梓潼县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

梓潼县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l 2． 设a ，b ，c ，∈R +，则“abc=1”是
“”的（ ）
A ．充分条件但不是必要条件
B ．必要条件但不是充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要的条件
3． 若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
033033y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（ ）
A ．1-
B ．
C ．3-
D ．3
4． 函数f （x ）=cos 2x ﹣cos 4x 的最大值和最小正周期分别为（ ） A
．，π
B
．
，
C
．，π
D
．
，
5． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上，属于醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2011年3月15日至3月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）
A ．2160
B ．2880
C ．4320
D ．8640
6． 在平面直角坐标系中，若不等式组
（为常数）表示的区域面积等于， 则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 过点P （﹣2，2）作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有（ ）
A ．3条
B ．2条
C ．1条
D ．0条
8． 已知a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为M ，则“a=0”是“点M 在第四象限”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9． 已知集合{}{}
421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*
,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素
x 对应，则,a k 的值分别为（ ）
A ．2,3
B ．3,4
C ．3,5
D ．2,5
10．已知命题“如果﹣1≤a ≤1，那么关于x 的不等式（a 2﹣4）x 2+（a+2）x ﹣1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．4个
11．如图所示的程序框图输出的结果是S=14，则判断框内应填的条件是（ ）
A ．i ≥7？
B ．i ＞15？
C ．i ≥15？
D ．i ＞31？
12．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．S 18＝72 B ．S 19＝76 C ．S 20＝80
D ．S 21＝84
二、填空题
13．已知命题p ：实数m 满足m 2+12a 2＜7am （a ＞0），命题q ：实数m 满足方程+=1表示的焦点
在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为 ．
14．已知点A （﹣1，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4），求向量
在
方向上的投影．
15．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为．
16．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆，那么该几何体的体积是
．
17．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π）．
18．若函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a的取值范围是．
三、解答题
19．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在[10,60]岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成5组，分别记为,,,,
A B C D E，其频率分布直方图如下图所示．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；
（Ⅱ）该团导游首先在,,
C D E三组中用分层抽样的方法抽取了6名团员负责全团协调，然后从这6名团员中随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自C组的概率．
20．已知函数f（x）=2|x﹣2|+ax（x∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；
（3）若函数h（x）=f（sinx）﹣2存在零点，求a的取值范围．
21．在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P（x，y）变换为点P（2x+y，3x）．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M﹣1；
（Ⅱ）求曲线4x+y﹣1=0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C′的方程．
22．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA=，c=．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若三角形△ABC的面积为，求角C．
23．已知数列{a n}的首项a1=2，且满足a n+1=2a n+3•2n+1，（n∈N*）．（1）设b n=，证明数列{b n}是等差数列；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
24．已知y=f（x）是R上的偶函数，x≥0时，f（x）=x2﹣2x （1）当x＜0时，求f（x）的解析式．
（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间．
梓潼县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C111]
【解析】
考点：线线，线面，面面的位置关系
2．【答案】A
【解析】解：因为abc=1，所以，则=
=≤a+b+c．
当a=3，b=2，c=1时，显然成立，但是abc=6≠1，
所以设a，b，c，∈R+，则“abc=1”是“”的充分条件但不是必要条件．
故选A．
3．【答案】D
【解析】
考点：简单线性规划．
4．【答案】B
【解析】解：y=cos2x﹣cos4x=cos2x（1﹣cos2x）=cos2x•sin2x=sin22x=，
故它的周期为=，最大值为=．
故选：B．
5．【答案】C
【解析】解：由题意及频率分布直方图的定义可知：属于醉酒驾车的频率为：（0.01+0.005）×10=0.15，
又总人数为28800，故属于醉酒驾车的人数约为：28800×0.15=4320．
故选C
【点评】此题考查了学生的识图及计算能力，还考查了频率分布直方图的定义，并利用定义求解问题．
6．【答案】B
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】作可行域：
由题知：
所以
故答案为：B
7．【答案】C
【解析】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l的方程为：，
则．
即2a﹣2b=ab
直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，
即ab=﹣16，
联立，
解得：a=﹣4，b=4．
∴直线l的方程为：，
即x﹣y+4=0，
即这样的直线有且只有一条，
故选：C
【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．
8． 【答案】A
【解析】解：若a=0，则z=﹣2i （1+i ）=2﹣2i ，点M 在第四象限，是充分条件， 若点M 在第四象限，则z=（a+2）+（a ﹣2）i ，推出﹣2＜a ＜2，推不出a=0，不是必要条件；
故选：A ．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．
9． 【答案】D 【解析】
试题分析：分析题意可知：对应法则为31y x =+，则应有42331331a a a k ⎧=⨯+⎪⎨+=⋅+⎪⎩（1）或4231
3331
a k a a ⎧=⋅+⎪⎨+=⨯+⎪⎩（2），
由于*
a N ∈，所以（1）式无解，解（2）式得：25
a k =⎧⎨=⎩。

故选D 。

考点：映射。

10．【答案】C
【解析】解：若不等式（a 2﹣4）x 2
+（a+2）x ﹣1≥0的解集为∅”，
则根据题意需分两种情况： ①当a 2﹣4=0时，即a=±2，
若a=2时，原不等式为4x ﹣1≥0，解得x ≥，故舍去， 若a=﹣2时，原不等式为﹣1≥0，无解，符合题意； ②当a 2﹣4≠0时，即a ≠±2，
∵（a 2﹣4）x 2
+（a+2）x ﹣1≥0的解集是空集，
∴
，解得
，
综上得，实数a 的取值范围是
．
则当﹣1≤a ≤1时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题， 反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题， 故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，
故选：C ．
【点评】本题考查了二次不等式的解法，四种命题真假关系的应用，注意当二次项的系数含有参数时，必须进行讨论，考查了分类讨论思想．
11．【答案】C
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 S=2，i=0
不满足条件，S=5，i=1 不满足条件，S=8，i=3 不满足条件，S=11，i=7 不满足条件，S=14，i=15
由题意，此时退出循环，输出S 的值即为14， 结合选项可知判断框内应填的条件是：i ≥15？ 故选：C ．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S ，i 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
12．【答案】
【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4， ∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4，
即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋18×17d 2＝18（a 1＋17
2d ）不恒为常数．
S 19＝19a 1＋19×18d
2＝19（a 1＋9d ）＝76，
同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B.
二、填空题
13．【答案】 [，] ．
【解析】解：由m 2﹣7am+12a 2
＜0（a ＞0），则3a ＜m ＜4a
即命题p ：3a ＜m ＜4a ，
实数m 满足方程
+
=1表示的焦点在y 轴上的椭圆，
则， ，解得1＜m ＜2，
若p 是q 的充分不必要条件，
则，
解得
，
故答案为[，]．
【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p ，q 的等价条件是解决本题的关键．
14．【答案】
【解析】解：∵点A （﹣1，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4），
∴向量=（1+1，2﹣1）=（2，1），
=（3+2，4+1）=（5，5）；
∴向量
在方向上的投影是
=
=
．
15．【答案】 90° ．
【解析】解：∵
∴=
∴
∴α与β所成角的大小为90° 故答案为90°
【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．
16．【答案】
．
【解析】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其底面半径为1，且其高为正三角形的高 由于此三角形的高为，故圆锥的高为
此圆锥的体积为
=
故答案为
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
17．【答案】．
【解析】解：ρ==，tanθ==﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=．
∴点P的极坐标为．
故答案为：．
18．【答案】{a|或}．
【解析】解：∵二次函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1 的对称轴为x=a﹣，
f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，
∴a﹣≥2，或a﹣≤1，∴a≥，或a≤，
故答案为：{a|a≥，或a≤}．
【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识，意在考查审读能力、识图能力、获取数据信息的能力．
20．【答案】
【解析】解：（1）当a=1时，f（x）=2|x﹣2|+x=…（2分）
所以，f（x）在（﹣∞，2）递减，在[2，+∞）递增，
故最小值为f（2）=2；…（4分）
（2）f（x）=，…（6分）
要使函数f（x）有最小值，需，
∴﹣2≤a≤2，…（8分）
故a的取值范围为[﹣2，2]．…（9分）
（3）∵sinx∈[﹣1，1]，∴f（sinx）=（a﹣2）sinx+4，
“h（x）=f（sinx）﹣2=（a﹣2）sinx+2存在零点”等价于“方程（a﹣2）sinx+2=0有解”，
亦即有解，
∴，…（11分）
解得a≤0或a≥4，…（13分）
∴a的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）…（14分）
【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质，是解决本题的关键．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），
则即=，
∴M=．
又det（M）=﹣3，
∴M﹣1=；
（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），
则=M﹣1=，
即，
∴代入4x+y﹣1=0，得，
即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．
【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=，
则=，即有sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，
所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
由正弦定理，a=b，则=1；…
（Ⅱ）因为三角形△ABC 的面积为
，a=b 、c=，
所以S=absinC=a 2
sinC=
，则
，①
由余弦定理得， =
，②
由①②得，cosC+sinC=1，则2sin （C+）=1，sin （C+）=，
又0＜C ＜π，则C+
＜
，即C+
=
，
解得C= …．
【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属
于中档题．
23．【答案】 【解析】解：（1）∵=
，
∴数列{b n }是以为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，
∴
①
②
①﹣②得：
，
∴
．
【点评】本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，利用定义法和错位相减法是解决本题的关键．
24．【答案】
【解析】解：（1）设x ＜0，则﹣x ＞0， ∵x ＞0时，f （x ）=x 2
﹣2x ．
∴f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣2（﹣x ）=x 2
+2x
∵y=f （x ）是R 上的偶函数
∴f（x）=f（﹣x）=x2+2x
（2）单增区间（﹣1，0）和（1，+∞）；
单减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．
【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性来求对称区间上的解析式，然后作出分段函数的图象，进而研究相关性质，本题看似简单，但考查全面，具体，检测性很强．。