二级结论实际应用、变式及解析(PDF文档,31页)

纵观中学数学教材,基本上是由题组成的(除了部分概念的介绍),而高考试题大部分都源于教材.编教材离不开题,授课离不开题,学数学离不开题,考试更离不开题.实际上高考试题大都是通过对教材例题和习题加工㊁改造㊁引申㊁推广而成的,不仅如此,试题的表现方式和语言表达也尽可能与教材保持一致,使考生有一种似曾相识的感觉,所以我们要仔细琢磨,把教材上的题研究到位.结合高考真题,最终我们独创了 题型+模型 的全新教学法,本篇将把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家,部分结论对学生的解题有很好的指导作用,同时对演算结果有精准的验证作用,以便同学们在解答高考题时做到准确㊁快捷.
结论一
例1 设集合A =(x ,y )x 24+y 216
=1{}
,B ={(x ,y )|y =
3x
},则A ɘB 的子集的个数是( ).A .4B .3C .2D .1变式1 已知集合A =x |x 2-3x +2=0,x ɪR {},B =x |0<x <5,x ɪN {},
则满足条件A ⊆C ⫋B 的集合C 的个数为( ).A .1
B .2
C .3
D .4
例2 已知M ,N 为集合I 的非空子集,且M ,N 不相等,若N ɘ∁I M =∅,则M ɣN =( ).
A .M
B .N
C .I
D .∅
变式1 设集合A ={x |x 2-6x +5=0},B ={x |a x -1=0},若A ɘB =B ,则由实数a 的所有可能取值组成的集合C 为( ).
A .1,
1
5
{}
B .
12,1
3{}C .0,1,
1
5
{}
D .0,12,
1
3
{}
常考二级结论及其应用
结论二
例3 设全集U ={a ,b ,c ,d },集合A ={a ,b },B ={b ,c ,d },则∁U A ()ɣ∁U
B ()=.
变式1 已知全集U =A ɣB 中有m 个元素,∁U A ()ɣ∁U B ()中有n 个元素.若A ɘB 非空,则A ɘB 的元素个数为( ).A .m n B .m +n C .n -m
D .m -n
变式2 写出下列命题的否定.(1)命题p ᶱq :A =0或B =0;(2)命题p ɡq :A =0且B =0.
结论三
例4 设函数f (x )=(x +1)(x -4)+t a n x x 2-4
的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =.
变式1 已知函数f (x )=l n 1+9x 2-3x ()+1,
则f (l g 2)+f l g 12æèçö
ø÷=( ).A .-1B .0C .1D .2
变式2 对于函数f (x )=
a s i n x +
b x +
c (其中a ,b ɪR ,c ɪZ ),选取a ,b ,c 的一组值计算f (1)和f (
-1),所得出的正确结果一定不可能
是( ).A .4和6B .3和1C .2和4
D .1和
2
结论四
例5 设点P 在曲线y =12
e x
上,点Q 在曲线y =l n (2x )上,则|P Q |的最小值为( ).A .1-l n 2B .2(1-l n 2)C .1+l n 2D .2(1+l n 2
)变式1 若x 1满足2x +2x
=5,x 2满足2x +2l o g 2(x -1)=5,则x 1+x 2=( ).A .5
2
B .3
C .7
2
D .4
结论五
例6 已知函数f (x )满足:f (5)=1
4
,4f (x )f (y )=f (x +y )+f (x -y )(x ,y ɪR ),则f (2015)=
.
变式1 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=l o g 2(
1-x )(x ɤ0)f (x -1)-f (x -2)(x >0){
,则f (2017)=
( ).
A .-1
B .0
C .1
D .2
变式2 已知定义在R 上的函数f (x )满足
f x +32æ
èçöø
÷=-f (x ),且f (-2)=f (-1)=-1,f (
0)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+ +f (2016)+f (2017)=( ).A .-2
B .-1
C .0
D .1
结论六
例7对于定义域为[0,1]的连续函数f(x),如果同时满足以下3个条件:
(1)对任意的xɪ[0,1]总有f(x)ȡ0;
(2)f(1)=1;
(3)若x1ȡ0,x2ȡ0,x1+x2ɤ1,都有f(x1+x2)ȡf(x1)+f(x2)成立.则称函数f(x)为理想函数.若函数f(x)为理想函数,假定存在x0ɪ[0,1],使得f(x0)ɪ[0,1],且f[f(x0)]=x0.求证:f(x0)=x0.
变式1设函数f(x)=e x+x-a(aɪR,e为自然对数的底数).若曲线y=s i n x上存在点(x0, y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是().
A.[1,e]
B.[e-1,1]
C.[1,1+e]
D.[e-1,e+1]
变式2若函数y=l o g a(x2-a x+1)(a>0且aʂ1)在(1,2)上为增函数,则实数a的取值范围是.
结论七
例8 已知a >0,则x 0满足关于x 的方程a x =b 的充要条件是( ).A .∃x ɪR ,12a x 2-b x ȡ12
a x 2
0-b x 0
B .∃x ɪR ,12a x 2-b x ɤ12
a x 2
0-b x 0
C .∀x ɪR ,12a x 2-b x ȡ12a x 20-b x 0
D .∀x ɪR ,12a x 2-b x ɤ12
a x 2
0-b x 0
变式1 若函数f (x )=(1-x 2)(x 2+a x +b )的图像关于直线x =-2对称,则f (x )的最大值是
.
变式2 定义m i n [f (x ),g (x )]=f (x ),f (
x )ɤg (x )g (x ),f (x )>g (x
){
.若函数f (x )=
x 2+t x +s 的图像经过两点(x 1,0),(x 2,0),且存在整数m ,使得m <x 1<x 2<m +1成立,则( ).
A .m i n [f (m ),f (m +1)]<14
B .m i n [f (m ),f (
m +1)]>1
4C .m i n [f (m ),f (m +1)]=14D .m i n [f (m ),f (
m +1)]ȡ1
4
变式3 设m a x {f (x ),g (x )}=f (x ),f (
x )>g (x )g (x ),f (
x )ɤg (x ){
,若函数h (x )=x 2+p x +q (p ,q ɪR )
的图像经过不同的两点(α,0),(β,
0),且存在整数n ,使得n <α<β<n +1成立,则( ).A .m a x {h (n ),h (n +1)}>1B .m a x {h (n ),h (n +1)}<1C .m a x {h (n ),h (n +1
)}>1
2
D .m a x {h (n ),h (n +1
)}<1
2
结论八
例9已知函数f(x)=1
l n(x+1)-x,则y=f(x)的图像大致为()
.
A. B. D.
变式1已知函数f(x)=e x,xɪR.求证:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点.变式2设函数f(x)=1-e-x.求证:当x>-1时,f(x)ȡx x+1.
结论九
例10已知函数f(x)=A c o s(ωx+φ)的图像如图2-2所示
,f
π
2æèçöø÷=-
2
3,则f(0)=().
A.-23
B.2312D.12
图
变式1 已知函数y =g (x )的图像由f (x )=s i n 2x 的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图像如图2-
所示,
则.
变式2 设函数f (x )=A s i n (ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0).若f (x )在区间π6,π2éëêêù
ûúú上具有单调性,且f π2æèçöø÷=f 2π3æèçöø÷=-f π6æèçö
ø
÷,则f (x )的最小正周期为 .
结论十
例11 在әA B C 中,A B ң=c ,A C ң=b .若点D 满足B D ң=2D C ң,则A D ң=( ).
A .23b +13c
B .53c -23b
C .23b -13c
D .13b +2
3
c 变式1 若在直线l 上存在不同的三点A ,B ,C ,使得关于实数x 的方程x 2O A ң+xO B ң+B C ң=0有解
(点O 不在直线上),则此方程的解集为( ).A.∅
B .{-1,
0}C .{-1} D.
-1+52,-1-52
{}
变式2 已知两个单位向量a ,b 的夹角为60ʎ,c =t a +(1-t )b ,若b ㊃c =0,则t =.
结论十一
例12 在әA B C 中,点M 是B C 的中点,AM =3,B C =10,则A B ң㊃A C ң=
.
变式1 在әA B C 中,设点P 0是A B 边上一定点,满足P 0B =1
4
A B ,且对于A B 边上任一点P ,
恒有P B ң㊃P C ңȡP 0B ң㊃P 0C ң,则( ).A .øA B C =90ʎB .øB A C =90ʎC .A B =A C D .A C =B C
变式2 点P 是棱长为1的正方体A B C D A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点,则P A ң㊃P C 1ң的取值范围是( ).
A .-1,-14éëêêùûúú
B .-12,-14éëêêùû
úúC .[-1,0]D .-12,0éëêêù
ûúú
变式3 已知圆M :x 2+(y -1)2=1,圆N :x 2+(y +1)2=1,直线l 1,l 2分别过圆心M ,N ,且l 1与圆M 相交于A ,B 两点,l 2
与圆N 相交于C ,D 两点,点P 是椭圆y 24+x 2
3
=1上的任意一动点,则P A ң㊃P B ң+P C ң㊃P D ң的最小值为 .
例13 在平面上,A B 1ңʅA B 2ң,O B 1ң=O B 2ң=1,A P ң=A B 1ң+A B 2ң.若O P ң
<12
,则O A ң的取值
范围是( ).
A .0,52æèçùûúú
B .52,72æèçù
û
úúC .52,2æèçùû
úúD .72,2æèçù
û
úú
变式1 在R t әA B C 中,点D 是斜边A B 的中点,点P 为线段C D 的中点,则|P A |2+|P B |2
|P
C |2
=( ).A .2B .4C .5D .10
结论十二
例14 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 2
2
=1,则数列{a n }
的公差是( ).A.1
2
B .1
C .2
D.3
变式1 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=100,S 100=10,则S 110=
.
结论十三
例15 在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=( ).A .58
B .88
C .143
D .176
变式1 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m -1+a m +1-a 2m =0,S 2m -1=38,则m =.
变式2 已知两个等差数列{a n }和{b n }
的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45
n +3(n ɪN *),则使得a n
b n 为整数的正整数n 的个数是( ).A .2
B .3
C .4
D .5
结论十四
例16已知{a n}是首项为1的等比数列,S n是{a n}的前n项和,且9S3=S6,则数列1a n{}的前5项和为().
A.158或5
B.3116或5
C.3116
D.158
变式1在等比数列{a n}中,公比为q,其前n项和为S n.已知S5=3116,a3=14,则1a1+1a2+1a3+1a4+1a5= .
例17等比数列{a n}的前n项和为S n,已知对任意的nɪN*,点(n,S n)均在函数y=b x+ r(b>0且bʂ1,b,r为常数)的图像上,求r的值.
变式1已知等比数列{a n}的前n项和S n=t㊃5n-2-15,nɪN*,则实数t=().
A.4
B.5
C.45
D.15
(),则f(n)=.
变式2设f(n)=3+33+35+37+ +32n+9nɪΝ
结论十五
例18 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=3,
则S 9
S 6
=( ).A .2
B .73
C .8
3
D .3
变式1 设等比数列{a n }
的前n 项和为S n ,若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ).A .31B .32C .63D .64变式2 设S n 是等差数列{a n }
的前n 项和,若S 4S 8=13,则S 8
S 16
=( ).A .3
10
B .1
3
C .19
D .1
8
结论十六
例19 过点(3,1)作圆(x -1)2+y 2
=
1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线A B 的方程为( ).A .2x +y -3=0B .2x -y -3=0C .4x -y -3=0D .4x +y -3=0变式1 已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线a x +b y =1与圆O 的位置关系是(
).A.
相切B .
相交C .
相离 D.
不确定变式2 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的焦点在x 轴上,过点1,12æèçöø÷作圆x 2+y 2
=
1的切线,切点分别为A ,B 两点,直线A B 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,
则椭圆方程是 .
结论十七
例20 直线m 与椭圆x 2
2
+y 2=1分别交于点P 1,P 2,
线段P 1P 2的中点为P ,设直线m 的斜率为k 1(k 1ʂ0),直线O P 的斜率为k 2,则k 1㊃k 2的值为( ).
A.2
B .-2
C .12
D .-12
变式1 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线与此抛物线相交于P ,Q 两点,那么线段P Q 中点的轨迹方程是( ).A.y 2=2
x -1B .y 2
=2x -2C .y 2
=-2x +1D .y 2
=-2
x +2例21 已知椭圆E :x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点.
若A B 的中点坐标为(1,-1
),则E 的方程为( ).A .x 245+y 2
36=1
B .x 236+y 2
18=1
C .x 227+y 2
18=1
D .x 218+y 2
9
=1
变式1 椭圆C :x 24+y 2
3
=1的左㊁右顶点分别为A 1,A 2,点P 在椭圆C 上且直线P A 2的斜率的取值范围是[-2,-1
],那么直线P A 1的斜率的取值范围是( ).A .12,34éëêêùûúúB .38,34éëêêùûúúC .12,1éëêêùûúúD .34,1éëêêùû
úú变式2 如图2-11所示,在平面直角坐标系x O y 中,
过坐标原点的直线交椭圆x 24+y 2
2
=1于P ,A 两点,其中点P 在第一象限,过点P 作x 轴的垂线,垂足为点C ,联结A C
B 线P A 的斜率为k .对任意k >0,求证:P A ʅP B .
图2-11
结论十八
例22 已知椭圆C :x 24+y 2
3
=1,点A 为椭圆上的定点,若其坐标为A 1,32æèçö
ø÷,E ,F 是椭圆C 上的两个动点,
如果直线A E 的斜率与A F 的斜率互为相反数.求证:直线E F 的斜率为定值,
并求出这个定值.变式1 已知抛物线C :y 2
=2
x ,定点P (8,4)在抛物线上,设A ,B 是抛物线上的两个动点,直线P A ,P B 的斜率分别为k P A ,k P B ,且满足k P A +k P B =0.求证:直线A B 的斜率k A B 为定值,
并求出该定值.
结论十九
例23 已知椭圆
x 4+y 3
=1,直线l :y =
k x +m 与椭圆交于A ,B 两点(A ,B 不是左㊁右顶点),且以A B 为直径的圆过椭圆的右顶点.
求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.变式1 已知抛物线y 2=2p x (p >0
)上异于顶点的两动点A ,B 满足以A B 为直径的圆过顶点.求证:A B 所在的直线过定点,
并求出该定点的坐标.变式2 如图2-16所示,点O 为坐标原点,直线l 在x 轴上的截距为a (a >0),且交抛物线y 2=2p
x (p >0)于M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)两点,当a =2p 时,
求øMO N 的大小.图2-16
变式3 已知直线y =a 交抛物线y =x 2于A ,B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得øA C B =90ʎ,则a 的取值范围为
.
结论二十
例24已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若M Aң㊃M Bң=0,则k=().
A.12
B.22
C.2
D.2
变式1过抛物线y2=2p x(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两
点,自点M ,N 向直线l :x =-a 作垂线,垂足分别为点M 1,N 1.
当a =p
2
时,求证:AM 1ʅA N 1.结论二十一
例25 如图2-21所示,F 1,F 2是椭圆C 1:x 24+y 2
=
1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二㊁四象限的公共点.若四边形A F 1B F 2为矩形,则C 2的离心率是( ).
A .2
B .3
C .3
2
D .6
2
变式1 已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b
2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且P F 1ңʅP F 2ң.若әP F 1F 2的面积为9,则b =.变式2 已知双曲线x 2
-y 22
=1的焦点为F 1,F 2,点M 在双曲线上且MF 1ң㊃
M F 2ң=0,则点M 到x 轴的距离为( ).
A .43
B .53
C .
233
D .3
变式3 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与双曲线x 2m 2-y 2
n 2=1有相同的焦点F 1和F 2,它们的一个交点为P ,设
øF 1P F 2=2α,求证:t a n α=n
b
.
第二篇 常考二级结论及其应用
例1
解析 由题意知,集合A 为椭圆x 24+y 2
16
=1上
所有点的集合,集合B 是指数函数y =3x
图像上所有点的集合.如图2-22所示,
由图知集合A ɘB 中有2个元素,故A ɘB 的子集个数是22
=4.
故选A .图2-2
2
解析由题意知A ={1,2},B ={1,2,3,4}
,因为A ⊆C ⫋B ,所以集合C 是集合{1,2}
与集合{3,4
}的任意一个真子集的并集,即求集合{3,4
}的真子集的个数,故集合C 的个数为22
-1=3.
故选C .例2
解析 如图2-23所示
,若N ɘ∁I
M =∅
,则N ⊆M ,故选A .
图2-23
解析由题意知A ={1,5
},若A ɘB =B ,则B ⊆A .
①若B =∅,
则a =0;②若B ʂ∅,则1ɪB 或5ɪB ,即a -1=0或5a -1=0,
解得a =1或a =1
5
.故集合C =0,1,1
5
{}
.故选C .
∅⊆A .例3
解析 因为A ɘB ={b },所以∁U A ()ɣ(∁U
B )={a ,c ,d }.解析因为U A )ɣ(∁U B )=∁U (A ɘB ),即集合∁U (A ɘB )中有n 个元素.又全集U 中有m 个元素,所以A ɘB 中有m -n 个元素.故选D .
评注本题若结合V e n n 图求解会更快捷.解析 (p ᶱq )=( p )ɡ( q )
,即 (p ᶱq )
:A ʂ0且B ʂ0.(2)因为 (p ɡq )=( p )ᶱ( q )
,即 (p ɡq ):A ʂ0或B ʂ0.评注 (1)p ᶱq :A =0或B =0⇔A B =0, (p ᶱq )
:A B ʂ0⇔A ʂ0且B ʂ0.(2)p ɡq :
A =0且
B =0⇔A 2+B 2=0, (p ɡq ):A 2+B 2ʂ0⇔A ʂ0或B ʂ0.例4
解析 f (x )=
(x +1)(x -4)+t a n x
x 2
-4
=1+t a n x -3x x 2-4,设g
(x )=t a n x -3x
x 2-4
.因为g (-x )=t a n (-x )+3x
x 2
-4
=-g (x ),即g (x )为定义域上的奇函数.所以g (x )m a x +g (x )m i n =0,故M +m =[g (x )+1]m a x +[g (x )+1]m i n =2+g (x )m a x +解析令g x )=l n 1+9x 2-3x (),
x ɪR ,则g (-x )=l n 1+9x 2+3x ().因为g (x )+g (-x )=l n 1+9x 2-3x ()+
l n 1+9x 2+3x ()=l n (1+9x 2-9x 2)=l n 1=0,所以g (x )
是定义在R 上的奇函数.又l g 12=-l g 2,所以g (l g 2)+g l g 12æèçö
ø
÷=0,
f (l
g 2)+f l g 12æèçöø÷=g (l g 2)+1+g l g 12æèçöø÷+
故选.解析令=a s i n x +b x ,x ɪR ,则g (-x )=
a s i n (-x )-
b x =-g (x ),即g (x )是定义在R 上的奇函数.
故g (-1)+g (1)=0,所以f (1)+f (-1)=
g (
1)+c +g (-1)+c =2c .又c ɪZ ,所以f (1)+f (-1)=2c 为偶数,故一定不可能是1和2.故选D .
例5
解析 由题意知函数y =12
e x 与y =l n (2x )
互为反函数,其图像关于直线y =x 对称,如图2-24所示.
两曲线上点之间的最小距离|P 0Q 0|恰好是
y =x 与y =12e x
上点的最小距离的2倍,
设y =12e x
上点P 0(x 0,y 0)
处的切线与y =x 平行,有12
e x 0
=1,解得x 0=l n 2,y 0=1,
所以y =x 与y =12e x
上点的最小距离,即为
点P 0到直线y =x 的距离,且为
2
2
(1-l n 2),故|P Q |的最小值为22(1-l n 2)ˑ2=2(1-l n 2).
故选B
.图
解析 因为2x +2x
=5,
所以x +2x -1
=5
2
.同理x +l o g 2(
x -1)=5
2,令t =x -1,则x =t +1,即t 1是t +2t
=32
的解,t 2是t +l o g 2
t =3
2
的解,且t 1=x 1-1,t 2=x 2-1.如图2-25所示,t 1为函数y =
2t
与y =32
-t 图像交点P 的横坐标,t 2为函数y =l o g 2
t 与y =3
2-t 图像交点Q 的横坐标,所以P (t 1,2t 1),Q (t 2,l o g 2t 2)
.因为函数y =2t
与y =l o g 2
t 互为反函数,所以点P ,Q 关于直线y =x 轴对称,即t 1=l o g 2t 2,
t 2=2t 1,所以t 1+t 2=t 1+2t 1=t 1+
32-t 1æèçöø÷=32.所以x 1+x 2=t 1+1+t 2+1=32+27
2
.
故选
图
例6
解析 因为f (5)=
14
,且4f (x )f (y )=f (x +y )+f (x -y )(x ,y ɪR )
,所以令y =5,
则f
(x )
=f (x +5)+f (x -5
)①
故f (x +5)=f (x +10)+f (x )
②
由①+②得f (x +10)+f (x -5)=0,
即f (x +10)=-f (x -5),得f (x +15)=-f (x ),T =30.
因此f )=f (5+30ˑ67)=f (5)=
1
4
.解析当时,
有f (x )=f (x -1)-f (x -2)①同理有f (x +1)=f (x )-f (x -1)②
①+②得f (x +1)=-f (x -2),即f (x +3)=-f (x ).
所以f (x +6)=-f (x +3)=f (x ),T =6.于是f (2017)=f (1+6ˑ336)=f (1)=
f (
0)-f (-1)=l o g 21-l o g 22=0-1=-1.故选解析 因为f x +32æ
èçöø
÷=-f (
x ),所以f (x +3)=-f x +32æèçöø
÷=f (
x ),T =3.
则有f (1)=f (-2)=-1,f (2)=f (-1)=-1,f (
3)=f (0)=2,于是f (1)+f (2)+f (3)=0,
所以f (1)+f (2)+ +f (2016)+f (
2017)=[f (1)+f (2)+f (3)]+ +[f (
2014)+f (
2015)+f (2016)]+f (2017)=672ˑ[f (
1)+f (2)+f (3)]+f (2017)=f (1+3ˑ672)=f (1)=f (-2)=-1.
故选B .例7
解析 假设f (x 0)=t ,则f [f (x 0)]=f (t )=x 0.当x 0>t 时,由条件(3)可推出函数f (x )在[0,1]上非减,所以f (x 0)ȡf (t )
,即t ȡx 0,与x 0>t 矛盾,故当x 0>t 时不成立.
同理,当x 0<t 时,有f (x 0
)ɤf (t ),即t ɤx 0,与x 矛盾.综上所述,t =x 0,故f (x 0)=x 0.
解析 令t =g (x )=e x
+x -a ,则y =t (t ȡ
0).g
'(x )=e x
+1,因为g '(x )>0恒成立,所以g (x )在定义域上为增函数,幂函数y =t =t 1
2在[0,+ɕ)
上也为单调增函数,由复合函数的单调性可知f (x )=e x
+x -a 在定义域上为增函数.
若曲线y =s i n x 上存在点(x 0,y 0)使得f [f (y 0)
]=y 0成立,即存在y 0ɪ[-1,1]使得f [f (y 0)
]=y 0成立,由结论六知,方程f (x )=x 在[-1,1]
上有解,即∃x ɪ[-1,1],使得e x
+x -a =x ,亦即a =e x +x -x 2
在[0,1]上有解.令h (x )=
e x +x -x 2,x ɪ[0,1],h '(x )=e x
+1-2x .
当x ɪ[0,1]时,h '(x )>0恒成立,故h (x )
在[0,1]
上单调递增,所以h (x )ɪ[h (0),h (1)]=a ɪ[1,e ].
故选A .解析 令t =g x )=x 2
-a x +1,则y =f (
t )=l o g a t .①当0<a <1时,抛物线t =g (x )
的对称轴x =a 2ɪ0,12æèçö
ø÷.如图2-26所示,g (
x )在(1,2)上为增函数,而y =f (t )在(0,+ɕ)上为减函数.所以复合函数y =f [g (
x )]=l o g a (x 2
-a x +1
,与已知条件不符.(a
) (b
)图2-26
②当a >1时,抛物线t =g (x )在a 2,
+ɕéëêêö
ø
÷上为增函数,y =f (t )在(0,+ɕ)上为增函数,若复合函数y =l o g a (x 2-a x +1)在(1,2)上为增函数,则需g (x )在(1,2
)上单调递增,且g (1)ȡ0,即a 2
ɤ12-a ȡ0a >1
ìîí
ïïïï,解得1<a ɤ2.综上所述,实数a 的取值范围是(1,2].评注 复合函数利用 同增异减 判断其单调性时,一定要注意单调区间是定义域的子集.就本题而言,g (x )在(1,2)上的函数值均为正数才有意义.
例8
解析 由已知得a x 0=b ,
即x 0=b
a .观察选项,发现与二次函数f (x )=12
a x 2
-b x (a >0,
x ɪR )
有关.结合如图2-27所示图形可知,抛物线y =f (
x )的对称轴为x =b a ,在-ɕ,b a æ
èçùûúú上单调递减,在
b a ,+ɕéëêêöø
÷上单调递增.若x 0=b a ,则∀x ɪR ,都有f (x )ȡf (
x 0),即12a x 2-b x ȡ12a x 2
0-b x 0.反之,若∀x ɪR ,12a x 2-b x ȡ12
a x 2
0-b x 0恒
成立,则f (x 0)为f (x )的最小值,即x 0=
b
a
.故选C .
图
解析因为f (x )的图像关于直线x =-2对称,且f (1)=f (-1)=0,即x 1=-1,x 2=1
是函数f (x )
的两个零点,所以方程x 2+a x +b =0也有两解,
分别为x 3=-3,x 4=-5.
则f (x )=(1-x 2)(x 2+a x +b )=-(x +1)(x -1)(x +3)(x +5)=-(x 2+4x +3)(x 2
+4x -5).
令t =x 2+4x ,t ɪ[-4,+ɕ),y =-(
t +3)㊃(t -5)=-(t 2
-2t -15)=-(t -1)2
+16.
所以当t =1,即x 2+4x =1时,f (
x )有最大值
解析依题意f (x )=(x -x 1)(x -x 2)
,m i n [f (m ),f (m +1)]ɤf (m )f (m +1).令x 1-m =x ,x 2-m =y ,则有0<x <y <1,
f (m )=(m -x 1)(m -x 2)=x y ,f (
m +1)=(m +1-x 1)(m +1-x 2)=(1-x )(1-y ),所以f (m )f (m +1)=x y (
1-x )(1-y )<x +1-x 2æèçöø÷2y +1-y 2
æèçöø÷2
=142
,故m i n [f (m ),f (m +1)]ɤf (m )f (m +1)<1
4
.故选A .解析依题意,设h (x )=(x -α)(x -β)
,m a x {h (n ),h (n +1)}ȡh (n )h (n +1).令α-n =x ,β-
n =y ,则有0<x <y <1,h (n )=(n -α)(n -β)
=x y ,h (n +1)=(n +1-α)(n +1-β)=(1-x )(1-y ),显然,h (n ),h (n +1)都小于1,所以m a x {h (n ),h (n +1)}<1.
故选B .例9
解析 因为f (x )
的定义域为x +1>0
l n (x +1)-x ʂ0
{
,即
{x |x >-1且x ʂ0
},所以排除选项D ;令g (x )=l n (x +1)-x ,
则由经典不等式l n (x +1)ɤx 知,g (x )ɤ0恒成立,故f (x )=1
g (
x )<0恒成立,所以排除A ,C .
故选B .解析 令g (x )=f (
x )-12x 2+x +1æèçö
ø
÷=e x -12
x 2-x -1,x ɪR .g '(x )=e x
-x -1
,由经典不等式e x
ȡx +1(x ɪR )
恒成立
可知,g
'(x )ȡ0恒成立,所以g (x )在R 上为单调递增函数,且g (0)=0,故函数g (x )有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.解析 x >-1时,f (
x )ȡx
x +1⇔x >-1,1-e -x ȡx x +1⇔1-x x +1
ȡe -x
(x >-1)⇔
1x +1ȡ1e
x (x >-1)⇔x +1ɤe x
(x >-1).
由经典不等式e x
ȡx +1(x ɪR )
恒成立可知,x >-1时,e x
ȡx +1,即x >-1时,f (
x )ȡx
x +1
.例10
解析 依题意,易知函数y =f (x )的最小正周期为T =21
1π12-7π12æèçöø÷=2π3
,
所以f (0)=f 2
π3æèçöø÷.因为函数y =f (x )的图像关于点7π12,0æèçöø
÷中心对称.
又2π3+
π22=7π12,所以
f 2π3æèçöø÷=-f π2æèçöø÷=2
3,所以f (0)=23.
故选解析由题意知f (x )与g (x )
的最小正周期均为π.其中f (x )图像上的点A ,B 平移后对应g (x )图像上的C ,D 两点.又A ,B 两点关于直线
x
=
π4对称,所以x B +x A 2=π4,解得x B =3π
8
.
又x D =17π24,所以φ=17π24-3π8=17π-9π24=π
3
.解析记f x 的最小周期为T ,因为f (x )在区间π6,π2éëêêùû
úú上具有单调性,所以T 2ȡπ2-π6=π3,即T ȡ2π3.又f π2æèçöø÷=f 2π3æèçöø÷=-f π6æèçö
ø÷,且2π3-π2=π
6
<T ,可作出函数f (x )的示意图如图2-28所示(一种情况):所以x 1=π2+π6æèçöø÷ˑ12=π3,x 2=π2+2
π3æèç
öø÷ˑ12=7π12,于是T 4=x 2-x 1=
7π12-π3
=π
4
,故T =π.
图评注 f π2æèçöø÷=-f π6æèçö
ø÷,且在同一单调区间内,
故相应两点π6,f π6æèçöø÷æèçöø÷,π2,f π2æèçöø÷æèçö
ø
÷关于点
(x 1,0)中心对称,f π2æèçöø÷=f 2
π3æèçöø
÷,
且在同一周期内,故相应两点关于直线x =x 2轴对称.例11
解析 如图2-29所示,在әA B C 中,因为B D ң=2D C ң,所以B D ңʊD C ң,且|B D |=2|D C |,
即点D 为线段B C 的三等分点.故A D ң=A B ң+B D ң=A B ң+23B C ң=A B ң+23A C ң-A B ң
()=13A B ң+
23A C ң=13c +2
3b .
故选 图2-29
评注 在平面O A B 内,向量O A ң与O B
ң不共线,若点P 为平面内任意一点,且O P ң=λO A ң+μO
B ң,λ,μɪR .
如图2-30所示,点P 0为线段A B 的中点,则有以下相关结论:(1)若点P 在线段A P 0上(不含端点),则0<μ<1
2<λ<1,且λ+μ=1.
(2)若点P 在线段B P 0上(
不含端点),则0<λ<1
2<μ
<1,且λ+μ=1.(3)若点P 在B A 的延长线上,则λ>1,μ<0,且λ+μ=1.(4)若点P 在A B 的延长线上,则λ<0,μ>1,且λ+μ=1.(5)若点P 在әO A B 内部(不含边界),则0<
λ<1,0<μ<1,且0<λ+μ<1.(6)若点P 在O P 0的延长线上,则λ=μ>12
.总之,①若点P 与点O 在直线A B 同侧,且O P ң=λO A ң+μO B ң,则λ+μ<1;
②若点P 与点O 在直线A B 两侧,且O P ң=
λO A ң+μO B ң,则λ+μ>1;
③若点P 在直线A B 上,且O P ң=λO A ң+μO
B ң,则λ+μ=
1,且点P 与A ,B 两点间的距离大小与O A ң,O B ң
的系数(即
图2-30
解析 由于x 2O A ң+xO B ң+B C ң=0,
即x 2O A ң+xO B ң+O C ң-O B ң=0,所以O C ң=-x 2O A ң-xO B ң+O B ң=-x 2O A ң+(1-x )O B ң
.因为A ,B ,C 三点共线,所以-x 2+(1-x )=1,
解得x =0或-1.当x =0时,x 2O A ң+xO B ң+B C ң=0,即B C ң=0
不合题意,所以x =-1.故选C .
解析如图1所示,设O A ң=a ,O B ң=b ,
因为单位向量a ,b 的夹角为60ʎ,所以әO A B 为等
边三角形.又c =t a +(1-t )㊃b ,设O C ң=c ,
则A ,B ,C 三点共线.又b ㊃c =0,所以过点O 作O B
的垂线与B A 的延长线交于点C ,易知|A C |=
|A B |,即点A 为B C 的中点,所以c =a +A C ң=
a +B A ң=a +(O A ң-O B ң)=2a -
b .故t =2.
图2-31
例12
解析 如图2-32所示,因为点M 为B C 的中点,
所以A B ң㊃A C ң|A M ң
|2|M C ң|25=-16.
图2-32
解析 如图2-所示,取B C 中点为点Q ,则P 0B ң㊃P 0C ң=|P 0Q ң|2-|Q C ң|2.同理,边A B 上任作一点
P ,有P B ң㊃P C ң=|P Q ң|2-|Q C ң|2.因为P B ң㊃P C ңȡP 0B ң㊃P 0C ң,所以|P Q ң|2-|Q C ң|2ȡ
|P 0Q ң|2-|Q C ң|2,即|P Q ң|2ȡ|P 0Q ң|
2恒成立,亦即P Q ңȡP 0Q ң,所以P 0Q ʅA B ,当点
P 为A B 中点时,则P C ʅA B ,即әA B C 为等腰三角形,且C A =C B .
故选D
.图2-33
解析如图34所示,在正方体A B C D
A 1
B 1
C 1
D 1中,设A C 1的中点为点Q ,则P A
ң㊃P C 1ң=|P Q ң|2-|Q A ң|2.因为正方体棱长为1,所以中心Q 与底面A 1B 1C 1D 1内任一点连线的线段P Q 的长度
取值范围为12,32éëêêùû
úú,且Q A ң=32,所以P A ң㊃P C 1ң|P Q ң|2-34-12,0éëêêùû
úú.故选D .图2-34
解析 P A ң㊃P B ң=(P M ң+M A ң)㊃(P M ң+M B ң)=(P M ң+M A ң)㊃(P M ң-M A ң)=|P M ң|2-|M A ң|2=|P M ң|2-1,同理P C ң㊃P D ң=|P N ң|2
-1,则P A ң㊃P B ң+P C ң㊃P D ң=|P M ң|2+|P N ң|2-2=
(|P M ң|+|P N ң|)2-2|P M ң||P N ң|-2=(2a )2
-2-2|P M ң||P N ң|=14-2||P M ң||P N ң|.
又|P M ң||P N ң|ɤ|P M ң|+|P N ң|2
æèçöø÷2=a 2=4,当且仅当|P M ң|=|P N ң|时等号成立.故P A ң㊃P B ң+P C ң㊃P D ңȡ14-2ˑ4=6.故填6.例13
解析 如图2-35所示,因为A B 1ңʅA B
2ң,
A P ң=A
B 1ң+A B 2ң,所以四边形A B 1P B 2为矩形.
又因为O B 1ң=O B 2ң=
1,所以|O A ң|2+|O P ң|2
=|O B 1ң|2+|O B 2ң|2=2.所以|O A ң|2=2-|O P ң|2
.又因为O P ң<12,所以|O A ң|2ɪ74,2æèçùûúú,即O A ңɪ72,2æèçùû
úú.故选D .解析 如图6所示,在әA B C 中,设C A ң+C B ң=C E ң,则四边形A C B E 为平行四边形.
又øA C B =90ʎ,所以四边形A C B E 为矩形,
则|P C ң|2+|P E ң|2=|P A ң|2+|P B ң|2.又点P 为C D
中点,所以|P A |2+|P B |2|P C |2=|P C |2+|P E |
2
|P C |
2
=|P C |2+(3|P C |
)2
|P C |
2
=10.故选D
图2-35
图2-36
例14
解析 因为S n
=n (a 1+a n )2,所以S n n =a 1+a n
2
=a 1+d
2(n -1
),那么S 33-S 22=d 2=1,得d =2.故选解析 因为{a n }
是等差数列,所以S n
n
{}
也为等差数列,令b n =S n
n
,公差为d ,故b 10=S 1010=10,b 100=
S 100
100
=110
,则d =b 100-b 10
100-10=1
10-10
90=-11100
,所以b 110=b 10+
100d =10+100ˑ-11100æèçöø
÷=-1,即S 110
110
=-1,所以S 110=-110.评注 等差数列{a n }的前
n 项和为S n ,若S m =n ,S n =m (m ʂn ,m ,n ɪN *),则S m +n =-(m +n ).
例15
解析 因为{a n }
为等差数列,又a 4+a 8=16,所以a 6=a 4+a 8
2
=8,于是S 11=
11a 6=8ˑ11=故选解析因为{n 是等差数列,所以S 2m -1=(2m -1)a m =38.又a m -1+a m +1-a 2m =0
,所以2a m -a 2m =-a m (a m -2)=0,解得a m =0(舍)或a m =2,所以S 2m -1=(2m -1)㊃2=38,解得m =10.
解析因为{a n }和{b n }都是等差数列,所以a 1+a 2n -1=2a n ,所以A 2n -1=
(a 1+a 2n -1)
(2n -1)2
=
(2n -1)a n (n ɪN *).同理B 2n -1=(2n -1)b n ,所以a n b n =A 2n -1
B 2n -1
=7(2n -1)+452n +2=7+12n +1(n
ɪ
N *).
所以要使得a n
b n
为整数,正整数n 可能的值为1,2,3,5,11
,共5个.故选D .例16
解析 设数列{a n }的公比为q ,若q =1,则S 3=3,S 6=6,9S 3ʂS 6,与已知矛盾,故q ʂ1.
所以有9(1-q 3)1-q =1-q 61-q
,即9=1+q 3
.
解得q =2.所以数列
1
a n
{}
是首项为1,公比为12的等比数
列,其前5项和为1-12æèçöø÷
5
1-12
=31
16.
故选C .评注 这里由于项数不多,可用和定义列方程,
不必分情况.9(a 1+a 2+a 3)=a 1+a 2+…+
a =2,下同.解析解法一:因为{a n }为等比数列,且S 5=3116,a 3=14,若q =1,则S 5=5a 3=5
4,与已知矛盾.故q ʂ1.
所以有a 1(1-q 5)1-q =3116,1-q 51-q =311
6a 1
.
因为1
a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5可看作是数列1a 5,1a 4,1a 3,1a 2,1a 1的5项和,且首项为1a 5
,公比为q .
故所求和为1a 5
(1-q 5
)1-q =1a 5㊃3116a 1=3116a 23
=31.
解法二:由等比数列{a n }知,a 1a 5=a 2a 4=a 23,得1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=a 1+
a 5a 1a 5+a 2+a 4a 2a 4
+a 3a 23=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5a 2
3=S 5a 23=3116
1
16
=31.
评注 若a 1,a 2,a 3是公比为q 的等比数列,
则1a 1,1a 2,1a 3是公比为1
q
的等比数列;a 3,a 2,a 1是公比为1q
的等比数列;1a 3,1a 2,1
a 1是公比为q
的等比数列.本题需深入理解等比数列性质及求和公式的变形应用.
例17
解析 解法一:因为(n ,S n )在函数y =b x
+r 的
图像上,所以S n =b n
+r ,n ɪN *.所以S 1=b +r ,S 2=b 2+r ,S 3=b 3+r .
于是有a 1=b +r ,a 2=b 2-b ,a 3=b 3-b 2
.
因为{a n }
是等比数列,所以(b 2-b )2
=(b +r )㊃(b 3-b 2),且b >0,b ʂ1,解得r =-1.解法二:数列{a n }为等比数列,q ʂ1时,
S n =λ-λq n (λ=a 11-q
),所以S n =r +b n
=(-1)+1㊃b
n ,故r =-1.评注 若本题为填空题或选择题,由q ʂ1的等比
数列前n 项和公式S n =
a 1(1-q n
)1-q =a 1
1-q
-a 11-q
㊃q n =k ㊃q n -k 的形式知r =-1(即q n
的系数与常数项互为相反数),需灵活掌握公式变
形应用
解析 因为S n =t ㊃5n -2-
15=t 25㊃5n
-15.
又{a n }
为等比数列,所以t 25-1
5
=0,解得t =5.故选
分析由题意知f (n )
为等比数列求和问题,其中a 1=3,q =333= =32n +9
3
2n +7=9,末项为32n +9
,但项数不易确定,故使用S n
=a 1(1-q n
)1-q =a 1-a n
q 1-q
计算更为迅捷.
解析 由S n =
a 1-a n
q 1-q ,知f (n )=3-32n +9
ˑ91-9=38(32n +9ˑ3-1)=38
(9n +5
-1).例18
解析 由已知S 6
S 3
=3,得S 6=3S 3,因为S 3,S 6-S 3,S 9-S 6也为等比数列,所以(S 6-S 3)2
=
S 3(S 9-S 6),则(2S 3)2
=S 3(S 9-3S 3)
,化简得S 9=7S 3,从而S 9S 6=7S 33S 3=7
3
.
故选B .评注 本题利用S 3,S 6-S 3,S 9-S 6仍为等比数列,以S 3为基本量,设而不求体现了整体思
想,故可令S 3=1,则S 6=3
,从而S 6-S 3=2,
S 9-S 6=4,
所以S 9=7,故S 9S 6=7
3
.如此求解更为简捷.解析由结论十五(2)知,S 2,S 4-S 2,S 6-S 4
成等比数列,故(S 4-S 2)2
=S 2㊃(S 6-S 4)
,得S 6-S 4
=(S 4-S 2)2S 2=(15-3
)23=48,
故S 63.故选C .解析由结论十五(1)知,S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列,
不妨设S 4=k ,则S 8=3k ,故k ,2k ,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列,所以S 12-S 8=3k ,S 16-S 12=4k ,可得S 12=
6k ,S 16=
10k ,所以S 8S 16
=3k 10k =3
10.故选A .例19
解析 解法一:因为点P (3,1)在圆C :(x -1)2
+
y 2
=
1外,所以直线A B 的方程为(3-1)(x -1)+y =1,即2x +y -3=0.故选A .解法二:如图2-37所示,设P (3,1),圆心C (1,0),切点分别为A ,B .由题意可知A (1,1),k P C =1
2
.
又A B ʅP C ,
所以k A B =-2.故直线A B 的方程为
y -1=-2(x -1
),即故选
图解析依题意,点M (a ,b )在圆O :x 22
外,则a 2+b 2
>1.
圆心O (0,0)到直线l :a x +b y =1的距离d =
1
a 2
+b
2
<1=r ,因此直线a x +b y =1与圆O
的位置关系是相交.故选B .
解析 令P 1,12æèçöø
÷,
由题意,过点P 作圆x 2+y 2
=1的切线有两条,
其中一条为x =1,则切点为(1,0),设A (1,0),则A 为椭圆的右焦点,即c =1,如图2-38所示.由结论十六中的1(2)可知直线A B 方程为
1㊃x +
12
㊃y =1,即2x +y -2=0.设C 为椭圆的上顶点,可得C (0,2),即c =1,b =2,
所以a 2
=b 2
+c 2
=5,
所以椭圆方程为x 25+y 2
4
=1
.图例20
解析 令P (x 0,y 0),由结论十七的1(3)可知,k 1
2b 2
a
21
2.故选D .解析设线段P Q 中点为M (x ,y )
,焦点为F ,由结论十七中的3可知,k P Q =2
y
=k M F =
y -0
x -1
,可得y 2=2(x -1)=2x -2.故选B .例21
解析 如图2-39所示,设P (1,-1
),则有k A B ㊃k O P =-b 2a 2,即-b
2
a
2=k F P ㊃k O P =
0-(-1)3-1ˑ-11=-12
,亦即a 2=2b 2.由c 2
=
a 2-
b 2=2b 2-b 2=b 2,得b 2
=9,所以a 2=18,
即椭圆方程为x 2
18+y 2
9
=1.故选D .
图2-39
解析设P A 2的斜率为k 2,P A 1的斜率为k 1,
则k 1㊃k 2=-b 2
a
2=-3
4.
又k 2ɪ[-2,-1],所以k 1ɪ38,34éëêêù
û
úú.
故选B .分析 由结论十七1(2)
知k A B ㊃k P B =-b
2a
2,所以要想证明k P A ㊃k P B =-1,需证明k A B 与k P A 之间的关系,即k P A =2k A B =2k A C .
解析 证明:设P (x 0,y 0),则A (-x 0,-y 0)
,C (x 0,0),k A C =0+
y 0x 0-(-x 0)=y 02x 0
.
又k P A =y 0x 0=k ,所以k A C =k
2
.由k B A ㊃k B P =
-b 2
a
2知,k B P ㊃k B A =k B P ㊃k A C =k 2㊃k P B =
-2
4
,所以k P B ㊃k =-1,即P A ʅP B .评注 本题为解答题,求解时应对相应结论加以证明.若为填空题或选择题,可直接应用.
例22
解析 设直线A E 的方程为y =k (x -1)+3
2
(k ʂ0),联立方程组y =
k (x -1)+32
x 24+y 2
3
=1ìîíïïï
ï,消去y 整理,得
(4k 2+3)x 2+(12k -8k 2)x +432-k æèçöø
÷2
-12=0,则x E =432-k æèçöø÷2
-12(4k 2+3)x A =(3-2k )2
-12
4k 2
+3
①同理,设直线A F 的方程为y =-k (x -1)+
32,则x F =(3+2k )2
-12
4k 2+3
②
所以k E F =y F -y E x F -x E =
-k (x F -1)+
32-k (x E -1)+32éëêêù
û
úúx F -x E
=
-k (x F +x E )+2k
x F -x E
,将式①,式②代入上式,
化简得k E F =
1
2
,为定值.评注 由结论十八(1)知k A B 实际上是点P 关于x 轴的对称点(x 0,-y 0)
处切线的斜率,即k E F =b
2
a 2㊃x 0y =34㊃132=12
.
解析设A x 1y 1),B (x 2,y
2),P (8,4),k P A =k ,k P B =-k (k ʂ0),直线P A 的方程为y -4=k (x -8),得x =1
k
(y -4)+8.联立x =1k (y -4
)+8y 2
=2x ìîíïïï,消去x ,
整理得y 2
=2
k
(y -4
)+16,即y 2-2k y +8
k
-16=0,
得y 1+4=2k ,x 1=1k (y
1-4)+8=1k 2k -8æèçö
ø÷+8.同理可得y 2+4=
-2
k
,x 2=-1k -2k -8æèçöø÷+8=1k 2k +8æèçö
ø÷+8.
所以直线A B 的斜率
k A B =y 1-y 2x 1-x 2=4k -16k
=-1
4
.
所以直线A B 的斜率k A B 为定值,且为-1
4
.评注 由结论十八(3)知,k A B =-p y 0
=-1
4.
例23
分析 要证直线y =k x +m 过定点,必须知道直线l :y =
k x +m 中k 与m 的关系.解析证明:设A x 1y 1B x 2y 2联立方程组x 24+y 23
=1
y =
k x +m ìîíïïï,消y 得,3x 2+4(k x +m )2
=12,
整理得(4k 2+3)x 2+8k m x +4m 2-12=0,则有Δ=(8k m )2
-4(4k 2+3)(4m 2-12)>0,
即m 2<4k 2+3,
且x 1+x 2=-8k m 4k 2
+3
x 1x 2=4m 2-124k 2+3
ìîíïïï
ï①
因为以A B 为直径的圆过椭圆右顶点(2,0)
,设P (2,0),则P A ʅP B ,所以P A ң㊃P B ң=0,
得(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=0,即x 1x 2-2(x 1+x 2)+4+y 1y
2=0,亦即x 1x 2-2(x 1+x 2)+4+(k x 1+m )(k x 2+m )=0,
整理得(k 2+1)x 1x 2+(k m -2)(x 1+x 2)+
m 2+4=0②
把式①代入式②化简得7m 2+16k m +4k 2=
0,得m =-2k 或m =-2k
7
.
(1)当m =-2k 时,直线l :y =k x -2k 过右顶点(2,0
),与题意不符,故舍去;(2)当m =-2k 7时,直线l :y =
k x -2k 7过定点27,0æèçöø
÷,且满足m 2<4k 2+3,符合题意.所以l :y =
k x +m 过定点27,0æèçö
ø÷.解析由题意知l A B 的斜率不为0(否则只有一个交点),故可设l A B :x =t y +m ,A (x 1,y 2)
,B (x 2,y 2)
,联立方程组y 2
=2p
x x =t y
+m {
,消x 得,
y 2-2p t y -2p m =0,从而Δ=(-2p t )2
-4(-2p m )=4p 2t 2+8p m >0,p
t 2
+2m >0,y 1+y 2=2p
t y 1y 2=-2p
m {
①
因为以A B 为直径的圆过顶点O (0,0
),所以O A ң㊃O B ң=0,即x 1x 2+y 1y 2=0,
也即(t y 1+m )(t y 2+m )+y 1y 2=0,
整理得(t 2
+1)y 1y 2+t m (y 1+y 2)
+m 2=0,把式①代入上式化简得m (m -2p )
=0,。