2021_2022学年高中数学第二章推理与证明章末综合检测(二)(含解析)新人教A版选修1_2

章末综合检测〔二〕
〔时间：120分钟，总分值：150分〕
一、选择题：此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1.根据偶函数定义可推得“函数f〔x〕＝x2在R上是偶函数〞的推理过程是〔〕
A.归纳推理
C.演绎推理
解析：选C.根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理.
2.余弦函数是偶函数，f〔x〕＝cos〔x＋1〕是余弦函数，因此f〔x〕＝cos〔x＋1〕是偶函数，以上推理〔〕
A.结论正确
B.大前提不正确
C.小前提不正确
D.全不正确
解析：选C.f〔x〕＝cos〔x＋1〕不是余弦函数，所以小前提错误.
3.如下图，黑、白两种颜色的正六边形地板砖按图中所示的规律拼成假设干个图案，那么第n个图案中白色地板砖的块数是〔〕
n＋2 n－2
n＋4 n＋3
解析：选A.由题图可知，当n＝1时，a1＝6；当n＝2时，a2＝10；当n＝3时，a3，第n 个图案中白色地板砖的块数是a n＝4n＋2.
4.设a，b，c，d都是非零实数，那么四个数：－ab，ac，bd，cd〔〕
A.都是正数
B.都是负数
C.两正两负
D.一正三负或一负三正
解析：选D.因为a，b，c，d都是非零实数，所以a，b，c，d中一定有2个符号一样或3个符号一样或4个符号一样，再根据同号为正，异号得负，可以判断：－ab，ac，bd，cd 一定是一正三负或一负三正.
5.假设a>0，b>0，那么有〔〕
A.b 2
a >2
b －a B.b 2
a <2
b －a C.b 2
a
≥2b －a D.b 2
a
≤2b －a 解析：选C.因为b 2a －〔2b －a 〕＝b 2－2ab ＋a 2a ＝〔b －a 〕2a ≥0，所以b 2
a
≥2b －a .
6.f 〔x ＋1〕＝2f 〔x 〕f 〔x 〕＋2
，f 〔1〕＝1〔x ∈N *
〕，猜测f 〔x 〕的表达式为〔 〕
A.f 〔x 〕＝42x
＋2
B.f 〔x 〕＝2x ＋1
C.f 〔x 〕＝1x ＋1
D.f 〔x 〕＝
22x ＋1
解析：选B.f 〔2〕＝22＋1，f 〔3〕＝23＋1，f 〔4〕＝24＋1，猜测f 〔x 〕＝2
x ＋1.
7.观察以下各式：a ＋b ＝1，a 2
＋b 2
＝3，a 3
＋b 3
＝4，a 4
＋b 4
＝7，a 5
＋b 5
＝11，…，那么a 10
＋b 10
＝〔 〕
解析：选C.利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2
＋b 2
＝3，a 3
＋b 3
＝3＋1＝4，a 4
＋b 4
＝4＋3＝7，a 5
＋
b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋
29＝76，a 10
＋b 10
，其结果为前两组结果的和.
8.在平面直角坐标系内，方程x a ＋y
b
＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为m ，n ，c 〔mnc ≠0〕的平面方程为〔 〕
A.x m ＋y n ＋z c
＝1 B.
x mn ＋y nc ＋z
mc
＝1 C.
xy mn ＋yz nc ＋zx
cm
＝1 D.mx ＋ny ＋cz ＝1
解析：选A.类比到空间应选A.另外也可将点〔m ，0，0〕代入验证. 9.假设sin A a ＝cos B b ＝cos C c
，那么△ABC 是〔 〕
A.等边三角形
B.有一个内角是30°的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一个内角是30°的等腰三角形 解析：选C.因为sin A a ＝cos B b ＝cos C
c
，
由正弦定理得， sin A a ＝sin B b ＝sin C
c
，
所以sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c
.
所以sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ， 所以∠B ＝∠C ＝45°， 所以△ABC 是等腰直角三角形.
10.点A 〔x 1，x 2
1〕，B 〔x 2，x 2
2〕是函数y ＝x 2
图象上任意不同的两点，依据图象知，线段
AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论
x 21＋x 222
>⎝
⎛⎭
⎪⎫
x 1＋x 222成立，运用类比方法
可知，假设点A 〔x 1，sin x 1〕，B 〔x 2，sin x 2〕是函数y ＝sin x 〔x ∈〔0，π〕〕图象上不同的两点，那么类似地有结论〔 〕
A.sin x 1＋sin x 22>sin x 1＋x 2
2
B.sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 2
2
C.sin x 1＋sin x 22≥sin x 1＋x 2
2
D.
sin x 1＋sin x 22≤sin x 1＋x 2
2
解析：选B.画出y ＝x 2
的图象，由得AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 21＋x 2
22恒在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22
，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222的上方，画出y ＝sin x ，x ∈〔0，π〕的图象可得A ，B 的中点⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋sin x 22恒在
点⎝
⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22
，sin x 1＋x 22的下方，故B 正确.
11.△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，那么〔 〕 A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形
C.△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形
D.△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形
解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.
因此△A 1B 1C 1是锐角三角形.
假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2，那么cos A 1＝cos 〔90°－∠A 2〕，所以∠A 1＝90°－∠A 2.
同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2， 那么有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°，
所以〔90°－∠A 2〕＋〔90°－∠B 2〕＋〔90°－∠C 2〕＝180°， 即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾，
所以原假设不成立.假设△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π
2，那么sin A 2＝1＝cos A 1，
而A 1在〔0，πD.
12.如图是网络工作者经常用来解释网络动作的蛇形模型；数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4〔从左至右〕出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；…，以此类推，那么按网络运作顺序第n 行第1个数〔如第2行第1个数为2，第3行第1个数为4，…〕是〔 〕
A.n 2－n ＋1
2 B.n 2＋n ＋1
2 C.
n 2＋n ＋22
D.
n 2－n ＋2
2
解析：选D.由题意分析可知，第n 行总共有n 个数字，n ∈N *
，所以第n 行中最小的数字为1＋〔1＋2＋…＋n －1〕＝1＋
n 〔n －1〕2
＝
n 2－n ＋2
2
，最大的数字为
n 2－n ＋2
2
＋n －1＝
n 2＋n
2
，
而第n 行中第一个出现的数字是行中最小的，即
n 2－n ＋2
2
.
二、填空题：此题共4小题，每题5分.
13.x ，y ∈R ，且x ＋y <2，那么x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为 Ｗ.
解析：“至多有一个大于1〞包括“都不大于1和有且仅有一个大于1〞，故其对立面为“x ，y 都大于1〞.
答案：x ，y 都大于1
14.观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，那么第100项为 Ｗ. 解析：设n ∈N *
，那么数字n 共有n 个，
所以
n 〔n ＋1〕
2
≤100，即n 〔n ＋1〕≤200.
又因为n ∈N *
，所以n ＝13，到第13个13时
共有13×142＝91项，从第92项开场为14，故第100项为14.
答案：14
15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上一样的数字不是2〞，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上一样的数字不是1〞，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5〞，那么甲的卡片上的数字是 .
解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C .从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，那么丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上一样的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上一样的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A .
答案：1和3
16.在正三角形中，设它的内切圆的半径为r ，容易求得正三角形的周长C 〔r 〕＝63r ，面积S 〔r 〕＝33r 2
，发现S ′〔r 〕＝C 〔r 〕.这是平面几何中的一个重要发现，请用类比推理的方法猜测对空间正四面体存在的类似结论为 .
解析：设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，利用等积变形易求得正四面体的高h ＝4r .
由棱长a ，高h 和底面三角形外接圆的半径构成直角三角形，得a 2
＝〔4r 〕2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫33a 2
，
解得a ＝26r .
于是正四面体的外表积
S 〔r 〕＝4×1
2
×〔26r 〕2×sin 60°
＝243r 2
，
体积V 〔r 〕＝13×12×〔26r 〕2×sin 60°×4r ＝83r 3
，
所以V ′〔r 〕＝243r 2
＝S 〔r 〕.
答案：V ′〔r 〕＝S 〔r 〕，S 〔r 〕为正四面体的外表积，V 〔r 〕为体积 三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.〔本小题总分值10分〕：A ，B 都是锐角，且A ＋B ≠90°，〔1＋tan A 〕〔1＋tan B 〕＝2.求证：A ＋B ＝45°.
证明：因为〔1＋tan A 〕〔1＋tan B 〕＝2，
展开化简为
tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B . 因为A ＋B ≠90°，
tan 〔A ＋B 〕＝tan A ＋tan B
1－tan A tan B ＝1.
又因为A ，B 都是锐角， 所以0°<A ＋B <180°. 所以A ＋B ＝45°.
18.〔本小题总分值12分〕a >0，b >0，2c >a ＋b ，求证：c －c 2
－ab <a <c ＋c 2
－ab . 证明：要证c －c 2
－ab <a <c ＋c 2
－ab ， 只需证－c 2
－ab <a －c <c 2
－ab ， 即证|a －c |<c 2－ab ，
只需证〔a －c 〕2
<()c 2
－ab 2
，
只需证a 2－2ac ＋c 2<c 2
－ab ， 即证2ac >a 2
＋ab ， 因为a >0，
所以只需证2c >a ＋b . 因为2c >a ＋b 成立. 所以原不等式成立.
19.〔本小题总分值12分〕三个正数a ，b ，c ，假设a 2
，b 2
，c 2
成公比不为1的等比数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列.
证明：假设a ，b ，c 构成等差数列， 那么有2b ＝a ＋c ， 即4b 2
＝a 2
＋c 2
＋2ac ，
又a 2
，b 2
，c 2
成公比不为1的等比数列， 且a ，b ，c 为正数，
所以b 4
＝a 2c 2
且a ，b ，c 互不相等， 即b 2
＝ac ，
因此4ac ＝a 2
＋c 2
＋2ac ， 所以〔a －c 〕2＝0，
从而a ＝c ＝b ，这与a ，b ，c 互不相等矛盾. 故a ，b ，c 不成等差数列.
20.〔本小题总分值12分〕在四棱锥 P ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，
PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点.
〔1〕证明：PF ⊥DF ；
〔2〕判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD . 解： 〔1〕证明：连接AF ， 那么AF ＝2，DF ＝2， 又AD ＝2，
所以DF 2
＋AF 2
＝AD 2
， 所以DF ⊥AF ， 又PA ⊥平面ABCD ， 所以DF ⊥PA ， 又PA ∩AF ＝A ， 所以
⎭
⎪⎬⎪
⎫DF ⊥平面PAF PF ⊂平面PAF ⇒DF ⊥PF .
〔2〕过点E 作EH ∥FD ，交AD 于点H ，
那么EH ∥平面PFD ，且有AH ＝1
4AD ，再过点H 作HG ∥DP 交PA 于点G ，
那么HG ∥平面PFD 且AG ＝1
4AP .
所以平面EHG ∥平面PFD ， 所以EG ∥平面PFD .
从而线段AP 上满足AG ＝1
4
AP 的点G 即为所求.
21.〔本小题总分值12分〕椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1〔a ＞b ＞0〕具有性质：假设M ，N 是椭圆上关
于原点对称的两个点，点P 为椭圆上任意一点，假设直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，
k PN ，那么k PM ·k PN 是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1〔a ＞0，b ＞0〕写出类似的
性质，并加以证明.
解：类似的性质为：假设M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1〔a ＞0，b ＞0〕上关于原点对称的两个
点，点P 是双曲线上任意一点，假设直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM ·k PN
是与点P 的位置无关的定值.证明如下：
设M 〔m ，n 〕，那么N 〔－m ，－n 〕，且m 2a 2－n 2
b 2＝1〔a ＞0，b ＞0〕.又设点P 〔x ，y 〕，那么
k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋n x ＋m
，
所以k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2
.①
将y 2
＝b 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2
a 2－1代入①， 可得k PM ·k PN ＝
b 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－n 2b 2－1x 2－m 2
＝
b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－m 2
a 2x 2－m 2
＝b
2
a
2〔定值〕.
22.〔本小题总分值12分〕f 〔x 〕＝bx ＋1〔ax ＋1〕2〔x ≠－1
a
，a >0〕
，且f 〔1〕＝log 162，f 〔－2〕＝1.
〔1〕求函数f 〔x 〕的表达式；
〔2〕数列{x n }的项满足x n ＝〔1－f 〔1〕〕〔1－f 〔2〕〕…·〔1－f 〔n 〕〕，试求x 1，x 2，x 3，
x 4.
解：〔1〕把f 〔1〕＝log 162＝1
4
，
f 〔－2〕＝1，代入函数表达式得 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1〔a ＋1〕2＝1
4
，－2b ＋1
〔1－2a 〕2
＝1，
即⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2
＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2
－4a ＋1， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.〔舍去a ＝－13<0〕，
所以f 〔x 〕＝1
〔x ＋1〕2〔x ≠－1〕.
〔2〕x 1＝1－f 〔1〕＝1－14＝3
4
，
x 2＝〔1－f 〔1〕〕〔1－f 〔2〕〕
＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝23
， x 3＝2
3
〔1－f 〔3〕〕
＝23×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－116＝58
， x 4＝58
×⎝
⎛⎭⎪⎫1－125
＝35
.。