山西省临汾市曲沃县史村镇中学高二数学理下学期期末试卷含解析

山西省临汾市曲沃县史村镇中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知结论:“在正中，中点为，若内一点到各边的距离都相等,则
”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体中，若的中
心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则（）
A．1 B．2 C．3
D．4
参考答案：
C
略
2. 已知某空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为如右图所示的等腰直角三角形，如果该直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体外接球的表面积是（）
A．6 B．5 C．4 D．3
参考答案：
D
3. 函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图像如图所示.记y＝f(x)的导函数为y＝f￠(x)，则不等式f￠(x)>0的解集为（）
A．(－，1)∪(2，3) B．(－1，)∪(，)
C．(－，－)∪(1，2) D．(－，－)∪(，)∪(，3) 参考答案：
C
4. 如右图所示，正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，
分别是的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是
（）
A． B．C．D．随点的变化而变化。

参考答案：
B
5. 已知命题：,，则是（）
（A）R,（B）R,
（C）R,（D）R,
参考答案：
D
6. 已知椭圆：（），点，为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点
，使，则离心率的取值范围为（）
A． B． C. D．参考答案：
A
，设，则，可
得，故选A.
【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率的范围，属于中档题 . 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等
式，从而求出的范围.本题是利用构造出关于的不等式，最后解出的范围.
7. 已知复数为纯虚数，那么实数a=（）
A．﹣1 B．C．1 D．
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【解答】解：复数==为纯虚数，
∴a﹣1=0，1+a≠0，
解得a=1．
故选：C．
8. 在中，若，则的形状一定是（）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
参考答案：
D
9. 定义在R上的函数f（x）满足，当x∈[0，2）时，
，函数g（x）=x3+3x2+m．若?s∈[﹣4，﹣2），?t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣12] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，8] D．
参考答案：
C
【考点】其他不等式的解法．
【分析】由f（x+2）=f（x）得f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，x∈[﹣4，﹣3]，f（﹣）
=2f（﹣）=﹣8，?s∈[﹣4，2），f（s）最小=﹣8，借助导数判断：?t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g （﹣4）=m﹣16，不等式f（s）﹣g（t）≥0恒成立，得出f（s）小=﹣8≥g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，求解即可．
【解答】解：∵当x∈[0，2）时，，
∴x∈[0，2），f（0）=为最大值，
∵f（x+2）=f（x），
∴f（x）=2f（x+2），
∵x∈[﹣2，0]，
∴f（﹣2）=2f（0）=2×=1，
∵x∈[﹣4，﹣3]，
∴f（﹣4）=2f（﹣2）=2×1=2，
∵?s∈[﹣4，2），
∴f（s）最大=2，
∵f（x）=2f（x+2），
x∈[﹣2，0]，
∴f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，
∵x∈[﹣4，﹣3]，
∴f（﹣）=2f（﹣）=﹣8，
∵?s∈[﹣4，2），
∴f（s）最小=﹣8，
∵函数g（x）=x3+3x2+m，
∴g′（x）=3x2+6x，
3x2+6x＞0，x＞0，x＜﹣2，
3x2+6x＜0，﹣2＜x＜0，
3x2+6x=0，x=0，x=﹣2，
∴函数g（x）=x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2）（0，+∞）单调递增．
在（﹣2，0）单调递减，
∴?t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，
∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，
∴﹣8≥m﹣16，
故实数满足：m≤8，
故选C．
10. 若tan(+)=3, tan(－)=5, 则tan2= （）
A． B．－ C． D．－
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数，其中A的各位数中
出现0的概率为，出现1的概率为，记，当程序运行一次时，X的数学期望_____．
参考答案：
【分析】
的可能取值分别为0，1，2，3，4分别计算对应概率，写出分布列计算数学期望得到答案. 【详解】由题意知的可能取值分别为0，1，2，3，4；
表示这4个数字都是0，则；
表示这4个数字中有一个为1，则；
同理；
；
；
所以分布列为，
计算数学期望为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分布列，数学期望正确计算各种情况的概率是关键，意在考查学生的计算能力.
12. 已知△ABC的三边a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则△ABC的形状是_______.
参考答案：
等边三角形
13. 函数的导数，
参考答案：
14. 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为________．参考答案：
15. 执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为.
参考答案：
3
框图中的条件即.
运行程序：
符合条件，；
符合条件，；
符合条件，；
不符合条件，输出.答案为.
考点：算法与程序框图.
16. 若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是.参考答案：
2
17. 设，则的最小值为___________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列{a n}的前n项和为，且，
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若，设数列{b n}的前n项和为，证明．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．
【分析】（1）利用递推关系即可得出．
（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）当n=1时，得a1=1，
当n≥2时，得a n=3a n﹣1，
所以，
（2）由（1）得：，
又①
得②
两式相减得：，
故，
所以T n =﹣．
19. 如图，椭圆C ：经过点P ，离心率e ＝，直线l 的方程为x ＝
4.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA 、PB 、PM 的斜率分别为k 1、k 2、k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
略
20. 数列满足。

（1）计算；
（2）由的前4项猜想通项公式
，并用数学归纳法证明。

参考答案：
解：（1），，，，…3分
（2）猜想通项公式…………………6分
证明：①当n=1 时，猜想显然成立………………………7分
②假设当n=k时，猜想成立，即………………8分
那么当n=k+1时,===
所以n=k+1时猜想成立……………………12分
综合①②，当时猜想成立。

………………………13分
21. 已知集合A={x|}，B={x|（x+a）（x﹣a﹣2）＜0}．
（1）当a=0时，求A∪B；
（2）若A?B，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．
【分析】（1）化简集合A，B，即可求A∪B；
（2）若A?B，所以（x+a）（x﹣a﹣2）＜0对x∈（﹣1，1）恒成立，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：对于集合A，，所以﹣1＜x＜1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分
（1）由a=0，对于集合B，x（x﹣2）＜0，所以0＜x＜2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分
则A∪B={x|﹣1＜x＜2}；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分
（2）由A?B，所以（x+a）（x﹣a﹣2）＜0对x∈（﹣1，1）恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分设f（x）=（x+a）（x﹣a﹣2），因函数为二次函数，图象开口向上，且与x有交点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分
所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分
所以
解得a≤﹣3或a≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分
22. （本小题10分）如图，在三棱锥P-ABC中，
，平面PAB 平面ABC．
(I)求证：PA BC：
(II)求PC的长度；
（Ⅲ)求二面角P-AC-B的正切值
参考答案：。