定襄县第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

定襄县第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f （x+2）=f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）=x 2．若直线y=x+a 与函数y=f （x ）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（ ） A ．0
B ．0
或
C
．
或
D ．0
或
2． 已知幂函数y=f （x
）的图象过点（
，），则f （2）的值为（ ）
A
．
B
．﹣
C ．2
D ．﹣2
3． 椭圆22
:143
x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的
取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ）
A ．3
1,42⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ B ．33,48
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力． 4．
函数
是（ ）
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
5． 设集合M={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}，N={（x ，y ）|x 2﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．
2
7． 数列{a n }的通项公式为a n =﹣n+p ，数列{b n }的通项公式为b n =2n ﹣5，设c n
=，若在数列{c n }
中c 8＞c n （n ∈N *
，n ≠8），则实数p 的取值范围是（ ）
A ．（11，25）
B ．（12，16]
C ．（12，17）
D ．[16，17）
8． 函数y=f （x ）在[1，3]上单调递减，且函数f （x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（ ） A ．f （2）＜f （π）＜f （5） B ．f （π）＜f （2）＜f （5）
C ．f （2）＜f （5）＜f （π）
D ．f （5）＜
f （π）＜f （2）
9． 已知点A （0，1），B （﹣2，3）C （﹣1，2），D （1，5
），则向量
在
方向上的投影为（ ）
A
．
B
．﹣
C
．
D
．﹣
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
10．在等差数列中，已知，则
（ ）
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
11．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2
，
=
，则λ=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
12．如图所示，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长
为（ ）
A ．
B ． C. D ．
二、填空题
13．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h =__________.
14．函数f （x ）=a x
+4的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 ．
15．下列函数中，①；
②y=；③y=log 2x+log x 2（x ＞0且x ≠1）；
④y=3x +3﹣x ；⑤；
⑥
；⑦y=log 2x 2
+2最小值为2的函数是 （只填序号）
16．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分
别是AC ，BD 的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.
【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.
17．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：
①f （x ）=a x g （x ）（a ＞0，a ≠1）；
②g （x ）≠0；
③f（x）g'（x）＞f'（x）g（x）；
若，则a=．
18．【南通中学2018届高三10月月考】定义在上的函数满足，为的导函数，且
对恒成立，则的取值范围是__________________.
三、解答题
19．已知f（x）=x2﹣（a+b）x+3a．
（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，求实数a，b的值；
（2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．
20．如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（Ⅰ）求证：CE∥平面ADF；
（Ⅱ）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，
求BK的取值范围．
21．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
22．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
23．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．
（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？
（2）试求方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率．
24．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=．若O
为AD的中点，且CD⊥A1O
（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．
定襄县第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，
∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），
又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，
又直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：
当a=0时，直线y=x+a变为直线l1，其方程为：y=x，显然，l1与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；
当a≠0时，直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y=x+a与函数y=f（x）相切，切点的横坐标x0∈[0，1]．
由得：x2﹣x﹣a=0，由△=1+4a=0得a=﹣，此时，x0=x=∈[0，1]．
综上所述，a=﹣或0
故选D．
2．【答案】A
【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，
∴α=，即f（x）=，
故f（2）==，
故选：A．
3．【答案】B
4．【答案】B
【解析】解：因为
=
=cos（2x+）=﹣sin2x．
所以函数的周期为：=π．
因为f（﹣x）=﹣sin（﹣2x）=sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数．
故选B．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．
5．【答案】B
【解析】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）
|}
将x2﹣y=0代入x2+y2=1，
得y2+y﹣1=0，△=5＞0，
所以方程组有两组解，
因此集合M∩N中元素的个数为2个，
故选B．
【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题
6．【答案】A
【解析】
试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A．
考点：几何体的结构特征．
7．【答案】C
【解析】解：当a n≤b n时，c n=a n，当a n＞b n时，c n=b n，∴c n是a n，b n中的较小者，
∵a n=﹣n+p，∴{a n}是递减数列，
∵b n=2n﹣5，∴{b n}是递增数列，
∵c8＞c n（n≠8），∴c8是c n的最大者，
则n=1，2，3，…7，8时，c n递增，n=8，9，10，…时，c n递减，
∴n=1，2，3，…7时，2n﹣5＜﹣n+p总成立，
当n=7时，27﹣5＜﹣7+p，∴p＞11，
n=9，10，11，…时，2n﹣5＞﹣n+p总成立，
当n=9时，29﹣5＞﹣9+p，成立，∴p＜25，
而c8=a8或c8=b8，
若a8≤b8，即23≥p﹣8，∴p≤16，
则c8=a8=p﹣8，
∴p﹣8＞b7=27﹣5，∴p＞12，
故12＜p≤16，
若a8＞b8，即p﹣8＞28﹣5，∴p＞16，
∴c8=b8=23，
那么c8＞c9=a9，即8＞p﹣9，
∴p＜17，
故16＜p＜17，
综上，12＜p＜17．
故选：C．
8．【答案】B
【解析】解：∵函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，
∴f（π）=f（6﹣π），f（5）=f（1），
∵f（6﹣π）＜f（2）＜f（1），
∴f（π）＜f（2）＜f（5）
故选：B
【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
9．【答案】D
【解析】解：∵；
∴在方向上的投影为==．
故选D．
【点评】考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．
10．【答案】B
【解析】
，所以，故选B
答案：B
11．【答案】A
【解析】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点
∵=2，=，
∴=，
∴λ=，
故选A．
【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量．
12．【答案】C
【解析】
考点：平面图形的直观图.
二、填空题
13．【答案】
【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA⊥底面ABC，且ABC
∆为直角三角形，且
5,,6
AB VA h AC
===，所以三棱锥的体积为
11
56520
32
V h h
=⨯⨯⨯==，解得4
h=.
考点：几何体的三视图与体积. 14．【答案】（0，5）．
【解析】解：∵y=a x的图象恒过定点（0，1），
而f（x）=a x+4的图象是把y=a x的图象向上平移4个单位得到的，
∴函数f（x）=a x+4的图象恒过定点P（0，5），
故答案为：（0，5）．
【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．
15．【答案】①③④⑥
【解析】解：①∵x与同号，故=|x|+||，由|x|＞0，||＞0
∴=|x|+||≥2=≥2，故正确；
②y==+，由＞0，＞0，
∴y=+≥2=2，故正确；
③当＜x＜1时，log2x＜0时，y=log2x+log x2≤﹣2，故错误；
④由3x＞0，3﹣x＞0，
∴y=3x+3﹣x≥2=2，故正确；
⑤当x＜0时，≤﹣6，故错误；
⑥∵＞0，＞0，
则≥=2，故正确；
⑦∵x2＞0，故y=log2x2∈（﹣∞，+∞），故y=log2x2+2∈（﹣∞，+∞），故错误；
故答案为：①③④⑥
【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是基本不等式的应用条件的判断
16．【答案】
5 12
【解析】
17．【答案】．
【解析】解：由得，
所以．
又由f（x）g'（x）＞f'（x）g（x），即f（x）g'（x）﹣f'（x）g（x）＞0，也就是
，说明函数是减函数，
即，故．
故答案为
【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察．
18．【答案】
【解析】点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。

某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。

因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。

根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。

许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。

三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣（a+b）x+3a，
当不等式f（x）≤0的解集为[1，3]时，
方程x2﹣（a+b）x+3a=0的两根为1和3，
由根与系数的关系得
，
解得a=1，b=3；
（2）当b=3时，不等式f（x）＞0可化为
x2﹣（a+3）x+3a＞0，
即（x﹣a）（x﹣3）＞0；
∴当a＞3时，原不等式的解集为：{x|x＜3或x＞a}；
当a＜3时，原不等式的解集为：{x|x＜a或x＞3}；
当a=3时，原不等式的解集为：{x|x≠3，x∈R}．
【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：正方形ABCD中，CD BA，正方形ABEF中，EF BA．…
∴EF CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF．…
又DF⊂平面ADF，CE⊄平面ADF，∴CE∥平面ADF．…
（Ⅱ）解：∵BE=BC=2，CE=，∴CE2
=BC2+BE2．
∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…
又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA⊂平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…
以B为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），
F（0，2，2），A（0，2，0），=（2，2，0），=（0，2，2）．
设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．
由，，得可取=（1，﹣1，1），…
又=（0，﹣2，m），于是sinφ==，
∵30°≤φ≤45°，∴，即…
结合0＜m＜2，解得0，即BK的取值范围为（0，4﹣]．…
【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
21．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=，
∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知条件知，DC⊥平面EFCB，
∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE
解：（Ⅱ）
方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，
AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．
所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．
在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，
∴
由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，
所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°
方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz．
设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，3，0），F（0，4，0）．
从而，
设平面AEF的法向量为，由得，，取x=1，
则，即，
不妨设平面EFCB的法向量为，
由条件，得
解得．所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．
22．【答案】
【解析】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，
所以x2+y2=4x+4y﹣6，
所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，
即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…
所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…
当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…
23．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域，
其中p、q都是整数的点有6×6=36个，
点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3，
点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点，
所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1=；
（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；
若方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根，则有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）＞0，
解可得p2+q2≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π，
即方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率，P2=．
【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．
24．【答案】
【解析】满分（13分）．
（Ⅰ）证明：∵∠A1AD=，且AA1=2，AO=1，
∴A1O==，…（2分）
∴+AD2=AA12，
∴A1O⊥AD．…（3分）
又A1O⊥CD，且CD∩AD=D，
∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）
（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图），则A（0，﹣1，0），A
（0，0，），…（6分）
1
设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为=（x，y，z），
∵=，=（1，m+1，0），
且
取z=1，得=．…（8分）
又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1
∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．
又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面A1ADD1．
不妨设平面A1ADD1的法向量为=（1，0，0）．…（10分）
由题意得==，…（12分）
解得m=1或m=﹣3（舍去）．
∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为．…（13分）
【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．。