第二章第三节 二元随机变量
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0 1 0.15 0.35 0.10 0.40
解：由分布函数定义可得
F (0,0) P( X 0, Y 0) P( ) 0, F (0.5,1.2) P( X 0.5, Y 1.2) P( X 0, Y 1) 0.15, F (0.5,2.2) P( X 0.5,Y 2.2)
0
1
2
4/16 4/16 1/16 4/16 2/16 0
1/16
1
0
0
分布表为：
p1 i|2 1
1
0 2/3
1/3
例1. 袋中有3个红球和2个白球，依次无放 回地连续取两个球。求： (1) 两次所取结果的概率分布； (2) 分别写出关于和的边际分布； (3) 在=1的条件下关于的条件分布。
补例. 求前例中在2=1的条件下 关于1的条件分布。
P{2 1, 1 0} 2 P{1 0 | 2 1} 1 P{2 1} 4 /16 2 0 3 6 /16
P{2 1, 1 1} 1 P{1 1| 2 1} P{2 1} 2 /16 1 2 6 /16 3
p
ij
xi x yjy
P{ x , y }.
i j
( x i , y j )G
p
i
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
P {( , ) G }
p ,
ij
G为平面区域。
补例：设X与Y的联合分布如下表，F(x,y)是联合分布函数，求 F(0,0), F(0.5，1.2)及F(0.5，2.2). y 1 x 2
,
i = 1, 2, …
为在=yj的条件下关于的条件分布。 对固定的i, 若P{=xi}>0, 则称 P{ xi , y j } pij (1) , j = 1, 2, … P{ y j | xi }
P{ xi } pi
为在=xi的条件下关于的条件分布。
(1) pij 0; ( 2)
一元： pi 0; pi 1
i
p
i j
ij
1.
(，)的分布函数为F(x, y)：
F ( x ) pi
xi x a xi b
F ( x, y ) P{ x, y} P {a b}
xi x yjy
y
F ( ,) x lim F ( x , y ) 1.
y
3o F ( x , y ) F ( x 0, y ), F ( x , y ) F ( x , y 0), 即 F ( x , y ) 关于 x 右连续, 关于 y 也右连续.
4o 对于任意 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 ,
解 { X i ,Y j } 的取值情况是: i 1,2,3,4,
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
P{ X i ,Y j } P{X i} P{Y j X i} 1 1 ,
P{ 1, 1} 1/10 1 P{ 1| 1} P{ 1} 4 /10 4
在=1的条件下关于的条件分布：
0 3/4
1 1/4
p j| 1
续（练习）无放回取两次，用表示取得的红球个数，
解
表示取得的白球个数，求(, )的概率分布。 (, )的可能值: (0,2),(1,1),(2,0).
(1, 2)的分布表为：
1
0 1
2
0
1
2
4/16 4/16 1/16
4/16 2/16
1/16 0
0
0
2
2.边际分布 定义 设(,η)的分布律为 pij=P{=xi,η=yj}, i, j=1,2,… , 则分别称概率分布 pi(1) P{ xi } j P{ xi , y j } j pij , i=1,2,… , p(2) y j } i P{ xi , y j } i pij , j P{ j=1,2,… , 为关于和η的边际分布律或边缘分布律。
二、二元离散型随机变量的分布
三、二元连续型随机变量的分布
四、随机变量的相互独立性 五、小结
一、二元随机变量及其分布函数
1.定义 设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S {e},
设 X X (e) 和 Y Y (e) 是定义在 S 上的随机变量 ,
由它们构成的一个向量 ( X ,Y ), 叫作二元随机变量 或二维随机变量 .
P( X 0, Y 1) P( X 0,Y 2) 0.15 0.1 0.25.
补例 .将两封信随机地投入编号为I、II、III、 IV的4 个邮筒内，用i表示第 i 个邮筒内信的 数量(i =1,2)，求(1, 2)的分布律。 解：由题可知 1 C 2 2 2 2 P{1 1, 2 0} ; P{1 0, 2 0} ; 44 44 1 1 C2 2 C2 P{1 0, 2 1} ; P{1 1, 2 1} ; 44 44 1 1 P{1 0, 2 2} ; P{1 2, 2 0} . 44 44
第三节 二元随机变量
实际中，有些随机试验的结果要用两个或两个以上
的随机变量来描述。
例如: 砖的质量指标：抗压强度，抗折强度；
儿童发育指标： 身高，体重，胸围等；
衡量企业经济效益的指标： 劳动生产率，资金产值率等。 本节只讨论二元（维）随机变量 （，） 或 （X, Y）。
一、二元随机变量的分布函数
补例．分别写出例1中关于ξ1和ξ2的边际分布律。
1 0
2
0
1
2
pi(1) 9/16
4/16 4/16 1/16 4/16 2/16 0
1
2
6/16
1/16
1/16
0
0
pj(2) 9/16 6/16 1/16 1 P 0 1 2
1 2 9/16 6/16 1/16
0
2
1
9/16 6/16 1/16 P
为和的边际分布函数或边缘分布函数。
二、二元离散型随机变量的分布
1. 联合概率分布 定义2.6 设二元随机变量(, )的所有可能 值为(xi, yj), i, j=1,2,…, 且 P{=xi, =yj} =pij , i, j=1,2,…, (※) 则称(, )为二元离散型随机变量，称(※) 式为(, )的概率分布或分布律，或称为 和 的联合分布律。
3.条件分布 定义 设二元离散型随机变量(,η)的分布 律为 pij=P{=xi, =yj}, i, j=1,2,… , 对固定的 j, 若P{=yj}>0, 则称
P{ xi | y j }
P{ xi , y j } P{ y j } pij p
(2) j
2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义 设 ( , ) 是二维随机变量, 对于任意实数 x, y,
F ( x, y) P{( x) ( y)} P{ x, y}
称为二维随机变量 ( , ) 的分布函数, 或称为随
机变量 和 的联合分布函数.
F ( x , y ) 的函数值就是随机点落 在如图所示区 y 一元： 域内的概率. ( x, y)
的分布律为已知相互独立所以有服从并且相互独立所以求随机变量的联合分布律为因此例15一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时设他们两人到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过相互独立由于的面积的面积的面积12111213分钟的概率为不超过到达办公室的时间相差因此负责人和他的秘书联合分布边缘分布也相互独立相互独立ij作业p7925
有 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
证明 P{ x1 X x2 , y1 Y y2 } P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1 , y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1 } P{ X x1 ,Y y2 } P{ X x1 ,Y y1 } 0, 故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
C C P{ k , 2 k } , k 0,1,2. C 0 1 2 分布表： 0 0 0 0.1 1 0 0.6 0 2 0.3 0 0
k 3
2 k 2 2 5
补例
设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地 取值, 另一个随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律.
1， 第二次取到白球； = 0， 第二次取到红球。
(， )的联合分布律为： (1) p 0 1 (2) 和边际分布为：
0 1 3/10 3/10 6/10 3/10 1/10 4/10 1
P 0 1
6/10
0 6/10
4/10
1 4/10
p(2) 6/10 4/10
P
P{ 1, 0} 3/10 3 (3) P{ 0 | 1} P{ 1} 4 /10 4
x, y
F ( x ) P{ x } x R
x
o
x
(2) பைடு நூலகம்布函数的性质
1o F ( x , y ) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y , 当 x2 x1 时 F ( x2 , y ) F ( x1 , y ),
对于任意固定的 x ,当y2 y1时F ( x , y2 ) F ( x , y1 ).
解：设 =
1， 第一次取到白球； 0， 第一次取到红球。
3 2 3 3 2 3 P{ 0, 0} , P{ 0, 1} , 5 4 10 5 4 10 2 3 3 P{ 1, 0} , P{ 1, 1} 2 1 1 . 5 4 10 5 4 10
y y2
(x1, y2)
(x2, y2)
y1
( x1 , y1 )
(x2, y1)
O
x1
x2
x
定义2.5
设随机变量和的联合分布函数为F(x, y)， 则分别称 F (x)=P{≤x}
=P{≤x, -∞< <+∞} =F(x, +∞)
F (y)=P{≤y}
=P{-∞< <+∞, ≤y} =F(+∞, y)
和 的联合分布律可用表格表示：
x1 x2 xi
y1
y2
· · · · · ·
yj
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · · · · · · · ·
p11 p21
pi1
· · · · · ·
p12
p22 pi2
· · · · · ·
2o 0 F ( x, y ) 1,
且有
lim F ( x , y ) 0, 对于任意固定的 y , F ( , y ) x
对于任意固定的x , F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
y
F ( ,) x lim F ( x , y ) 0 ,
X (e )
图示
S
e
Y (e )
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量. 实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ). 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
p1j p2j
pij
· · · · · ·
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
概率分布具有两条基本性质
解：由分布函数定义可得
F (0,0) P( X 0, Y 0) P( ) 0, F (0.5,1.2) P( X 0.5, Y 1.2) P( X 0, Y 1) 0.15, F (0.5,2.2) P( X 0.5,Y 2.2)
0
1
2
4/16 4/16 1/16 4/16 2/16 0
1/16
1
0
0
分布表为：
p1 i|2 1
1
0 2/3
1/3
例1. 袋中有3个红球和2个白球，依次无放 回地连续取两个球。求： (1) 两次所取结果的概率分布； (2) 分别写出关于和的边际分布； (3) 在=1的条件下关于的条件分布。
补例. 求前例中在2=1的条件下 关于1的条件分布。
P{2 1, 1 0} 2 P{1 0 | 2 1} 1 P{2 1} 4 /16 2 0 3 6 /16
P{2 1, 1 1} 1 P{1 1| 2 1} P{2 1} 2 /16 1 2 6 /16 3
p
ij
xi x yjy
P{ x , y }.
i j
( x i , y j )G
p
i
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
P {( , ) G }
p ,
ij
G为平面区域。
补例：设X与Y的联合分布如下表，F(x,y)是联合分布函数，求 F(0,0), F(0.5，1.2)及F(0.5，2.2). y 1 x 2
,
i = 1, 2, …
为在=yj的条件下关于的条件分布。 对固定的i, 若P{=xi}>0, 则称 P{ xi , y j } pij (1) , j = 1, 2, … P{ y j | xi }
P{ xi } pi
为在=xi的条件下关于的条件分布。
(1) pij 0; ( 2)
一元： pi 0; pi 1
i
p
i j
ij
1.
(，)的分布函数为F(x, y)：
F ( x ) pi
xi x a xi b
F ( x, y ) P{ x, y} P {a b}
xi x yjy
y
F ( ,) x lim F ( x , y ) 1.
y
3o F ( x , y ) F ( x 0, y ), F ( x , y ) F ( x , y 0), 即 F ( x , y ) 关于 x 右连续, 关于 y 也右连续.
4o 对于任意 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 ,
解 { X i ,Y j } 的取值情况是: i 1,2,3,4,
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
P{ X i ,Y j } P{X i} P{Y j X i} 1 1 ,
P{ 1, 1} 1/10 1 P{ 1| 1} P{ 1} 4 /10 4
在=1的条件下关于的条件分布：
0 3/4
1 1/4
p j| 1
续（练习）无放回取两次，用表示取得的红球个数，
解
表示取得的白球个数，求(, )的概率分布。 (, )的可能值: (0,2),(1,1),(2,0).
(1, 2)的分布表为：
1
0 1
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0
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4/16 4/16 1/16
4/16 2/16
1/16 0
0
0
2
2.边际分布 定义 设(,η)的分布律为 pij=P{=xi,η=yj}, i, j=1,2,… , 则分别称概率分布 pi(1) P{ xi } j P{ xi , y j } j pij , i=1,2,… , p(2) y j } i P{ xi , y j } i pij , j P{ j=1,2,… , 为关于和η的边际分布律或边缘分布律。
二、二元离散型随机变量的分布
三、二元连续型随机变量的分布
四、随机变量的相互独立性 五、小结
一、二元随机变量及其分布函数
1.定义 设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S {e},
设 X X (e) 和 Y Y (e) 是定义在 S 上的随机变量 ,
由它们构成的一个向量 ( X ,Y ), 叫作二元随机变量 或二维随机变量 .
P( X 0, Y 1) P( X 0,Y 2) 0.15 0.1 0.25.
补例 .将两封信随机地投入编号为I、II、III、 IV的4 个邮筒内，用i表示第 i 个邮筒内信的 数量(i =1,2)，求(1, 2)的分布律。 解：由题可知 1 C 2 2 2 2 P{1 1, 2 0} ; P{1 0, 2 0} ; 44 44 1 1 C2 2 C2 P{1 0, 2 1} ; P{1 1, 2 1} ; 44 44 1 1 P{1 0, 2 2} ; P{1 2, 2 0} . 44 44
第三节 二元随机变量
实际中，有些随机试验的结果要用两个或两个以上
的随机变量来描述。
例如: 砖的质量指标：抗压强度，抗折强度；
儿童发育指标： 身高，体重，胸围等；
衡量企业经济效益的指标： 劳动生产率，资金产值率等。 本节只讨论二元（维）随机变量 （，） 或 （X, Y）。
一、二元随机变量的分布函数
补例．分别写出例1中关于ξ1和ξ2的边际分布律。
1 0
2
0
1
2
pi(1) 9/16
4/16 4/16 1/16 4/16 2/16 0
1
2
6/16
1/16
1/16
0
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pj(2) 9/16 6/16 1/16 1 P 0 1 2
1 2 9/16 6/16 1/16
0
2
1
9/16 6/16 1/16 P
为和的边际分布函数或边缘分布函数。
二、二元离散型随机变量的分布
1. 联合概率分布 定义2.6 设二元随机变量(, )的所有可能 值为(xi, yj), i, j=1,2,…, 且 P{=xi, =yj} =pij , i, j=1,2,…, (※) 则称(, )为二元离散型随机变量，称(※) 式为(, )的概率分布或分布律，或称为 和 的联合分布律。
3.条件分布 定义 设二元离散型随机变量(,η)的分布 律为 pij=P{=xi, =yj}, i, j=1,2,… , 对固定的 j, 若P{=yj}>0, 则称
P{ xi | y j }
P{ xi , y j } P{ y j } pij p
(2) j
2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义 设 ( , ) 是二维随机变量, 对于任意实数 x, y,
F ( x, y) P{( x) ( y)} P{ x, y}
称为二维随机变量 ( , ) 的分布函数, 或称为随
机变量 和 的联合分布函数.
F ( x , y ) 的函数值就是随机点落 在如图所示区 y 一元： 域内的概率. ( x, y)
的分布律为已知相互独立所以有服从并且相互独立所以求随机变量的联合分布律为因此例15一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时设他们两人到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过相互独立由于的面积的面积的面积12111213分钟的概率为不超过到达办公室的时间相差因此负责人和他的秘书联合分布边缘分布也相互独立相互独立ij作业p7925
有 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
证明 P{ x1 X x2 , y1 Y y2 } P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1 , y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1 } P{ X x1 ,Y y2 } P{ X x1 ,Y y1 } 0, 故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
C C P{ k , 2 k } , k 0,1,2. C 0 1 2 分布表： 0 0 0 0.1 1 0 0.6 0 2 0.3 0 0
k 3
2 k 2 2 5
补例
设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地 取值, 另一个随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律.
1， 第二次取到白球； = 0， 第二次取到红球。
(， )的联合分布律为： (1) p 0 1 (2) 和边际分布为：
0 1 3/10 3/10 6/10 3/10 1/10 4/10 1
P 0 1
6/10
0 6/10
4/10
1 4/10
p(2) 6/10 4/10
P
P{ 1, 0} 3/10 3 (3) P{ 0 | 1} P{ 1} 4 /10 4
x, y
F ( x ) P{ x } x R
x
o
x
(2) பைடு நூலகம்布函数的性质
1o F ( x , y ) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y , 当 x2 x1 时 F ( x2 , y ) F ( x1 , y ),
对于任意固定的 x ,当y2 y1时F ( x , y2 ) F ( x , y1 ).
解：设 =
1， 第一次取到白球； 0， 第一次取到红球。
3 2 3 3 2 3 P{ 0, 0} , P{ 0, 1} , 5 4 10 5 4 10 2 3 3 P{ 1, 0} , P{ 1, 1} 2 1 1 . 5 4 10 5 4 10
y y2
(x1, y2)
(x2, y2)
y1
( x1 , y1 )
(x2, y1)
O
x1
x2
x
定义2.5
设随机变量和的联合分布函数为F(x, y)， 则分别称 F (x)=P{≤x}
=P{≤x, -∞< <+∞} =F(x, +∞)
F (y)=P{≤y}
=P{-∞< <+∞, ≤y} =F(+∞, y)
和 的联合分布律可用表格表示：
x1 x2 xi
y1
y2
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yj
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p11 p21
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p22 pi2
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2o 0 F ( x, y ) 1,
且有
lim F ( x , y ) 0, 对于任意固定的 y , F ( , y ) x
对于任意固定的x , F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
y
F ( ,) x lim F ( x , y ) 0 ,
X (e )
图示
S
e
Y (e )
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量. 实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ). 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
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p1j p2j
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概率分布具有两条基本性质