浙江高三高中数学期中考试带答案解析

浙江高三高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.合集，则集合M=" " （）
A．{0，1，3}B．{1，3}C．{0，3}D．{2}
2.已知复数z满足（i为虚数单位），则z= （）
A．-1+3i B．-1-3i C．1+3i D．1-3i
3.抛物线y＝－4x2的焦点坐标是 ()
A．（0，-1）B．（-1，0）C．（0，）D．（，0）
4.在△ABC中，“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5.某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）
6.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若；
②若；
③如果相交；
④若
其中正确的命题是（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
7.已知变量满足约束条件若目标函数仅在点
处取到最大值，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
8.设的展开式中含的一次项为则
（）
A．B．C．D．
9.分别是双曲线的左、右焦点，是其右顶点，过作轴的垂线与双曲线的一个交点为，
是的重心，且，则双曲线的离心率是（）
A．2B．C．3D．
10.已知函数存在区间，使得函数在区间上的值域为，则最小的值为( )
A．36B．9C．4D．1
二、填空题
1.已知随机变量的分布列如下表所示，的期望，则a的值等于。

0123
P
2.已知数列是正项等比数列，若，，则数列的前n项和的最大值为．
3.在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α＋cos2β＝1；类比到空间，在长方体中，一条对角线与从其一顶点出发的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则正确的式子是________．
4.已知向量＝(2cosα，2sinα)，＝(2cosβ，2sinβ)，且直线2xcosα－2ysinα＋1＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2
＝1相切，则向量与的夹角为________．
5.设偶函数（的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形（其中K，L为图象与轴的交点，M为极小值点），∠KML=90°，KL＝，则的值为_______
6.将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、清华和人大３所大学，若每所大学至少保送１人，且甲不能
被保送到北大，则不同的保送方案共有种（用数字作答）
7.正实数及函数满足则的最小值为_____
三、解答题
1.(本题满分14分）
在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，且
（1）求的值；
（2）若，求bc的最大值.
2.（本小题满分14分）
设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且a n ＋2S n S n －1＝0(n≥2)， (1)求数列{S n }的通项公式； (2)设S n ＝，b n ＝f(
)＋1.记P n ＝S 1S 2＋S 2S 3＋…＋S n S n ＋1，T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1，试求T n ，并证
明P n <
.
3.（本小题满分14分）如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ， BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点． （1）求证：BD ⊥FG ；
（2）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由． （3）当二面角B —PC —D 的大小为
时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切
值．
4.（本小题满分15分）已知椭圆的左焦点是长轴的一个四等分点，点A、B分别为
椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线轴时，求的值；
（2）求的值。

5.（本小题满分15分）已知函数，
（1）试讨论函数的单调区间；
（2）若不等式对于任意的恒成立，求的取值范围。

浙江高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题
1.合集，则集合M=" " （）
A．{0，1，3}B．{1，3}C．{0，3}D．{2}
【答案】A
【解析】略
2.已知复数z满足（i为虚数单位），则z= （）
A．-1+3i B．-1-3i C．1+3i D．1-3i
【答案】B
【解析】
故选B.
3.抛物线y＝－4x2的焦点坐标是 ()
A．（0，-1）B．（-1，0）C．（0，）D．（，0）
【答案】C
【解析】抛物线标准方程为开口向下，焦点在y轴的负半轴上，所以焦点坐标为故选C
4.在△ABC中，“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】故选A
5.某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）
【答案】D
【解析】略
6.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若；
②若；
③如果相交；
④若
其中正确的命题是（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】D
【解析】略
7.已知变量满足约束条件若目标函数仅在点
处取到最大值，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
8.设的展开式中含的一次项为则
（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】的展开式通项为
所以展开式中含的一次项为
令得：
故选C
9.分别是双曲线的左、右焦点，是其右顶点，过作轴的垂线与双曲线的一个交点为，
是的重心，且，则双曲线的离心率是（）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【解析】略
10.已知函数存在区间，使得函数在区间上的值域为，则最小的值为( )
A．36B．9C．4D．1
【答案】B
【解析】
；
当时，取极大值，极大值是当时，取极小值，极小值是函数在上的草图如图；根据题意图像与直线在至少有两个交点；则使得函数在区间上的值域为，直线过点时，取最小值；所以由
解得故选B
二、填空题
1.已知随机变量的分布列如下表所示，的期望，则a的值等于。

P
【答案】0.5
【解析】由分布列可得，解得
2.已知数列是正项等比数列，若，，则数列的前n项和的最大值为．
【答案】15
【解析】略
3.在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α＋cos2β＝1；类比到空间，在长方体中，一条对角线与从其一顶点出发的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则正确的式子是________．【答案】cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1
【解析】略
4.已知向量＝(2cosα，2sinα)，＝(2cosβ，2sinβ)，且直线2xcosα－2ysinα＋1＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1相切，则向量与的夹角为________．
【答案】60°
【解析】略
5.设偶函数（的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形（其中K，L为图象与轴的交点，M为极小值点），∠KML=90°，KL＝，则的值为_______
【答案】
【解析】略
6.将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、清华和人大３所大学，若每所大学至少保送１人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有种（用数字作答）
【答案】100
【解析】略
7.正实数及函数满足则的最小值为_____
【答案】
【解析】略
三、解答题
1.(本题满分14分） 在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，，且
（1）求的值；
（2）若
，求bc 的最大值.
【答案】解：（1）
-------4分
---------5分 = -------6分
（2）
-------------8分
------------10分
--------11分 又
--------------------13分 当且仅
时，
，故
的最大值是
-----------14分
【解析】略
2.（本小题满分14分）
设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且a n ＋2S n S n －1＝0(n≥2)， (1)求数列{S n }的通项公式； (2)设S n ＝，b n ＝f(
)＋1.记P n ＝S 1S 2＋S 2S 3＋…＋S n S n ＋1，T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1，试求T n ，并证
明P n <
.
【答案】(1)解：∵a n ＋2S n S n －1＝0(n≥2)，
∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0. ---------3分 ∴
－
＝2.又∵a 1＝1 ， ---------------5分 ∴S n ＝
(n ∈N ＋)． ---------------7分
(2)证明：∵S n ＝，∴f(n)＝2n －1.--------------------------8分 ∴b n ＝2()－1＋1＝(
)n －1.---------------------------------------9分
T n ＝()0·()1＋()1·()2＋…＋()n －1·()n
＝()1＋(
)3＋(
)5＋…＋(
)2n －1
＝
[1－()n ]．-------------------------------------------------------11分
【解析】略
3.（本小题满分14分）如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，
BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．
（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切
值．
【答案】方法一：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，
其对角线BD，AC交于点E，∴PA⊥BD，AC⊥BD
∴BD⊥平面APC，平面PAC，
∴BD⊥FG …………4分
（II）当G为EC中点，即时，FG//平面PBD，…………5分
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，
而FG平面PBD，PB平面PBD，故FG//平面PBD．…………8分
（III）作BH⊥PC于H，连结DH，
∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，
∴△PCB≌△PCD，
∴DH⊥PC，且DH=BH，
∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，…………10分
即
∵PA⊥面ABCD，
∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角………12分
连结EH，则
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是…………14分
方法二解：以A为原点，AB，A D，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）
D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,
（I）
…………4分
（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，
而，
由可得，解得
………7分
故当时，FG//平面PBD …………8分
设平面PBC的一个法向量为
则，而
，取z=1，得，
同理可得平面PBC的一个法向量
设所成的角为0，
则
即
…………12分
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是…………14分
【解析】略
4.（本小题满分15分）已知椭圆的左焦点是长轴的一个四等分点，点A、B分别为
椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线轴时，求的值；
（2）求的值。

【答案】（Ⅰ）解：由题意椭圆的离心率，，所以，
故椭圆方程为，┄┄┄┄┄┄3分
则直线，，
故或，
当点在轴上方时，，
所以，
当点在轴下方时，同理可求得，
综上，为所求．┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)解：因为，所以，，
椭圆方程为,,直线，
设，
由消得，，
所以┄┄┄┄┄┄8分
故①
由，及，┄┄10分
得，
将①代入上式得，┄┄13分
注意到，得，┄┄14分
所以为所求．┄┄┄┄┄┄15分
【解析】略
5.（本小题满分15分）已知函数，
（1）试讨论函数的单调区间；
（2）若不等式对于任意的恒成立，求的取值范围。

【答案】解: （1）：
---2分
当时，函数定义域为，在上单调递增-------3分
当时，恒成立，函数定义域为，又在单调递增，单调递减，单调递增----4分
当时，函数定义域为，在单调递增，单调递减，
单调递增------------------------------------------------------5分
当时，设的两个根为且，由韦达定理易知两根均为正根，且，所以函数的定义域为，又对称轴，且
，在单调递增，单调递减，单调递增--------7分
（2）：由（1）可知当时，时，有即不成立，------------------------------
----------8分
当时，单调递增，所以在上成立---------------------------------------9分
当时，，
下面证明：即证
令
单调递增，使得
在上单调递减，在上单调递减，此时
所以不等式所以
由（1）知在单调递增，单调递减，所以不等式对于任意的恒成立----------------------------------------------------------13分
当时，由函数定义域可知，显然不符合题意---------14分
综上所述，当时，不等式对于任意的恒成立-------15分
【解析】略。