【走向高考】2016届高三数学一轮阶段性测试题5 平面向量(含解析)新人教B版

阶段性测试题五(平面向量)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2015·某某乐安一中月考)已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b)，则实数x 等于( )
A ．－4
B ．4
C ．0
D ．9 [答案] D
[解析] ∵a －b ＝(1－x,4)，a ⊥(a －b)，∴a·(a －b)＝(1,2)·(1－x,4)＝9－x ＝0，∴x ＝9. 2．(2015·皖南八校联考)已知点A(2，－12)，B(12，32)，则与向量AB →方向相同的单位向量是( ) A ．(35，－45) B ．(45，－35) C ．(－35，45) D ．(－45，35) [答案] C
[解析] AB →＝(－32，2)，|AB →
|＝－322＋22＝52，
∴AB →|AB →|
＝(－35，45)． 3．(文)(2014·某某省金昌市二中期中)若|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° [答案] C
[解析] ∵c ⊥a ，∴c·a ＝(a ＋b)·a ＝|a|2＋a·b ＝0，∴a·b ＝－1，即1×2×cos 〈a ，b 〉＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝－1
2，∴〈a ，b 〉＝120°.
(理)(2015·某某市一模)若向量a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，则向量a 与b 的夹角等于( ) A ．45° B ．60° C ．120° D ．135° [答案] D
[解析] 由a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，得
b ＝(1，－3)，从而cos 〈a ，b 〉＝a·b
|a||b|＝－55×10
＝－2
2. ∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝135°. 4．(2015·呼和浩特市期中)已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a －b 在向量a ＋b 上的投影是( )
A ．－ 3
B ． 3
C.33
D ．－3
[答案] A
[解析] 由已知，向量|a －b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b ＝1＋4＋2＝7，|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝1＋4－2＝3，(a －b)·(a ＋b)＝|a|2－|b|2＝－3，则cos 〈a －b ，a ＋b 〉＝a －b ·a ＋b |a －b|·|a ＋b|
＝
－37×3
＝－21
7， 向量a －b 在向量a ＋b 上的投影是|a －b|cos 〈a －b ，a ＋b 〉＝7×(－21
7)＝－3，故选A. 5．(2015·石光中学阶段测试)已知m>0，n>0，向量a ＝(m,1)，b ＝(1－n,1)，且a ∥b ，则1m ＋2
n 的最小值是( )
A ．2
B ．2＋1
C ．22－1
D ．3＋2 2 [答案] D
[解析] ∵a ∥b ，∴m －(1－n)＝0，∴m ＋n ＝1，
∵m>0，n>0，∴1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(m ＋n)＝3＋n m ＋2m
n ≥3＋2 2. 等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧
n m ＝2m n ，m ＋n ＝1，
即⎩⎨⎧
m ＝2－1，n ＝2－ 2.
6．(2015·某某慈溪市、余姚市期中联考)在△ABC 中，设三边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，D ，则EC →＋FA →
＝( )
A.BD →
B ．12BD → C.A
C →
D ．12AC → [答案] A
[解析] EC →＝12(AC →＋BC →)，FA →＝12(CA →＋BA →)，∴EC →＋FA →＝12(AC →＋BC →＋CA →＋BA →)＝12(BC →＋BA →)＝BD →
. 7．(2015·某某师大附中月考)若等边△ABC 边长为23，平面内一点M 满足CM →＝12CB →＋23OA →
，则MA →·MB →＝( ) A ．－1 B ． 2 C ．－2 D ．2 3
[答案] C
[解析] 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知：A(0,3)，B(－3，0)，C(3，0)，
设M(a ，b)，CM →＝12CB →＋23OA →＝1
2(－23，0)＋23(0,3)＝(－3，2)， 又CM →＝OM →－OC →
＝(a ，b)－(3，0)＝(a －3，b)， ∴⎩⎨
⎧
a －3＝－3，
b ＝2，
∴a ＝0，b ＝2，
∴M(0,2)，所以MA →＝(0,1)，MB →
＝(－3，－2)， 因此MA →·MB →＝－2.故选C.
8．(2015·某某某某二中统练)若|a ＋b|＝|a －b|＝2|a|，则向量a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B ．π3 C.2π3 D ．5π6 [答案] D
9．(2014·某某三中期中)已知a ＋b ＋c ＝0，且a 与c 的夹角为60°，|b|＝3|a|，则cos 〈a ，b 〉等于( ) A.32
B ．22
C ．－12
D ．－32 [答案] D
[解析] 设〈a ，b 〉＝α，∵|b|＝3|a|， ∴|b|2＝3|a|2，a·b ＝3|a|2cosα，
a·c ＝|a|·|c|·cos60°＝1
2|a|·|a ＋b|. ∵a·c ＝－(a ＋b)·a ＝－|a|2－a·b ＝－|a|2－3|a|2cosα， |a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b
＝|a|2＋3|a|2＋23|a|2cosα＝4|a|2＋23|a|2cosα，
∴－|a|2－3|a|2cosα＝1
2|a|·4|a|2＋23|a|2cosα， ∴－3cosα－1＝124＋23cosα，∴cosα＝－3
2，故选D.
10．(2015·某某市树德中学期中)已知a ＝(x 5，y 26)，b ＝(x 5，－y
26)，曲线a·b ＝1上一点M 到
F(7,0)的距离为11，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，则|ON|＝( ) A.112 B ．21
2 C.12 D ．212或12 [答案] B
[解析] 由a·b ＝1得，x225－y2
24＝1，易知F(7,0)为其焦点，设另一焦点为F1，由双曲线的定义，||MF1|－|MF||＝10，∴|MF1|＝1或21，显然|MF1|＝1不合题意， ∴|MF1|＝21，ON 为△MF1F2的中位线，∴|ON|＝212.
11．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝3，点P 在AD 上且满足AD →＝3AP →，则DA →·(PB →＋PC →)＝( ) A ．6 B ．－6 C ．－12 D ．12 [答案] C
[解析] ∵AD ＝3，AD →＝3AP →，∴|AD →|＝3，|AP →
|＝1， ∴|PD →
|＝2，
∵D 为BC 的中点，∴DA →·(PB →＋PC →)＝DA →·2PD →＝－2·|DA →|·|PD →
|＝－12.
(理)(2014·某某省五校联考)已知A 、B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB ＝120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(0<λ<1)，则CM →·→的取值X 围是( ) A ．[－1
2，1) B ．[－1,1) C ．[－3
4，0) D ．[－1,0)
[答案] C
[解析] 以直线MN 为x 轴，单位圆的圆心O 为原点建立直角坐标系，则M(－1,0)，N(1,0)，∴OM →·ON →＝－1，
∵OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →
，(0<λ<1)，
∴BC →＝λBA →
(0<λ<1)，∴C 在线段AB 上(不包括端点)， ∵OA ＝OB ＝1，∠AOB ＝120°，∴|OC →
|∈[12，1)，
∴CM →·→＝(CO →＋OM →)·(CO →＋ON →)＝|CO →|2＋CO →·(OM →＋ON →)＋OM →·ON →＝|CO →
|2－1∈[－34，0)． 12．(文)(2015·某某航天中学二模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →
，则λ的值为( ) A.23 B ．13 C ．－13 D ．－23 [答案] A
[解析] 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点∵AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →
＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝2
3，故选A.
(理)(2014·某某某某实验中学、沙城一中联考)如图，平面内的两个单位向量OA →，OB →
，它们的夹角是60°，OC →与OA →、OB →向量的夹角都为30°，且|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →
，则λ＋μ的值为( )
A ．2
B ．4
C ．2 3
D ．4 3 [答案] B
[解析] 以OA 、OB 为邻边作▱OADB ，∵OA ＝1，OB ＝1，∠AOB ＝60°，∴OD ＝3，∵OC →与OA →
、OB →的夹角都为30°，∴OD →与OC →共线，∴OC →＝2OD →＝2OA →＋2OB →
，∴λ＝μ＝2，λ＋μ＝4. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2015·某某一中、某某中学、某某四中联考)向量a ，b ，c 在单位正方形网格中的位置如图
所示，则a·(b ＋c)＝________.
[答案] 3
[解析] 如图建立平面直角坐标系，
则a ＝(1,3)，b ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，c ＝(3,2)－(5，－1)＝(－2,3)，∴b ＋c ＝(0,1)， ∴a·(b ＋c)＝(1,3)·(0,1)＝3.
14．(文)(2014·某某某某十中期中)若非零向量a ，b ，c ，满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝________. [答案] 0
[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数λ，使b ＝λa ， 又a ⊥c ，∴a·c ＝0， ∴c·(a ＋2b)＝c·(a ＋2λa)＝(1＋2λ)a·c ＝0. (理)(2015·某某某某四校联考)已知m ，n 是夹角为120°的单位向量，向量a ＝tm ＋(1－t)n ，若n ⊥a ，则实数t ＝________. [答案] 2
3
[解析] ∵m ，n 是夹角为120°的单位向量，向量a ＝tm ＋(1－t)n ，n ⊥a ，∴n·a ＝n·[tm ＋(1－t)n]＝tm·n ＋(1－t)n2＝tcos120°＋1－t ＝1－32t ＝0，∴t ＝23.
15．(文)(2014·某某省五市十校联考)点M(x ，y)是不等式组⎩⎨⎧
0≤x≤3y≤3
x ≤3y
表示的平面区域Ω内的
一动点，使z ＝y －2x 的值取得最小的点为A(x0，y0)，则OM →·OA →
(O 为坐标原点)的取值X 围是________． [答案] [0,6]
[解析] 作出可行域Ω为如图四边形OBCD 区域，作直线l0：y －2x ＝0，平移l0，当平移到经过点B(3，1)时，z 取最小值，∴A 为B 点，即A(3，1)， ∵M 在平面区域Ω内运动，|OA →
|为定值， OM →·OA →＝|OA →|·(|OM →|·cos 〈OA →，OM →〉)，
∴当M 与O(或C)重合时，|OM →|cos 〈OA →，OM →〉取到最小值(或最大值)，且M 与O 重合时，OM →·OA →
＝0，M 与C 重合时，OM →·OA →＝(3，3)·(3，1)＝6， ∴0≤OM →·OA →≤6.
(理)(2014·襄阳四中、襄阳五中联考)设点P(x ，y)为平面上以A(4,0)，B(0,4)，C(1,2)为顶点的三角形区域(包括边界)内一动点，O 为原点，且OP →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的取值X 围为________． [答案] [3
4，1]
[解析] 直线AB ：x ＋y ＝4，直线AC ：2x ＋3y －8＝0，直线BC ：2x ＋y －4＝0， ∴点P 所在的平面区域为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y≤4，2x ＋3y≥8，2x ＋y≥4.
即△ABC 的内部和边界， ∵OP →＝λOA →＋μOB →
＝(4λ，4μ)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4λ，y ＝4μ.∴λ＋μ＝14(x ＋y)． 作直线l0：x ＋y ＝0，平移l0，可知当平移到经过点C(1,2)时，x ＋y 取最小值3，与直线AB 重合时，x ＋y 取最大值4，从而3≤x ＋y≤4，∴3
4≤λ＋μ≤1.
16．(文)(2015·某某市两校联考)若α，β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β(x ，y ∈R)，则称(x ，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1,2)下的坐标为________． [答案] (0,2)
[解析] a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)， 设a ＝xm ＋yn ＝(y －x ，x ＋2y)，则
⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝2，x ＋2y ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝2.
(理)(2015·某某市名校联考)如图，Ox 、Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，e1，e2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →＝xe1＋ye2，则将有序实数对(x ，y)叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．若OP →＝(3,2)，则|OP →
|＝________.
[答案]
7
[解析] 由题意可得e1·e2＝cos120°＝－1
2. |OP →|＝
3e1＋2e22＝9|e1|2＋4|e2|2＋12e1·e2
＝9＋4－6＝7.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·某某安溪一中、养正中学联考)已知|a|＝1，a·b ＝1
2，(a ＋b)·(a －b)＝1
2，求：
(1)a 与b 的夹角；
(2)a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值
[解析] (1)由条件知(a ＋b)·(a －b)＝|a|2－|b|2＝12，|a|＝1，∴|b|＝2
2， 设a 与b 的夹角为θ，则cosθ＝a·b |a|·|b|＝12
1×22＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.
(2)∵(a －b)2＝a2－2a·b ＋b2＝1－2×12＋12＝1
2， ∴|a －b|＝22，
∵(a ＋b)2＝a2＋2a·b ＋b2＝1＋2×12＋12＝5
2， ∴|a ＋b|＝102，
设a －b ，a ＋b 的夹角为α，
则cosα＝a －b ·a ＋b |a －b|·|a ＋b|＝12
22×10
2
＝5
5.
18．(本小题满分12分)(2015·皖南八校联考)如图，∠AOB ＝π
3，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA ，OB 上，且线段A1A2的长为1，线段B1B2的长为2，点M ，N 分别是线段A1B1，A2B2的中点．
(1)用向量A1A2→与B1B2→表示向量MN →
； (2)求向量MN →
的模．
[解析] (1)MN →＝MA1→＋A1A2→＋A2N →，MN →＝MB1→＋B1B2→＋B2N →
，两式相加，并注意到点M 、N 分别是线段A1B1、A2B2的中点，得MN →＝12(A1A2→＋B1B2→
)． (2)由已知可得向量A1A2→与B1B2→
的模分别为1与2，夹角为π3， 所以A1A2→·B1B2→＝1，由MN →＝12(A1A2→＋B1B2→)得， |MN →|＝14
A1A2→＋B1B2→ 2 ＝12
A1A2→2＋B1B2→2＋2A1A2→·B1B2→＝72
.
19．(本小题满分12分)(2014·某某省某某市期中)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A(6,0)，C(1，3)，点M 满足OM →＝12OA →
，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图．
(1)求∠OCM 的余弦值；
(2)是否存在实数λ，使(OA →－λOP →)⊥CM →
，若存在，求出满足条件的实数λ的取值X 围，若不存
在，请说明理由．
[解析] (1)由题意可得OA →＝(6,0)，OC →＝(1，3)，OM →＝12OA →＝(3,0)，CM →＝(2，－3)，CO →
＝(－1，－3)，
∴cos ∠OCM ＝cos 〈CO →，CM →
〉＝CO →·CM →|CO →||CM →|＝714.
(2)设P(t ，3)，其中1≤t≤5，λOP →
＝(λt ，3λ)， OA →－λOP →＝(6－λt ，－3λ)，CM →
＝(2，－3)， 若(OA →－λOP →)⊥CM →，则(OA →－λOP →)·CM →＝0，
即12－2λt ＋3λ＝0⇒(2t －3)λ＝12，若t ＝3
2，则λ不存在， 若t≠32，则λ＝122t －3
，
∵t ∈[1，32)∪(32，5]，故λ∈(－∞，－12]∪[12
7，＋∞)．
20．(本小题满分12分)(2014·某某程集中学期中)已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos C 2，sin C 2)，n ＝(cos C 2，－sin C 2)，且m 与n 的夹角为π3. (1)求角C 的值；
(2)已知c ＝3，△ABC 的面积S ＝43
3，求a ＋b 的值． [解析] (1)∵|m|＝|n|＝1， ∴m·n ＝|m|·|n|·cos π3＝1
2，
又m·n ＝cos C 2cos C 2＋sin C 2(－sin C 2)＝cosC ， ∴cosC ＝12，
又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π
3.
(2)由c2＝a2＋b2－2abcosC ，得a2＋b2－ab ＝9，① 由S △ABC ＝12absinC ＝433，得ab ＝16
3，②
由①②得(a ＋b)2＝a2＋b2＋2ab ＝9＋3ab ＝25， ∵a ，b ∈R ＋，∴a ＋b ＝5. 21．(本小题满分12分)(2015·某某襄阳四中、龙泉中学、某某一中、荆州中学联考)已知函数f(x)＝a·b ＋12，其中a ＝(3sinx －cosx ，－1)，b ＝(cosx,1)．
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且c ＝3，f(C)＝0，若sin(A ＋C)＝2sinA ，
求a 、b 的值．
[解析] (1)f(x)＝a·b ＋12＝3sinxcosx －cos2x －1＋12＝32sin2x －12(1＋cos2x)－12＝sin(2x －π6)－
1，
f(x)的最大值为0；最小正周期为π.
(2)f(C)＝sin(2C －π6)－1＝0，又－π6<2C －π6<11π6，
∴2C －π6＝π2，解得C ＝π3，
又∵sin(A ＋C)＝sinB ＝2sinA ，由正弦定理a b ＝12，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos π3，即a2＋b2－ab ＝9，
由①②解得：a ＝3，b ＝2 3.
22．(本小题满分14分)(文)(2015·东北育才学校一模)已知向量a ＝(cosx ，－12)，b ＝(3sinx ，
cos2x)，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在[0，π2]上的最大值和最小值．
[解析] (1)f(x)＝a·b ＝cosx·3sinx －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)．
当2kπ－π2≤2x －π6≤2kπ＋π2时，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，
∴f(x)＝sin(2x －π6)的单调递增区间为[kπ－π6，kπ＋π3](k ∈Z)．
(2)当x ∈[0，π2]时，(2x －π6)∈[－π6，5π6]，
∴sin(2x －π6)∈[－12，1]，
所以，f(x)在[0，π2]上的最大值和最小值分别为1，－12.
(理)(2014·某某省五市十校联考)已知向量m ＝(sinx ，－1)，n ＝(3cosx ，－12)，函数f(x)＝m2
＋m·n －2.
(1)求f(x)的最大值，并求取得最大值时x 的取值集合；
(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，角B 为锐角，
且f(B)＝1，求1tanA ＋1tanC 的值．
[解析] (1)f(x)＝m2＋m·n －2＝(m ＋n)·m －2
＝(sinx ＋3cosx ，－32)·(sinx ，－1)－2
＝sin2x ＋3sinxcosx －12＝1－cos2x 2＋32sin2x －12
＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)． 故f(x)max ＝1，此时2x －π6＝2kπ＋π2，k ∈Z ，得x ＝kπ＋π3，k ∈Z.
所以取得最大值时x 的集合为{x|x ＝kπ＋π3，k ∈Z}．
(2)∵f(B)＝1，∴sin(2B －π6)＝1，
又∵0＜B ＜π2，∴－π6<2B －π6<56π.
∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3.
∵a ，b ，c 成等比数列，∴b2＝ac ，∴sin2B ＝sinAsinC.
∴1tanA ＋1tanC ＝cosA sinA ＋cosC sinC ＝sinCcosA ＋cosCsinA sinAsinC
＝sin A ＋C sin2B ＝1sinB ＝13
2
＝233.。