部编版数学六年级上册第10讲.变速问题

33 部路程的 5 6 5
3 18
第 １１ 级下 超常体系 教师版 ５
“1 英里 4 分钟”的故事 自古希腊设立“1 英里比赛”的赛跑项目以来，人们一直试图在４分钟内跑完，甚至曾 让狮子追赶奔跑者，但仍没突破。于是所有运动专家都断言：1 英里 4 分钟是人类极限。然 而，1954 年 5 月 6 日，牛津大学医学院 25 岁的学生罗杰·班尼斯特，用 3 分 59.4 秒的时间 突破了这一极限！ 帮助班尼斯特成功的教练，是伊利诺斯大学身体适应实验室主任库里顿博士。 这位教练的方法是：把一英里分成 4 段，根据班尼斯特的体能算出通过每段 的最短时间是 58 秒，然后在每段都设一个教练指引运动员：“太快了，放慢！” “提速，加油！”很多教练都借鉴了库里顿博士的方法，第二年就有 37 位选手 突破了 1 英里 4 分钟！
例５
甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲，乙的速度之比是5 : 4 ，相遇后甲 的速度减少 20% ，乙的速度增加 20% ．这样当甲到达 B 地时，乙距离 A 地还有10 千米．那么 A 、B 两地相距多少千米？ （学案对应：超常 2） 【分析】出 发 时 ， 两 车 的 速 度 之 比 为 5 : 4 ， 所 以 相 遇 以 后 两 辆 车 的 速 度 之 比 为
例４
一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前 1 小时到达．如果按原速行驶一段距离后， 再将速度提高 30% ，也可以提前 1 小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？ 【分析】车速提高 20%，速度比是5 : 6 ，那么所用时间为原来的6 : 5 ，所以原定时间为 6(6 5) 6
上坡速度为 20 5 8 （千米/时），下坡速度为 82 16 （千米/时），假设法求得 AC 间路程 2
所用时间为 (162 20) (16 8) 3 （小时），所以 AC 间的路程为 83 12 （千米）
2
2
例３
王刚骑自行车从家到学校去，平常只用 20 分钟。因途中有 2 千米正在修路，只好推车步行，步行速 度只有骑车速度的 1 ，结果这天用了 36 分钟才到学校。从王刚家到学校有多少千米？
例题思路
模块一：基本的变速问题
第 １１ 级下 超常体系 教师版 ３
例 1：平均速度的变速问题 例 2：上下坡变速问题 例 3、路程相同的变速问题 模块二：路程为不变量的变速问题
例 4、例 5 模块三：环形跑道上的变速问题
例 6、例 7、例 8
例１
甲、乙两地相距 6720 米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时间平 均每分钟行 60 米.问他走后一半路程用了多少分钟？ （学案对应：超常 1） 【分析】方法一：由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的
⑶（2009 年第二届学而思杯五年级数学试题） A 、 B 两地相距 6000 米，甲、乙两人分别从 A ， B 两地同时出发相向而行，结果在距 B
６ 第 １１ 级下 超常体系 教师版
第 １０ 讲
地 2400 米处相遇．如果乙的速度提高到原来的 2.5 倍，那么两人可提前 9 分钟相遇，则 甲的速度是每分钟行多少米？
乙地还有 60 千米，已知货车和客车的速度比是 5 : 7 ，求甲、乙两地相距多少千米.
【分析】甲、乙两地相距 60 (7 5) 7 2 420 千米
3.
昊昊、铮铮两人同时从 A 地出发前往 B 地，昊昊每分钟走 80 米，铮铮每分钟走 60 米。昊
昊到达 B 地后，休息了半个小时，然后返回 A 地，昊昊离开 B 地 15 分钟后与正向 B 地行
y 2y
4
故 A 、 C 之间的路程为12 千米，自行车上坡时的速度为每小时 8 千米．
方法二：整体考虑某人从 A 到 B ，再返回 A ,共用时间 2 1 3 3 3 （小时），而上坡和下坡 44
各行了 20 千米，下坡时的速度是上坡时速度的 2 倍，所以上坡时间为 3 3 2 5（小时）， 4 12 2
第 １０ 讲
春季
比例法解行程 五年级寒假
时钟问题
六年级暑期
六年级寒假 六年级秋季 行程模块综合选讲
变速问题
多次相遇与追及
利用正反比例解行程问题，体会比例法在解决速度变化问题方面的技巧
漫画释义
第 １１ 级下 超常体系 教师版 １
教学目标
1. 掌握正反比例在解变速问题上的技巧 2. 寻找题中的不变量，利用不变量进行解题
小时；如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ，此时速度比为 10 :13 ，所用时间比为 13 :10 ，所以按原速度后面这段路程需要的时间为 1(13 10) 13 4 1 小时．所以前面按原
3 速度行使的时间为 6 4 1 5 小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全
②根据题意提速前后速度比为 5:6，由于路程不变，所以提速前后所用时间比为 6:5，所以 提速后用时为12.6 6 5 10.5 （小时）
经典精讲
变速问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种解题方法。对于这种分段 变速问题 ，利用算术方法、 折线图法和方程方法解题各有特点： 算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来 ； 折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定； 方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推 理过程转化成了计算．
走的铮铮相遇。A、B 两地相距_____________米。
【分析】设铮铮从出发到与昊昊相遇共行了 x 分钟，则昊昊行了（ x 30 ）分钟。
60 x 15 80 80( x 30 15)
4800 20x x 240
所以 A、B 两地相距240 60 15 80 15600 米。
时间．而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了．应 指出，如果前一半时间平均速度为每分钟 80 米，后一半时间平均速度为每分钟 60 米，则 这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走(80+60)÷2=70 米．这是因为一分钟 80 米，一分 钟 60 米，两分钟一共 140 米，平均每分钟 70 米．而每分钟走 80 米的时间与每分钟走 60 米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟 70 米．这样，就可以计算出这个人走完全程所 需要的时间是 6720÷70=96 分钟．由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一 半的时间所走路程大于 6720÷2=3360 米．则前一个 3360 米用了 3360÷80=42 分钟；后一半 路程所需时间为 96-42=54 分钟． 方法二：设走一半路程时间是 x 分钟，则 80x+60x=6720，解方程得：x=48 分钟，因为 80×48=3840（米），大于一半路程 3360 米，所以走前一半路程速度都是 80 米，时间是 3360÷80=42（分钟），后一半路程时间是 48+（48-42）=54（分钟）. 评注：首先，从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程”的区别．在时间相等的情况 下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数．但在各段路程相等的情况下，这样做就 是不正确的．其次，后一半路程是混合了每分钟 80 米和每分钟 60 米两种状态，直接求所 需时间并不容易．而前一半路程所需时间的计算是简单的 ．因此，在几种方法都可行的情 况下，选择一种好的简单的方法．这种选择能力也是需要锻炼和培养的．
1.
两地相距 3300 米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行 82 米，乙每分钟行 83
米，已经行了 15 分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？
【分析】根据题意列综合算式得到：3300 82 8315 5（分钟），所以两个人还需要 5 分钟相遇。
2.
客车和货车同时从甲、乙两地的中点向相反方向行驶， 5 小时后，客车到达甲地，货车离
5120%: 4 120%5 : 6 ，而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为 5 : 4 ，所以相遇
后两辆车还需要行驶的路程之比为 4 : 5 ，所以甲还需要行驶全部路程的 4 ，当甲行驶这段 9
路程的同时，乙行驶了全程的 4 5 6 8 ，距离 A 地还有1 4 8 1 ，所以 A 、 B 两
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第 １０ 讲
4.
设原来的速度为 v1 ，提速后的速度为 v2 ，以原速度行驶用的时间为 t1 ，提高后的速度行
驶用的时间为 t2 .
①同样的路程，提速 20％，则 v1 :v2 ____ ， t1 : t2 ____ 小时，现在用____ 小时．
，若两次相差 1 小时，则原来用
3 （学案对应：带号 2） 【分析】途中有 2 千米在修路，导致了王刚上学时间比平时多用 36 20 16 分钟，由于在别的路段
上还是骑车，所以多用的时间都是耗费在修路的 2 千米上．由于步行速度是汽车速度的 1 ， 3
所以步行 2 千米所用的时间是骑车 2 千米所用时间的 3 倍，多用了 2 倍，这个多出来的时 间就是 16 分钟，所以骑车 2 千米需要16 2 8 分钟． 由于 8 分钟可以骑 2 千米，而王刚平时骑车 20 分钟可以到学校，所以王刚家与学校的距离 为 2(20 8) 5 千米．
5.
①8 点出发，原定 13 点到达，出发后车速提高了 25％，现在____点到达．
②从北京到 G 城的特别快车在 2000 年 10 月前需要 12.6 小时，后提速 20%.问：提速后，
北京到 G 城的特别快车要用
小时.
【分析】①因为v1 :v2 4 : 5 ，则 t1 : t2 5 : 4 ，根据题意 t1 5 ，所以 t2 4 ，因此是 12 点到达
②同样的路程，减速 20％，则 v1 :v2 ____ ， t1 : t2 ____ ，若两次相差 1 小时，则原来用 ____小时，现在用____小时．
【分析】① v1 :v2 5 : 6 ， t1 : t2 6 : 5 ， 6,5
② v1 : v2 5 : 4 ， t1 : t2 4 : 5 ， 4,5
课堂引入
大家都知道龟兔赛跑的故事吧，小兔输了比赛的原因就是因为睡觉，导致自己很快的速度变为 0， 结果让乌龟超过了自己 ，我们日常生活中这种问题是很多的 ，为了避免重蹈兔子失败的覆辙，我们 要认真来研究这类问题，找到兔子睡觉的最佳时间，且保证乌龟追不上它。这就是我们今天要学习 的变速问题！
知识点回顾
间 的 路 程 为 (20 x) 千 米 ， 自 行 车 下 坡 速 度 为 每 小 时 2 y 千 米 ． 依 题 意 得 ：
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第 １０ 讲
x y
20 x 2y
2
20 x y
x 2y
1 3 4
，
两式相加，得： 20 20 2 13 ，解得 y 8 ；代入得 x 12 ．
9
15
9 15 45
地相距10 1 450 千米． 45
例６
（超常（1）~（4）） ⑴甲、乙二人从相距 60 千米的两地同时相向而行，6 时后相遇。如果二人的速度各增加 1 千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点 1 千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？
⑵甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑 去．相遇后甲比原来速度增加 4 米／秒，乙比原来速度减少 4 米／秒，结果都用 25 秒同 时回到原地．求甲原来的速度．
例２
从 A 村到 B 村必须经过 C 村，其中 A 村至 C 村为上坡路， C 村至 B 村为下坡路， A 村至 B 村的总 路程为 20 千米．某人骑自行车从 A 村到 B 村用了 2 小时，再从 B 村返回 A 村又用了1小时 45 分．已 知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的 2 倍．求 A 、 C 之间 的路程及自行车上坡时的速度． （学案对应：带号 1） 【分析】（方法一）设 A 、 C 之间的路程为 x 千米，自行车上坡速度为每小时 y 千米，则 C 、 B 之