
(2)【名师指导】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定.
①根据正方形的性质和平行线的性质即可证明；②根据等腰三角形的性质和平行线分线段成比例证明即可；
(3)根据平行线分线段成比例和等腰三角形的性质和平行线分线段成比例可进行推测.
【答案】
(1).
(2)解：证明：①∵点E是正方形ABCD对角线BD上的点，
∴∠FAD=∠ECD，AE=CE.
∵，
∴∠AEM=∠EAD，EM⊥AB，∠ENC=90°，
∠ECD+∠CEN=90°.
又∵∠CEF=90°，
∴∠FEM+∠CEN=90°，
∴∠FEM=∠ECD，
∴∠AEM=∠FEM.
②∵∠AEM=∠FEM，EM⊥AB，
∴AM=MF
又∵，点O是BD的中点，点E是OD的中点，
∴，
∴，即点F是AB的中点.
(3)是等腰直角三角形，理由如下：取AF的中点P，连接PE并延长交CD 于点Q.
由，可知，
∴.
∴PQ⊥AF，∠EQC=90°，
∴由(1)知，∠PEF=∠PEA=∠EAD=∠ECQ，
∠QEC+∠ECQ=90°，
∴∠PEF+∠QEC=90°，
∴∠CEF=90°.
∵QP⊥AF，点P为AF的中点，点E为对角线BD上的点，
∴EF=AE=CE，
∴是等腰直角三角形.
11(8分)（2017株洲中考）如图，AB为☉O的一条弦，点C是劣弧AB的中点，E是优弧AB 上一点，点F在他的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D.
(1)(4分)求证：；
(2)(4分)若线段BD的长为2，且，求的面积.
(注：根据圆的对称性可知DC⊥AB)
【解析】
(1)【名师指导】本题考查圆周角定理和相似三角形的判定与性质.
由等腰三角形的性质，同弧所对圆周角的性质证明即可；
(2)由平行线分线段成比例求得AD的长，由求得BC的长，求得
BH，CH，进而求得的面积.
【答案】
(1)证明：连接AC，∵点C是劣弧AB的中点，
∴，
∴.
∵BE=EF，∴∠EBF=∠F，
∵∠AEB=∠EBF+∠F=2∠EBF，
∴∠BEC=∠EBF，∴.
(2)由(1)知，∴. ∵BE=EF，，
∴.
∵BD=2，则AD=6，且由题可知∠EAB=∠ECB，
由(1)知∠AEC=∠BEC，
∴，
∴.
∴
设OC与AB相交于点H，
由圆的对称性可知，OC⊥AB，，∵AB=AD+BD=6+2=8，∴BH=4.
在中，
.
∵，
∴的面积为2.
12(12分)（2017常德中考）如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点(2，2)，
在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过点P作PA⊥x轴于点A，PC⊥y 轴于点C，延长PC交抛物线于点E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N 的对称点.
(1)(3分)求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
(2)(3分)求证：四边形PMDA是平行四边形；
(3)(4分)求证：，并求出当它们的相似比为时的点P的坐
标.
【解析】
(1)【名师指导】本题考查二次函数与平行四边形、等腰三角形的性质的综合应用.
利用待定系数法求二次函数解析式；
(2)证明D平行且等于PA即可；
(3)先证明两三角形为等腰三角形，再证明顶角相等，从而证明，由相似比建立方程求得P点的坐标.
【答案】
(1)解：设抛物线的解析式(a≠0)，
∵抛物线的对称轴是y轴，∴b=0，
又∵点(2，2)，在抛物线上，
∴
解得
∴，∴顶点N的坐标为(0，1).
(2)证法一：∵PA⊥x轴于点A，∴，过点M作MH⊥PA交PA于点H，
∴四边形MOAH为矩形’∴OM=AH，
而PA⊥x轴于点A，PC⊥y轴于点C，
∴四边形MHPC为矩形，∴MC=HP，
∵M是O关于抛物线顶点N的对称点，
D是C点关于N的对称点，
∴NM=NO，NC=ND，
∴ND-NO=NC-NM，即OD=MC=HP，
∴D M=OD+OM=PH+HA=PA，∴DM=PA，
∴四边形PMDA是平行四边形.
证法二：∵PA⊥x轴于点A，∴，
设P的坐标为(x0，y0)，
∴C的坐标为(0，y0)，，
∵N的坐标为(0，1)，M是O关于抛物线顶点N的对称点，
∴M的坐标为(0，2)OM=2，
而D是C点关于N的对称点，∴ND=NC=y0-1，
∴DC=2ND=2y0-2，
∴DM=DC-CM=(2y0-2)- (y0-2)=y0，
∴DM=PA，
∴四边形PMDA是平行四边形.
(3)证明：∵抛物线的对称轴是y轴，
又PC⊥y轴，∴△DPE是等腰三角形，
由(2)证法二知，
，
∴MP=PA，∴是等腰三角形，
∴平行四边形PMDA是菱形.
由菱形的性质知彻PD平分∠MDA，
即有∠MDA=∠MPA=2∠MDP，
而∠PDE=2∠CDP=2∠MDP，
∴∠PDE=∠MPA，即等腰三角形DPE与等腰三角形PMA的顶角相等，∴.
当与的相似比为时，
即有，
由(2)证法二知，DC=2ND=2y0-2，
∴
，
∵，
∴，解得，
，
∴所求的点P的坐标为或.
13(10分)（2017常德中考）如图，中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于点E，AC于点F.
(1)(4分)如图1，若BD=BA，求证：；
(2)(6分)如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于点M，求证：
①GM=2MC；
②.
【解析】
(1)【名师指导】本题考查全等三角形的判断、相似三角形的判定及性质.
由HL证明；
(2)①作交BD于点H，由平行线分线段成比例证明；②作CN⊥AC交AD 的延长线于点N，证明，，利用相似比可得结论；也可以过点M作交AC于点I，利用平行的性质及三角形相似可得结论.
【答案】
(1)证明：∵BF⊥AD，
∴与都是直角三角形，
∵在这两个直角三角形中，
有BE=BE，AB=DB，
∴，
(2)①如图1，作交BD于点H，
∵G是AB的中点，
∴GH是△BAD的中位线，∴BH=HD，
∵BD=4DC，∴BH=HD=2DC，∵，∴，
即GM=2MC.
②证法一：如图2，过点C作CN⊥AC交AD的延长线于点N，
∵∠BAC=90°.
∴，
∴，
∴，而由①知，GM=2MC，
∴AG=2NC.
∵BF⊥AD，
∴∠ABF=∠CAN，
∴，
∴，即AB·CN=AF·CA，
而G是AB的中点，
∴AB=2AG，
又.∵AG=2NC，代入上式得，∴.
证法二：过点M作交AC于点I，(图略)，可证，(※)
再根据MG=2MC与，
可推出，而AB=2AG，将以上三式代入(※)可得.
14(6分)（2017邵阳中考）如图所示，直线DP和圆O相切于点C，交直径AE的延长线于点P.过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B.作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO.
(1)(3分)求∠P与∠AEB的大小.
(2)(3分)求证：DA=DC；
【解析】
(1)略
(2)【名师指导】本题考查圆的切线的性质、平行四边形的性质、相似三角形及全等三角形的判定和性质、30度角所对直角边等于斜边一半的性质的应用.
【答案】
(1)∵CB⊥AE，AE是☉O的直径，
∴.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC.∴.
∵.
∴
由(1)知DA=DC，∴.
∴在中，∠P=30°.
∵，∴∠FAB=∠P=30°.
∵AE为☉O的直径，∴∠ABE=90°.
∴∠AEB=60°.
(2)解：证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC.
∵CB⊥AE，∴AD⊥AE.
∴∠DAO=90°.
∵DP和圆O相切于点C，
∴DC⊥OC.∴∠DCO=90°，
∴，
DO=DO，AO=CO，
∴，∴DA=DC.
15(14分)（2017怀化中考）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点G.
(1)(3分)求抛物线的函数表达式；
(2)(3分)若点D是y轴上的一点，且以B，G，D为顶点的三角形与相似，
求点D的坐标；
(3)(4分)如图2，轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动
点，过点H且y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
(4)(4分)若点K为抛物线的顶点，点M(4，m)是该抛物线上的一点，在x轴、y轴上
分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标.
【解析】
(1)【名师指导】本题考查二次函数、三角形相似、面积最大问题和周长最小问题.
将A，B两点坐标代入抛物线的表达式，求出字母系数的值即可；
(2)根据相似比的不同，讨论确定点D的不同位置；
(3)用字母表示点H的坐标，计算点E的坐标，由BC解析式表示点F的坐标，根据
四边形CHEF的面积列出函数关系式，由顶点式求得点H的坐标及面积的最
大值；
(4)利用轴对称的性质，作点K关于y轴的对称点K'，点M关于x轴的对称点M'，求直线K'M'与两坐标轴的交点即可.
【答案】
(1)解：把A(-1，0)，B(5，0)代入，
得
解得
∴抛物线的函数表达式为.
(2)如图1，连接AC，
令x=0，则y=-5，∴C(0，-5)，
∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵A(-1，0)，B(5，0)，C(0，-5)，
∴.
要使以B，C.D为顶点的三角形与相似，则有.
①当时，CD=AB=6，∴D(0，1)；
②当时，，
∴.
综上所述，点D的坐标为(0，1)或.
(3)如图2，设，
∵轴，∴点E的纵坐标为-5，
∵点E在抛物线上，∴，
解得，
∴E(4，-5)，∴CE=4.故0<t<4.
由B(5，0)，C(0，-5)，得直线BC的函数表达式为y=x-5，∴F(t，t-5)，
∴
=，
∵轴，，∴CE⊥HF，
∴四边形CHEF的面积
=，
∴当时，四边形CHEF的最大面积为，
此时.
(4)如图3，
∵点K为抛物线的顶点，∴K(2，-9)，
∴点K关于y轴的对称点K'的坐标为(-2，-9).
∵M(4，m)，∴M(4，-5)，
∴点M关于x轴的对称点M'的坐标为(4，5).
∴直线K'M'的函数表达式为.
∴P，Q的坐标分别为.
16(12分)（2017湘西土家族苗族自治州中考）如图，已知抛物线
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-3，0).
(1)(4分)求b的值及点B的坐标；
(2)(4分)试判断的形状，并说明理由；
(3)(4分)一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点
B出发，以每秒1个单位的速度向点C运动(当点P运动到点B时，点Q随之停止运动).
设运动时间为t秒，当t为何值时与相似？
【解析】
(1)【名师指导】本题考查二次函数、勾股定理及相似三角形的综合应用.将点A的坐标代入解析式求得b的值，令y=0求得点B的坐标；
(2)根据已知点坐标求得各线段长，由勾股定理逆定理说明三角形为直角三角形；
(3)用含t的代数式表示相关线段长，由线段比分情况讨论确定三角形相似时t的值.
【答案】
(1)解：∵抛物线经过点A(-3，0)，
∴
解得.
令y=0，则，
解得(与点A重合，舍去)，，
∴点B的坐标为(1，0)
(选用二次函数的对称性求出点B的坐标也记满分)
(2)为直角三角形，
理由如下：
∵A(-3，0)，B(1，0)，，
∴由勾股定理得，
∴，
∵为直角三角形.
(3)由已知及(1)(2)得AB=4，BC=2，BQ=t，AP=2t，∴PB=4-2t. 当时，，
即，解得t=1；
当时，，
即，解得，
综上所述，当t=1或时，与相似.。