内蒙古高二高中数学期末考试带答案解析

内蒙古高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知两个非零实数满足
，下列选项中一定成立的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2.抛物线的准线方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.不等式的解集为（ ）
A ．
B ．
C ．或
D ．
4.在等差数列中，已知
，则该数列前11项和
等于（ ）
A ．58
B ．88
C ．143
D ．176
5.已知命题则
是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6.等比数列中，
，前项之和
，则公比的值为（ ）
A ．
B ．
C ．或
D ．或
7.在中，分别是角的对边，且满足
，那么的形状一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰或直角三角形
D ．等腰直角三角形
8.△ABC 的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹为( ) A ．(y≠0) B ．(y≠0) C ．
(y≠0)
D ．
(y≠0)
9.曲线在点P 处的切线的斜率为4，则P 点的坐标为（ ）
A ．
B ．或
C ．
D ．或
10.设F 1、F 2是双曲线的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90°，则△PF 1F 2的面积是( ) A ．1
B ．
C ．2
D ．
11.函数在区间和内分别为（）
A．增函数，增函数B．增函数，减函数
C．减函数，增函数D．减函数，减函数
12.如图，定点，都在平面内，定点，，是内异于和的动点，且．那么，动点C在平面内的轨迹是（）
A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点
C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点
二、填空题
1.已知物体运动的方程为，则在时的瞬时速度是．
2.若变量满足约束条件，则的最大值是 ____________
3.已知是等比数列，，则____________.
4.在中，若，则的面积的最大值为___________.
三、解答题
1.（本题满分10分）
在中，内角对边分别为，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的值.
2.（本题满分12分）
已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程;
（Ⅱ）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度.
3.（本题满分12分）
已知是等比数列{}的前项和，、、成等差数列.
(Ⅰ)求数列{}的公比；
(Ⅱ)求证、、成等差数列.
4.（本题满分12分）
“坐标法”是以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究图形的几何性质的方法，它是解析几何中是基本的研究方法. 请用坐标法证明下面问题：
已知圆O的方程是，点，P、Q是圆O上异于A的两点.证明：弦PQ是圆O直径的充分必要条件是.
5.（本题满分12分）
投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n年的纯利润总和（前年总收入前年的总支出投资额72万元）
（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？
（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.
6.（本题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在定义域上没有零点，求实数的取值范围.
内蒙古高二高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.已知两个非零实数满足，下列选项中一定成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取特殊值,可知A,C,D选项不成立.因为在上单调递增,且,所以.故选B.【考点】1不等式;2指数函数的单调性.
2.抛物线的准线方程是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由抛物线方程可知,准线方程为.故选D.
【考点】抛物线的简单几何性质.
3.不等式的解集为（）
A．B．C．或D．
【答案】A
【解析】,所以不等式的解集为.故选A.
【考点】一元二次不等式.
4.在等差数列中，已知，则该数列前11项和等于（）
A．58B．88C．143D．176
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可得,所以.故选B.
【考点】1等差数列的性质;2等差数列的前项和.
5.已知命题则是（）
A．B．
C．D．
【解析】全程命题的否定为特称命题,所以为:.故选C.
【考点】全程命题的否定.
6.等比数列中，，前项之和，则公比的值为（ ）
A ．
B ．
C ．或
D ．或
【答案】D 【解析】当
时,
,成立;当
时,
.综上可得
或
.
故选D.
【考点】等比数列的通项公式,前项和公式. 7.在中，分别是角的对边，且满足，那么的形状一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰或直角三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由正弦定理可得,
.
,
,或
.
或
.即
或
.故选C.
【考点】1正弦定理;2正弦的二倍角公式.
8.△ABC 的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹为( ) A ．(y≠0) B ．(y≠0) C ．
(y≠0)
D ．
(y≠0)
【答案】A
【解析】由题意可知
,可得
.由椭圆的定义可知点的轨迹是以
为焦点的椭圆但去掉长轴两个端点.此时
,所以
.所以点
的轨迹
方程为
.故选A.
【考点】1椭圆的定义;2定义法求轨迹方程.
9.曲线在点P 处的切线的斜率为4，则P 点的坐标为（ ） A ． B ．或 C ．
D ．或
【答案】B 【解析】设
,
, .由导数的几何意义可得
.
,
或.故选B.
【考点】导数的几何意义.
10.设F 1、F 2是双曲线的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90°，则△PF 1F 2的面积是( ) A ．1
B ．
C ．2
D ．
【解析】由双曲线的定义可得,两边平方可得，因为，所以,则,
所以.故选A.
【考点】双曲线的定义.
11.函数在区间和内分别为（）
A．增函数，增函数B．增函数，减函数
C．减函数，增函数D．减函数，减函数
【答案】C
【解析】,当时;当时.所以函数在上单调递增;在上单调递减.故选C.
【考点】用导数研究函数的性质.
12.如图，定点，都在平面内，定点，，是内异于和的动点，且．那么，
动点C在平面内的轨迹是（）
A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点
C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点
【答案】B
【解析】.,面.
面, .所以点的轨迹是以为直径的圆去掉两点.故选B.
【考点】1线面垂直,线线垂直;2圆的定义.
二、填空题
1.已知物体运动的方程为，则在时的瞬时速度是．
【答案】
【解析】,.则在时的瞬时速度是.
【考点】导数的意义.
2.若变量满足约束条件，则的最大值是 ____________
【答案】
【解析】作出可行域如图，
令变形可得.作出目标函数线,平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点时,纵截距最大此时也最大. .所以.即.
【考点】线性规划.
3.已知是等比数列，，则____________.
【答案】
【解析】设公比为...
..
【考点】1等比数列的通项公式;2等比数列的前项和公式.
4.在中，若，则的面积的最大值为___________.
【答案】
【解析】.
.
,当且仅当时取.
.
【考点】1余弦定理;2同角三角函数关系式;3基本不等式.
三、解答题
1.（本题满分10分）
在中，内角对边分别为，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的值.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由正弦定理将变形,可得.即可得角.（Ⅱ）由正弦定理将
变形为.再由余弦定理可得的关系式.解方程组可得的值.
试题解析：解：（Ⅰ）因为，由正弦定理
得：，
因为，所以 5分
（Ⅱ）因为，由正弦定理知①
由余弦定理得②
由①②得。

10分
【考点】1正弦定理;2余弦定理.
2.（本题满分12分）
已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程;
（Ⅱ）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根据题意可得,根据可得.从而可得椭圆方程.（Ⅱ）由已知可得直线
方程.将直线方程与椭圆方程联立,消去可得关于的一元二次方程.由韦达定理可得两根之和,两根之积.由两点间距离可得.
试题解析：解：（Ⅰ）由，长轴长为6
得：所以
∴椭圆方程为 5分
（Ⅱ）直线AB的方程为 6分
代入得
设,∴ 10分
又
12分
【考点】1椭圆方程;2直线与椭圆的位置关系.
3.（本题满分12分）
已知是等比数列{}的前项和，、、成等差数列.
(Ⅰ)求数列{}的公比；
(Ⅱ)求证、、成等差数列.
【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)详见解析.
【解析】(Ⅰ)由等差中项可得.讨论公比是否为1,根据前项和公式可得关于的方程.则可求得. (Ⅱ)根据等比数列通项公式证即可.
试题解析：解: （Ⅰ）由成等差数列得 2分
这里，事实上若,则,故,得
,与题设矛盾.所以 3分
从而，
整理得 6分
.因为,所以 8分
（Ⅱ）
∴成等差数列 12分
【考点】1等比数列的通项公式,等差中项;2等比数列的前项和公式.
4.（本题满分12分）
“坐标法”是以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究图形的几何性质的方法，它是解析几何中是基本的研究方法. 请用坐标法证明下面问题：
已知圆O的方程是，点，P、Q是圆O上异于A的两点.证明：弦PQ是圆O直径的充分必要条件是.
【答案】详见解析.
【解析】若,即.设直线AP的方程是.与圆方程联立消去可得关于的一元二次方程.从而可求得点坐标.同理可得点坐标.可得的坐标.根据坐标可得.从而可知三点共线,即是圆直径; 若弦是圆的直径,可设.根据向量数量积公式可得. 试题解析：证明: 充分性:若,即
设直线AP的方程是，
代入得 2分
因为，所以，从而得 4分
因为，所以直线AQ的方程
以代换点Q坐标中的，得 5分
显然,即弦是圆的直径 6分
（Ⅱ）必要性:若弦是圆的直径,设，
10分
因为,所以 12分
【考点】1充分必要条件;2向量数量积.
5.（本题满分12分）
投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n年的纯利润总和（前年总收入前年的总支出投资额72万元）
（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？
（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.
【答案】（Ⅰ）从第3年开始盈利;（Ⅱ）第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元.
【解析】（Ⅰ）根据题意可得，整理可得关于的二次函数.解即可.（Ⅱ）年平均利润为,可用基本不等式求最值.
试题解析：解(Ⅰ)依题意前年总收入前年的总支出投资额72万元,可得
3分
由得,解得 5分
由于,所以从第3年开始盈利. 6分
(Ⅱ)年平均利润 8分
当且仅当,即时等号成立 10分
即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元 12分
【考点】1二次函数;2基本不等式.
6.（本题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在定义域上没有零点，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）极小值1,无极大值;（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）求导,令导数大于0得增区间,令导数小于0得减区间.根据单调性可求得极值.（Ⅱ）求导,令导数大于0得增区间,令导数小于0得减区间.根据单调性可求得其最小值. 函数在定义域上没有零点只需其最小值大于0.
试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为. 1分
当时，. 2分
，；，，
所以当时，是减函数；时，是增函数
4分
（Ⅱ）
令，解得或（舍）. 5分
当在内变化时，的变化情况如下：
由上表知的单调递增区间为，单调递减区间为. 8分
要使在上没有零点，只或，
又，只须. 10分
，解得
所以. 12分
【考点】用导数研究函数的性质.。