高考数学压轴专题铁岭备战高考《不等式》真题汇编附解析

数学高考《不等式》复习资料(1)
一、选择题
1．已知ABC V 外接圆的半径2R =
，且2
sin 2
A
A =.则ABC V 周长的取值范围为（ ） A
． B
．(4, C
．4+
D
．(4+
【答案】C 【解析】 【分析】
由2
sin 2
A A =及倍角公式可得23A π=
，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】
由题意，2
2cos 1123A A -=-
，即cos 13
A A -=-，可化为
33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，即sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23
A π
=
，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，
c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），
所
以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为2
2
2
12()b c bc b c bc =++=+-，所以
2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤
，则4a b c ++≤+b c a +>，所以
2a b c a ++>=
4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为
4+.
故选：C 【点睛】
本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
2．设x ，y 满足约束条件21210
x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，若32z x y =-+的最大值为n
，则2n x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( )
A．60 B．80 C．90 D．120【答案】B
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到5
n=，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
32
z x y
=-+，即3
22
z
y x
=+，故z表示直线与y截距的2倍，
根据图像知：当1,1
x y
=-=时，32
z x y
=-+的最大值为5，故5
n=.
5
2x
x
⎛
-
⎪
⎝⎭
展开式的通项为：()()
3
5
552
155
221
r
r
r r
r r r
r
T C x C x
x
-
--
+
⎛
=⋅-=⋅⋅-⋅
⎪
⎝⎭
，
取2
r=得到2x项的系数为：()2
252
5
2180
C-
⋅⋅-=.
故选：B.
【点睛】
本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．设变量,x y满足约束条件
21
1
x y
x y
x y
-≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪+≤
⎩
，则目标函数5
z x y
=+的最大值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方
程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】
根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，
即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，
当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大， 由21
1
x y x y +=⎧⎨
+=⎩得A （1，0）
∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5 故选D
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
4．已知函数())
22
log 1f x x x =+，若对任意的正数,a b ，满足
()()310f a f b +-=，则31
a b
+的最小值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．12
D ．24
【答案】C 【解析】 【分析】
先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值. 【详解】 2210,x x x x x x +≥-=所以定义域为R ，
因为()22
log 1f x x x =++，所以()f x 为减函数 因为()2
2log 1f x x x
=++，())
22
log 1f x x x -=+,所以
()()()f x f x f x =--，为奇函数，
因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=，
所以()3131936b a a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，
因为
96b a a b +≥=， 所以
3112a b +≥（当且仅当12a =，1
6b =时，等号成立），选C. 【点睛】
本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
5．已知α，β均为锐角，且满足()
sin 2cos sin αβαβ
-=，则αβ-的最大值为（ ）
A ．
12
π
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 【答案】B 【解析】 【分析】
利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则
,22
ππαβ⎛⎫
-∈- ⎪⎝
⎭
，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差
的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
由
()
sin 2cos sin αβαβ
-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=， 即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，
化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以
()2
tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββ
αβαββ
ββ
--=
==+++，
又因为β为锐角，所以tan 0β>，
根据基本不等式
2
1
33tan tan ββ
≤
=
+，
当且仅当tan 3
β=
时等号成立，
因为,22ππαβ⎛
⎫-∈-
⎪⎝⎭
，且函数tan y x =在区间,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增，
则αβ-的最大值为6
π
. 故选:B . 【点睛】
本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.
6．若,x y 满足4,
20,24,
x y x y x y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪+≥⎩
则4y x -的最大值为（ ）
A ．72
-
B ．52
-
C ．32
-
D ．1-
【答案】D 【解析】 【分析】
画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可. 【详解】
该不等式组表示的平面区域，如下图所示
4
y x
-表示该平面区域中的点(),x y 与(0,4)A 确定直线的斜率 由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB 上任意一点时，取得最大值.
不妨取84(,)33
B 时，4y x -取最大值
44
3183
-=- 故选：D 【点睛】
本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.
7．已知0a >，0b >，且()12
2y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．
18
B ．
14
C ．
12
D ．
34
【答案】A 【解析】 【分析】
根据()12
2y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 1
22
a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】
因为()12
2y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=， 又因为0a >，0b >，
所以ab 2
1121
22228
a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，
当且仅当21a b +=，2a b =即11
,24
a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 1
8
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.
8．已知函数24,0
()(2)1,0
x x f x x
x x ⎧
+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(4,)+∞
C ．(2,4)
D ．(3,4)
【答案】A 【解析】 【分析】
画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4
y x x
=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】
画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x
=+
….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可
知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.
故选：A 【点睛】
本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.
9．若33
log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（ ）
A ．6
B ．83
C ．
163
D ．
173
【答案】C 【解析】 【分析】
由33
log (2)1log
a b ab +=+21
3b a
+=，且0,0a b >>，又由
12142(42)3a b a b b a ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】
因为33
log (2)1log
a b ab +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，
所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21
3b a
+=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(8216)3333
a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a
=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.
10．已知实数,x y 满足线性约束条件1
020
x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩
，则1
y x +的取值范围为（ ）
A ．(-2,-1］
B ．(-1,4］
C ．[-2,4)
D ．[0,4]
【解析】 【分析】 作出可行域，1
y x
+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，观察可行域可得最小值． 【详解】
作出可行域，如图阴影部分（含边界），1
y x
+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，(1,3)A ，3(1)
410
QA k --=
=-，过Q 与直线0x y +=平行的直线斜率为－1，∴
14PQ k -<≤．
故选：B ．
【点睛】
本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1
y x
+表示动点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．
11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny +-=上，其中·0m n >，则
41
m n
+的最小值为（） A ．16 B ．24
C ．50
D ．25
【答案】D 【解析】 【分析】
由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．
令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，
则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴
41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n
++
=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，
故则
41
m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】
本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．
12．已知函数()2222,2
{
log ,2
x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2
054f x m m ≤- 成立，
则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．12,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】
由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：
2
154m m ≤-，解得：
114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 本题选择B 选项.
点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
13．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2cos cos b C c B =，则
111
tan tan tan A B C
++的最小值为（ ） A
．
3
B
C
．
3
D
．【答案】A
【分析】
先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】
∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴
()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1
B C B B
B C B B +=-
=-=---，
∴21112tan 111
tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++
27tan 3
6tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,
∴
27tan 36tan B B +≥=
，当且
仅当tan B =
时取等号，
∴min
111tan tan tan A B C ⎛⎫++=
⎪⎝⎭ A. 【点睛】
本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.
14．已知M 、N 是不等式组1,
1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则
||MN 的最大值是（ ）
A
B
．
2
C
．D ．
172
【答案】A 【解析】 【分析】
先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果. 【详解】
作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为
选A.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22
a b a b
+-的最小值等于（ ）． A 5B ．3C ．23 D ．22【答案】D
【解析】 试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =
所以lg lg a b =- 所以1a b
=，即1ab =，0a b >> 22a b a b
+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---2()22a b a b ≥-⨯=- 当且仅当2a b a b
-=-，即2a b -=时等号成立 所以22
a b a b
+-的最下值为2故答案选D
考点：基本不等式．
16．若 x y ，满足约束条件0
2323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
，则z x y =-的最小值是（ ）
A ．0
B ．3-
C ．32
D ．3 【答案】B
【解析】
可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3
(0,),(0,3),(1,1)2
A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.
17．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是
A ．3
B ．4
C ．92
D ．112 【答案】B
【解析】
【详解】 解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭
，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥
18．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“2
20x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.
19．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅
为(1,3)，则a 的取值范围为（ ）
A ．(1,1)-
B ．(0,1)
C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞
D ．(1,0]-
【答案】A
【解析】
【分析】
结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可．
【详解】
结合不等式组，绘制可行域，得到：
目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则<1a -，此时a 的范围为(]1,0-
当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ．
【点睛】
本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．
20．已知实数x ，y 满足20x y >>，且
11122x y x y
+=-+，则x y +的最小值为（ ）. A 323+B 423+ C 243+ D 343+ 【答案】B
【解析】
【分析】 令22x y m x y n
-=⎧⎨+=⎩，用,m n 表示出x y +，根据题意知111m n +=，利用1的代换后根据基本不等式即可得x y +的最小值.
【详解】
20,20,20x y x y x y >>∴->+>Q ，
令22x y m x y n -=⎧⎨+=⎩，解得2525m n x n m
y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，则0,0m n >>，111m n +=， 223111555m n n m n m x y m n +-+⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
13113(455n m m n ⎛⎫=⨯+++≥⨯+ ⎪⎝⎭
45
+=当且仅当
3n m m n =
，即m =
，即22)x y x y -=+
即x y ==. 故选：B .
【点睛】
本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.。