高考数学 纠错笔记系列 专题10 圆锥曲线 文-人教版高三全册数学试题

专题10 圆锥曲线
易错点1 忽略椭圆定义中的限制条件
若方程22
186
x y k k +=--表示椭圆，则实数k 的取值范围为________________．
【错解】由80
60k k ->⎧⎨->⎩
，可得68k <<，所以实数k 的取值范围为(6，8)．
【错因分析】忽略了椭圆标准方程中a ＞b ＞0这一限制条件，当a ＝b ＞0时表示的是圆的方程．
【试题解析】由806086k k k k ->⎧⎪
->⎨⎪-≠-⎩
，可得68k <<且7k ≠，所以实数k 的取值范围为(6，7)∪(7，8)．
【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性．
【参考答案】(6，7)∪(7，8)．
平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
1．已知F 1，F 2为两定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是
A ．椭圆
B ．直线
C ．圆
D ．线段
【答案】D
平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆.若忽略了椭圆定义中|F 1F 2|＜2a 这一隐含条件，就会错误地得出点M 的轨迹是椭圆.
易错点2 忽略对椭圆焦点位置的讨论
已知椭圆的标准方程为22
21(0)36x y k k
+=>，并且焦距为8，则实数k 的值为_____________．
【错解1】因为2c ＝8，所以c ＝4，由椭圆的标准方程知a 2＝36，b 2＝k 2，a 2＝b 2＋c 2， 所以36＝k 2
＋42
，即k 2
＝20，又k ＞0，故25k =．
【错解2】因为2c ＝8，所以c ＝4，由椭圆的标准方程知a 2＝k 2，b 2＝36，a 2＝b 2＋c 2， 所以k 2
＝36＋42
，即k 2
＝52，又k ＞0，故213k =．
【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论，从而导致错误． 【试题解析】因为2c ＝8，所以c ＝4，
①当焦点在x 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2
＝36，b 2
＝k 2
，a 2
＝b 2
＋c 2
， 所以36＝k 2
＋42
，即k 2
＝20， 又k ＞0，故25k =；
②当焦点在y 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝k 2，b 2＝36，a 2＝b 2＋c 2， 所以k 2＝36＋42，即k 2＝52，
又k ＞0，故213k =． 综上，25k =或213．
【方法点睛】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不能顺着思维定式，想当然地认为焦点在x 轴上或y 轴上去求解． 【参考答案】25k =或213．
1．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.
对于方程22
1x y m n
+=，
①表示焦点在x 轴上的椭圆⇔0,0m n >>且m n >； ②表示焦点在y 轴上的椭圆⇔0,0m n >>且m n <； ③表示椭圆⇔0,0m n >>且m n ≠．
对于形如：Ax 2＋By 2＝1(其中A ＞0，B ＞0，A ≠B )的椭圆的方程，其包含焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况，当B ＞A 时，表示焦点在x 轴上的椭圆；当B ＜A 时，表示焦点在y 轴上的椭圆． 2．求椭圆的方程有两种方法:
（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2,b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.
第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22
221(0)y x a b a b
+=>>.
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
3．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(其中A ＞0，B ＞0，A ≠B ).
求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.
2．已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e ＝3
2
，且过点P (2,3)，求此椭圆的标准方程. 【答案】x 240＋y 210＝1或y 2
25＋4x
2
25
＝1.
故所求椭圆的标准方程为y 2
25＋4x
2
25
＝1.
综上，所求椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 2
25＋4x
2
25
＝1.
本题在求解时容易忽略焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x 轴上，从而求出椭圆的标准方程为x 240＋y 2
10＝
1.为了避免讨论，也可以如下方法设椭圆方程：
与椭圆22221x y a b +=有相同焦点的椭圆方程可设为22
2221(x y k a a k b k +=<--且2)k b <，与椭圆
22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为22
22(0x y m m a b +=>，焦点在x 轴上)或22
22(0y x n n a b
+=>，焦点在y 轴上)．
易错点3 忽略椭圆的范围
设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率3
2
e =
已知点3(0,)2P 7，
求椭圆的标准方程．
【错解】由题意可设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，
则22222
22
2314c a b b e a a a -===-=，故221
4
b a =，即2a b =． 设椭圆上的点(,)x y 到点P 的距离为d ，
则22
2
22
2222331()(1)()3()43222
y d x y a y y b b =+-=-+-=-+++，
所以当1
2
y =-
时，2d 取得最大值，从而d 取得最大值， 所以2243(7)b +=，解得21b =，24a =．
故所求椭圆的标准方程为2
214
x y +=．
【错因分析】错解中“当1
2
y =-
时，2d 取得最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y 的取值范围，事实上，由于点(,)x y 在椭圆上，所以b y b -≤≤，因此在求2d 的最大值时，应分类讨论．
【方法点睛】准确把握椭圆定义中的限制条件，是正确解题的前提，在求解时，应做到步步有依据，这样才能避免出错．
【参考答案】
2
21 4
x
y
+=.
1．椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的范围就是方程中变量x,y的范围，由
22
22
1
x y
a b
+=得
22
22
11
x y
a b
=-≤，则
||x a
≤；
22
22
11
y x
b a
=-≤，则||y b
≤.故椭圆落在直线x=±a，y=±b围成的矩形内，因此用描点法画椭
圆的图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时，在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意x，
y 的取值范围.
2．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上任意一点,()P x y ，则当0x ＝时，||OP 有最小值b ，P 点在短轴端点处；
当x a =±时，||OP 有最大值a ，P 点在长轴端点处．
3．（1）解决椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)中的范围问题常用的关系有：
①－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； ②离心率0<e <1；
③一元二次方程有解，则判别式0∆≥.
（2）解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种： ①利用定义转化为几何问题处理；
②利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理； ③利用数与形的结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；
④利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时，应注意椭圆中x 、y 的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.
3．已知直线x+ky-3=0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程;
（2）已知圆O :x 2+y 2=1,直线l :mx+ny =1,试证:当点P (m ,n )在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交,并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围.
【答案】（1）225x +216y =1.（2）152≤L ≤465
.
（2）因为点P (m ,n )在椭圆C 上,所以225m +216n =1,即n 2
=16-21625
m .
又原点到直线l :mx+ny =1的距离22
2
11191625
d m n m =
=
<++,所以直线l :mx+ny =1与圆O :x 2+y 2
=1
恒相交,则()
2222
14141)9162(5
L d m =-=-
+,因为-5≤m ≤5,所以
152≤L ≤465
. 易错点4 忽略双曲线定义中的限制条件
已知F 1(－5，0)，F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3和5时，点P 的轨迹分别为
A ．双曲线和一条直线
B ．双曲线和一条射线
C ．双曲线的一支和一条直线
D ．双曲线的一支和一条射线
【错解】依题意得1210F F =，当3a =时，1226a F F =<，故点P 的轨迹为双曲线；当5a =时，
12210a F F ==，故点P 的轨迹为一条射线．故选B ．
【错因分析】错解中忽略了双曲线定义中的限制条件“差的绝对值”，从而导致错误．
【试题解析】依题意得1210F F =，当3a =时，1226a F F =<，且1260PF PF =>-，点P 的轨迹为双曲线的右支；当5a =时，12210a F F ==，故点P 的轨迹为一条射线．故选D ． 【参考答案】D ．
在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．
当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，0＜2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；
当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹是以点F 1，F 2为端点的两条射线； 当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹不存在．
4．当0°≤α≤180°时，方程x 2
cos α＋y 2
sin α＝1表示的曲线怎样变化？
易错点5 忽略双曲线中的隐含条件
已知M 是双曲线22
16436
x y -=上一点，
F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且1||17MF =，则2MF =______． 【错解】由双曲线的定义可知，12||||216||MF MF a ==-，因为1||17MF =，所以2||1MF =或33． 【错因分析】错解忽略了双曲线中的一个隐含条件，即双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c －a ，从而两解中要舍去不满足要求的那个．
【试题解析】由双曲线方程22
16436
x y -=可得8a =，6b =，10c =，
由双曲线的图形可得点M 到右焦点F 2的距离2d c a ≥-=．
因为12||||216||MF MF a ==-，1||17MF =，所以2||1MF =(舍去)或2||33MF =． 【参考答案】33
1．在求解双曲线上的点到焦点的距离d 时，一定要注意d c a ≥-这一隐含条件． 2．双曲线方程中,a b 的大小关系是不确定的，但必有0,0c a c b >>>>.
3．由22
221(0,0)x y a b a b
-=>>,知≥1,所以x ≤-a 或x ≥a ,因此双曲线位于不等式x ≥a 和x ≤-a 所表示
的平面区域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围.
关于双曲线内线段最长或最短（距离最远或最近）问题，有以下结论： （1）双曲线的左、右顶点距离相应焦点最近； （2）双曲线上一点与某焦点的距离的值最小为c -a ；
（3）对于已知双曲线内（或外）一定点M ，求双曲线上一点P ，使得点P 与相应焦点的距离与PM 的和最小的问题，当涉及的三点共线时取得最值.
5．已知双曲线x 2
-2
3
y =1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲线右支上一点,则·的最小值为
_______. 【答案】-2
【解析】设点P (x ,y ),其中x ≥1.
依题意,得A 1(-1,0),F 2(2,0),则
·=(-1-x ,-y )·(2-x ,-y )=(x+1)(x-2)+y 2=x 2+3(x 2-1)-x-2=4x 2-x-5=4(x-)2
-.
因此当x =1时,
·
取得最小值-2.
易错点6 忽略双曲线的焦点所在位置的讨论
已知双曲线的渐近线方程是2
3
y x =±
，焦距为226，求双曲线的标准方程． 【错解】由题意知
2
3
b a =，且22226
c a b =+=，两式联立解得218a =，28b =，所以所求双曲线的标准方程为22
1188
x y -=．
【错因分析】错解的原因是未审清题目条件，而误认为焦点一定在x 轴上，从而导致漏解． 【试题解析】当双曲线的焦点在x 轴上时，由
2
3
b a =且22226
c a b =+=，两式联立解得218a =，28b =，所以所求双曲线的标准方程为22
1188
x y -=；
当双曲线的焦点在y 轴上时，由
2
3
a b =且22226c a b =+=，两式联立解得28a =，218b =，所以所求双曲线的标准方程为22
1818
y x -=．
综上，所求双曲线的标准方程为221188x y -=或22
1818y x -=．
【参考答案】221188x y -=或22
1818
y x -=．
1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的2
2
,a b 的值，最后写出
双曲线的标准方程.
对于方程
22
1x y m n
+=(0)mn ≠ 表示焦点在x 轴上的双曲线⇔0,0m n >< 表示焦点在y 轴上的双曲线⇔0,0m n <>
表示双曲线⇔0mn <
对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;
（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解. 注意：焦点在x 轴上，渐近线方程为b y x a =±
；焦点在y 轴上，渐近线方程为a
y x b
=±． 2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为
221(0)Ax By AB +=<.
已知双曲线的渐近线方程，而不知焦点所在的坐标轴时，双曲线的方程有两个，为避免分类讨论，可设
双曲线方程为22
22(0)x y a b
λλ-=≠．
因此，与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程为22
22(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线
222
21y x a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程为22
22(0)y x a b
λλ-=≠．
6．双曲线的渐近线方程为y ＝±3
4
x ，则离心率为
A ．54
B ．
52 C ．53或54 D ．
52
或153
【答案】C
由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222
c a b =+将双曲线的离心
率公式变形，即2
22
2
111c b e a a
b
c ==+=
-，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c ，，的关系，
在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中2
22
c a b =+.
易错点7 忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况
若过点(1,1)P 且斜率为k 的直线l 与双曲线2
2
14
y x -=只有一个公共点，则k =___________．
【错解】由题意可得:(1)1l y k x =-+，代入双曲线方程得2222
(4)2()250k x k k x k k ----+-=．
由题意可知2222
4()4(4)(25)0k k k k k ∆=----+-=，解得52
k =
． 【错因分析】错解中忽略了直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点．
【试题解析】由题意可得:(1)1l y k x =-+，代入双曲线方程得2
2
2
2
(4)2()250k x k k x k k ----+-=． 当240k -=，即2k =±时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
当240k -≠时，2222
4()4(4)(25)0k k k k k ∆=----+-=，解得52
k =
． 综上，当5
2
k =
或2k =±时，直线与双曲线只有一个公共点． 【方法点睛】解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程是否为一元一次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐近线平行的情况． 【参考答案】5
2
k =
或2k =±.
1． 直线与双曲线有三种位置关系：
（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线． （2）有一个公共点，分两种情况：
①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴； ②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点． （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．
2．研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式∆，得到直线与双曲线的交点个数．
7．已知双曲线C :2x 2-y 2=2与点P (1,2).
（1）若直线l 过点P ,求当直线l 与双曲线C 分别有一个交点、两个交点、没有交点时直线l 的斜率k 满足的条件;
（2）若Q (1,1),试判断以Q 为中点的弦是否存在. 【答案】（1）见解析；（2）以Q 为中点的弦不存在.
(ii)当2-k2≠0,即k≠±时,
Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k).
①当Δ=0,即k=3
2
时,方程(*)有两个相等的实根,即l与C有一个交点.
②当Δ>0时,k<3
2
,且k≠±,即当k<-或-<k<或<k<
3
2
时,方程(*)有两个不相等的实根,即
l与C有两个交点.
③当Δ<0,即k>3
2
时,方程(*)无解,即l与C没有交点.
综上,当k=±或k=3
2
时,l与C只有一个交点;
当<k<3
2
或-<k<或k<-时,l与C有两个交点;
当k>3
2
时,l与C没有交点.
易错点8 忽略抛物线定义中的限制条件
已知点P 到F (4，0)的距离与到直线5x =-的距离相等，求点P 的轨迹方程．
【错解】由抛物线的定义，可知点P 的轨迹是抛物线．
因为焦点在x 轴上，开口向右，焦点到准线的距离9p =，所以抛物线的方程为218y x =．
【错因分析】点P 到F (4，0)的距离与到直线5x =-的距离相等，满足抛物线的定义，但45≠-，故此抛物线的方程不是标准方程．
【试题解析】设点P (x ，y )，则由题意，得22(4)|5|x y x -+=+， 化简整理得2
189y x =+，此即所求的轨迹方程． 【参考答案】2189y x =+.
1．抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求．若从题意中无法判断方程是否为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解．
2．抛物线定义中要求直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线．因此当动点P 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义．
8．动点P 到定点F (1，1)的距离与它到直线:340l x y +-=的距离相等，则动点P 的轨迹是
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．直线
【答案】D
易错点9 忽略抛物线的焦点所在位置的讨论
设抛物线y 2
＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程.
【错解】易知准线方程为x ＝－m
4，
因为准线与直线x ＝1的距离为3， 所以准线方程为x ＝－2， 所以－m
4＝－2，解得m ＝8，
故抛物线方程为y 2＝8x .
【错因分析】题目条件中未给出m 的符号，当m >0或m <0时，抛物线的准线是不同的，错解中考虑问题欠周到．
【试题解析】当m >0时，准线方程为x ＝－m
4，
由条件知1－(－m
4)＝3，所以m ＝8.
此时抛物线方程为y 2＝8x ； 当m <0时，准线方程为x ＝－m
4，
由条件知－m
4－1＝3，所以m ＝－16，
此时抛物线方程为y 2＝－16x .
所以所求抛物线方程为y 2
＝8x 或y 2
＝－16x . 【参考答案】y 2
＝8x 或y 2＝－16x .
1．抛物线的四种标准方程与对应图形如下表所示：
图 形
标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->
焦点坐标 (,0)2
p
(,0)2p -
(0,)2p
(0,)2p -
准线方程
2
p x =-
2p x =
2p y =-
2
p y =
注：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0． 2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：
若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.
9．顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为________.
【答案】y 2
＝±6x .
本题若只考虑焦点在x 轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x 轴的负半轴上的情况，则会出现漏解．
易错点10 忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况
求过定点(11)
P -,，且与抛物线2
2y x =只有一个公共点的直线l 的方程． 【错解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意．
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1)1()(0y k x k -=+≠，
由2()121y y k x x
⎧⎨=-=+⎩消去x ，得2
2220ky y k -++=， 则44220()k k ∆=+=－，解得13
2
k -±=
． 故所求直线l 的方程为(31)2310x y --++=或(31)2310x y +++-=．
【错因分析】错解中忽略了与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点，故产生漏解． 【试题解析】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设l ：(11)y k x -=+，
当0k =时，直线l 的方程为1y =，此时直线l 与抛物线只有一个公共点．
当0k ≠时，与抛物线方程联立消去x ，得2
2220ky y k -++=， 则44220()k k ∆=+=－，解得13
2
k -±=
， 此时直线l 的方程为(31)2310x y --++=或(31)2310x y +++-=．
综上，直线l 的方程为1y =或(31)2310x y --++=或(31)2310x y +++-=． 【参考答案】直线l 的方程为1y =或(31)2310x y --++=或(31)2310x y +++-=．
直线l y kx b =+：与抛物线2
2(0)y px p =>公共点的个数等价于方程组22y x p b
x
y k ⎧⎨==+⎩的解的个数．
（1）若0k ≠，则当0∆>时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当0∆＝时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当0∆<时，直线和抛物线相离，无公共点．
（2）若0k =，则直线y b =与抛物线2
2(0)y px p =>相交，有一个公共点．特别地，当直线l 的斜率不存在时，设x m =，则当0m >时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；当0m =时，直线l 与抛物线相切，有一个公共点；当0m <时，直线l 与抛物线相离，无公共点．
10．若直线y =kx -1与抛物线y 2=4x 有且只有一个公共点,则k 的值为_______.
【答案】-1或0
【解析】当k =0时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点;
当k ≠0时,将直线方程与抛物线方程联立，得214y kx y x
=-⎧⎨=⎩,消去x ,得y 2
-y -=0,
因而Δ=+=0,即k =-1.
从而k =-1或0.
本题易忽略直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线也只有一个交点,而漏掉k =0.
一、椭圆 1．椭圆的定义
平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)
PF PF a a F F +=>. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 2．椭圆的标准方程
焦点在x 轴上，22
221(0)x y a b a b +=>>；
焦点在y 轴上，22
221(0)y x a b a b
+=>>.
说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：
222,0,0a c b a b a c -=>>>>.
3．椭圆的几何性质
标准方程
22
221x y a b +=(a ＞b ＞0) 22
221y x a b
+=(a ＞b ＞0)
图形
范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤ b x b -≤≤，a y a -≤≤
对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点
焦点 左焦点F 1 (－c ，0)，右焦点F 2 (c ，0)
下焦点F 1 (0，－c )，上焦点F 2 (0，c )
顶点
1212(,0),(,0),(0,),(0,)A a A a B b B b -- 1212(0,),(0,),(,0),(,0)A a A a B b B b --
轴
线段A 1A 2，B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴；
长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，长半轴长为a ，短半轴长为b
离心率e 22c c
e a a
=
=(01)e <<
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a ,c ，代入公式c e a
=
. （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）.
二、双曲线 1． 双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
（2）符号语言：1212202，
MF MF a a F F =<-<. （3）当122MF MF a -=时，曲线仅表示焦点2F 所对应的双曲线的一支；
当122MF MF a -=-时，曲线仅表示焦点1F 所对应的双曲线的一支；
当12||2a F F =时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当12||2a F F >时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程
（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，
0)，焦距为2c ，且222c a b =+.
（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22
221y x a b
-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，
c )，焦距为2c ，且222c a b =+．
3．双曲线的几何性质
标准方程
22
221x y a b -=(a ＞0，b ＞0) 22
2
21y x a b
-=(a ＞0，b ＞0) 图形
范围 ||x a ≥，y ∈R ||y a ≥，x ∈R
对称性
对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点
焦点 左焦点F 1(－c ，0)，右焦点F 2(c ，0) 下焦点F 1(0，－c )，上焦点F 2(0，c )
顶点
12(,0),(,0)A a A a - 12(0,),(0,)A a A a -
轴
线段A 1A 2是双曲线的实轴，线段B 1B 2是双曲线的虚轴；
实轴长|A 1A 2|＝2a ，虚轴长|B 1B 2|＝2b
渐近线 b y x a
=±
a y x b
=±
离心率e
22c c
e a a
=
=(1)e >
在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件12||||||2PF PF a -=的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用． 4．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为2
2
(0)x y λλ-=≠；
（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于2a ，离心率e =
2．
1．求双曲线的离心率一般有两种方法：
（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系2
2
2
c a b =+将双曲线的
离心率公式变形，即2
22
2
111c b e a a
b
c ==+=
-.
（2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式c e a
=转化为含e 或2
e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍.
2．求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合222
c a b =+和c
e a
=
，得到关于e 的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,，椭圆离心率的范围)1(0e ∈，.另外，在建立关于e 的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.
三、抛物线 1．抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程
（1）顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为2
2(0)y px p =>； （2）顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->； （3）顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>； （4）顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->.
注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 3．抛物线的几何性质
标准方程
22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->
图 形
几 范 围
0,x y ≥∈R 0,x y ≤∈R 0,y x ≥∈R 0,y x ≤∈R
何 性
质
对称性 关于x 轴对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于y 轴对称
焦点
(,0)2
p F (,0)2p
F -
(0,)2p F
(0,)2
p F -
准线方程 2
p x =-
2
p x =
2
p y =-
2
p y =
顶 点 坐标原点(0，0)
离心率
1e =
4．抛物线的焦半径
抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：
抛物线方程
22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->
焦半径公式 0||2
p
PF x =
+ 0||2
p
PF x =
- 0||2
p
PF y =
+ 0||2
p
PF y =
- 5．抛物线的焦点弦
抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．
焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则
抛物线方程
22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->
焦点弦公式 12||()AB p x x =++ 12||()AB p x x =-+ 12||()AB p y y =++ 12||()AB p y y =-+
其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径． 对于抛物线2
2(0)y px p =>，由(
,)2p A p ，(,)2
p
B p -，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ．
1．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即
2PF p x =+
或2
PF p
y =+，使问题简化． 2．有关抛物线上一点M 到抛物线焦点F 和到已知点E （E 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 和到已知点E 的距离之和是最小值.
四、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点
在平面直角坐标系xOy 中，给定两条曲线12,C C ，已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0C f x y C g x y ==，求曲线12,C C 的交点坐标，即求方程组(,)0
(,)0f x y g x y =⎧⎨
=⎩
的实数解.
方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点. 2．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.
（1）直线与椭圆有两个交点⇔相交；直线与椭圆有一个交点⇔相切；直线与椭圆没有交点⇔相离. （2）直线与双曲线有两个交点⇔相交.
当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线没有交点⇔相离. （3）直线与抛物线有两个交点⇔相交.
当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线没有交点⇔相离. 3．弦长的求解
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；。