中考数学 第6讲 二元一次方程组复习教案1 (新版)北师大版

课题：第六讲二元一次方程组
教学目标：
1．正确理解二元一次方程（组）的概念.
2．掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；能解简单的三元一次方程组.
3．会列二元一次方程组解决实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．教学重点与难点：
重点：二元一次方程组的解法以及列二元一次方程组解决实际问题.
难点：列二元一次方程组解决实际问题.
课前准备：多媒体课件，导学案．
教学过程:
一、知识梳理
活动内容1：多媒体投影导学案中的知识梳理．
（一）二元一次方程（组）的有关概念：
1．二元一次方程的定义：含有_______个未知数，并且未知数的次数都是_______的方程叫做二元一次方程．
2．二元一次方程组的定义：共含有_______个未知数的________一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
3．二元一次方程（组）的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有________个解．一般地，二元一
次方程组的两个方程的_________解，叫做二元一次方程组的解．（二）二元一次方程组的解法：
1．消元法解二元一次方程组：消元法的基本方法是将二元一次方程组转化为_______方程，方法有_______消元法和______消元法两种．
（三）二元一次方程组的应用：
列二元一次方程组解应用题的步骤：（1）______；（2）______；（3）______；
（4）______；（5）______．
（四）二元一次方程（组）与一次函数的关系：
1．二元一次方程的解与一次函数图象上的点坐标______；
2．两条直线的交点坐标是______．
处理方式：导学案提前发给学生，让学生参考课本，课前完成知识梳理的填空，课上找学生回答，师生共同回顾矫正．
设计意图：自主复习放在课前，这样可以节省课上时间，并培养学生自主学习的习惯，通过“导学案”形式让学生在填空的过程中回顾二元一次方程（组）的相关知识,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充，为下一步应用这些知识解题打好基础．
活动内容2：课件展示中考要求：
1．正确理解二元一次方程（组）的概念.
2．掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；能解简单的三元一次方程组.
3．会列二元一次方程组解决实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．处理方式：找学生阅读中考要求.
设计意图：站在中考的高度，让学生明确本课的复习方向，这样既引起了学生的重视，又能给学生起到很好的导航作用，复习就有了明确的目标．
活动内容3：请同学们结合前面的复习和中考要求，总结二元一次方程组的知识点．处理方式：给学生3分钟时间理清本节知识和知识之间的联系，学生畅所欲言，同学之间互相讨论补充，教师要注意引导学生把握知识点间的联系，师生共同总结画出知识树．
设计意图：在学生充分思考、交流的基础上构建知识树,让学生将零散、孤立的知识形成网络，完成知识脉络的梳理，让学生在小组交流讨论中完成建构，从中感受到知识间的内在联系，让学生在数学学习活动中完成二元一次方程组的知识要点复习．
二、专题探究
活动内容：
专题一：二元一次方程(组)的有关概念
例1 (2014，本溪) 若关于x ，y 的方程组2x y m x my n -=⎧⎨
+=⎩的解是21
x y =⎧⎨=⎩ 则m n -为_________．
思路点拨：本题根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到m ，n 的值，然后代入代数式进行计算即可．
解：把21x y =⎧⎨=⎩代入2x y m x my n -=⎧⎨+=⎩得，412m m n -=⎧⎨+=⎩
解得，35m n =⎧⎨=⎩ 则m n -=3522-=-=．
方法提炼：如果要确定某字母的值，往往须得到关于该字母的方程，通过解方程求得，
解决这类题的方法是：“给解就代入”，从而得到关于字母系数的新方程组，再
解这个方程组，求出字母的值．
即时训练：
1． 若359247342m n m n x y ++--+= 是二元一次方程，则m n
的值等于_________． 2． 若方程6mx ny +=的两个解是11x y =⎧⎨=⎩ ，21x y =⎧⎨=-⎩
则m ，n 的值为（ ）． 处理方式：例1先让学生独立完成，找小组代表说出自己的解法，对于不会的学生教师可以思路点拨，并让学生思考本题考查了哪些知识点，需要注意什么，教师归纳总结解题方法．即时训练分别找学生回答互评，并说出各自的思路．
设计意图：理解二元一次方程（组）成立的条件是掌握方程（组）的有关概念的关键，灵活运用这些条件有助于对方程组的理解，通过解题分析过程，让学生真正体会并掌握二元一次方程（组）.
专题二：二元一次方程组的解法
例2 （2014，滨州）解方程组3731x y x y -=⎧⎨+=-⎩
思路点拨：二元一次方程的解法有两种，上题既可以用代入消元法，也可以用加减消元法，解题时可以根据自己的解题习惯进行选择．
①
解：3731x y x y -=⎧⎨+=-⎩
①×3+②得，1020x = ；
解得2x =
把2x =代入②得231y +=-
解得1y =-
则原方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩
. 方法提炼：二元一次方程组的解法有加减消元法和代入消元法，解方程组时要善于根据方程中未知数的特点选择简单的方法进行消元和求解.
处理方式：例2学生独立完成，小组交流做题步骤及结果，找学生黑板板书，教师规范学生做题步骤，师生共同纠正答案，教师并对本题进行方法总结，以及做题时的注意事项，提醒学生要养成检验的好习惯.
即时训练：
1.（2014，威海）解方程组353123
x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 2.解方程组231220x y z x y x y z ++=⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩
3.(2014，枣庄)已知x ，y 是二元一次方程组23245x y x y -=⎧⎨
+=⎩的解，则代数式224x y - 的值为 _________ ．
处理方式：即时训练先让学生独立完成，找两名学生上黑板板书解题过程，对于第一个方程组里的其中一个方程含有分母，可以引导学生先去分母，然后再去求解；第二个方程组是三元一次方程组，解方程组的目的就是消元，要引导学生观察方程中未知数的特点，选择恰当的方法消元，使三元变二元，然后利用解二元一次方程组的方法求解；第3题学生可能想到直接先去求方程组的解，再代入求值，其实还可以引导学生把224x y -因式分解即224(2)(2)x y x y x y -=+-，把方程245x y += 两边同时除以2得522x y += ，又②
23x y -= ，即可得出答案.
设计意图：二元一次方程（组）的解法问题是中考中常见题型，对于学生来说做起来不难，但不容易做全对，因为里面有太多易错点，所以本环节要对二元一次方程（组）的解法进行复习，并让学生掌握一些解题技巧和方法．另外要求学生只会解简单的三元一次方程组.在教学过程中，要注意强调各类解法的步骤和易错点.
专题三：二元一次方程组的应用
例3（2014，漳州）如图，在长为14m ，宽为10m 的长方形展厅，划出三个形状，大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为______m ．
思路点拨：设长方形的长为x m ，宽为y m ，由图可知长方形展厅
的长是(2)x y + m ，宽是(2)x y + m ，由此列出方程组求得长，宽
进一步解决问题．
解：设小长方形的长为x m ，宽为y m ，由图可得
214210x y x y +=⎧⎨+=⎩ ①＋②得3324x y +=，即 3()24x y +=
解得8x y +=
则每个小长方形的周长为8216⨯= m ．
方法提炼：此题考查二元一次方程组的运用，看清图意，正确利用图象列出方程组解决问题．
即时训练：1.（2014，柳州）小张把两个大小不同的苹果放到
天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示．问：这两个苹
果的重量分别为多少克？
2.（2014，济南）2014年世界杯足球赛在巴西举
行，小李在网上预定了小组赛和淘汰赛两个阶段
的球票共10张，总价为5800元，其中小组赛球
票每张550元，淘汰赛球票每张700元，问小李
预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？
①
②
处理方式：例1学生小组合作交流，找小组代表说出自己的做法，并求解，对于不会的学生，教师可以引导学生观察图象，找出等量关系，列出方程组并求解，求解时注意引导学生利用整体的方法．即时训练分别找学生说出各自的解法，并上黑板写出解题过程，教师的引导语言举例：列方程解应用题的步骤是什么，题目中有哪些等量关系，根据等量关系你能列出方程组吗．
设计意图：列方程（组）解决实际问题是近年中考的重要考点，利用这几道题让学生进一步明确，列方程组解应用题的一般步骤及注意事项，提高学生分析问题及解决问题的能力，培养学生在解题的过程中及时总结的习惯，进一步认识到寻找等量关系是解决实际问题的关键.
专题四：二元一次方程组与一次函数的关系
例4 如图已知函数2y x =- 和21y x =-+ 的图象交于点P,根据图象可得方程组
221
x y x y -=⎧⎨+=⎩ 的解是________． 思路点拨：先由图象得出两函数的交点坐标，根据交点坐标即可
得出方程组的解．
解：由图象可知函数2y x =-和21y x =-+的图象的
交点P 的坐标是（1，-1），
又由2y x =-，移项后得出2x y -=，
由21y x =-+移项后得出21x y +=，
所以方程组221x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是11
x y =⎧⎨=-⎩．
方法提炼：本题是利用图象法解二元一次方程组，两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解，反之二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标．
处理方式：例4学生小组讨论交流，找学生说出自己的方法，对于不会的学生，教师可以思路点拨，从二元一次方程组与一次函数的关系方面引导学生，例题是一道较好但又比较容易出错的题目，教师要强调易错点，引起学生的注意．
即时训练：
1.下面四条直线中每个点的坐标是二元一次方程22
x y
-=的解是：
A B C D
2. 点A，B，C，D的坐标如图，直线AB与直线CD的交点坐标是_______．
处理方式：即时训练找学生口答，并讲解做题的方法，训练1
教师要引导学生总结一次函数与二元一次方程的关系，及本题的
方法总结，训练2找学生上黑板板书，其他学生练习本上完成，师
生共同对板书同学进行评价，并同时复习了如何求一次函数的表达
式，再一次让学生理解二元一次方程组与一次函数的关系．
设计意图：本专题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，有关函数的问题要让学生注意数形结合思想与方程思想的应用，这样比较简洁．让学生明白做练习题时，可以先画出草图，利用图像解题更为直观形象，这样往往可以使复杂问题变得简单.
三、典例解析
例 5 滕州微山湖红荷湿地是全国著名的湿地公
园，为了迎接旅游旺季的到来，景区现对一段路长为180
米的荷花观赏区进行升级改造，整治任务由A、B两工
程队先后接力完成．已知A工程队每天整治12米，B
工程队每天整治8米，共用时20天.（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：
128
x y
x y
⎧+=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
□
□乙：
128
x y
x y
+=
⎧+=
⎪
⎨
⎪
⎩
□
□
根据甲、乙两名同学所列的方程组,请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：
甲：x表示，y表示；乙：x表示，y表示．（2）求A，B两工程队分别整治道路多少米.（写出完整的解答过程）
思路点拨：（1）此题蕴含两个基本数量关系：A 工程队用的时间+B 工程队用的时间=20天， A 工程队整治道路的米数+B 工程队整治道路的米数=180，由此进行解答即可.（2）选择其中一个方程组解决问题.
解：（1）甲：x 表示A 工程队工作的天数，y 表示B 工程队工作的天数；
乙： x 表示A 工程队整治道路的米数，y 表示B 工程队整治道路的米数.
甲：12820180x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 乙： 128
18020x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ （2）设A ，B 两工程队分别整治道路的x 米和y 米. 根据题意，得：18020128
x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：60120x y =⎧⎨=⎩ 所以A ，B 两工程队分别整治道的60米和120米.
方法提炼：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是从题目中找到等量关系并写出表示出x 、y 所表示的实际意义．
即时训练：
（2014，昆明）某校运动会需购买A ，B 两种奖品.若购买A 种奖品3件和B 种奖品2件，共需60元；若购买A 种奖品5件和B 种奖品3件，共需95元．
（1） 求A ，B 两种奖品单价各是多少元？
（2） 学校计划购买A ，B 两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A 种奖品的
数量不大于B 种奖品数量的3倍．设购买A 种奖品m 件，购买费用为W 元，写出W （元）与m 件之间的函数关系式，求出自变量m 的取值范围，并确定最少费用W 的值．
思路点拨：（1）设A 奖品的单价是x 元，B 奖品的单价是y 元，根据条件建立方程组求出
解即可．
(2)根据总费用=两种奖品的费用之和表示W 与m 的关系式，并有条件建立不等式组求出x 的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．
解：（1）设A 奖品的单价是x 元，B 奖品的单价是y 元由题意得
32605395x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，
解得1015
x y =⎧⎨=⎩ ，所以A 奖品的单价是10元，B 奖品的单价是15元.
（2）由题意得，
1015(100)51500W m m m =+-=-+
所以5150011503(100)m m m -+≤⎧⎨≤-⎩
，解得： 7075m ≤≤ ∵m 是整数，所以∴ m=70，71，72，73，74，75．
∵51500W m =-+，50k =-<，∴W 随ｍ的增大而减小
则当m=75时，W 的最小值是1125元．
方法提炼：本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解答本题的关键仔细审题，设出未知数，找到其中的等量关系和不等关系．
处理方式：此环节通过放手让学生在小组内进行合作交流，发现的问题进行讨论解决，教师可关注有问题的小组的讨论过程，并适时予以指导和点拨，并注意对学困生的帮扶，学生边说教师边板书.
设计意图：本环节主要针对近几年中考中不断出现新情境下的探索性、开放性问题进行复习，以考查学生的应变能力和创新能力.其中很多先利用二元一次方程组的建模开始着手解决问题，如果这个问题解决不了，后面的问题也就无法继续.训练学生解决这类问题,应主要通过弄懂题意，抓住题目中的一些关键性词语，大胆放手去做.
四、反思升华
师：同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
学生畅谈自己的收获！
设计意图：复习课多以学生小组交流为主，总结本节课的收获与感想，鼓励学生大胆发表见解，让学生不仅总结知识，更重要的是要通过本节课总结情感体验上的收获，进一步认识数学的应用价值，对学生的触动很大．
五、达标检测
A 组
1.(2014，泰安)方程529x y +=，与下列方程构成的方程组的解为212
x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩的是（ ）.
A.21x y +=
B. 328x y +=-
C.543x y +=-
D.348x y -=-
2．（2014，宿迁）已知21x y =⎧⎨=⎩ 是方程组53
ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则a b -的值是（ ）.
A. 1-
B.2
C.3
D.4
3．(2014，永州)已知2(3)20x y x y -++= ，则x y + 的值为_________.
4. （2014，台湾）如图为某店的宣传单，若小昱拿到后，到此店同时买了一件定价x
元的衣服和一件定价y 元的裤子，共省500元，则依题意可列出下列哪一个方程式？
A.0.40.6100500x y ++=
B. 0.40.6100500x y +-=
C.0.60.4100500x y ++=
D.0.60.4100500x y +-=
5. (2014，新疆)六一儿童节前夕，某超市用3360元打算购进A ，B 两种童装共120套，其中A 型童装每套24元，B 型童装每套36元．若设购买A 型童装x 套，B 型童装y 套，依题意列方程组正确的是（ ）.
A. 36241203360x y x y +=⎧⎨
+=⎩ B.12024363360x y x y +=⎧⎨+=⎩
C. 36241203360x y x y +=⎧⎨
+=⎩ D.24361203360
x y x y +=⎧⎨+=⎩ B 组
1. （2014，滨州）某公园“6•1”期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣．张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动．王斌也想去，就去打听张凯、李利买门票花了多少钱．张凯说他家去了3个大人和4个小孩，共花了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需准备 _________ 元钱买门票．
2. (2014，邵阳)小武新家装修,在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
处理方式：先让学生做，做完后教师出示答案，指导学生核对，对学生存在的问题给予帮助，表现好的学生给予表扬．
设计意图：本环节可以检测学生所学知识掌握情况，并最大限度地调动学生学习数学的积极性，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业
必做题：新课程复习指导：P26 2、3、5、6、7题．
选做题：新课程复习指导：P27 9题．
设计意图：针对学生的个体差异，从学生的实际出发，既满足优生的求知欲望，又兼顾学困生的接受能力，设计梯级作业，给学生留有自主选择的空间，使不同层次的学生在不同层次上都有所提高．实践作业让学生感到数学来源于生活，又回归与生活，让学生感觉到数学的使用价值和趣味所在，并感受数学与现实生活密切联系.
板书设计:
11。