(最新实用)2020年高考理科数学之高频考点解密04 函数的应用(解析版)

解密04 函数的应用
考点1 函数的零点
题组一 函数零点（方程的根）所在区间的判断
调研1 设x 0是方程101−x =lg x 的解,且x 0∈(k,k +1)(k ∈Z
),
则
k =__________. 【答案】99
【解析】令f (x )=101−x −lg x ,则函数f (x )在定义域(0,+∞)上单调递减,则f(100)=101−100−lg100=−1<0,f(99)=101−99−lg99=2−lg99>0,因为f(99)∙f(100)<0,所以函数f (x )的零点在(99,100)内,即k =99.
☆技巧点拨☆
确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值
是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与x 轴的交点来确定.
题组二 函数零点个数的判断
调研2 函数()1
11
2x f x x
-⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
的零点个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．3个
【答案】C
【解析】函数()1
112x f x x -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭的零点个数也就是方程1
11
2x x
-⎛⎫=
⎪⎝⎭
的解的个数. 当0x <时，1
102x -⎛⎫
> ⎪
⎝⎭
，而10x <不可能有交点.而x 不能为0，当0x >时，对1
11
2x x
-⎛⎫=
⎪⎝⎭
取倒数，
12x x -=也就是求函数1
2x y y x -==与图象的交点个数.当1x =和2x =时，两个函数相等，结合两个函数图象（如
下图），可知只能有2个交点.故原函数有2个零点，故选C.
☆技巧点拨☆
函数零点个数的判断方法
（1）解方程法：令f (x )=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中
交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
题组三 函数零点的应用问题 调研3 函数()e
x
x f x =，关于x 的方程()()()2
110f
x m f x m -++-=有4个不相等实根，则实数m 的
取值范围是
A ．22
e e
(,1)e e
-+
B ．22
e e +1
(,)e e
-+∞+ C ．22
e e 1
(,1)e e
-++
D ．22
e e
(,)e e
-+∞+ 【答案】C
【解析】根据题意画出函数()f x 的图象，如图.
令()t f x =，原问题等价于关于t 的方程()2
110t m t m -++-=有两个根12,t t ，每个t 值对应两个x 值，
故有两种情况：
1201(0,)e t t =⎧⎪
⎨∈⎪⎩①；121e 1(0,)e t t ⎧
>⎪⎪⎨
⎪∈⎪⎩
②. 当属于情况①时，将0t =代入()2
110t m t m -++-=得到1m =，
此时方程()2
110t m t m -++-=的根是确定的，一个为0，一个为2，不符合题意；
当属于情况②时，22211
10e e 1, 1.e e
e e 10
m m m m +⎧-
+-<-+⎪⇒<<⎨+⎪->⎩ 【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
☆技巧点拨☆
高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略． 1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围
根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题． 3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系
要比较f (a )与f (b )的大小，通常先比较f (a )、f (b )与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：
①求出零点，直接比较大小； ②确定零点所在区间；
③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.
考点2 函数模型及其应用
题组一 二次函数模型的应用
调研1 如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.
（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
；（2）6l x =时，2max 12l y =.
【解析】（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-， ∴场地面积()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
.
（2）()2
22
333612l l y x l x x lx x ⎛
⎫=-=-+=--+ ⎪⎝
⎭，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
∴当且仅当6
l
x =时，2max 12l y =.
综上，当场地垂直于墙的边长x 为6
l
时，最大面积为212l .
题组二 指数函数、对数函数模型的应用
调研 2 在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是T 0,经过一定时间t 后,温度T 将满足T −T a =(1
2)t ℎ
(T 0−T a ),其中T a 是环境温度,ℎ称为半衰期.现有一杯用195F 热水冲的速溶咖啡,放在75F 的房间内,如果咖啡降到105F 需要20分钟,问降温到95F 需要多少分钟?(F 为华氏温度单位,答案精确到0.1，参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771）
【解析】依题意,可令T 0=195,T =105,T a =75,t =20，代入式子得:105−75=(195−75)(12
)20
ℎ,解得ℎ=10,
又把T =95代入式子得95−75=(195−75)(1
2)t 10
,则(1
2)t 10
=1
6
,
∴t =10log 12
1
6=10log 26=10(log 23+1) =10(lg3
lg2
+1)=0.477110125.90.3010⎛⎫
+≈
⎪⎝⎭
.
故降温到95F 约需要25.9分钟.
调研3 声强级L (单位:dB )由公式L =10lg
I 10−12
给出,其中I 为声强(单位:W m 2⁄).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W /m 2,能听到的最低声强为10−12W /m 2,求人听觉的声强级范围; (2)在一演唱会中,某女高音的声强级高出某男低音的声强级20dB ,请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍?
【解析】(1)由题知:10−12≤I ≤1,∴1≤I
10−12≤1012
,
∴0≤lg I
10−12≤12,0≤L ≤120, ∴人听觉的声强级范围是[0,120]. (2)设该女高音的声强级为L 1,声强为I 1, 该男低音的声强级为L 2,声强为I 2, 由题知:L 1−L 2=20,则10lg I 110
−12
−10lg I 210
−12=20,∴lg I
1
I
2
=2, ∴I 1=100I 2.
故该女高音的声强是该男低音声强的100倍. 题组三 分段函数模型的应用
调研4 某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：2019年9月份第x （130x ≤≤，x *
∈N ）
天的单件销售价格（单位：元20,115
()50,1530x x f x x x +≤<⎧=⎨-≤≤⎩
,第x 天的销售量（单位：件）
()(g x m x m =-为常数），且第20天该商品的销售收入为600元（销售收入=销售价格⨯销售量）. （1）求m 的值；
（2）该月第几天的销售收入最高？最高为多少？
【答案】（1）40m =；（2）当第10天时，该商品销售收入最高为900元．
【解析】（1）销售价格20,115,
()50,1530,x x f x x x +<⎧=⎨-⎩
„剟第x 天的销售量（单位：件）()(g x m x m =-为常数），
当20x =时，由(20)(20)(5020)(20)600f g m =--=， 解得40m =．
（2）当115x <„时，(20)(40)y x x =+-
2220800(10)900x x x =-++=--+，
故当10x =时，max 900y =，
当1530x 剟
时，22(50)(40)902000(45)25y x x x x x =--=-+=--，
故当15x =时，max 875y =，
因为875900<，故当第10天时，该商品销售收入最高为900元．
☆技巧点拨☆
解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：
（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.
1．（内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题）已知函数
()()222,01,0
x x a x a x f x a x ⎧+-+>=⎨-≤⎩（0a >，且1a ≠）在R 上单调递增，且关于x 的方程()22
f x x =+恰有两个不等的实数解，则a 的取值范围是 A ．()1,2 B ．(]
1,2 C ．(]
{}1,23U D ．(){}1,23U
【答案】A
【解析】由1x
y a =-在(],0-∞上单调递增，得1a >，
又由()f x 在R 上单调递增，则()2022002202
a a a ⎧+-⨯+≥⎪
⎨-<⎪
⎩，解得1a >，
如图所示，在同一坐标系中作出函数()f x 和22y x =+的图象，
当2a <时，由图象可知，(],0-∞上，()22f x x =+有且仅有一个解，在()0,+∞上()22f x x =+同样有且仅有一个解.
当2a ≥时，直线22y x =+与(),0y f x x =>相切时有一个交点，
由()2
2222x a x a x +-+=+（其中0x >），
得：()2
2420x a x a +-+-=，
则()()2
22442420240a a a a ∆=---=-+=， 解得2a =或3a =，
此时切点横坐标分别为0,1x x ==-与0x >矛盾， 故2a =或3a =不符合题意, 综上所述，()1,2a ∈.
【名师点睛】本题主要考查了函数方程与函数的零点，分类讨论思想，数形结合的思想，属于难题.
2．（上海市大同中学2019—2020学年高三上学期10月学情调研数学试题）设函数120
()(1)0x x f x f x x -⎧≤=⎨
->⎩
，方程()f x x a =+有且只有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围为 A ．[3,4) B ．[2,4)
C ．(1,4)
D ．(,4)-∞
【答案】A
【解析】因为方程()f x x a =+有且只有两个不相等实数根,所以函数()y f x =与函数y x a =+的图象有且只有两个交点, 函数()y f x =的图象如下:
由图可知:34a ≤<. 故选A.
【名师点睛】本题考查了由方程实根的个数求参数取值范围,解题关键是转化为两个函数图象的交点个数问题解决,属于中档题.
3．（河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知函数()(]
201lg (1,)x x x f x x x ⎧-+∈⎨∈+∞⎩，，，＝，，
若
()f x a =有三个不等实数根123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是
A ．（2，＋∞）
B ．[2，＋∞）
C ．（2
，1+ D ．[2
，1+
【答案】C
【解析】()(]
201lg (1,)x x x f x x x ⎧-+∈⎨
∈+∞⎩，，，＝，，
，()f x a =有三个不等实数根123,,x x x ，设123x x x <<， 画出函数图象得：
根据对称性知：121x x =+，2
()f x x x =-+的最大值为
14
.
取1
lg ,4
x x =
=
，则31x <<
综上所述：21312x x x ++<<， 故选C .
4．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020学年高三上学期一模数学试题）若1x 是方程e 4x x =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x +等于 A ．4 B ．2
C ．e
D ．1
【答案】A
【解析】由题意，1x 是方程e 4x x =的解，2x 是方程ln 4x x =的解， 即12,x x 是函数e x
y =和ln y x =与函数4
y x
=
的图象的公共点,A B 的横坐标， 而1212
44
(,
),(,)A x B x x x 两点关于直线y x =对称， 又由4y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩
，解得2x =，所以124x x +=，故选A ．
【名师点睛】本题主要考查了函数与方程的综合问题，其中解答中把方程的解转化为两函数与4
y x
=
的图象公共点的横坐标，再利用对称性求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
5．（内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题）已知函数
()23,145,1
x x f x x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，()()()ln g x x a a =+∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实
数a 的取值范围是______. 【答案】(
)3
4,e
【解析】由()()2
3,1
21,1
x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()f x 的简图如图所示：
若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则函数()y g x =图象所在的临界位置恰好在虚线所在的函数①②的位置.
（1）当函数()y g x =处于①的位置时，点()0,3在函数()y g x =的图象上，有()0ln 3g a ==，得3e a =； （2）当函数()y g x =处于②的位置时，此时函数()y g x =与直线3y x =+相切，设切点P 的坐标为
()00,x y ，有()000
00
1
13ln x a y x y x a ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得：00304x y a =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，由（1）（2）知实数a 的取值范围是()34,e . 故答案为(
)3
4,e
.
【名师点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查导数的应用，考查数形结合以及一元二次函数，对数函数的性质进行求解，注意临界位置的考查．
6．（上海市七宝中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题）定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，
2()lg(33)f x x x =-+，则()f x 在R 上的零点个数为________个.
【答案】5
【解析】当0x >时，令2()lg(33)0f x x x =-+=，即2lg(33)lg1x x -+=，解得121,2x x == 根据奇函数的对称性可得()()()()11220f f f f =--==--=，故341,2x x =-=-也是函数的零点，又
()y f x =的定义域为R ，所以()00f =，故50x =也是函数的零点，共5个零点.
故答案为：5.
7．（江苏省镇江市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知函数3,0
()1
,0
x x x f x x a x x ⎧+≤⎪
=⎨-->⎪⎩
有4
个不
同的零点，则实数a 的取值范围为_______． 【答案】()2,+∞
【解析】令1(),()3,(),()x
g x x h x m x x a n x x
=-==-=
， 当0x ≤时，(),()3x
g x x h x =-=恒有1个交点，即()f x 恒有1个零点.
如图所示，当0x >时，且()m x x a =-的左半支与1
()n x x
=
相切时，此时只有2个交点，且(2)0m =，解得2a = ，故当2a >时，两个函数才恒有3个交点，即函数()f x 有3个不同的零点. 综上所述，当2a >时，函数()f x 有4个不同的零点. 故答案为()2,+∞.
8．（2019年上海市南洋中学高三上学期10月学习能力诊断测数学试题）某企业参加A 项目生产的工人为
1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务
工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
万元（0a >）
，A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高0.2%x
（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？
（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1].
【解析】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作.
（1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，
即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工参加B 项目从事售后服务工作． （2）由题知，0400x <≤，
参与B 项目的售后服务工作员工创造的年总利润为310()500
x
a x -万元， 从事A 项目的员工的年总利润为1
10(1000)(1)500
x x -+万元， 则310(500
x
a -
)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+， 所以231
10002500500
x ax x x -≤+--2x ，
所以2
21000500
x ax x ≤++，
即210001500x a x
≤
++恒成立， 因为0400x <≤， 所以
210002400100011 5.1500500400
x x ⨯++≥++=， 所以 5.1a ≤，
又0a >，所以0 5.1a <≤， 即a 的取值范围为(0,5.1]．
【名师点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值． 9．（上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题）《上海市生活垃圾管理条例》于2019
年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本
y （元）与每月分类处理量x （吨）之间的函数关系式可近似表示为
220040000y x x =-+，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益.
（1）该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低； （2）要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？ 【答案】（1）200吨；（2）[100,300].
【解析】（1）由题意可知，每吨垃圾分类处理的平均成本为月处理成本除以月处理量， 即
(]40000200,0,300y x x x x
=+-∈，
又40000400x x +
≥= ，当且仅当40000x x =，即200x =时取等号， 故200x =时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；
（2）设该小区每月获利为S 元，则该小区每月获利为月分类处理垃圾的利润减去月处理成本，
22300300(20040000)50040000S x y x x x x x =-=--+=-+-，
令2500400000x x -+-≥，解得100400x ≤≤，又0300x <≤， 即100300x ≤≤，
故要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在[]100,300.
【名师点睛】本题考查了重要不等式的应用及二次不等式的解法，重点考查了阅读理解能力，属中档题.
1．（2019年高考浙江）已知,a b ∈R ，函数32
,0
()11(1),03
2x x f x x a x ax x <⎧⎪
=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0
【答案】C
【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b
1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；
当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =1
3
x 3−1
2
（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =1
3
x 3−1
2
（a +1）x 2﹣b ，
2(1)y x a x =+-'，
当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；
当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0
）上有一个零点，
在[0，+∞）上有2个零点， 如图：
∴b
1−a ＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2
−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−1
6（a +1）3， 则a >–1，b <0. 故选C ．
【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =1
3
x 3−1
2（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，
根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．
2．（2018年高考新课标I 卷理科）已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩，，
，，
()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞）
D ．[1，+∞）
【答案】C
【解析】画出函数()f x 的图象，e x
y =在y 轴右侧的图象去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，
可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点，此时满足
1a -≤，即1a ≥-，故选C ．
【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图象，再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.
3．（2017年高考新课标Ⅲ理科）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是
A ．()f x 的一个周期为2π-
B ．()y f x =的图象关于直线8π
3
x =
对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6
x =
D ．()f x 在(π
2
,π)单调递减
【答案】D
【解析】函数()f x 的最小正周期为2π
2π1
T =
=，
则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()π
π3
x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π
3
x =
对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即
()π
π6
x k k =+
∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.
故选D ．
【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2π
T ω
=
；奇偶性的判断关键是看解析式是否为sin y A x ω=或
cos y A x b ω=+的形式.
（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()π
π2
x k k ωϕ+=+∈Z ，求x 即可；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可. 4．（2017年高考新课标Ⅲ理科）已知函数2
1
1()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =
A ．12
- B ．
13
C ．
12
D ．1
【答案】C
【解析】函数()f x 的零点满足()
2112e e x x x x a --+-=-+， 设()1
1e
e
x x g x --+=+，则()()211
1
1
1
1
1e 1e
e
e
e e x x x x x x g x ---+----'=-=-
=，
当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.
设()2
2h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，
若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；
若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得1
2
a =
.故选C ．
【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.
5．（2019年高考江苏）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，
且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈
时，()f x =，(2),01
()1,122
k x x g x x +<≤⎧⎪
=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在
区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .
【答案】1
3⎡⎢⎣⎭
【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：
由图可知，
函数()f x =的图象与1
()(12,34,56,78)2
g x x x x x =-
<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，
要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，
则()(0,2]f x x =∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，
由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1
1=
，解得0)k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =
，∴134
k ≤<，
综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为134⎡⎢⎣⎭
，
.
【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x ，()g x 的图象，数形结合求解是解题的关键因素.
6．（2018年高考新课标Ⅲ卷理科）函数()πcos 36f x x ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
在[]0π，的零点个数为________． 【答案】3
【解析】0πx ≤≤Q ，ππ19π3666x ∴
≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362
x +=，解得
π4π,99x =
或7π9
，故有3个零点.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出π36
x +的范
围，再由函数值为零，得到π36
x +
的取值可得零点个数. 7．（2018年高考浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λ
λ-≥⎧⎨-+<⎩
，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是
___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4) (]
()1,34,+∞U 【解析】由题意得2
40x x ≥⎧⎨
-<⎩或22430
x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，故不等式
f (x )<0的解集是()1,4,
当4λ>时，()40f x x =->，此时()2
430,1,3f x x x x =-+==，即在(),λ-∞上有两个零点；当
4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由()243f x x x =-+在(),λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.
综上，λ的取值范围为(]
()1,34,+∞U .
【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
8．（2018年高考天津卷理科）已知0a >，函数()222,0,
22,0.
x ax a x f x x ax a x ⎧++≤⎪=⎨-+->⎪⎩若关于x 的方程()f x ax
=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________. 【答案】()48， 【解析】分类讨论：
当0x ≤时，方程()f x ax =即2
2x ax a ax ++=，整理可得：()2
1x a x =-+，很明显1x =-不是方
程的实数解，则2
1
x a x =-+；
当0x >时，方程()f x ax =即2
22x ax a ax -+-=，整理可得：()2
2x a x =-，很明显2x =不是方
程的实数解，则2
2
x a x =-.
令()22,01
,0
2
x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++--，则原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.
【名师点睛】本题的核心是考查函数的零点问题，由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图象，数形结合即可求得最终结果.函数零点的求解与判断方法包括：
(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.。