2020年河南省洛阳市大连枫叶国际学校高一数学文月考试卷含解析

2020年河南省洛阳市大连枫叶国际学校高一数学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数函数，其中，若方程
恰有4个不等的实根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
2. 化简的结果是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
3. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，绿灯持续时间为45秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等街15秒才出现绿灯的概率为（）
A．B． C. D．
参考答案：
D
4. 如图1，当参数时，连续函数的图像分别对应曲线和 ,
则 [ ]
A B C D
参考答案：
解析:解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在是
连续的，可知参数，即排除C，D项，又取，知对
应函数值，由图可知所以，即
选B项。

5. 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，0)，B(1，2)，C(0，c)，若⊥，那么c
的值是()．
A．－1 B．1 C．－3 D．3
参考答案：
D
略
6. 若上述函数是幂函数的个数是（）
A．个 B．个 C．个 D．个
参考答案：
C解析：是幂函数
7. 如右图,若,则以上程序运行后的结果是（）
A. 0.5
B. 3
C. 1.5
D.
4.5
参考答案：
D
略
8. 已知函数定义域是，则的定义域是（）
A. B. C. D. 以上都不对
参考答案：
B
【分析】
利用可求得的范围，即为所求的定义域.
【详解】定义域为
的定义域为
本题正确选项：
【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解问题，关键是能够采用整体代换的方式来进行求解.
9. 下列命题中正确的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据向量的加减法的几何意义以及向量数乘的定义即可判断。

【详解】，，，，故选D．【点睛】本题主要考查向量的加减法的几何意义以及向量数乘的定义的应用。

10. 已知，则函数的解析式为（）
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数
恒过定点 .
参考答案：
(2,1)
12. 已知数列满足,,则=_____________.
参考答案：
2
13. 已知，,且,则★；
参考答案：
7
略
14. 集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是．
参考答案：
3或7
【考点】18：集合的包含关系判断及应用．
【分析】集合A中的元素其实是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，而集合B的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素等价与这两圆只有一个公共点即两圆相切，则圆心距等于两个半径相加得到r的值即可．
【解答】解：据题知集合A中的元素是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，
集合B的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上任一点的坐标，
因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则集合A和集合B只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点，则两圆相切，
圆心距d=R+r或d=R﹣r；
根据勾股定理求出两个圆心的距离为5，一圆半径为2，则r=3或7
故答案为3或7
【点评】考查学生运用两圆位置关系的能力，理解集合交集的能力，集合的包含关系的判断即应用能力．
15. 不等式对于一切非零实数均成立,则实数的取值范围是☆．
参考答案：
（1,3）
16. 圆上的点P 到直线的距离的最小值是______.
参考答案：
【分析】
求圆心到直线的距离，用距离减去半径即可最小值.
【详解】圆C 的圆心为，半径为，
圆心C 到直线的距离为：，
所以最小值为：
故答案为：
【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值，若圆心距为d，圆的半径为r且圆与直线相离，则
圆上的点到直线距离的最大值为d+r，最小值为d-r.
17. 已知，，两圆和只有一条公切
线，则的最小值为________
参考答案：
9
【分析】
两圆只有一条公切线，可以判断两圆是内切关系，可以得到一个等式，结合这个等式，可以求出
的最小值.
【详解】，圆心为，半径为2；
，圆心为，半径为1.因为两圆只有一条公切线，
所以两圆是内切关系，即，于是有
（当且仅当取等号），因
此的最小值为9.
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当
时，
⑴求当的解析式
⑵画出函数上的函数简图
⑶求当时，x的取值范围
参考答案：
⑴因为
而当所以
又当
因为的周期为，所以
所以当。

⑵如图
⑶由于的最小正周期为
因此先在上来研究
即所以所以
由周期性知
当
19. 设集合A={x|0＜x﹣m＜3}，B={x|x≤0或或x≥3}．
（1）若A∩B=?，求实数m的取值范围；
（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】并集及其运算；交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】（1）表示出A中不等式的解集，根据A与B的交集为空集，求出m的范围即可；（2）由A与B的并集为B，得到A为B的子集，确定出m的范围即可．
【解答】解：（1）∵A={x|0＜x﹣m＜3}={x|m＜x＜m+3}，B={x|x≤0或或x≥3}，
∴当A∩B=?时，有，
解得：m=0；
（2）当A∪B=B时，有A?B，∴m≥3或m+3≤0，
解得：m≥3或m≤﹣3．
【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
20. 已知y=f（x）的定义域为[1，4]，f（1）=2，f（2）=3，当x∈[1，2]时f（x）的图象为线段，当x∈[2，4]时f（x）的图象为二次函数图象的一部分，且顶点为（3，1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）画出f（x）的图象并求f（x）的值域．
参考答案：
【考点】3W：二次函数的性质；36：函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）当x∈[1，2]时f（x）的图象为线段，由此能求出x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数的一部分，且顶点为（3，1），由此能求出f（x）=2（x﹣3）2+1．
（2）当x∈[1，2]，2≤f（x）≤3，当x∈[2，4]，1≤f（x）≤3，由此能求出f（x）的值域．【解答】解：（1）当x∈[1，2]时f（x）的图象为线段，
设f（x）=ax+b，又有f（1）=2，f（2）=3
∵a+b=2，2a+b=3，
解得a=1，b=1，f（x）=x+1，
当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数的一部分，
且顶点为（3，1），
设f（x）=a（x﹣3）2+1，又f（2）=3，
所以代入得a+1=3，a=2，f（x）=2（x﹣3）2+1．
（2）由（1），f（x）的图象如图所示：
当x∈[1，2]，2≤f（x）≤3，
当x∈[2，4]，1≤f（x）≤3，
所以1≤f（x）≤3．
故f（x）的值域为[1，3]．
21. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log（﹣x+1）
（1）求f（3）+f（﹣1）
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若f（a﹣1）＜﹣1，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用函数奇偶性的性质即可求f（3）+f（﹣1）
（2）根据函数奇偶性的性质即可求函数f（x）的解析式；
（3）若f（a﹣1）＜﹣1，将不等式进行转化即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（I）∵f（x）是定义在R上的偶函数，x≤0时，f（x）=log（﹣x+1），
∴f（3）+f（﹣1）=f（﹣3）+f（﹣1）=log4+log2=﹣2﹣1=﹣3；
（II）令x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）=log（x+1）=f（x）
∴x＞0时，f（x）=log（x+1），
则f（x）=．
（Ⅲ）∵f（x）=log（﹣x+1）在（﹣∞，0]上为增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
∵f（a﹣1）＜﹣1=f（1）
∴|a﹣1|＞1，
∴a＞2或a＜0【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．
22. （12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（1）求证：CD⊥平面A1ABB1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（3）线段AB上是否存在点M，使得A1M⊥平面CDB1．
参考答案：
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．
专题：证明题；空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）由已知先证明CD⊥AB，又在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥CD，且AB∩AA1=A，即可证明CD⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE，证得DE∥AC1；由线面平行的判定定理即可证明AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）存在点M为B，由（Ⅰ）知CD⊥平面A1ABB1，又A1B?A1ABB1，可得CD⊥A1B，由已知可得A1A：AB=BD：BB1=1：，即证明A1B⊥B1D，又CD∩B1D=D，从而证明A1B⊥平面CDB1．
解答：证明：（Ⅰ）∵AC=BC，AC⊥BC，点D是AB的中点．
∴CD=AB，由勾股定理可得CD⊥AB，
又∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥CD，且AB∩AA1=A，
∴CD⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连结DE．
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，CC1⊥底面ABC，
CC1=BC=2，
∴四边形BCC1B1为正方形．
∴E为BC1中点．
∵D是AB的中点，
∴DE∥AC1．
∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
（Ⅲ）存在点M为B，证明如下：
由（Ⅰ）知CD⊥平面A1ABB1，又A1B?A1ABB1，
∴CD⊥A1B，
∵AC=BC=CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点．
∴设1=C=BC=CC1，以C为原点，以CA，CB，CC1分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则A1（1，0，1），B（0，1，0），B1（0，1，1），D（，，0），
∴=（﹣1，1，﹣1），=（，﹣，﹣1），
∴?=0，
∴A1B⊥B1D，
又CD∩B1D=D，∴A1B⊥平面CDB1．
从而得证．
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，考查了转化思想，属于中档题．。