2021-2022学年沪科版九年级数学下册第24章圆章节测试试卷(含答案详解)

沪科版九年级数学下册第24章圆章节测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cm
AB=，则水的最大深度为（）
A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm
2、如图，四边形ABCD内接于O，若四边形ABCO是菱形，则D
∠的度数为（）
A．45°B．60°C．90°D．120°
3、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为
（）
A．70°B．50°C．20°D．40°
4、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（）
A．80°B．70°C．60°D．50°
5、如图，直线
3
3
4
y x
=--交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1
个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）
A．
7
(,0)
3
-B．
17
(,0)
3
-
C．
7
(,0)
3
-或
17
(,0)
3
-D．（﹣2，0）或（﹣5，0）
6、如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则ABC是（）
A．优弧B．劣弧C．半圆D．无法判断
7、如图，AB为O的直径，C为D外一点，过C作O的切线，切点为B，连接AC交O于D，∠=︒，点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则AED
38
C
∠的大小是（）
A．19°B．38°C．52°D．76°
8、下列图形中，既是中心对称图形又是抽对称图形的是（）
A．B．C．D．
AB=cm，则水的最大9、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽8
深度为（）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
10、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、AB 是O 的直径，点C 在O 上，25BAC ∠=︒，点P 在线段OB 上运动．设ACP x ∠=，则x 的取值范围是________．
2、已知如图，AB =8，AC =4，∠BAC =60°，BC 所在圆的圆心是点O ，∠BOC =60°，分别在BC 、线段AB 和AC 上选取点P 、E 、F ，则PE +EF +FP 的最小值为____________．
3、如图，以面积为20cm 2的Rt △ABC 的斜边AB 为直径作⊙O ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，若
CD AB =AC ＋BC ＝_____．
4、在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分的面积为_____．
5、如图，点C是半圆AB上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使BC在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为_____cm．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点．
（1）求证：AB AD =．
（2）若60ACD ∠=︒，AD =，求BD ．
2、定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A ＝1
2∠O ．
已知：如图2，AC 是⊙O 的一条弦，点D 在⊙O 上（与A 、C 不重合），联结DE 交射线AO 于点E ，联
结OD ，⊙O 的半径为5，tan∠OAC ＝34．
（1）求弦AC 的长．
（2）当点E 在线段OA 上时，若△DOE 与△AEC 相似，求∠DCA 的正切值．
（3）当OE ＝1时，求点A 与点D 之间的距离（直接写出答案）．
3、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点P 在BA 的延长线上，连接BC ，PC ．若AB = 6，AC 的长为π，BC = PC ．求证：直线PC 与⊙O 相切．
4、如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求AC长．
5、如图1，在⊙O中，AC＝BD，且AC⊥BD，垂足为点E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）图2，连接OA，当OA＝2，∠OAB＝15°，求BE的长度；
（3）在（2）的条件下，求CD的长．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
连接OB，过点O作OC AB
⊥于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【详解】
解：连接OB，过点O作OC AB
⊥于点D，交O于点C，如图所示：
则
1
36()
2
BD AB cm
==，O的直径为78cm，
39()
OB OC cm
∴==，
在Rt OBD
△中，15()
OD cm，
391524()
CD OC OD cm
∴=-=-=，
即水的最大深度为24cm，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
2、B 【分析】
设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得
180
1
2
，求出β即可解决问题．
【详解】
解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOCβ
=；
∴∠ADC=1
2
β；
四边形ABCD为圆的内接四边形，∴α+β=180°，
∴
180
1
2
，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故选：B．
【点睛】
该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.
3、D
【分析】
首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．
【详解】
解：连接OA ，OB ，
∵PA ，PB 为⊙O 的切线，
∴∠OAP =∠OBP =90°，
∵∠ACB =70°，
∴∠AOB =2∠P =140°，
∴∠P =360°-∠OAP -∠OBP -∠AOB =40°．
故选：D ．
【点睛】
此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
4、A
【分析】
根据三角形旋转得出DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，根据点A ，D ，E 在同一条直线上利用邻补角关系求出18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC =50°，由此即可求解．
【详解】
证明：∵ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，
∴DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，
∴∠ADC =∠DAC ，
∵点A ，D ，E 在同一条直线上，
∴18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，
∴∠DAC=50°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°
故选A．
【点睛】
本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．
5、C
【分析】
由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵直线
3
3
4
y x
=--交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，
∴PD AP OB AB
=，
∴1
35
AP =，
∴AP= 5
3
，
∴OP= 7
3
或OP=
17
3
，
∴P
7
(,0)
3
-或P
17
(,0)
3
-，
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．
6、B
【分析】
根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．
【详解】
解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．
【点睛】
本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．
7、B
【分析】
连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解
905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解：连接,BD AB 为O 的直径，
90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒
38,C ∠=︒
903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒ CB 为O 的切线，
90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒
38,AED ABD ∴∠=∠=︒
故选B
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.
8、B
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
9、B
【分析】
连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【详解】
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=8cm，
∴BD=1
2
AB=4（cm），
由题意得：OB=OC=1
10
2
=5cm，
在Rt △OBD 中，OD 3=（cm ），
∴CD =OC -OD =5-3=2（cm ），
即水的最大深度为2cm ，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10、C
【详解】
解：选项A 是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 不符合题意；
选项B 不是轴对称图形，是中心对称图形，故B 不符合题意；
选项C 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C 符合题意；
选项D 是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 不符合题意；
故选C
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180︒后能与自身重合.
二、填空题
1、2590x ︒≤≤︒
【分析】
分别求出当点P 与点O 重合时，当点P 与点B 重合时x 的值，即可得到取值范围．
【详解】
解：当点P 与点O 重合时，
∵OA=OC ，
∴ACP A ∠=∠，即25x =︒；
当点P 与点B 重合时，
∵AB 是O 的直径，
∴90ACP x ∠==︒，
∴x 的取值范围是2590x ︒≤≤︒．
【点睛】
此题考查了同圆中半径相等的性质，直径所对的圆周角是直角的性质，正确理解点P 的运动位置是解题的关键．
2、1212-+【分析】
如图，连接BC ，AO ，作点P 关于AB 的对称点M ，作点P 关于AC 的对称点N ，连接MN 交AB 于E ，交AC 于F ，此时△PEF 的周长=PE +PF +EF =EM +EF +FM =MN ，想办法求出MN 的最小值即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接BC ，AO ，作点P 关于AB 的对称点M ，作点P 关于AC 的对称点N ，连接MN 交AB 于E ，交AC 于F ，此时△PEF 的周长=PE +PF +EF =EM +EF +FM =MN ，
∴当MN 的值最小时，△PEF 的值最小，
∵AP =AM =AN ，∠BAM =∠BAP ，∠CAP =∠CAN ，∠BAC =60°，
∴∠MAN =120°，
∴MN ，
∴当PA 的值最小时，MN 的值最小，
取AB 的中点J ，连接CJ ．
∵AB =8，AC =4，
∴AJ =JB =AC =4，
∵∠JAC =60°，
∴△JAC 是等边三角形，
∴JC =JA =JB ，
∴∠ACB =90°，
∴BC
=
∵∠BOC =60°，OB =OC ，
∴△OBC 是等边三角形，
∴OB =OC =BC BCO =60°，
∴∠ACH =30°，
∵AH ⊥OH ，
AH =1
2
AC =2，CH
∴OH
∴OA
∵当点P 在直线OA 上时，PA 的值最小，最小值为
∴MN =．
故答案：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．
3、##
【分析】
连接CO ，延长交O 于点E ，连接DE ，先根据圆周角定理和圆的性质可得,90AB CE CDE =∠=︒，再根据特殊角的三角函数值可得30DCE ∠=︒，从而可得15BAC ACO ∠=∠=︒，作15ABF BAC ∠=∠=︒，交AC 于点F ，从而可得,30AF BF BFC =∠=︒，然后在Rt BCF 中，利用直角三角形的性质和勾股定
理可得2,BF BC CF ==，设cm(0)BC x x =>，从而可得(2cm AC x =，利用直角三角形的面积公式可求出x 的值，由此即可得．
【详解】
解：如图，连接CO ，延长交O 于点E ，连接DE ，
,AB CE 都是O 的直径，
,90AB CE CDE ∴=∠=︒， 3CD AB =
CD CE ∴=
在Rt CDE △中，cos DCE CD CE ∠=
= 30DCE ∴∠=︒，
CD 平分ACB ∠，且90ACB ∠=︒，
45ACD ∴∠=︒，
15ACO ACD DCE ∴∠=∠-∠=︒，
OA OC =，
15BAC ACO ∴∠=∠=︒，
如图，作15ABF BAC ∠=∠=︒，交AC 于点F ，
,30AF BF BFC ABF BAC ∴=∠=∠+∠=︒，
∴
在Rt BCF 中，2,BF BC CF ==，
(2AC AF CF BF CF BC ∴=+=+=+，
设cm(0)BC x x =>，则(2cm AC x =，
1202Rt ABC S AC BC =
⋅=， 1
(2202
x x ∴⋅=，
解得x =0x =-（不符题意，舍去），
则(2(3AC BC x x +=++==，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值、圆周角定理、含30角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形是解题关键．
4、2π
【分析】
利用勾股定理求出AC 及AB 的长，根据阴影面积等于AB C CAC DAB S S S
''
''--扇形扇形求出答案． 【详解】
解：由旋转得,AB AB AC AC ''==，90CAC '∠=︒，B AC ''∠=∠BAC ＝30°， ∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，
∴AC =2BC =2，AB 60CAB '∠=︒， ∴阴影部分的面积=AB C CAC DAB S S S ''''--扇形扇形
2
2609021
1360
3602ππ⨯⨯=--⨯
=2π
故答案为：2π
．
【点睛】
此题考查了求不规则图形的面积，正确掌握勾股定理、30度角直角三角形的性质、扇形面积计算公式及分析出阴影面积的构成特点是解题的关键．
5、2)
【分析】
如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，通过△OCD≌△OBE（SAS），可得OE＝OD，通过旋转观察如图可知当DO⊥AB时，DO最长，此时OE最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，先证明△MED≌△MEB，得MD＝BM．再利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，
∵四边形BCDE是正方形，
∴∠BCD＝∠CBE＝90°，CD＝BC＝BE＝DE，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCD+∠OCB＝∠CBE+∠OBC，即∠OCD＝∠OBE，
∴△OCD≌△OBE（SAS），
∴OE＝OD，
根据旋转的性质，观察图形可知当DO⊥AB时，DO最长，即OE最长，
∵∠MCB ＝12∠MOB ＝1
2×90°＝45°，
∴∠DCM ＝∠BCM ＝45°，
∵四边形BCDE 是正方形，
∴C 、M 、E 共线，∠DEM ＝∠BEM ，
在△EMD 和△EMB 中，
DE BC MED MEB WE WEE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MED ≌△MEB （SAS ），
∴DM ＝BM
＝
cm ），
∴OD 的最大值＝
，即OE 的最大值＝
+2；
故答案为：（
）cm ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，解题的关键是OD 取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论．
三、解答题
1、（1）见详解；（2
）BD =【分析】
（1）由题意及垂径定理可知AC 垂直平分BD ，进而问题可求解；
（2）由题意易得60ABD ACD ∠=∠=︒，然后由（1）可知△ABD 是等边三角形，进而问题可求解．
【详解】
（1）证明：∵AC 是直径，点C 是劣弧BD 的中点，
∴AC 垂直平分BD ，
∴AB AD =；
（2）解：∵AD AD =，60ACD ∠=︒，
∴60ABD ACD ∠=∠=︒，
∵AB AD =，
∴△ABD 是等边三角形，
∵AD =
∴BD AD =
【点睛】
本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．
2、
（1）8
（2）13
（3） 【分析】
（1）过点O 作OH ⊥AC 于点H ，由垂径定理可得AH ＝CH ＝1
2AC ，由锐角三角函数和勾股定理可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．
（1）
如图2，过点O作OH⊥AC于点H，
由垂径定理得：AH＝CH＝1
2
AC，
在Rt△OAH中，
3 tan
4
OH
OAC
AH
∠==，
∴设OH＝3x，AH＝4x，
∵OH2+AH2＝OA2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），
∴OH＝3，AH＝4，
∴AC＝2AH＝8；
（2）
如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，
∵∠DEO＝∠AEC，
∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；AD AD
=
∴
1
2
ACD DOE ∠=∠，
∴∠ACD≠∠DOE
∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，
∴OD∥AC，
∴OD OE AC AE
=，
∵OD＝OA＝5，AC＝8，
∴55
8
AE
AE
-
=，
∴
40
13 AE=，
∵∠AGE＝∠AHO＝90°，∴GE∥OH，
∴△AEG ∽△AOH ， ∴AE EG AG AO OH AH
==， ∴4013345
EG AG ==， ∴2413
EG =， ∴3213AG =，327281313
CG =-=， 在Rt△CEG 中，1tan 3EG DCA CG ∠=
=； （3）
当点E 在线段OA 上时，如图3，过点E 作EG ⊥AC 于G ，过点O 作OH ⊥AC 于H ，延长AO 交⊙O 于M ，连接AD ，DM ，
由（1）可得 OH ＝3，AH ＝4，AC ＝8，
∵OE ＝1，
∴AE＝4，ME＝6，∵EG∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴
4
5 AE AG EG
AO AH OH
===，
∴AG＝16
5
，EG＝
12
5
，
∴GC＝24
5
，
∴EC
∵AM是直径，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴EC EG AM AD
=，
∴
12
55
10AD
=
，
∴AD＝
当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E作EG⊥AC于G，
同理可求EG＝18
5
，AG＝
24
5
，AE＝6，GC＝
16
5
，
∴EC
∵AM是直径，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴EC EG AM AD
=，
∴
18
55
10AD
=
，
∴AD
综上所述：AD的长是
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键．
3、见详解
【分析】
连接OC，由题意易得∠AOC=60°，则有∠B=∠OCB=30°，然后可得∠P=∠B=30°，进而可得
∠OCP=90°，最后问题可求证．
【详解】
证明：连接OC，如图所示：
∵AC 的长为π，AB =6，
∴OC =OA =3，3180AC n l ππ=
=， ∴60AOC ∠=︒，
∵OB =OC ，
∴∠B =∠OCB =30°，
∵BC =PC ，
∴∠P =∠B =30°，
∴∠POC +∠P =90°，即∠OCP =90°，
∵OC 是圆O 的半径，
∴直线PC 与⊙O 相切．
【点睛】
本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
4、（1）见解析；（2）
152
【分析】
（1）由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；
（2）由已知条件得出sin∠DEF 和sin∠AOE 的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.
【详解】
（1）如图，
∵DC⊥OA，
∴∠1+∠3=90°，
∵BD为切线，
∴OB⊥BD，
∴∠2+∠5=90°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5，
在△DEB中，∠4=∠5，
∴DE=DB.
(2)如图，作DF⊥AB于F，
连接OE，∵DB=DE，
∴EF =12BE =3，
在Rt△DEF 中，EF =3，DE =BD =5，
∴DF 4=
∴sin∠DEF =
DF DE = 45 ， ∵∠AOE 90A A AEC +∠=︒=∠+∠,AEC DEF ∠=∠，
∴∠AOE =∠DEF ，
∴在Rt△AOE 中，sin∠AOE =
45
AE AO = ， ∵AE =6，
∴AO =152. 【点睛】
本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.
5、（1）45︒；（21；（3）
3π 【分析】
（1）如图，过O 作,,OH
AC OQ BD 垂足分别为,,H Q 连接,,OA OB 证明,AH BQ 四边形OHEQ 为正方形，可得,EH EQ 证明,AE BE = 可得答案； （2）先求解30,1,3,OAH OH AH 再结合（1）的结论可得答案；
（3）如图，连接,,,CD OC OD 先求解30,OCH 再证明,45,CE DE ECD 再求解75,ODC OCD 可得30,COD 再利用弧长公式计算即可.
【详解】
解：（1）如图，过O 作,,OH AC OQ BD 垂足分别为,,H Q 连接,,OA OB
,,AH CH BQ DQ
,AC BD =
,AH BQ CH DQ
,AC BD ⊥
∴ 四边形OHEQ 为矩形，
由勾股定理可得：2
22222,,OH OA AH OQ OB BQ 而,OA OB =
,OH OQ ∴= ∴ 四边形OHEQ 为正方形，
,EH EQ
,EA EB ∴= 而90,AEB ∠=︒
45.ABD ∴∠=︒
（2）如图，过O 作,,OH AC OQ BD 垂足分别为,,H Q
由（1）得：四边形OHEQ 为正方形，45
,,ABD BAC EA EB
,EH OH
OA ＝2，∠OAB ＝15°， 22130,1,3,2OAH OH AO AH OA OH
1,31,HE HO AE
3 1.BE
（3）如图，连接,,,CD OC OD
30,,OAH
OA OC 30,OCH
,,,AC
BD AE BE AC BD ,45,CE DE ECD
30
4575,OCD
,OC OD 75,ODC OCD
180
757530,COD 302
.1803DC l
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弧长的计算，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键.。