第三讲点共线、线共点

第三讲点共线、线共点
在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯 定理、塞瓦定理的应用。

1. 点共线的证明
点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线； 证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。

n （n 》4）点共线可转化为三点共线。

例1如图，设线段AB 的中点为C ,以AC 和CB 为对角线作平 行四边
形AECD ，BFCG 。

又作平行四边形 CFHD ，CGKE 。

求证：H ， C ，K 三点共线。

证连 AK, DG,HB 。

由题意，AD^EC^KG , 知四边形AKGD 是平行四边 形，于是AK 兰DG 。

同样可证 AK=HB 。

行四边形， 互相平分。

共线。

例2 如图所示，菱形 ABCD 中，/ A=120°, ® O 为^ABC 外 接圆，M
为其上一点，连接 MC 交AB 于E , AM 交CB 延 长线于F 。

求证：D , E , F 三点共线。

四边形AHBK 是平 其对角线AB , KH 而C 是AB 中点，线段KH 过C 点，故K , C , H 三点 B
证女口图，连AC , DF , DE 。

因为M
在® O 上, D
贝AMC=60° =/ABC=/ ACB , 有^ AMC sA ACF , 得 MC CF CF CA CD 。

又因为/ AMC=BAC ，所以△ AMCEAC,得 MC AC AD MA AE AE 。

CF AD 所以 CL JAD ，又/ B AD=/ BCD=120。

，知△ CFDs CD AE △ ADE 。

所以/ ADE=/ DFB 。

因为 AD // BC,所以/ ADF = / DFB= / ADE ，于是F ,
E , D 三点共线。

四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 的延长线交于点P , AD 与BC 的延长线交于点Q 。

由 和Q
F ,切点分别为E , F 。

求证： 如图。

连接PQ ,并在PQ 上取一点M ,
C , M , P 四点共圆，连 CM , PF 。

设PF 与圆的另一交点为E '并作QG 丄PF ,垂足 为G 。

易如
QE 2
=QM -QP=QC -QB B , / PMC=/ ABC= / PDQ 。

使得
(E)f
P
Q
Q 作该圆的两条切线QE P ,
E ,
F 三点共线。

从而C , D , Q , M 四点共圆，于是 PM - PQ=PC • PD ②
由①，②得
PM - PQ+QM • PQ=PC • PD+QC - QB ,
即 PQ 2
=QC • QB+PC • PD o
易知 PD • PC=PE ' • PF ,又 QF 2
=QC • QB ,有
PE ' • PF+QF 2=PD • PC+QC - AB=PQ 2, 即 PE ' • PF=PQ 2-QF 2o 又
PQ 2 — QF 2=PG 2— GF 2
=(PG+GF) •(PG — GF) =PF • (PG — GF),
从而 PE'=PG — GF=PG — GE',即 GF=GE',故 E'与 E 重合。

所以P , E , F 三点共线。

例4以圆O 外一点P ,引圆的两条切线PA , PB , A , B 为切点。

割线
PCD 交圆O 于C , Do 又由B 作CD 的平行线交圆O 于Eo 若F 为CD 中点，求证：A , F , E 三点共线。

证
女口图，连 AF , EF , OA , OB , OP , BF , OF ,
五点共圆，有/ AFP= / AOP=/POB=
/ PFBo
又因CD // BE ,所以有
/ PFB=/FBE ,/ EFD = / FEB ,
而FOG 为BE 的垂直平分线，故 EF=FB , / FEB= / EBF , 所以/ AFP=/ EFD, A , F, E 三点共线。

2. 线共点的证明
延长FC 交BE 于Go 易如OA 丄AP ,OB 丄BP ,
OF 丄 CP ,所以 P , A , F , O ,
P
证明线共点可用有关定理（如三角形的3条高线交于一点）, 或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。

以^ ABC的两边AB, AC向外作正方形ABDE, ACFG。

△ ABC的高为AH。

求证：AH, 如图。

延长HA到M ,
使AM=BC。

连CM , BM。

设CM与BF交于点K。

在^ ACM和^ BCF中,
AC=CF,AM=BC, BF, CD交于一点。

F
/ MAC+ / HAC=180° ,
/ HAC+/ HCA=90° , 并且/
BCF=90° + / HCA , 因此/ BCF+/
HAC=180°
/ MAC=/ BCFo
从而△ MAC尢BCF , / ACM = / CFBo
所以/ MKF = / KCF+/ KFC = / KCF + / MCF=90°,
即BF丄MCo
同理CD丄MB o AH , BF, CD为^ MBC的3条高线，故
AH , BF, CD三线交于一点。

设卩为^ABC 内一点，/ APB-/ ACB=/APC-/ABC。

又设D, E 分别是△APB 及^ APC的内心。

证明：AP, BD, CE交于一点。

如图，过P向三边作垂线，垂足分别为R, S, To
连RS, ST, RT,设BD 交AP 于M , CE交AP于No
易知P, R, A, S; P, T, B, R; P,S, C,T分别四点共圆，则
/ AP B-Z ACB=Z PAC+ / PBC O i, C
=Z PRS^Z PRT
=Z SRTo
同理，Z APC-Z ABC= Z RST, 由条件知
Z SRT=Z RST,所以RT=STo 又
RT=PBsinB, ST=PCsinC, 所以
PBsinB=PCsinC,那么PB PC AB AC 0
由角平分线定理知
AN AC
NP PC
AB AM
PB MP 0
故M , N重合，即AP, BD , CE交于一点。

®O i与® O2外切于P点，QR为两圆的公切线，其中Q,
R分别为® O i, ® O2上的切点，过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO i的直线交于点I, IN垂直于O I O2,垂足为N, IN与QR交于点M0证明：条直线交于一点。

如图，设RO i与QO2交于点O,
连MO, PO。

因为Z O i QM = Z O I NM=90°,所以Q,
N, M 四点共圆，有Z QMI = Z QO1O2。

PM , RO1, QO2 三而Z IQ02=90° = / RQO1,
所以/ IQM=/O 2QO 1, 故^ QIM sA QO 2O 1, 得
即 OP // RO 2O 从而 MO // QO i // RO 2 / OP ,故 M , O , P 三点共线，所以PM , RO i , QO 2三条直线相交于同一点。

3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用
定理1 (塞瓦(Ceva)定理):
设P , Q , R 分别是△ ABC 的BC , CA , AB 边上的点。

若AP , BQ , CR 相交于一点M ，贝U
BP CQ AR PC QA RB
QO i QM
O
1O
2
MI
同理可证竺匹0
RM MI
因此
QM QO 1
MR RO 2
因为QO 1 // RO 2,所以有
O 1O QO 1
OR RO 2
所以
OR MO // QO i 。

又由于 O i P=O i Q , PO 2=RO 2,
RO 2 PO 2
证 如图，由三角形面积的性质，有
定理2 （定理1的逆定理）:
设P ， Q ，R 分别是△ ABC 的
空 1，贝u AP ，BQ ，CR 交于一点。

PC QA RB 证 如图，设AP 与BQ 交于M ，连CM ，交AB 于R '
AR S AMC
BP
RB S
BMC PC
S AMB
CQ
S
S
AMC QA
BMC S
AMB
以上三式相乘，得
BP CQ AR PC QA RB
由定理1有
BP CQ AH'
PC QA R'B
1.而聖
PC QA RB
1,所以
AR AR
R'B RB .
于是R'与R 重合，故AP,BQ,CR 交于一点。

定理3 （梅涅劳斯（Menelaus ）定理）: 一条不经过△ ABC 任一顶点的直线和三角形三边 AB （或它们的延长线）分别交于P ，Q ，R ，则 BC ，CA ，
BPCg 塑 1
PC QA RB 证 如图，由三角形面积的性质，有 AR S ARP BP S BRP CQ RB S BRP PC S CPR QA S CRP
S
ARP
BC , CA , AB 上的点。

若
1
②
将以上三式相乘，得PP CA 詈1 定理4 （定理3的逆定理）: 设P , Q ，R 分别是△ ABC 的三边BC ，CA ，AB 或它们延长 线上的3点。

若
BP C Q
AR 1， PC QA RB
则P , Q ，R 三点共线。

定理4与定理2的证明方法类似。

塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与 之有关的题目中有着广泛的应用。

例8 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分/ BAD 。

在CD 上取一
点E , BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于Go 求证：/ GAC=/
EACo
证 如图，连接BD 交AC 于H ,
过点C 作AB 的平行线交AG 的延长线于I ，过点C 作AD 的平行线交AE 的延长线于Jo
CG BH DE , c ----------- 1 ① GB HD EC
因为AH 是/ BAD 的角平分线,
代入②式得
对^ BCD 用塞瓦定理，可得 由角平分线定理知 BH HD AB
0 AD
代入①式得
CG AB GB AD DE EC
因为 CI // AB , CJ // AD ,
CI DE AB EC
AD CJ
I
CI AB AD , 1. AB AD CJ
从而CI=CJ 。

又由于
/ ACI=180°—/ BAC=180°—/DAC=/ ACJ ,
所以△ ACI ◎△ ACJ ，故/ IAC=/JAC ,即/GAC=/EAC.
例9 ABCD 是一个平行四边形，E 是AB 上的一点，F 为CD 上 的一
点。

AF 交ED 于G , EC 交FB 于H 。

连接线段GH 并 延长交AD 于L ,交BC 于M 。

求证：DL=BM. 证 如图，设直线LM 与BA 的延长线交于点J ,与DC 的延长 线交于点I 。

在直线I 的一侧画一个半圆T , C , D
是T 上的两点，T 上
过C 和D 的切线分别交I 于B 和A ,半圆的圆心在线段
BA 上, E 是线段AC 和BD 的交点，F 是I 上的点，EF 垂直I 。

求证：EF 平分/ CFD 。

如图，设AD 与BC 相交于点P ,用0表示半圆T 的圆心。

过P 作PH 丄I 于H ，连0D ,0C ,
在^ ECD 与^ FAB 中分别使用
梅涅劳斯定理, 得
EG DI CH
AG FH
BJ
1 ,
GD IC HE
GF HB
JA
因为 AB // CD , 所以
EG AG CH FH
GD GF ， HE HB . 从而DI BJ 即CD
CI IC JA C
I
BM BJ DI DL MC CI AJ LA ，
，故 CI=AJ.而 所以BM=DL 。

例10 1
AB AJ 且 BM+MC=BC=AD=AL+LD. l
OP。

由题意知
于是有
RtA OAD s RtA PAH,
类似地, 则有
AH HP AD DO . RtA OCBs RtA PHB,
BH
BC
由CO=DO,有
HP
CO.
AH BH …AH BC PD ,
————，从而-------------- i. AD BC HB CP DA
由塞瓦定理的逆定理知三条直线AC,BD , PH相交于一点, 即E在PH上，点H与F重合。

因/ODP = /OCP=90°，所以O, D, C, P四点共圆，直径为OP.又/ PFC=90°,从而推得点F也在这个圆上，因此
/ DFP = / DOP= / COP= / CFP,
所以EF平分/ CFD。

例ii如图，四边形ABCD内接于圆，
AB, DC延长线交于E, AD、BC 延
长线交于F, P为圆上任意一点，
PE, PF分别交圆于R, S.若对角
线AC与BD相交于T.
求证：R, T, S三点共线。

先证两个引
理。

F
引理1:
A i
B i
C i
D i
E i
F i为圆内接六边形，若A i D i, B i E i,
点，则有
CP EF
B i
C i
D i
E i
F i A i
C i F i交于
F i
如图，设A 1D 1, B 1E 1, C 1F 1交于点0,根据圆内接多边形的 性质易知
△ OA 1B 1 0E 1D 1, △ 0B 1C 1SA OF 1E 1,
△ 0C 1D 1SA OA 1F 1，从而有
AQ B 10 E 1F 1 F 10 D 1E 1 D 10， B 1C 1 B 10
该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。

例11之证明如图，连接 PD ，AS, RC ，BR ，AP ,
SD. 由^ EBRsA EPA,^ FDSs^ FPA, 知
BR EB PA PA EP ，DS 两式相乘，得 BR EB FP DS EP FD .
PD FP
FP .两式相乘，得
AS FA CR EC FP
AS EP FA
C 1
D 1 D 10
将上面三式相乘即得 A 1B 1 B 1C 1 C 1D 1 E 1F
D 1E
1 F 1 Al
引理2:
圆内接六边形 A 1B 1C 1D 1E 1F 1, 若满足
A i
B i B 1
C 1 G
D 1 D
E E 1
F 1
F 1A 1
则其三条对角线A 1D 1, B 1E 1, C 1F 1 交于一点。

FP
FD
又由△ ECR sA E PD ， △ FPDs △ FAS ,知
-E C PD EP
由①，②得^B R-AS
DS CR
BR CD SA EB AF DC RC DS AB BA FD CE. 对^ EAD应用梅涅
劳斯定理，有
EB AF DC 1
BA FD CE
由③，④得
BR CD SA ,
RC DS AB
所以R, T, S三点共线。

由引理2知BD , RS, AC交于一点,
1.由矩形ABCD的外接圆上任意一点M向它的两对边引垂线MQ 和MP,
向另两边延长线引垂线MR, MT。

证明：PR与QT 垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上。

2.在^ ABC 的BC 边上任取一点P,作PD // AC, PE// AB, PD, PE
和以AB, AC为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为D, E。

求证：D, A, E三点共线。

3. 一个圆和等腰三角形ABC的两腰相切，切点是D, E,又和△ ABC
的外接圆相切于F。

求证：△ ABC的内心G和D, E在一条直线上。

4.设四边形ABCD为等腰梯形，把△ ABC绕点C旋转某一角度变成
△ A'B'C'。

证明：线段A'D, BC和B'C的中点在一条直线上。

5.四边形ABCD内接于圆0,对角线AC与BD相交于P。

设三角形
ABP, BCP, CDP和DAP的外接圆圆心分别是0i, O2, 03, 04。

求证：OP, 0i03, O2O4三直线交于一点。

6. 求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的4 条垂线交于
一点。

7.△ ABC为锐角三角形，AH为BC边上的高，以AH为直径的圆分
别交AB, AC于M , N; M , N与A不同。

过A作直线1A 垂直于MN。

类似地作出直线1B与I c。

证明：直线1A, 1B,1C 共点。

8.以^ ABC的边BC, CA, AB向外作正方形，A1, B1, C1是正方形的
边BC, CA, AB的对边的中点。

求证：直线AA1, BB1, CC1 相交于一点。

9.过厶ABC的三边中点D , E, F向内切圆引切线，设所引的切线分
别与EF，FD，DE交于I，L，M。

求证：I，L，M在一条直线
上。

10.设A1，B1, C1是直线11上的任意三点，A2，B2, C2是另一条直线
12上的任意三点，A I B2和B I A2交于L, A I C2和A2C I交于M ,
B I C2和B2
C I交于N。

求证：L, M , N三点共线。

11.在^ABC,AA'B'C'中，连接AA' BB' CC'使这3条直线交于一点
S。

求证：AB与A'B'、BC与B'C'、CA与C'A'的交点F ,D ,E 在同一条直线上（笛沙格定理）。

12. 设圆内接六边形ABCDEF 的对边延长线相交于三点P, Q, R, 则
这三点在一条直线上（帕斯卡定理）。