高一数学竞赛试卷

高一数学竞赛试卷
考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.集合,
,,则等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.在区间(0，2π)范围内，与－终边相同的角是 A ． B ． C ． D ．
3.下列说法中，正确的是( )．
A ．数据5，4，4，3，5，2的众数是4
B ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
C ．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半
D ．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数
4.与°的终边相相同的角是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.已知向量，若
与
平行，则实数的值是（ ）
A ．
B ．
C ． 1
D ． 2
6.若平面向量
两两所成的角相等，且
，则
等于
（ ）
A ．
B ．
C ．或
D ．
7.若存在非零的实数，使得对定义域上任意的恒成立，
则函数可能是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8.已知全集，集合，,则集合
（）
A． B． C． D．
9.函数f(x)＝2x3－x的图象关于_____对称
10.在下列四个正方体中，能得出的是（）
A．
B．
C．
D．
11.如图，直线∥，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．
B．
C．
D．
12.函数的一个零点所在区间为（）
A．
B．
C．
D．
13.已知直线与直线互相垂直，则实数的值是A． B． C． D．或
14.函数的定义域为（）
A ．（，）
B ．，1）
C ．（，4）
D ．（
）（
15.集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z}，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B 等于( ) A ．{－36°，54°} B ．{－126°，144°}
C ．{－126°，－36°，54°，144°}
D ．{－126°，54°} 16.设
为表示
三者中较小的一个， 若函数，则不等式的解集为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
17.（2012•包头三模）已知有穷数列A ：a 1，a 2，…，a n （n≥2，n ∈N ）．定义如下操作过程T ：从A 中任取两项a i ，a j ，将
的值添
在A 的最后，然后删除a i ，a j ，这样得到一系列n ﹣1项的新数列A 1（约
定：一个数也视作数列）；对A 1的所有可能结果重复操作过程T 又得到一系列n ﹣2项的新数列A 2，如此经过k 次操作后得到的新数列记作A k ．设A ：
，则A 3的可能结果是（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ． 18.函数y=2cos 2（x+
）-1是
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为的奇函数
C ．最小正周期为的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数 19.已知
，则在下列区间中，
有实数解的是（ ）．
A ．（－3，－2）
B ．（－1，0）
C ．（2，3）
D ．（4，5） 20.如图,
分别是函数
的图象与两条直线
的两个交点,记
,则
的图象大致是（ ）
二、填空题
21.已知，则的值为__________．
22.已知角的终边过点(－5,12),则=________.
23.对于任意的，符号表示不超过的最大整数，例如，，那么
．
24.若函数，则= ．
25.4名学生参加一次数学竞赛，每人预测情况如下
甲：如果乙获奖，那么我就没获奖；
乙：甲没有获奖，丁也没有获奖；
丙：甲获奖或者乙获奖；
丁：如果丙没有获奖那么乙获奖．
竞赛结果只有1人获奖且4人预测恰有3人正确，则获奖．
26.已知；则的最小值为（用表示）。

27.已知函数，用秦九韶算法计算__________；
28.化简的值为．
29.把2016转化为二进制数为．
30.在正方体中，
直线与平面所成的角是.
三、解答题
31.在等比数列中，．
（Ⅰ）求及其前项和；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．32.已知数列的前n项和满足
（1）写出数列的前3项、、；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明对于任意的整数有
33.已知函数，（且），
（1）求函数的定义域；
（2）求使的的取值范围.
34.
（本题满分12分）已知函数的图像经过点,，为数列的前n项和。

（1）求及
（2）若数列满足，记
，若对恒成立，求的取值范围。

35.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，已知
，
（1）求的值；
（2）求的值．
参考答案
1 .A
【解析】因为根据集合S,T,那么根据并集的定义和补集的定义，可知
,故选A
2 .D
【解析】因为－＝－8π＋，则－与终边相同，选D.
3 .C
【解析】
试题分析：A选项众数为4、5；B选项应该是方差是标准差的平方；C 正确；D选项频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率.
考点：统计.
4 .D
【解析】因为,,所以与°的终边相相同的角是;故选D.
5 .D
【解析】
试题分析：因为与平行，，，所以，解得考点：本小题主要考查向量共线的坐标表示，考查学生的运算求解能力.
点评：向量共线与垂直是两种特殊的位置关系，也是考查的重点内容，要熟练掌握，灵活应用.
6 .C
【解析】
试题分析：三个向量两两所成角相等，即所成角为或，
代入数值，得到，1或5，故选C.
考点：向量模的计算
7 .A
【解析】
试题分析：由题意，存在非零的实数，使得对定义域上任意的恒成立，即为函数的对称轴，则四个选项中C，D选项不存在对称轴，而B选的对称轴为不符合题意，而A选项的对称轴为，选A
考点：函数的对称轴
8 .C
【解析】本试题主要是考查了集合的交集、并集、补集的运算。

由题意可知全集，集合，,那么根据补集的运算可知集合，选C.
解决这类问题就是明白集合的交集、并集、补集的含义，准确表示。

9 .原点
【解析】函数的定义域为，且
即函数为奇函数，其图像关于原点对称
10 .A
【解析】
试题分析：对于A，作出过的对角面，如图，可得直线与这个对角面垂直，根据线面垂直的性质，成立，故A正确；对于B，作出过的对角面，如图所示，将平移至内侧面，可得与所成的角为，所以不成立，对于C、D，将平移至经过
点的侧棱处，可得所成角都是锐角，故和均不成立，故选A．
考点：空间两直线的位置关系．
11 .A 【解析】
试题分析：
考点：平面几何知识与三角形内角和定理
12 .C
【解析】
试题分析：因为函数和函数都在内单调递增,所以
在内单调递增,根据零点存在性定理,,,所以在区间内必有一个零点,故选C.
考点：零点存在性定理.
【思路点晴】本题考查学生的是函数的零点问题,属于中档题目.函数的零点个数问题和方程根的个数问题以及两个函数图象的交点个数问题经常相互转化,本题根据函数的单调性,根据零点存在性定理,判断端点符号相异,即在区间内存在零点,本题也可以转化为的方程根,即和在的交点个数,画出图象即可.
13 .A
【解析】
试题分析：直线化为，直线化为．
∵，∴，解得．
故选：A．
考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系
14 .D
【解析】略
15 .C
【解析】由－180°<k·90°－36°<180°(k∈Z)得－144°<k·90°<216°(k∈Z)，所以－<k< (k∈Z)，所以k＝－1,0,1,2，
所以A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}，故选C.
16 .D
【解析】
试题分析：由题意得，作出函数的图象如图所示，
则的解集为，故选项为D.考点：分段函数的性质.
17 .B
【解析】
试题分析：因为是单选题，可用排除法，逐一试验．
解：因4数中，最简单，可先试这两个数，=，则数列A
1
为﹣
，，．又由于﹣和之和为0，故计算=0，则A
2
为，0．计
算=，有此选项．
故选B
点评：本题考查数列的概念，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误．
18 .A
【解析】据三角恒等变形，最小正
周期；由诱导公式．故本题答案选．
19 .B
【解析】
试题分析：在区间（a，b）有实数解,则有f(a)·f(b)<0,
据此计算，故选B。

考点：本题主要考查函数零点存在性定理。

点评：简单题，解答此类问题，可利用代数法，也利用数形结合法。

20 .C
【解析】
试题分析：根据函数的图象的对称性可知为定值，故选C.
考点：函数的图象与性质．
21 .
【解析】试题分析：
考点：弦化切
【方法点睛】三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异。

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的。

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角
的范围，确定角。

22 .
【解析】
试题分析：.
考点：任意角的三角函数的定义.
23 .
【解析】
试题分析：原式=．
考点：1．对数；2．指数．
24 . -1
【解析】
试题分析：，令，得，得
，即，得
．
考点：函数解析式求法
25 .学生丙
【解析】
试题分析：分类讨论，根据每人预测情况，即可得到结论．
解：若甲获奖，则甲、丙对，乙，丁错；
若乙获奖，则甲、乙、丙、丁都对；
若丙获奖，则甲、乙、丁对，丙错；
若丁获奖，则甲对，乙、丙、丁错，因此学生丙获奖了．
故答案为：学生丙
点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26 .
【解析】略
27 .4485
【解析】试题分析：
则；故答案为：4485.
考点：秦九韶算法.
28 .0
【解析】解：因为
29 .
【解析】
试题分析：这是一道关于二进制与十进制的转换问题．一般的要把一个十进制数转换为二进制数，其基本办法的要点是除以二取余法，然后倒序排列即可．现列出竖式如下
故转化为二进制数是，故答案填：．考点：二进制与十进制的互化．
30 .
【解析】略
31 .（1），；（2）【解析】
试题分析：（1）根据等比数列的性质可得：求出公差与首项，即可得到及其前项和；（2）由（1）得到，所以
，再由裂项相消可求得前10项和
试题解析：．解：（1）设的公比为q，依题意得
，解得，因此，,．
（2）由（1）知，则
所以
考点：数列求和
32 .(1)、、；（2）；（3）见解析.
【解析】
试题分析：（1）是考查已知递推公式求前几项，属于基础题，需注意的是S
1
=a
1
，需要先求出a
1
才能求出a
2
，这是递推公式的特点;（2）解答需要利用公式进行代换，要注意n=1和n≥2的讨论，在得到，可以利用叠加法求解;（3）解答需要在代换后，适当的变形，利用不等式放缩法进行放缩．
试题解析：（1）由，得,由，得,由，得;（2）当时，
,,……,
经验证：也满足上式，所以，;（3）证明：由通项知当，且n为奇数时
当且m为偶数时
,当且m为奇数时
∴对任意有
考点：1、递推数列；2、放缩法.
33 .（1）函数的定义域是;（2）
【解析】试题分析：（1）函数要有意义，则需真数大于零；（2）分类讨论，利用函数的增减性解不等式.试题解析：（1）这个函数的定义域是；（2），当时，；
当时，且.
34 .,,
【解析】解：（1）由，解之得，所以
∴（）
当时，
当时，，当时上式也成立，
∴
（2）
∵在上递增
【解析】略∴的最小值为
∵对恒成立，所以
35 .解：（1）由余弦定理，，
得，
．
（2）方法1：由余弦定理，得，
，分
∵是的内角，
∴．
方法2：∵，且是的内角，
∴．
根据正弦定理，，
得．。