【步步高】2021届高考数学总温习 不等式选讲(一)绝对值不等式学案 理 北师大版(1)

学案76 不等式选讲
(一)绝对值不等式
导学目标：1.明白得绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |，(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c . 自主梳理
1．含________________的不等式叫做绝对值不等式．
2．解含有绝对值的不等式的方式关键是去掉绝对值符号，大体方式有如下几种：
(1)分段讨论：
依照|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，f x ≥0，－f x ，f x <0，
去掉绝对值符号． (2)利用等价不等式：
|f (x )|≤g (x )⇔－g (x )≤f (x )≤g (x )；
|f (x )|≥g (x )⇔f (x )≤－g (x )或f (x )≥g (x )．
(3)两头同时平方：即运用移项法那么，使不等式两边都变成非负数．．．
，再平方，从而去掉绝对值符号． 3．形如|x －a |＋|x －b |≥c (a ≠b )与|x －a |＋|x －b |≤c (a ≠b )的绝对值不等式的解法要紧有三种：
(1)运用绝对值的几何意义；
(2)____________________；
(3)构造分段函数，结合函数图象求解．
4．(1)定理：若是a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当____________时，等号成立．
(2)重要绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.
利历时(专门是求最值时)要注意等号成立的条件，即
|a ＋b |＝|a |＋|b |⇔ab ≥0；
|a －b |＝|a |＋|b |⇔ab ≤0；
|a |－|b |＝|a ＋b |⇔b (a ＋b )≤0；
|a |－|b |＝|a －b |⇔b (a －b )≥0；
注：|a |－|b |＝|a ＋b |⇔|a |＝|a ＋b |＋|b |⇔|(a ＋b )－b |＝|a ＋b |＋|b |⇔b (a ＋b )≤0.
同理可得|a |－|b |＝|a －b |⇔b (a －b )≥0.
自我检测
1．(2020·江西)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞x －2x 的解集是( ) A ．(0,2)
B ．(－∞，0)
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) 2．(2020·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t
－6，t ∈(0，＋∞)}，那么集合A ∩B ＝________.
3．(2020·潍坊模拟)已知不等式|x ＋2|＋|x －3|≤a 的解集不是空集，那么实数a 的取值范围是(
) A ．a <5 B ．a ≤5
C ．a >5
D ．a ≥5
4．假设不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 无实数解，那么a 的取值范围是________．
5．(2020·福建)解不等式|2x －1|<|x |＋1.
探讨点一 解绝对值不等式
例1 解以下不等式：
(1)1<|x －2|≤3；
(2)|2x ＋5|>7＋x ；
(3)|x －1|＋|2x ＋1|<2.
变式迁移1 (2020·江苏)解不等式x ＋|2x －1|<3.
探讨点二 绝对值不等式的恒成立问题
例2 (2020·商丘模拟)已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|>m .
(1)假设不等式有解；
(2)假设不等式解集为R ；
(3)假设不等式解集为∅.
别离求出实数m 的取值范围．
变式迁移2 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，假设f (x )>a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．
探讨点三 绝对值三角不等式定理的应用
例3 “|x －A |<ε2，且|y －A |<ε
2”是“|x －y |<ε”(x ，y ，A ，ε∈R )的( )
A ．充分而没必要要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也没必要要条件
变式迁移3 (1)求函数y ＝|x ＋2|－|x －2|的最大值；
(2)求函数y ＝|x －3|＋|x ＋2|的最小值．
转化与化归思想的应用 例 (10分)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，
(1)假设|a |≤1，求证：|f (x )|≤54；(2)求a 的值，使函数f (x )有最大值178
. 多角度审题 第(1)问|f (x )|≤54⇔－54≤f (x )≤54，因此证明方式有两种，一是利用放缩法直接证出|f (x )|≤54
；二是证明－54≤f (x )≤54亦可．第(2)问实质上是已知f (x )的最大值为178
，求a 的值．由于x ∈[－1,1]，f (x )是关于x 的二次函数，那么就需判定对称轴对应的x 值在不在区间[－1,1]上．
【答题模板】
证明 (1)方式一 ∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1.又∵|a |≤1，
∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |
＝－⎝
⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54.[3分] ∴假设|a |≤1，那么|f (x )|≤54
.[5分] 方式二 设g (a )＝f (x )＝ax 2＋x －a ＝(x 2－1)a ＋x .
∵－1≤x ≤1，
∴当x ＝±1，
即x 2－1＝0时，|f (x )|＝|g (a )|＝1≤54
；[1分] 当－1<x <1即x 2－1<0时，g (a )＝(x 2－1)a ＋x 是单调递减函数．[2分]
∵|a |≤1，∴－1≤a ≤1，∴g (a )max ＝g (－1)＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54
；[3分] g (a )min ＝g (1)＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54
.[4分]
∴|f (x )|＝|g (a )|≤54
.[5分] (2)当a ＝0时，f (x )＝x ，当－1≤x ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝1，不知足题设条件，
∴a ≠0.[6分]
又f (1)＝a ＋1－a ＝1，f (－1)＝a －1－a ＝－1.
故f (1)和f (－1)均不是最大值，[7分]
∴f (x )的最大值178
应在其对称轴上的极点位置取得， ∴命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0－1<－12a <1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝178
，[9分] 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a <－12a ＝－2或a ＝－18，
∴a ＝－2.即当a ＝－2时，函数f (x )有最大值178
.[10分] 【冲破思维障碍】
由于|a |≤1，f (x )的表达式中有两项含有a ，要想利用条件|a |≤1，必需归并含a 的项，从而找到解题思路；另外，由于x 的最高次数为2，而a 的最高次数为1，把ax 2＋x －a 看做关于a 的函数更简单，这两种方式中，对a 的归并都是很关键的一步．
【易错点剖析】
在第(1)问中的方式一中，若是不归并含a 的项，就无法正确应用条件|a |≤1，从而致使犯错或证不出；方式二也需要先归并含a 的项后，才容易把f (x )看做g (a )．
解含有绝对值不等式时，去掉绝对值符号的方式要紧有：公式法、分段讨论法、平方式、几何法等．这几种
方式应历时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；可是假设不等式含有多个绝对值时，那么应采纳分段讨论法；应用平方式时，要注意只有在不等式两边均为正的情形下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方式需视具体情形而定．
(总分值：75分)
一、选择题(每题5分，共25分)
1．不等式|x 2－x |<2的解集为( )
A ．(－1,2)
B ．(－1,1)
C ．(－2,1)
D ．(－2,2)
2．(2020·郑州期末)设|a |<1，|b |<1，那么|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )
A ．|a ＋b |＋|a －b |>2
B ．|a ＋b |＋|a －b |<2
C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2
D ．不能比较大小 3．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C ．[1,2]
D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)
4．假设不等式|8x ＋9|<7和不等式ax 2＋bx >2的解集相等，那么实数a 、b 的值别离为( )
A ．a ＝－8，b ＝－10
B ．a ＝－4，b ＝－9
C ．a ＝－1，b ＝9
D ．a ＝－1，b ＝2
5．假设关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≤a 2－2a －1在R 上的解集为∅，那么实数a 的取值范围是( )
A ．a <－1或a >3
B ．－1<a <3
C ．－1<a <2
D ．1<a <3
二、填空题(每题4分，共12分)
6．给出以下三个命题：
①假设|a －b |<1，那么|a |<|b |＋1；②若a 、b ∈R ，那么|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③假设|x |<2，|y |>3，那么⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x y <23
.其中所有正确命题的序号是________________． 7．(2020·陕西)不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．
8．(2020·深圳模拟)假设不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4
a
对任意的实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围是
_____________________________________________________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2020·福建)已知函数f (x )＝|x －a |.
(1)假设不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；
(2)在(1)的条件下，假设f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．
10．(12分)(2020·辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.
(1)假设a ＝－1，解不等式f (x )≥3；
(2)若是∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．
11．(14分)关于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试求实数x 的取值范围．
学案76 不等式选讲
(一)绝对值不等式
自主梳理
1．绝对值符号 3.(2)零点分区间讨论法
4．(1)(a －b )(b －c )≥0
自我检测
1．A [∵⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －2x ＞x －2x ，∴x －2x ＜0，∴0＜x ＜2.] 2．{x |－2≤x ≤5}
解析 |x ＋3|＋|x －4|≤9，
当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3；
当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立；
当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5.
综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．
又∵x ＝4t ＋1t
－6，t ∈(0，＋∞)， ∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当t ＝12
时取等号．
∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．
3．D [由绝对值的几何意义知|x ＋2|＋|x －3|∈[5，＋∞)，
因此要使|x ＋2|＋|x －3|≤a 有解集，需a ≥5.]
4．a ≤3
解析 由绝对值的几何意义知|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3，
而|x ＋1|＋|x －2|<a 无解，知a ≤3.
5．解 当x <0时，原不等式可化为－2x ＋1<－x ＋1，解得x >0，又∵x <0，∴x 不存在；
当0≤x <12时，原不等式可化为－2x ＋1<x ＋1，解得x >0， 又∵0≤x <12，∴0<x <12
； 当x ≥12
时，原不等式可化为2x －1<x ＋1，解得x <2， 又∵x ≥12，∴12
≤x <2. 综上，原不等式的解集为{x |0<x <2}．
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例1 解题导引 (1)绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．其方式要紧有：利用绝对值的意义；利用公式；平方、分区间讨论等．
(2)利用平方式去绝对值符号时，应注意不等式两边非负才可进行．
(3)零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值号；③别离解去掉绝对值的不等式；④取每一个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
解 (1)原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
|x －2|>1|x －2|≤3， 即⎩⎪⎨⎪⎧
x <1，或x >3－1≤x ≤5
， 解得－1≤x <1或3<x ≤5，
因此原不等式的解集为{x |－1≤x <1，或3<x ≤5}．
(2)由不等式|2x ＋5|>7＋x ，
可得2x ＋5>7＋x 或2x ＋5<－(7＋x )，
整理得x >2，或x <－4.
∴原不等式的解集是{x |x <－4，或x >2}．
(3)由题意x ＝1时，|x －1|＝0，x ＝－12时，2x ＋1＝0(以下分类讨论)． 因此①当x <－12时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－x ＋1－2x －1<2，得－23<x <－12
. ②当－12≤x ≤1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤1，－x ＋1＋2x ＋1<2，得－12
≤x <0. ③当x >1时，原不等式等价于⎩
⎪⎨⎪⎧
x >1，x －1＋2x ＋1<2，得x 无解． 由①②③得原不等式的解集为{x |－23<x <0}． 变式迁移1 解 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋2x －1<3或⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1<0，x －2x －1<3.
解得12≤x <43或－2<x <12. 因此原不等式的解集是{x |－2<x <43
}． 例2 解题导引 恒成立问题的解决方式
(1)f (x )<m 恒成立，须有[f (x )]max <m ；
(2)f (x )>m 恒成立，须有[f (x )]min >m ；
(3)不等式的解集为R ，即不等式恒成立；
(4)不等式的解集为∅，即不等式无解．
解 因为|x ＋2|－|x ＋3|的几何意义为数轴上任意一点P (x )与两定点A (－2)、B (－3)距离的差． 即|x ＋2|－|x ＋3|＝|PA |－|PB |.
易知(|PA |－|PB |)max ＝1，
(|PA |－|PB |)min ＝－1.
即|x ＋2|－|x ＋3|∈[－1,1]．
(1)假设不等式有解，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最大值小即可，即m <1.
(2)假设不等式的解集为R ，即不等式恒成立，m 小于|x ＋2|－|x ＋3|的最小值即可，因此m <－1.
(3)假设不等式的解集为∅，m 只要不小于|x ＋2|－|x ＋3|的最大值即可，即m ≥1.
变式迁移2 解 由|x －1|＋|x －2|的几何意义，即数轴上的点x 到数轴上的点1,2的距离之和知，|x －1|＋|x －2|≥1，要使|x －1|＋|x －2|>a 恒成立，只须1>a .
即实数a 的取值范围为(－∞，1)．
例3 解题导引 对绝对值三角不等式
|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.
(1)当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |；
当ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |.
(2)该定理能够推行为|a ＋b ＋c |≤|a |＋|b |＋|c |，也可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它们常经常使用于含绝对值的不等式的推证．
(3)利用“＝”成立的条件可求函数的最值．
A [∵|x －y |＝|x －A －(y －A )|，
∴由三角不等式定理
|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |
得：|x －y |≤|x －A |＋|y －A |<ε2＋ε2
＝ε. 反过来由|x －y |<ε，得不出|x －A |<ε2且|y －A |<ε2
， 应选A.]
变式迁移3 解 (1)|x ＋2|－|x －2|
≤|(x ＋2)－(x －2)|＝4，
当x >2时，“＝”成立．
故函数y ＝|x ＋2|－|x －2|的最大值为4.
(2)|x －3|＋|x ＋2|≥|(x －3)－(x ＋2)|＝5.
当－2≤x ≤3时，取“＝”．
故y ＝|x －3|＋|x ＋2|的最小值为5.
课后练习区
1．A [∵|x 2－x |<2，∴－2<x 2－x <2，
即⎩
⎪⎨⎪⎧ x 2－x ＋2>0x 2－x －2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ∈R －1<x <2.∴－1<x <2.] 2．B [方式一 把a 看成变量，要去掉绝对值符号，分区间进行讨论，如下图． 不妨设b >0 (b <0时同理)．
(1)当－1<a ≤－b 时，|a ＋b |＋|a －b |＝－a －b －a ＋b ＝－2a <2，
(2)当－b <a ≤b 时，|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b －a ＋b ＝2b <2，
(3)当b <a <1时，
|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b ＋a －b ＝2a <2.
综上可知|a ＋b |＋|a －b |<2.
方式二 (|a ＋b |＋|a －b |)2 ＝2a 2＋2b 2＋2|a 2－b 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2，a 2>b 2，4b 2，a 2≤b 2，
∴|a ＋b |＋|a －b |<2.]
3．A [由|x ＋3|－|x －1|的几何意义知，
|x ＋3|－|x －1|∈[－4,4]，即|x ＋3|－|x －1|的最大值是4，要使|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≥4恒成当即可．因此a ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．]
4．B [由|8x ＋9|<7，得－7<8x ＋9<7，
即－16<8x <－2，∴－2<x <－14.
由题意知－2，－14为方程ax 2＋bx －2＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b a ＝－2－14，－2a ＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14.∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－4
b ＝－9.] 5．B [由|x －1|＋|x －3|的几何意义知|x －1|＋|x －3|≥2，即|x －1|＋|x －3|的最小值为2.当a 2－2a －1<2时知足题意，∴a 2－2a －3<0，即(a ＋1)(a －3)<0，
∴－1<a <3.]
6．①②③
解析 |a |－|b |≤|a －b |<1，∴|a |<|b |＋1；
|a ＋b |－2|a |＝|a ＋b |－|2a |≤|a ＋b －2a |
＝|b －a |＝|a －b |；
∵|y |>3，∴1|y |<13，∴|x ||y |<23，即|x y |<23
. 故①、②、③都正确．
7．{x |x ≥1}
解析 原不等式可化为：
⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧
－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3 或⎩
⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3， ∴x ∈∅或1≤x <2或x ≥2.∴不等式的解集为{x |x ≥1}． 8．(－∞，0)∪{2}
解析 由|x ＋1|＋|x －3|的几何意义知，
|x ＋1|＋|x －3|∈[4，＋∞)，∴a ＋4a
≤4.
当a >0时，a ＋4a
≥4，当且仅当a ＝2时，取等号， 当a <0，显然符合题意．
9．解 方式一 (1)由f (x )≤3
得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.(3分)
又已知不等式f (x )≤3的解集为
{x |－1≤x ≤5}，
因此⎩
⎪⎨⎪⎧
a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(6分) (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，
于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3| ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5， －3≤x ≤2，
2x ＋1， x >2.(8分)
因此当x <－3时，g (x )>5；
当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；
当x >2时，g (x )>5.
综上可得，g (x )的最小值为5.(10分)
从而假设f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )min ≥m 对一切实数x 恒成立，那么m 的取值范围为(－∞，5]．(12分) 方式二 (1)同方式一．(6分)
(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.
设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.
由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，
g (x )的最小值为5.(10分)
从而，假设f (x )＋f (x ＋5)≥m ，
即g (x )min ≥m 对一切实数x 恒成立，那么m 的取值范围为(－∞，5]．(12分)
10．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.
由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3.
①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3.
不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤－1，f x ≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32.(2分) ②当－1<x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，此不等式不成立，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
－1<x ≤1f x ≥3
的解集为∅.(4分) ③当x >1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3. 不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
x >1，f x ≥3的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 综上得，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞.(6分) (2)假设a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不知足题设条件． 若a <1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，
2x －a ＋1，x ≥1.(8分)
f (x )的最小值为1－a .(9分)
若a >1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，
2x －a ＋1，x ≥a .(11分)
f (x )的最小值为a －1.
因此∀x ∈R .f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(12分)
11．解 由题知，|x －1|＋|x －2|≤|a －b |＋|a ＋b ||a |
恒成立． 故|x －1|＋|x －2|不大于|a －b |＋|a ＋b ||a |
的最小值．
(2分)
∵|a ＋b |＋|a －b |≥|a ＋b ＋a －b |＝2|a |，当且仅当(a ＋b )(a －b )≥0时取等号， ∴|a －b |＋|a ＋b ||a |
的最小值等于2.(6分) ∴x 的取值范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解．
解不等式得12≤x ≤52.(14分)。