高中数学新课标人教A版选修2-1：3.1.1 空间向量及其加减运算 课件

（zero vector），记为 .当0有向线段的起点A与 终点B重合时，AB= 0.
（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）.
（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量
的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大
小.
第九页，编辑于星期一：点 十七分。
3. 相反向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a的相反向量，记为 – a.
表达式，并标出化简结果的向量.
(1)AB BC . (2)AB AD AA' .
D' A'
D A
C' B'
C B
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解:
⑴ AB BC AC .
D'
(2) AB AD AA' A'
AC AA'
AC CC'
AC' .
D A
C' B'
C B
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A． a b
B． a b 为实数 0
C． a 与b 方向相同 D．| a | 3
第二十七页，编辑于星期一：点 十七分。
提升总结 1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不 确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相 等的必要不充分条件．
2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运 算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
字母表示法 a AB
向量的模 向量的大小 a AB 向量的大小 a AB
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相等向量 相反向量 单位向量
零向量
平面向量
方向相同且模相等的 向量
长度相等且方向
相反的向量
模为1的向量
长度为零的向量
空间向量
方向相同且模相等的向量
长度相等且方向 相反的向量
模为1的向量
长度为零的向量
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
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引入 复习平面向量
⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示. 字母表示法： 用字母a,b等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB 表示．
相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为 同一平面内的向量.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量 中有关结论仍适用于它们.
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定义
二、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
具有大小和方向的量
在空间，具有大小和方向 的量
表示法
几何表示法
字母表示法 a AB
几何表示法
内——这就是我们 今天要学习的空间 向量.
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1. 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 2. 了解空间向量的概念. 3. 掌握空间向量的加减运算. （重点）
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探究点1 概念 1. 空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空
加法结合律
(a b) c a (b c)
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生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼 搏而前行.
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AC = A.1C1
（4）若空间向量 m,n,p 满足 m = n,n = p ，
则 m p.
（5）空间中任意两个单位向量必相等.
其中不正确命题的个数是（ C） A.1 B.2 C.3 D.4
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2.给出以下几种说法：
①若| a |＝| b |，则a ， b 的长度相同，方
b
a
B
b
O
aA
结论：空间任意两个向量都是共面向量，
所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.
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探究点2 空间向量的加减运算
1. 空间向量的加减运算
由于任意两个空间向量都能平移到同一空间 ，所以空间向量的加减运算与平面向量的加减
运算相同.
A a
o
B
b
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B
D
A
C
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⒉平面向量的加减法运算
⑴向量的加法：
ab b
a
平行四边形法则
ab
b
a
三角形法则(首尾相连)
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⑵向量的减法 三角形法则
ab b
a
减向量终点指向被减向量终点
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看下面建筑
这个建筑钢架中 有很多向量，但它们 有些并不在同一平面
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一、回顾本节课你有什么收获？ 1.空间向量的概念. 在空间，具有大小和方向的量. 2.空间向量的加减运算. 空间向量的加减运算应用三角形法则和平行 四边形法则.
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3.空间向量的加法符合交换律，结合律.
4.平面向量与空间向量.
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3.对空间向量的加减法的说明 (1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广. (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立.
(3)空间向量的加法运算 十七分。
4.扩展 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由
起始向量的起点指向末尾向量的终点的量．
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三、空间向量的加法、减法运算
平面向量
加法：三角形法则或平
加法减法
行四边形法则
运算
减法：三角形法则
空间向量 加法:三角形法则或
平行四边形法则
减法:三角形法则
运算律
加法交换律
abba
加法结合律
(a b) c a (b c)
加法交换律 a b b a
C
B
o
a
A
加法: OB=OA+AB=a+b， 减法：CA=OA-OC=a-b.
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2. 空间向量的加法运算律
你能证明下 列性质吗？
（1）加法交换律
a+b=b+a
（2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
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证明加法交换律:
间向量（space vector ）. 向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus).
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2. 空间向量的表示
向量 a 的起点是
A，终点是B，则向量
a 也可以记作AB，其 模记为| a|或|AB|
B
a
A
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提升总结
（1）我们规定，长度为0的向量叫做零向量
向相同或相反;
②若向量a 是向量 b 的相反向量，则|a |＝|b |;
③空间向量的减法满足结合律; ④在四边形 ABCD 中，一定有A→B＋A→D＝A→C. 其中正确说法的序号是___②__③_____．
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答案：②③
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3.（2013·福建高二检测）空间两向量 a, b 互为 相反向量，已知向量| b | 3 ，则下列结论正确的 是（ D ）
即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
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（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则 它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
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例 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量
提升总结 始点相同的三个不共面向量之和，等于以
这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点 为始点的体对角线所表示的向量.
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1.给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同.
（2）若空间向量 a，满b 足 | a |，| b则| a. b
（3）在正方体 ABCD - A1B1C1D中1 ，必有
C
a
B
o
a
A
因为 OA = CB = a， AB = OC = b，
所以 a + b = b + a.
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证明加法结合律:
O
a
A
C
bBc
因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,
OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c), 所以 (a + b) + c = a + (b + c).
4. 相等向量（equal vector）
方向相同且模相等的向量称为相等向量.
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提升总结 （1）空间的一个平移就是一个向量. （2）向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线
段表示同一或相等的向量 .
（3）空间的两个向量可用同一平面内的 两条有向线段来表示.
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