宁夏石嘴山市平罗中学2015-2016学年高一下学期期末数学试卷(理科) 含解析

2015-2016学年宁夏石嘴山市平罗中学高一（下)期末数学试卷（理
科）
一、选择题:（本大题共12小题；每小题5分）
1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是(）
A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱
2．设数列｛a n｝的前n项和S n=n2，则a4的值为（）
A．16 B．14 C．9 D．7
3．下列命题中，正确的是（）
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．经过一条直线和一点,有且只有一个平面
C．若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点
D．若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合
4．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）
A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若ac2＞bc2,则a＞b D．若a＞b，则
5．设x∈R，向量=（x，1）,=(1,﹣2），且⊥，则|+｜=（)
A．B． C．2D．10
6． +++…+等于（）
A．B．C．D．1
7．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为2的正三角形,则△ABC的面积为（）A． B．C． D．
8．已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列,且最大角的正弦值为,则这个三角
形的周长为(）
A．15 B．18 C．21 D．24
9．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）
A．B． C．D．
10．若=(2，3）,=（﹣4，7），则在方向上的投影为(）
A．B． C． D．
11．在△ABC中，若且，则△ABC的形状是（)
A．锐角三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
12．已知x＞1,x+≥m恒成立，则m的取值范围是()
A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3]C．［2,+∞) D．[3，+∞）
二、填空题（本大题共4小题；每小题5分，共20分）
13．不等式x2+3＜4x的解集为．
14．若2、a、b、c、9成等差数列,则c﹣a=．
15．设一个扇形的半径为3cm,圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的体积是cm3．
16．从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是: (1）矩形的4个顶点;
（2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；
（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；
（4)有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．
其中正确结论的个数为．
三、解答题：（本大题共6小题；共70分）。

17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1=2,求：
（1）求异面直线A1D与AC所成角的大小；
（2)求四面体A1﹣DCA的体积．
18．已知等差数列前三项为a，4，3a,前n项的和为S n
(1）求a；
（2）求++…+．
19．如图，半径为2的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积．（其中∠BAC=30°）
20．已知数列{a n}的前n项和S n=n,
（1）求通项公式a n的表达式；
（2)令b n=a n•2n﹣1，求数列{b n｝的前n项的和T n．
21．设函数f(x)=•，其中向量=(2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间；
(2）在△ABC中,a，b,c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，
求c的值．
22．设a、b、c成等比数列，非零实数x，y分别是a与b，b与c的等差中项．
（1）已知①a=1、b=2、c=4，试计算的值；
②a=﹣1、b=、c=﹣，试计算的值
(2）试推测与2的大小关系，并证明你的结论．
2015-2016学年宁夏石嘴山市平罗中学高一（下)期末数学
试卷（理科)
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分）
1．如图所示,观察四个几何体，其中判断正确的是(）
A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱
【考点】棱台的结构特征．
【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果．
【解答】解：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；
图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；
图③是棱锥．
图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．
故选C．
2．设数列{a n｝的前n项和S n=n2，则a4的值为（）
A．16 B．14 C．9 D．7
【考点】数列递推式．
【分析】利用递推关系：a4=S4﹣S3即可得出．
【解答】解：∵数列｛a n｝的前n项和S n=n2，
∴．
故选：D．
3．下列命题中，正确的是（）
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．经过一条直线和一点，有且只有一个平面
C．若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点
D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】利用平面的几个公理和定理分别判断．
【解答】解：根据共面的推理可知,经过两条相交直线,有且只有一个平面，所以A正确．
若点在直线上，则经过一条直线和一点,有无数多个平面，所以B错误．
两个平面相交,交线是直线，所以它们的公共点有无限多个，所以C错误．
若三个公共点在一条直线上时，此时两个平面有可能是相交的，所以D错误．
故选A．
4．对于任意实数a，b，c,d，下列命题中正确的是（）
A．若a＞b,c≠0，则ac＞bc B．若a＞b,则ac2＞bc2
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则
【考点】不等关系与不等式．
【分析】对于A、当c＜0时，不成立；对于B、当c=0时，不成立;D、当a＞0．b＜0时,不成立，从而得出正确选项．
【解答】解：A、当c＜0时，不成立；
B、当c=0时，不成立
C、∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴c2＞0
∴一定有a＞b．故C成立；
D、当a＞0．b＜0时，不成立；
故选C．
5．设x∈R，向量=(x，1），=(1，﹣2），且⊥，则|+｜=（）
A．B． C．2D．10
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．
【解答】解：因为x∈R,向量=（x，1)，=（1,﹣2）,且⊥，
所以x﹣2=0，所以=（2，1），
所以=(3，﹣1），
所以｜+｜=，
故选B．
6． +++…+等于（）
A．B．C．D．1
【考点】数列的求和．
【分析】由，利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：∵，
∴+++…+=+…+=1﹣=．
故选：C．
7．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为2的正三角形，则△ABC的面积为（）A． B．C． D．
【考点】平面图形的直观图．
【分析】由直观图和原图的面积的关系，先求出直观图△A′B′C′的面积，进一步可求出△ABC的面积．
【解答】解：由，
而△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为2的正三角形,
其面积为，
故△ABC的面积为，
故选C．
8．已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个
三角形的周长为（）
A．15 B．18 C．21 D．24
【考点】余弦定理．
【分析】根据三角形ABC三边构成公差为2的等差数列，设出三边为a，a+2，a+4,根据最大角的正弦值求出余弦值，利用余弦定理求出a的值，即可确定出三角形的周长．
【解答】解：根据题意设△ABC的三边长为a，a+2，a+4,且a+4所对的角为最大角α，
∵sinα=，∴cosα=或﹣,
当cosα=时，α=60°,不合题意,舍去;
当cosα=﹣时，α=120°，由余弦定理得:cosα=cos120°==﹣,
解得：a=3或a=﹣2(不合题意，舍去）,
则这个三角形周长为a+a+2+a+4=3a+6=9+6=15．
故选：A．
9．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是(）
A．B． C．D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形,我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，代入圆锥体积公式即可得到答案．
【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，
又∵正视图是腰长为2的等腰三角形
∴r=1，h=
∴
故选：D．
10．若=(2,3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为（）
A．B． C． D．
【考点】向量的投影．
【分析】先求得两向量的数量积，再求得向量的模，代入公式求解．
【解答】解析：在方向上的投影为===．
故选C
11．在△ABC中，若且，则△ABC的形状是（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】通过向量的运算律:分配律得到，据向量的运算法则得三角形的三边对应的向量和为0即，代入得向量的平方相等，据向量的平方等于向量模的平方得出三角形的三边相等．
【解答】解:因均为非零向量,
且，
得⇒,
又⇒，
∴［﹣（）］•（）=0⇒，得|｜=｜|,
同理||=｜|，
∴|｜=｜｜=｜｜，
得△ABC为正三角形．
故选项为D
12．已知x＞1，x+≥m恒成立,则m的取值范围是（）
A．（﹣∞，2］B．（﹣∞,3］ C．[2,+∞）D．[3，+∞）
【考点】基本不等式．
【分析】问题转化为m≤（x+)min即可,根据基本不等式的性质求出（x+）的最小
值即可．
【解答】解:若x＞1，x+≥m恒成立，
只需m≤（x+）min即可，
而x+=（x﹣1）++1≥2+1=3,此时x=2取等号,
故m≤3，
故选:B．
二、填空题（本大题共4小题；每小题5分，共20分)
13．不等式x2+3＜4x的解集为（1，3）．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】把不等式x2+3＜4x化为x2﹣4x+3＜0，求出解集即可．
【解答】解:不等式x2+3＜4x可化为
x2﹣4x+3＜0，
解得1＜x＜3;
∴不等式的解集为（1，3）．
故答案为：(1，3）．
14．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=．
【考点】等差数列的性质．
【分析】由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值,再由等差中项可得a,c的值，作差即可得答案．
【解答】解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，
又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=,
同理可得2c=9+=，解得c=，
故c﹣a=﹣==
故答案为：
15．设一个扇形的半径为3cm，圆心角为120°,用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积是cm3．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径,进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意,得
2πr=，
解得r=1cm．
故圆锥的高h==2cm，
∴圆锥的体积V==，
故答案为：1cm．．
16．从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点,这4个顶点可能是：（1）矩形的4个顶点；
（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；
（3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；
（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．
其中正确结论的个数为4．
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】根据棱柱的几何特征,逐一分析四个命题的真假，最后可得答案．
【解答】解:如图所示：
四边形ABCD为矩形,故（1）满足条件；
四面体D﹣A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故（2）满足条件；
四面体D﹣B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故（3）满足条件；
四面体C﹣B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故（4）满足条件；
故正确的结论有4个
故答案为：4
三、解答题:（本大题共6小题；共70分）。

17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1=2,求:
（1）求异面直线A1D与AC所成角的大小；
（2）求四面体A1﹣DCA的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．
【分析】(1）由已知中正方体ABCD﹣A1B1C1D1为棱长为2的正方体，结合正方体的几何特征，我们易得∠ACB1就是异面直线A1D与AC所成角,△ACB1中为等边三角形，即可得到异面直线A1D与AC所成角
(2)根据三棱锥的体积公式进行求解即可．
【解答】解：(1）如图，A1D∥B1C，
则∠ACB1就是异面直线A1D与AC所成角．
在△ACB1中，AC=AB1=B1C，
则∠ACB1=60°,
因此异面直线A1D与AC所成角为60°；
（2)四面体A1﹣DCA的体积V==．
18．已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为S n
（1）求a;
（2）求++…+．
【考点】数列的求和．
【分析】(1）根据等差数列的定义和条件，建立方程关系即可得到结论．
（2）求出的表达式，利用裂项法进行求和．
【解答】解:（1）设该等差数列为{a n｝，
则a1=a，a2=4,a3=3a，
由已知有a+3a=2×4，
解得a1=a=2，故a=2
（2）由,得S n=n（n+1)，
，
则
===
19．如图，半径为2的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积．（其中∠BAC=30°）
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】要求旋转后阴影部分的体积即是球的体积减去两个圆锥的体积，根据圆锥的体积公式和球的体积公式进行计算．
【解答】解：旋转后阴影部分的体积即是球的体积减去两个圆锥的体积,
因为﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣
所以﹣﹣﹣﹣﹣
20．已知数列｛a n}的前n项和S n=n，
(1）求通项公式a n的表达式;
（2)令b n=a n•2n﹣1，求数列{b n}的前n项的和T n．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式;等差数列的前n项和．
【分析】（1)因为给出了数列｛a n｝的前n项和S n=n，所以可用n≥2时,a n=S n﹣S n
﹣1来求数列{a n｝的通项公式，再判断n=1是否符合通项公式即可．
（2）把（1)中求出的数列{a n｝的通项公式代入b n=a n•2n﹣1，求出数列｛b n｝的通项公式,再利用错位相减法求数列｛b n｝的前n项和T n．
=n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=n，
【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n
﹣1
当n=1时，a1=S1=1也适合上式，
∴通项公式a n的表达式为a n=n，
（2）b n=a n•2n﹣1=n•2n﹣1，
∴T n=1•20+2×21+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1①
2T n=1•21+2•22+…+（n﹣1)•2n﹣1+n•2n②
②﹣①得到,T n=﹣（1•20+1•21+…+1•2n﹣1）+n•2n=(n﹣1）•2n+1
所以T n=（n﹣1)•2n+1．
21．设函数f（x)=•，其中向量=（2cosx，1）,=（cosx，sin2x），x∈R．
（1）求f(x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a,b，c分别是角A,B,C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为,求c的值．
【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）此类问题关键是化简f(x）得解析式，利用向量的数量积、利用降幂公式、两角和的正弦公式进行化简，结合y=sinx的图象解出单调区间；
（2）先利用f（A）=2解出角A的值，注意是在三角形ABC内解题，角A有限制条件,再利用三角形面积公式即可解出边C的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1)f（x)=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1,…2分
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z,…4分
解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
故f(x）的单调递增区间为［kπ﹣，kπ+］，（k∈Z），…6分
注：若没写k∈Z，扣一分
（2）由f（A）=2sin（2A+）+1=2，得sin（2A+）=,…7分
而A∈（0，π），所以2A+∈（，）,
所以2A+=,得A=，…10分
又S△ABC=bcsinA，所以c===2．…12分
22．设a、b、c成等比数列，非零实数x,y分别是a与b，b与c的等差中项．
(1）已知①a=1、b=2、c=4，试计算的值；
②a=﹣1、b=、c=﹣，试计算的值
（2）试推测与2的大小关系，并证明你的结论．
【考点】基本不等式;等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
【分析】（1)由等差数列和等比数列的中项的性质，可得b2=ac，x=，y=，代入a，b，c可得x，y，计算即可得到①②的值；
（2）推测=2．运用等差数列和等比数列的中项的性质，通分化简，运用因式分解，注
意运用ac=b2，即可得证．
【解答】解：(1)①a、b、c成等比数列，
非零实数x，y分别是a与b，b与c的等差中项．
可得b2=ac，x=,y=，
由a=1、b=2、c=4，
可得x=,y=3，
即有=+=2;
②由a=﹣1、b=、c=﹣，
可得x=，y=，
∴=3﹣1=2；
（2）由(1）推测=2．
证明：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac,
∵实数x，y分别是a与b，b与c的等差中项．
∴x=，y=
∴=
=
=．
2016年8月15日。