【精选3份合集】2018-2019学年深圳市南山区某名校中考三模数学试题

中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞1；②b+c+1=1；③3b+c+6=1；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜1．其中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜1；故①错误。

当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误。

∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=1。

故③正确。

∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜1。

故④正确。

综上所述，正确的结论有③④两个，故选B。

2．若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( )
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解析】试题解析：∵这组数据的众数为7，
∴x=7，
则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，1，7，7，
中位数为：1．
故选C．
考点：众数；中位数.
3．如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）
【答案】C
【解析】分析：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．详解：从左边看竖直叠放2个正方形．
故选：C．
点睛：此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为()
A．65°B．130°C．50°D．100°
【答案】C
【解析】试题分析：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又
∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C．
考点：切线的性质．
5．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，
故选A．
6．下列图案是轴对称图形的是（）
【答案】C
【解析】解：A ．此图形不是轴对称图形，不合题意；
B ．此图形不是轴对称图形，不合题意；
C ．此图形是轴对称图形，符合题意；
D ．此图形不是轴对称图形，不合题意．
故选C ．
7．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是( )
A ．8374y x y x -=⎧⎨-=⎩
B ．8374y x x y -=⎧⎨-=⎩
C ．8374x y y x -=⎧⎨-=⎩
D ．8374
x y x y -=⎧⎨-=⎩ 【答案】C
【解析】分析题意，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，”可分别列出方程.
【详解】设合伙人数为x 人，物价为y 钱，根据题意得
8x-y 3y 7x 4
=⎧⎨-=⎩ 故选C
【点睛】本题考核知识点：列方程组解应用题.解题关键点：找出相等关系，列出方程.
8．如图，已知△ABC ，按以下步骤作图：①分别以 B ，C 为圆心，以大于12
BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M ，N ；②作直线 MN 交 AB 于点 D ，连接 CD ．若 CD=AC ，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（ ）
A ．90°
B ．95°
C ．105°
D ．110°
【答案】C 【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°，根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°，根据题目中作图步骤可知，MN 垂直平分线段BC ，根据线段垂直平分线定理可知BD=CD ，根据等边对等角得到
∠B=∠BCD，根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA，进而求得∠BCD=25°，根据图形可知
∠ACB=∠ACD+∠BCD，即可解决问题.
【详解】∵CD=AC，∠A=50°
∴∠CDA=∠A=50°
∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°
∴∠DCA=80°
根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC
∴BD=CD
∴∠B=∠BCD
∵∠B+∠BCD=∠CDA
∴2∠BCD=50°
∴∠BCD=25°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°
故选C
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键.
9．如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图(两图都不完整),下列结论错误的是( )
A．该班总人数为50 B．步行人数为30
C．乘车人数是骑车人数的2.5倍D．骑车人数占20%
【答案】B
【解析】根据乘车人数是25人，而乘车人数所占的比例是50%，即可求得总人数，然后根据百分比的含义即可求得步行的人数，以及骑车人数所占的比例．
【详解】A、总人数是：25÷50%=50（人），故A正确；
B、步行的人数是：50×30%=15（人），故B错误；
C、乘车人数是骑车人数倍数是：50%÷20%=2.5，故C正确；
D、骑车人数所占的比例是：1-50%-30%=20%，故D正确．
由于该题选择错误的，
【点睛】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
10．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（）
A．120180
6
x x
=
+
B．
120180
6
x x
=
-
C．
120180
6
x x
=
+
D．
120180
6
x x
=
-
【答案】C
【解析】解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，
可列方程得120180
6
x x
=
+
，
故选C．
【点睛】
本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．
【答案】36°
【解析】由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B=108°，AB=CB，
∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°；
故答案为36°．
12．为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，所列方程组正确的是（）
A．
78
3230
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
78
2330
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
C．
30
2378
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
D．
30
3278
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
【答案】A
【解析】该班男生有x人，女生有y人．根据题意得：
30 3278 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．
13．若a 、b 为实数，且b ＝7
a ++4，则a+
b ＝_____． 【答案】5或1
【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】由被开方数是非负数，得
221010
a a ⎧-≥⎨-≥⎩， 解得a ＝1，或a ＝﹣1，
b ＝4，
当a ＝1时，a+b ＝1+4＝5，
当a ＝﹣1时，a+b ＝﹣1+4＝1，
故答案为5或1．
【点睛】
本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．已知反比例函数21k y x +=
的图像经过点(2,1)-，那么k 的值是__． 【答案】32
k =- 【解析】将点的坐标代入，可以得到-1=
212k +，然后解方程，便可以得到k 的值． 【详解】∵反比例函数y ＝21k x
+的图象经过点（2，-1）， ∴-1=
212
k + ∴k ＝− 32； 故答案为k ＝−3 2
．
【点睛】
本题主要考查函数图像上的点满足其解析式，可以结合代入法进行解答
15．64的立方根是_______．
【答案】4.
【解析】根据立方根的定义即可求解.
【详解】∵43=64，
∴64的立方根是4
【点睛】
此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义.
16．从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是．
【答案】．
【解析】试题分析：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n）在函数图象上的概率是：=．故答案为．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．
17．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为_____．
【答案】2:1
【解析】先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O的半径为R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．
【详解】设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，
过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，
∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴O为正方形ABCD的中心，
∴∠BOC=90°，
∵OQ⊥BC，OB=CO，
∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，
∴OQ=OC×cos45°=2
R；
2
设⊙O的内接正△EFG，如图，
过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，∵正△EFG是⊙O的外接圆，
∴∠OGF=1
2
∠EGF=30°，
∴OH=OG×sin30°=1
2
R，
∴OQ：OH=（2
2R）：（
1
2
R）2：1，
2：1．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
18．若2a﹣b=5，a﹣2b=4，则a﹣b的值为________.
【答案】1．
【解析】试题分析：把这两个方程相加可得1a-1b=9，两边同时除以1可得a-b=1．
考点：整体思想．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162﹣3x．请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式．商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
【答案】（1）y=﹣3x2+252x﹣1（2≤x≤54）；（2）商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
【解析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．
（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．
【详解】（1）由题意得：每件商品的销售利润为（x﹣2）元，那么m件的销售利润为y=m（x﹣2）．
又∵m=162﹣3x，∴y=（x﹣2）（162﹣3x），即y=﹣3x2+252x﹣1．
∵x﹣2≥0，∴x≥2．
又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54，∴2≤x≤54，∴所求关系式为y=﹣3x2+252x﹣1（2≤x≤54）．
（2）由（1）得y=﹣3x2+252x﹣1=﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．
∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．
20．数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.
第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒······一只到第64格.”“你真
傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求1236312222++++⋅⋅⋅+是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设1236312222S =++++⋅⋅⋅+,
则()123632212222S =++++⋅⋅⋅+ 2346364222222=++++⋅⋅⋅++
()()2363236322122212222S S ∴-=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+
即：6421S =-
事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的64个格子需要()12363641222221+++⋅⋅⋅+=-粒米.那么6421-到底多大呢?借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个20位数:18446744 0737********，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
()1我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有多少盏灯?
()2计算: 13927...3.n +++++
()3某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知一列数：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,⋅⋅⋅，其中第一项是02，接下来的两项是01
2,2，再接下来的三项是0122,2,2,⋅⋅⋅，以此类推，求满足如下条件的所有正整数:10100N N <<，且这一数列前N 项和为2的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数N 的值. 【答案】（1）3；（2）1312
n +-；（3）1218,95N N ==
【解析】()1设塔的顶层共有x 盏灯，根据题意列出方程，进行解答即可. ()2参照题目中的解题方法进行计算即可.
()3由题意求得数列的每一项，及前n 项和S n =2n+1-2-n ，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将-2-n 消去即可，分别分别即可求得N 的值
【详解】()1设塔的顶层共有x 盏灯，由题意得
01234562222222381x x x x x x x ++++++=.
解得3x =，
∴顶层共有3盏灯.
()2设13927...3n S =+++++,
133927...,33n n S +=+++++
()()133927...3313927...3n n n S S +∴-=++++-++++++, 即：1231,n S +=-
1312
n S +-=. 即13113927...3.2n n
+-+++++= ()3由题意可知：20第一项,20,21第二项,20,21,22第三项,…20,21,22…,2n−1第n 项，
根据等比数列前n 项和公式,求得每项和分别为：12321,21,21,,21n ---⋯-，
每项含有的项数为：1，2，3，…，n ， 总共的项数为1(1)232
n n N n +=+++⋯+=， 所有项数的和为123:21212121,n n S -+-+-+⋯+-
()1232222,n n =+++⋯+-
()
221,21n n -=--
122n n +=--，
由题意可知：12n +为2的整数幂，只需将−2−n 消去即可，
则①1+2+(−2−n)=0,解得：n=1,总共有()111232+⨯+=，不满足N>10，
②1+2+4+(−2−n)=0,解得：n=5,总共有()1553182
+⨯+=， 满足:10100N <<， ③1+2+4+8+(−2−n)=0,解得：n=13,总共有()113134952
+⨯+=， 满足:10100N <<， ④1+2+4+8+16+(−2−n)=0,解得：n=29,总共有
()1292954402
+⨯+=， 不满足100N <， ∴1218,95N N ==
【点睛】 考查归纳推理，读懂题目中等比数列的求和方法是解题的关键.
21．在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t 表示，单位：小时)，采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0t 2≤<，2t 3≤<，3t 4≤<，t 4≥分为四个等级，并依次用A ，B ，C ，D 表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
1（）求本次调查的学生人数；
2（）
求扇形统计图中等级B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整； 3（）
若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3t 4≤<的人数． 【答案】()1本次调查的学生人数为200人；()2B 所在扇形的圆心角为54，补全条形图见解析；()3全校每周课外阅读时间满足3t 4≤<的约有360人．
【解析】()1根据等级A 的人数及所占百分比即可得出调查学生人数；
()2先计算出C 在扇形图中的百分比，用()1[A D C -++在扇形图中的百分比]可计算出B 在扇形图中的百分比，再计算出B 在扇形的圆心角；
()3总人数⨯课外阅读时间满足3t 4≤<的百分比即得所求．
【详解】()1由条形图知，A 级的人数为20人，
由扇形图知：A 级人数占总调查人数的10%，
所以：1002010%20200(10
÷=⨯=人)， 即本次调查的学生人数为200人；
()2由条形图知：C 级的人数为60人，
所以C 级所占的百分比为：60100%30%200
⨯=， B 级所占的百分比为：110%30%45%15%---=，
B 级的人数为20015%30(⨯=人)，
D 级的人数为：20045%90(⨯=人)，
B 所在扇形的圆心角为：36015%54⨯=，
补全条形图如图所示：
；
()3因为C 级所占的百分比为30%，
所以全校每周课外阅读时间满足3t 4≤<的人数为：120030%360(⨯=人)，
答：全校每周课外阅读时间满足3t 4≤<的约有360人．
【点睛】本题考查了扇形图和条形图的相关知识，从统计图中找到必要的信息进行解题是关键.扇形图中某项的百分比100%=
⨯该项人数总人数
，扇形图中某项圆心角的度数360=⨯该项在扇形图中的百分比．
22．如图，已知抛物线的顶点为A （1，4)，抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C 、D 两点.点P 是x 轴上的一个动点． 求此抛物线的解析式；求C 、D 两点坐标及△BCD 的面积；若点P 在x 轴上
方的抛物线上，满足S △PCD =12
S △BCD ，求点P 的坐标.
【答案】 (1)y=﹣（x ﹣1）2+4；(2)C （﹣1，0），D （3，0）；6；(3)P （1+
2，32），或P （1﹣2，32） 【解析】（1）设抛物线顶点式解析式y=a （x-1）2+4，然后把点B 的坐标代入求出a 的值，即可得解； （2）令y=0，解方程得出点C ，D 坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；
（3）先根据面积关系求出点P 的坐标，求出点P 的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P 的坐标．
【详解】解：(1)、∵抛物线的顶点为A （1，4），
∴设抛物线的解析式y=a （x ﹣1）2+4，
把点B （0，3）代入得，a+4=3，
解得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣1）2+4；
(2)由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣1）2+4；
令y=0，则0=﹣（x ﹣1）2+4，
∴x=﹣1或x=3， ∴C （﹣1，0），D （3，0）；
∴CD=4，
∴S △BCD =
12CD×|y B |=12
×4×3=6； (3)由(2)知，S △BCD =12CD×|y B |=12
×4×3=6；CD=4， ∵S △PCD =12
S △BCD ， ∴S △PCD =12CD×|y P |=12
×4×|y P |=3， ∴|y P |= 32， ∵点P 在x 轴上方的抛物线上，
∴y P ＞0，
∴y P = 32
， ∵抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣1）2+4； ∴32
=﹣（x ﹣1）2+4，
∴x=1±
2，
∴P （1+
， 32），或P （132）． 【点睛】 本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
23．一辆汽车，新车购买价30万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第
二、三年的年折旧率相同.已知在第三年年末，这辆车折旧后价值为17.34万元，求这辆车第二、三年的年折旧率.
【答案】这辆车第二、三年的年折旧率为15%.
【解析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x ，则第二年这就后的价格为30（1-20%）（1-x ）元，第三年折旧后的而价格为30（1-20%）（1-x ）2元，与第三年折旧后的价格为17.34万元建立方程求出其解即可．
【详解】设这辆车第二、三年的年折旧率为x ，依题意，得
()()2
30120%117.34x --=
整理得()210.7225x -=，
解得1 1.85x =，20.15x =.
因为折旧率不可能大于1，所以1 1.85x =不合题意，舍去.
所以0.1515%x ==
答：这辆车第二、三年的年折旧率为15%.
【点睛】
本题是一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键．
24．某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元 求甲、乙型号手机每部进价为多少元？ 该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案 售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m 元，而甲型号手机售价不变，要使(2)中所有方案获利相同，求m 的值
【答案】 (1) 甲种型号手机每部进价为1000元，乙种型号手机每部进价为800元；(2) 共有四种方案；(3) 当m ＝80时，w 始终等于8000，取值与a 无关
【解析】（1）设甲种型号手机每部进价为x 元，乙种型号手机每部进价为y 元根据题意列方程组求出x 、y 的值即可；（2）设购进甲种型号手机a 部，这购进乙种型号手机(20－a)部，根据题意列不等式组求出a 的取值范围，根据a 为整数求出a 的值即可明确方案（3）
利用利润=单个利润⨯数量，用a 表示出利润W ，当利润与a 无关时，（2）中的方案利润相同，求出m 值即可；
【详解】(1) 设甲种型号手机每部进价为x 元，乙种型号手机每部进价为y 元， 22800324600x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1000800
x y =⎧⎨=⎩，
(2) 设购进甲种型号手机a部，这购进乙种型号手机(20－a)部，
17400≤1000a＋800(20－a)≤18000，解得7≤a≤10，
∵a为自然数，
∴有a为7、8、9、10共四种方案，
(3) 甲种型号手机每部利润为1000×40%＝400，
w＝400a＋(1280－800－m)(20－a)＝(m－80)a＋9600－20m，
当m＝80时，w始终等于8000，取值与a无关.
【点睛】
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，根据题意找出等量关系列出方程是解题关键.
25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．求该抛物线的表达式；点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝x2+6x+5；(2)①S△PBC的最大值为27
8
；②存在，点P的坐标为P(﹣
3
2
，﹣
7
4
)或(0，5)．
【解析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求出二次函数解析式；
(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+1，设点G(t，t+1)，则点P(t，t2+6t+5)，利用三角形面积公式求出最大值即可；
②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，求出线段BC的中点坐标为(﹣5
2
，﹣
3
2
)，过该
点与BC垂直的直线的k值为﹣1，求出直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，、联立③④并解得：x＝﹣2，即点H(﹣2，﹣2)，同理可得直线BH的表达式为：
y＝1
2
x﹣1…⑤，联立⑤和y＝x2+6x+5并解得：x＝﹣
3
2
，即可求出P点；当点P(P′)在直线BC上方时，
根据∠PBC＝∠BCD求出BP′∥CD，求出直线BP′的表达式为：y＝2x+5，联立y＝x2+6x+5和y＝2x+5，求出x，即可求出P.
【详解】解：(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得：
25550 16453
a b
a b
-+=
⎧
⎨
-+=-
⎩
，
解得：
1
6 a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，
令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，
即点C(﹣1，0)；
(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝x+1…②，
设点G(t，t+1)，则点P(t，t2+6t+5)，
S△PBC＝1
2
PG(x C﹣x B)＝
3
2
(t+1﹣t2﹣6t﹣5)＝﹣
3
2
t2﹣
15
2
t﹣6，
∵-3
2
＜0，
∴S△PBC有最大值，当t＝﹣5
2时，其最大值为
27
8
；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为(﹣5
2
，﹣
3
2
)，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点(﹣5
2
，﹣
3
2
)代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，
联立③④并解得：x＝﹣2，即点H(﹣2，﹣2)，
同理可得直线BH的表达式为：y＝1
2
x﹣1…⑤，
联立①⑤并解得：x＝﹣3
2
或﹣4(舍去﹣4)，
故点P(﹣3
2
，﹣
7
4
)；
当点P(P′)在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4(舍去﹣4)，
故点P(0，5)；
故点P的坐标为P(﹣3
2
，﹣
7
4
)或(0，5)．
【点睛】
本题考查的是二次函数，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.
26．某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
【答案】（1）2400个，10天；（2）1人．
【解析】（1）设原计划每天生产零件x个，根据相等关系“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产
（24000+300）个零件所用的时间”可列方程2400024000300
30
x x
+
=
+
，解出x即为原计划每天生产的零件个
数，再代入24000
x
即可求得规定天数；（2）设原计划安排的工人人数为y人，根据“（5组机器人生产流
水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零件个数）×（规定天数-2）=零件总数24000个”可列方程
[5×20×（1+20%）×2400
y
+2400] ×（10-2）=24000，解得y的值即为原计划安排的工人人数．
【详解】解：（1）解：设原计划每天生产零件x 个，由题意得，
240002400030030
x x +=+， 解得x=2400，
经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷2400=10（天）．
答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天．
（2）设原计划安排的工人人数为y 人，由题意得，
[5×20×（1+20%）×
2400y
+2400] ×（10-2）=24000, 解得，y=1．
经检验，y=1是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为1人．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，找准等量关系是本题的解题关键，注意分式方程结果要检验．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．若函数2m y x +=
的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣2
B ．m ＜﹣2
C ．m ＞2
D ．m ＜2 【答案】B
【解析】根据反比例函数的性质，可得m+1＜0，从而得出m 的取值范围．
【详解】∵函数2m y x +=
的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大， ∴m+1＜0，
解得m ＜-1．
故选B ．
2．若0＜m ＜2，则关于x 的一元二次方程﹣（x+m ）（x+3m ）＝3mx+37根的情况是（ ） A ．无实数根
B ．有两个正根
C ．有两个根，且都大于﹣3m
D ．有两个根，其中一根大于﹣m
【答案】A
【解析】先整理为一般形式，用含m 的式子表示出根的判别式△，再结合已知条件判断△的取值范围即可.
【详解】方程整理为22x 7mx 3m 370+++=，
△()()22249m 43m 3737m 4=-+=-，
∵0m 2<<，
∴2m 40-<，
∴△0<，
∴方程没有实数根，
故选A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是( )。