课时作业(十三) 变化率与导数、导数的计算 (2)

课时作业(十三)　变化率与导数、导数的计算
　基础过关组　
一、单项选择题 1．已知f (x )＝
ln x
2x
，则f ′
(12
)
＝( )
A ．－2－ln 2
B ．－2＋ln 2
C ．2－ln 2
D ．2＋ln 2
解析　依题意有f ′(x )＝1
x ·2x －2×1
2
×(2x )－ 12 ·ln x
2x
，故f ′
(1
2
)
＝
2＋ln 21
＝2＋ln 2。

故选D 。

答案　D 2．函数f (x )＝－2x ＋ln x 的图象在x ＝1处的切线方程为( )
A ．x ＋y ＋1＝0
B ．x －y ＋1＝0
C ．2x －y ＋1＝0
D ．2x ＋y －1＝0
解析　当x ＝1时，f (1)＝－2＋0＝－2，所以切点为(1，－2)，由题意得f ′(x )＝－2＋1
x ，所以f ′(1)
＝－2＋1
1
＝－1，所以切线方程为y ＋2＝－1×(x －1)，即x ＋y ＋1＝0。

故选A 。

答案　A
3．如果曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－1
3x ，那么点P 的坐标为( )
A ．(1,0)
B ．(0，－1)
C ．(0,1)
D ．(－1,0)
解析　设点P (a ，b )，则b ＝a 4－a ，由题得y ′＝4x 3－1。

因为曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－1
3
x ，所以4a 3－1＝3，所以a ＝1。

所以b ＝14－1＝0，所以点P 的坐标为(1,0)。

答案　A
4．已知函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－4x B ．f (x )＝x 2＋4x C ．f (x )＝x 2－2x D ．f (x )＝x 2＋2x
解析　由题意，得f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，则f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2，故f (x )＝x 2－
4x 。

故选A 。

答案　A
5．已知f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝－x
x －2，则函数图象在x ＝－1处的切线方程是( ) A ．2x －y ＋1＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y －1＝0
D ．x ＋2y －2＝0
解析　当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝－
x
x ＋2＝－f (x )，所以f (x )＝x
x ＋2(x <0)，f ′(x )＝2
(x ＋2)2，
又f ′(－1)＝2，f (－1)＝－1，所以切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0。

故选A 。

答案　A
6．(2021·广州市调研测试)已知过点A (a,0)作曲线C ：y ＝x ·e x 的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－4)∪(0，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－1) 解析　对函数
y ＝x ·e x 求导得
y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x 。

设切点坐标为(x 0，x 0e x 0
)，则过点
A (a,0)的
切线斜率k ＝(1＋x 0)e x 0 ＝x 0e x
x 0－a
，化简得x 20－ax 0－a ＝0。

依题意知，上述关于x 0
的二次方程有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－a )2－4×1×(－a )>0，解得a <－4或a >0。

故选A 。

答案　A
二、多项选择题
7．下列函数分别求导，其中正确的是( )
A．(1x)′＝1x2B．(cos 2x)′＝－2sin 2x
C．(3x ln 3)′＝3x D．(lg x)′＝－1x ln 10
解析　(1x)′＝－1x2，(cos 2x)′＝－2sin 2x，(3x ln 3)′＝3x，(lg x)′＝1x ln 10。

故选BC。

答案　BC
8．(2021·潍坊期末)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数。

以下四个函数在(0，π2)上是凸函数的是( )
A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝x e x
解析　对于A，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x，因为x∈(0，π2)，所以f″(x)＜0，f(x)在(0，π2)上是凸函数，故A正确；对于B，f′(x)＝1x－2，f″(x)＝－1x2＜0，故f(x)在(0，π2)上是凸函数，故B正确；对于C，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x＜0，故f(x)在(0，π2)上是凸函数，故C正确；对于D，f′(x)＝(x＋1)e x，f″(x)＝(x＋2)e x＞0，故f(x)在(0，π2)上不是凸函数，故D错误。

故选ABC。

答案　ABC
三、填空题
9．(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝
e x
x＋a。

若f′(1)＝
e
4
，则a＝________。

解析　由于f′(x)＝
e x(x＋a)－e x
(x＋a)2，故f′(1)＝
e a
(1＋a)2
＝
e
4
，解得a＝1。

答案　1
10．曲线y＝(ax＋1)e x(e为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线与x轴交于点(－12，0)，则a＝________。

解析　y′＝e x(ax＋1＋a)，所以y′|x＝0＝1＋a，则曲线y＝(ax＋1)e x在(0,1)处的切线方程为y＝(1＋a)x＋1，又切线与x轴的交点为(－12，0)，所以0＝(1＋a)×(－12)＋1，解得a＝1。

答案　1
11．(2021·开封市一模)设P为函数f(x)＝ln x－x3的图象上任意一点，Q为直线2x＋y－2＝0上任意一点，则P，Q两点距离的最小值为________。

解析　由题意知，当函数f(x)的图象在点P(x0，y0)处的切线l1与直线l2：2x＋y－2＝0平行，且
PQ⊥l2时，P，Q两点之间的距离最小。

因为f(x)＝ln x－x3，所以f′(x)＝1
x
－3x2，所以
1
x0
－3x20＝－
2，解得x0＝1，所以y0＝－1，故切线l1的方程为2x＋y－1＝0。

由两平行直线之间的距离公式可得
切线l1与直线l2之间的距离d＝
|－1－(－2)|
5＝
5
5
，故P，Q两点距离的最小值为
5
5。

答案　
5 5
四、解答题
12．已知函数f(x)＝x3－4x＋2及其图象上一点M(1，－1)。

(1)若直线l1与函数f(x)的图象相切于点M(1，－1)，求直线l1的方程；
(2)若函数f (x )的图象的切线l 2经过点M (1，－1)，但M 不是切点，求直线l 2的方程。

解　(1)f ′(x )＝3x 2－4，f ′(1)＝－1， 所以直线l 1的斜率k 1＝－1，
所以直线l 1的方程为y ＋1＝－(x －1)，即x ＋y ＝0。

(2)设切点坐标为(x 0，f (x 0))，x 0≠1， 则切线l 2的方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)。

因为直线l 2经过点M (1，－1)， 所以－1－f (x 0)＝f ′(x 0)(1－x 0)，
其中f (x 0)＝x 30－4x 0＋2，f ′(x 0)＝3x 20－4， 于是－1－(x 30－4x 0＋2)＝(3x 20－4)·(1－x 0
)， 整理得2x 30－3x 20＋1＝0，即(x 0－1)2·(2x 0
＋1)＝0， 又x 0≠1，所以x 0＝－1
2。

所以切点为(
－12，31
8)
，直线l 2的斜率k 2＝f ′(－1
2)
＝－13
4，
所以直线l 2的方程为y －318
＝－
13
4(x ＋1
2
)
， 即y ＝－134x ＋9
4。

13．已知函数f (x )＝ln x －1
x。

(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，－1)处的切线方程；
(2)若函数g (x )＝xf (x )＋1，直线l 1：y ＝ax ＋2e(e 是自然对数的底数)与函数g (x )的图象在点x ＝e 处的切线l 2互相垂直，求直线l 1，l 2与x 轴围成的封闭图形的面积。

解　(1)由题意，知f ′(x )＝1x ＋1
x 2
，
所以f ′(1)＝2，所以切线方程为y ＋1＝2(x －1)， 即2x －y －3＝0。

(2)由已知，得g (x )＝x ln x ，切点坐标为(e ，e)， 由g ′(x )＝ln x ＋1，得g ′(e)＝2， 所以l 2的方程为y －e ＝2(x －e)， 即y ＝2x －e ①。

所以直线l 1的斜率为－1
2，
故l 1的方程为y ＝－1
2
x ＋2e ②，
联立①②，得直线l 1与l 2交点的坐标为(65e ，7
5e )
，
又l 2与x 轴的交点为(e
2，0)
，l 1与x 轴的交点为(4e,0)，
此封闭图形为三角形，底边m ＝4e －e
2＝7e 2，高h ＝7
5e ，
所以三角形面积S ＝12mh ＝1
2×7e 2×75e ＝49
20
e 2。

　素养提升组　
14．(新情境题)通常用以下方法求函数y ＝[f (x )]g (x )的导数：先两边同时取以e 为底的对数(e ≈2.718 28…为自然对数的底数)得ln y ＝g (x )ln f (x )，再两边同时求导，得1
y
·y ′＝g ′(x )ln f (x )＋
g (x )[ln f (x )]′，即y ′＝[f (x )]g (x ){g ′(x )·ln f (x )＋g (x )[ln f (x )]′}。

运用此方法求出的函数y ＝x 1
x
(x >0)的
一个单调递增区间是( )
A ．(e,4)
B ．(3,6)
C ．(0，e)
D ．(2,3)
解析　由已知得y ′＝x 1
x ·(
－1
x 2ln x ＋1x ·
1
x )
＝x 1x
·1－ln x x 2(x >0)，令y ′>0，得1－ln x >0，解得0<x <e ，故原函数的单调递增区间为(0，e)。

故选C 。

答案　C
15．(2021·陕西省百校联盟模拟)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝2－3
x (x >0)。

(1)试判断f (x )与g (x )的大小关系；
(2)试判断曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )是否存在公切线？若存在，求出公切线的方程；若不存在，说明理由。

解　(1)设F (x )＝f (x )－g (x )，x >0， 则F ′(x )＝1x －3
x 2
(x >0)。

由F ′(x )＝0，得x ＝3，当0<x <3时， F ′(x )<0，当x >3时，F ′(x )>0 ，
故F (x )在区间(0,3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增。

所以F (x )的最小值F (3)＝ln 3－1>0， 所以F (x )>0，即f (x )>g (x )。

(2)假设曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )有公切线，切点分别为P (x 0，ln x 0)和Q (x 1，2－3x 1
)。

因为f ′(x )＝1
x ，g ′(x )＝3
x 2
，
所以分别以P (x 0，ln x 0)和Q (
x 1，2－
3
x 1
)
为切点的切线方程为y ＝x x 0＋ln x 0－1，y ＝3x 21
x ＋2－6
x 1。

令Error!得2ln x 1＋6x 1－(3＋ln 3)＝0。

令h (x )＝2ln x ＋6
x －(3＋ln 3)，
所以h ′(x )＝2
x －6x 2(x >0)，
令h ′(x )＝0，得x ＝3。

显然，当0<x <3时，h ′(x )<0，当x >3时，h ′(x )>0，
所以h (x )在区间(0,3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增， 所以h (x )的最小值h (3)＝2ln 3＋2－3－ln 3＝ln 3－1>0，所以h (x )>0， 所以方程2ln x 1＋6x 1－(3＋ln 3)＝0无解，
所以曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )不存在公切线。