初中数学知识点精讲精析 反比例函数的图像与性质

第二节 反比例函数的图像与性质
要点精讲
一、反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第
二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
1．反比例的画法分三个步骤：1．列表；2．描点；3．连线．
2．作反比例函数的图像时应注意以下几点：
（1）列表时选取的数值宜对称选取；
（2）列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
（3）连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；
（4）画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交．
二、反比例函数的性质
x x 0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾．
反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号．如x
k y =在
第一、第三象限，则可知0k >．
2．反比例函数x
k y =
（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义． 如图所示，
过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足， 则O EPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k
3．反比例函数x k y =
（0k ≠）中，k 越大，双曲线x k y =越远离坐标原点；k 越小，双曲线x
k y =越靠近坐标原点． 4．双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x ．
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把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．
典型分析
1．已知直线y=kx （k ＞0）与双曲线y= 交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则x 1y 2+x 2y 1的值为（ ）
A ．﹣6
B ．﹣9
C ．0
D ．9
【答案】A 【解析】∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是双曲线y= 上的点
∴x 1•y 1=x 2•y 2=3①，
∵直线y=kx （k ＞0）与双曲线y= 交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，
∴x 1=﹣x 2，y 1=﹣y 2②，
∴原式=﹣x 1y 1﹣x 2y 2=﹣3﹣3=﹣6．
故选A ．
中考案例
1．（2012•兰州）近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0．25m ，则y 与x 的函数关系式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】C
【解析】设y ＝ ，
400度近视眼镜镜片的焦距为0．25m ，
∴k ＝0．25×400＝100，
∴y ＝ ．
故选C ．
针对训练
1．在反比例函数y ＝ )的图象上有两点（－1，y 1），(- ,y 2)，则y 1－y 2的值是（ ）
A ．负数
B ．非正数
C ．正数
D ．不能确定
2．已知点A （－1，y 1）、B （2，y 2）都在双曲线y ＝ 3＋2m x
上，且y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＜0
B ．m ＞0
C ．m ＞－ 3 2
D ．m ＜－ 3 2
3．对于函数x
y 6 ，下列说法错误．．的是 （ ） A ． 它的图像分布在一、三象限
B ． 它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形
C ． 当x>0时，y 的值随x 的增大而增大
D ． 当x<0时，y 的值随x 的增大而减小
4．如图，点A 是反比例函数y=（x ＞0）的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比例函数y=﹣的图象于点B ，以AB 为边作▱ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为（ ）
A ． 2
B ． 3
C ． 4
D ． 5
5．如图为反比例函数在第一象限的图象，点A 为此图象上的一动点，过点A 分别作AB⊥x 轴和AC⊥y 轴，垂足分别为B ，C ．则四边形OBAC 周长的最小值为（ ）
A ． 4
B ． 3
C ． 2
D ． 1 6．在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝ )图像的两支分别在（ ）
A ．第一、三象限
B ．第二、四象限
C ．第一、二象限
D ．第三、四象限
7．已知一次函数y=k 1+b ，y 随x 的增大而减小，且b>0，反比例函数y=
2k x
中的k 2与k 1值相等，则它们在同一坐标系中的图像只可能是（ ）
A B C D
8．若反比例函数k 1y=
x 的图象在其每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值可以是（ ） A ．－1
B ．3
C ．0
D ．－3 参考答案
1．【答案】A 【解析】∵反比例函数y ＝ 中的k ＜0，
∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大；
又∵点（－1，y 1）和(- ,y 2)均位于第二象限，－1＜－ ，
∴y 1＜y 2，
∴y 1－y 2＜0，即y 1－y 2的值是负数，
故选A ．
2．【答案】D
【解析】将A （-1，y 1），B （2，y 2）两点分别代入双曲线y=3+2mx 得，
y 1=-2m-3，
y 2=3+2m2，
∵y 1＞y 2，
∴-2m-3＞3+2m2，
解得m ＜-3∕2，
故选D ．
3．【答案】C 【解析】画出x
y 6 的图像，然后观察y 随x 的变化． 4．【答案】D
【解析】设A 的纵坐标是b ，则B 的纵坐标也是b ．
把y=b 代入y=得，b=，则x=，，即A 的横坐标是，；
同理可得：B 的横坐标是：﹣．
则AB=﹣（﹣）=．
则S □ABCD =×b=5．
故选D ．
5．【答案】A
【解析】∵反比例函数在第一象限的图象，点A 为此图象上的一动点，过点A 分别作 AB⊥x 轴和AC⊥y 轴，垂足分别为B ，C ．
∴四边形OBAC 为矩形，
设宽BO=x ，则AB=，
则s=x+≥2=2，
当且仅当x=，即x=1时，取等号．
故函数s=x+（x ＞0）的最小值为2．
故2（x+）=2×2=4，
则四边形OBAC 周长的最小值为4．
故选：A ．
6．【答案】B
【解析】根据反比例函数的性质：当k <0时，图象分别位于第一、三象限；当k <0时，图象分别位于第二、四象限：
∵反比例函数的系数<0，
∴图象两个分支分别位于第二、四象限．
故选B ．
7．【答案】C
【解析】根据一次函数的性质，y 随x 的增大而减小，则k 1＜0，且b ＞0与y 轴的交点在y
轴的正半轴上，∴一次函数图象过一、二、四象限，故A 和B 错误；又∵反比例函数y=2k x
中的k 2与k 1值相等，k 2＜0，∴反比例函数图象位于二、四象限．故选C ．
8．【答案】B
【解析】根据题意列出不等式确定k 的范围，再找出符合范围的选项：
根据题意k －1＞0，则k ＞1．故选B ． 扩展知识
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x 或y=-x （即第一三、二四象限角平分线），对称中心是坐标原点．
反比例函数图像不与x 轴和y 轴相交．y=k/x 的渐近线：x 轴与y 轴．
|k|与函数图像的关系
k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交．
|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远．。