2022-2023学年内蒙古翁牛特旗乌丹二中数学高三上期末教学质量检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数211i
z i
=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A
B ．4
C ．2
D
2．已知复数(2)1ai i
z i
+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）
A ．2i
B ．2i -
C ．i
D ．i -
3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =），且在区间[,2]e e 上是减函数，
令ln 22a =
，ln3
3b =，ln 55
c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f a f b f c >> D ．()()()f a f c f b >>
4．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．既不充分也不必要条件
D ．充要条件
5． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ） A ．6种
B ．12种
C ．24种
D ．36种
7．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令
1
2
12
1ln 2,,log 24a b c -
⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）
A ．()()()f a f b f c <<
B ．()()()f a f c f b <<
C ．()()()f b f a f c <<
D ．()()()f c f a f b <<
8．已知13ω>
，函数()sin 23f x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：
①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④
B ．①③
C ．②③
D ．①②④
9．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，125
2
a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85
B ．
85
2
C ．35
D ．35
2
10．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( )
A ．1
B
C
D
11．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
12．已知曲线2
4x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆
22650x y y +-+=所得弦长为（ ）
A B ．2
C ．4
D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为()()1,12,2，
，函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,22A ππωϕ⎛
⎫><<< ⎪⎝⎭的图象经过该三角形的三个顶点，则()f x 的解析式为
()f x =___________.
14．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{A =抽到一等品}，事件{B =抽到二等品}，事件{C =抽到三等品}，且已知()0.65P A =，()0.2P B =， ()0.1P C =，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________ 15．如图所示，在直角梯形BCDF 中，90CBF BCE ∠=∠=，A 、D 分别是BF 、CE 上的点，//AD BC ，且
22AB DE BC AF ===（如图①）.将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE 、BF 、CE （如图②）.在折起的过程中，
则下列表述：
①//AC 平面BEF ；
②四点B 、C 、E 、F 可能共面；
③若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD ；
④平面BCE 与平面BEF 可能垂直.其中正确的是__________.
16．已知集合{
}
22
1,(1),33A m m m m =+--+，若1A ∈，则2020m =__________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB BC =，PA PC ⊥.点E ，F ，O 分别为线段PA ，PB ，AC 的中点，点G 是线段CO 的中点.
（1）求证：PA ⊥平面EBO .
（2）判断FG 与平面EBO 的位置关系，并证明.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x a t
y t
=+⎧⎨
=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2212
3sin ρθ
=
+.
（1）若2a =-，求曲线C 与l 的交点坐标；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，且PA 10，求a 的值.
19．（12分）已知函数()()1ln f x x x x λλ⎛⎫
=+-∈
⎪⎝⎭
R . （1）当1x >时，不等式()0f x <恒成立，求λ的最小值； （2）设数列()*
1N n a n n =
∈，其前n 项和为n S ，证明：2ln 24
n n n
a S S -+>. 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：22
221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ,且点1F 、
2F 与椭圆C 的上顶点构成边长为2的等边三角形．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线l 与椭圆C 相切于点P ,且分别与直线4x =-和直线1x =-相交于点M 、N ．试判断12
MF MF 是否为定
值,并说明理由．
21．（12分）已知点A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，||3AB =，2BM MA =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）过点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭
且斜率存在的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，(0,1)E ，求22
||||EP EQ +的取值范围．
22．（10分）已知()0,2P -，点,A B 分别为椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左、右顶点，直线BP 交E 于另一点
,Q ABP ∆为等腰直角三角形，且:3:2PQ QB =.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设过点P 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，总使得MON ∠为锐角，求直线l 斜率的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
由复数的综合运算求出z ，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模． 【详解】
()
()()
212112111i i i
z i i i i -=+
=+=+++-，2,z i z ∴=-∴= 故选：D ． 【点睛】
本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题． 2、A 【解析】
对复数z 进行化简，由于z 为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到a 的值，从而得到复数z . 【详解】
()()()()()
221222111122ai i a i i a i a a z i
i i i i +-+--+-+=
===+-++-
因为z 为纯虚数，所以202
a
-=，得2a = 所以2z i =. 故选A 项 【点睛】
本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题. 3、A 【解析】
因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为1
1
1
1
253253225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此
()()()f b f a f c >>，选Ａ．
点睛：函数对称性代数表示
（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）； （2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+， （3）函数周期为T,则()()f x f x T =+ 4、A 【解析】
向量1a m =（，），32b m =-（，），//a b ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可． 【详解】
解：向量1a m =（，），32b m =-（,）， //a b ，则32m
m =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，
所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 5、A 【解析】
利用两条直线互相平行的条件进行判定 【详解】
当2a =时，直线方程为2210x y +-=与20x y ++=，可得两直线平行；
若直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行，则()12a a -=，解得12a =，
21a =-，则“2a =”是“直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行”的充分不必要条件，故选A
【点睛】
本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题． 6、B 【解析】
分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数. 【详解】
如果甲单独到A 县，则方法数有22
326C A ⨯=种.
如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12
326C A ⨯=种.
故总的方法数有6612+=种. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题. 7、C 【解析】
可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，
[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再
根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】
解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又12
124b -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
12
log 21c ==-
设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈； 若1x ，[]
20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+；
()f x 在[]1,2上是减函数；
12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；
12()()f x f x ∴<；
()f x ∴在[]0,1上是增函数；
所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=
∴()()()f b f a f c <<
故选：C 【点睛】
考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题. 8、A 【解析】
先根据函数()sin 23f x x πω⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
在区间(,2)ππ内没有最值求出1512224k k ω-
+或511
12224
k k ω++.再根据已知求出
11
32
ω<，判断函数的单调性和零点情况得解. 【详解】
因为函数()sin 23f x x πω⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
在区间(,2)ππ内没有最值. 所以22422
332
k k π
π
π
π
πωπωππ-
-
<-
+
，或32242,2
3
3
2
k k k π
π
π
π
πωπωππ+
-
<-
+
∈Z 解得1512224k k ω-+或511
12224k k ω++. 又212,23T ππωω=>，所以11
32
ω<. 令0k =.可得511,1224ω⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
.且()f x 在(,2)ππ上单调递减. 当[0,]x π∈时，2,2333x π
π
πωπω⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦，且72,3212ππππω⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
， 所以()f x 在[0,]π上只有一个零点. 所以正确结论的编号②④ 故选：A. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9、B 【解析】
将已知条件转化为1,a d 的形式，求得1,a d ，由此求得10S .
【详解】
设公差为d ，则1
1522234
a d a d ⎧
+=⎪⎨⎪+=⎩，所以322d =，34d =，178a =，101138510109242S a =+⨯⨯⨯=
. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和的计算，属于基础题. 10、D 【解析】
()12,2,2x x i i y i xi y i y =-⎧+=-∴-+=-∴⎨=-⎩
，
则12x yi i -=-+= 故选D. 11、D 【解析】
求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论. 【详解】
复数1z i =-在复平面上对应的点的坐标为()1,1-，该点位于第四象限. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题. 12、C 【解析】
设22
1212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线
方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】
圆2
2
650x y y +-+=可化为22
(3)4x y +-=.
设22
1212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
则12,l l 的斜率分别为1212,22
x x k k =
=， 所以12,l l 的方程为()2
1111:24
x x l y x x =-+，即112x y x y =-，
()2
22
22:24
x x l y x x =-+，即222x y x y =-，
由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以1
12
232
32
x t y x t y ⎧-=-⎪⎪
⎨
⎪-=-⎪⎩
，
即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32
x
t y -=-上， 所以直线AB 的方程为32
x
t y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，
则直线AB 截圆22
650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】
本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2sin 3
6x π
π⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为F 点，再由函数性质进一步求解参数即可 【详解】
等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点A B C D E F ，，，，，，其中点A B C D ，，，与已有的两个顶点横坐标重复，舍去；若为点E 则点E 与点()2,2的中间位置的点的纵坐标必然大于2或小于2-，不可能为()1,1，因此点E 也舍去，只有点F 满足题意.此时点()2,2为最大值点，所以()2sin()f x x ωϕ=+，又02
π
ω<<
，则
142T π
ω
=>，所以点()1,1，()2,2之间的图像单调，将()1,1,，()2,2代入()f x 的表达式有
()()1,2sin 362sin 212,Z,2262k k k k ππωωϕπωϕππωϕϕπωϕπ⎧⎧⎧=+=+⎪⎪+=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪+==-+∈+=+⎩⎪⎪⎩⎩
由2π
ϕ<知6
πϕ=-，因此()2sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.
故答案为：2sin 3
6x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】
本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题
14、0.35
【解析】
根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．
【详解】
解：由题意知本题是一个对立事件的概率，
抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，
()0.65P A =，
∴抽到不是一等品的概率是()110.650.35P P A =-=-=，
故答案为：0.35．
【点睛】
本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．
15、①③
【解析】
连接AC 、BD 交于点M ，取BE 的中点N ，证明四边形AFNM 为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接DF ，证明出DF EF ，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设平面BCE 与平面BEF 垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，连接AC 、BD 交于点M ，取BE 的中点M 、N ，连接MN 、FN ，如下图所示：
则12AF DE =且//AF DE ，四边形ABCD 是矩形，且AC BD M =，M ∴为BD 的中点， N 为BE 的中点，//MN DE ∴且12
MN DE =，//MN AF ∴且MN AF =， ∴四边形AFNM 为平行四边形，//AM FN ∴，即//AC FN ，
AC ⊄平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AC ∴平面BEF ，命题①正确；
对于命题②，//BC AD ，BC ⊄平面ADEF ，AD ⊂平面ADEF ，//BC ∴平面ADEF ，
若四点B 、C 、E 、F 共面，则这四点可确定平面α，则BC α⊂，平面α
平面ADEF EF =，由线面平行的性质定理可得//BC EF ，
则//EF AD ，但四边形ADEF 为梯形且AD 、EF 为两腰，AD 与EF 相交，矛盾.
所以，命题②错误；
对于命题③，连接DF 、CF ，设AD AF a ==，则2DE a =，
在Rt ADF ∆中，AD AF a ==，2DAF π∠=
，则ADF ∆为等腰直角三角形， 且4AFD ADF π
∠=∠=，2DF a =，4EDF π
∴∠=，且2DE a =，
由余弦定理得22222cos 2EF DE DF DE DF EDF a =+-⋅∠=，222DF EF DE ∴+=，
DF EF ∴⊥，又EF CF ⊥，DF CF F =，EF ∴⊥平面CDF ，
CD ⊂平面CDF ，CD EF ∴⊥，
CD AD ⊥，AD 、EF 为平面ADEF 内的两条相交直线，所以，CD ⊥平面ADEF ，
CD ⊂平面ABCD ，∴平面ADEF ⊥平面ABCD ，命题③正确；
对于命题④，假设平面BCE 与平面BEF 垂直，过点F 在平面BEF 内作FG BE ⊥，
平面BCE ⊥平面BEF ，平面BCE 平面BEF BE =，FG BE ⊥，FG ⊂平面BEF ，
FG ∴⊥平面BCE ，
BC ⊂平面BCE ，BC FG ∴⊥，
AD AB ⊥，AD AF ⊥，//BC AD ，BC AB ∴⊥，BC AF ⊥，
又AB AF A =，BC ∴⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，BC BF ∴⊥.
FG BF F =，BC ∴⊥平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，BC EF ∴⊥.
//AD BC ，EF AD ∴⊥，显然EF 与AD 不垂直，命题④错误.
故答案为：①③.
【点睛】
本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于中等题. 16、1
【解析】
1A ∈分别代入集合中的元素，求出值，再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.
【详解】
依题意，分别令11m +=，()2
11m -=，2331m m -+=，
由集合的互异性，解得1m =，则20201m =.
故答案为：1
【点睛】
本题考查集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．确定集合中元素，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2）//FG 平面EBO .见解析
【解析】
（1）要证PA ⊥平面EBO ，只需证明BO PA ⊥，OE PA ⊥，即可求得答案；
（2）连接AF 交BE 于点Q ，连接QO ，根据已知条件求证//FG QO ，即可判断FG 与平面EBO 的位置关系，进而求得答案.
【详解】
（1）
AB BC =，O 为边AC 的中点，
∴BO AC ⊥，
平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，
∴BO ⊥平面PAC ，
∴BO PA ⊥，
在PAC ∆内，O ，E 为所在边的中点，
∴//OE PC ， 又PA PC ⊥，OE PA ⊥，
∴PA ⊥平面EBO .
（2）判断可知，//FG 平面EBO ，
证明如下：
连接AF 交BE 于点Q ，连接QO .
E 、
F 、O 分别为边PA 、PB 、AC 的中点，
∴2AO OG
=. 又Q 是PAB ∆的重心，
∴2AQ AO QF OG
==， ∴//FG QO ，
FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，
∴//FG 平面EBO .
【点睛】
本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
18、（1）()2,0-，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（2）1a =或1a =- 【解析】
（1）将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线C 与l 的交点坐标； （2）由直线l 的普通方程为20x y a +-=，故C
上任意一点(2cos )P αα，根据点到直线距离公式求得P 到直线l 的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案.
【详解】
（1）22123sin ρθ
=+， ∴2223sin 12ρρθ+=.
由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，得223412x y +=， 曲线C 的直角坐标方程为22
143
x y +=. 当2a =-时，直线l 的普通方程为220x y ++= 由2222014
3x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩或132x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为()2,0-，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. （2）由题意知直线l 的普通方程为20x y a +-=，
C
的参数方程为2cos x y αα
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）
故C
上任意一点(2cos)
Pαα到l的距离为
d==
则
||
sin45
d
PA
︒
===
当0
a≥时，||
PA
=1
a=；
当0
a<时，||
PA
=1
a=-.
综上所述，1
a=或1
a=-
【点睛】
解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
19、（1）
1
2
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）()
2
'
2
x x
f x
x
λλ
-+-
=，分
1
2
λ≥，
1
2
λ
<<，0
λ≤三种情况推理即可；
（2）由（1）可得
()
11
1111
121
ln1
121
21
n n n
n n n
n
⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
++⋅+-
⎪ ⎪
⎢⎥⎢⎥+
⎛⎫⎝⎭⎝⎭
⎣⎦⎣⎦
+<=
⎪+
⎛⎫
⎝⎭+
⎪
⎝⎭
，即()()
11
ln1ln
221
n n
n n
+-<+
+，利用累加法即可得到证明.
【详解】
（1）由()()
1
ln
f x x x
x
λλ
⎛⎫
=+-∈
⎪
⎝⎭
R，得()2
'
2
x x
f x
x
λλ
-+-
=.
当
1
2
λ≥时，方程20
x x
λλ
-+-=的2
140
λ
∆=-≤，因此2x x
λλ
-+-在区间()
1,+∞
上恒为负数.所以1
x>时，()
'0
f x<，函数()
f x在区间()
1,+∞上单调递减.
又()10
f=，所以函数()0
f x<在区间()
1,+∞上恒成立；
当102λ<<时，方程20x x λλ-+-=
有两个不等实根，且满足121x x =<<= 所以函数()f x 的导函数()'f x
在区间11,2λ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
上大于零，函数()f x 在区间
11,2λ⎛+ ⎪⎝⎭上单增，又()10f =，所以函数()f x
在区间11,2λ⎛+ ⎪⎝
⎭上恒大于零，不满足题意； 当0λ≤时，在区间()1,+∞上()1ln ln f x x x x x λ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭
，函数ln y x =在区间()1,+∞ 上恒为正数，所以在区间()1,+∞上()f x 恒为正数，不满足题意；
综上可知：若1x >时，不等式()0f x <恒成立，λ的最小值为12
. （2）由第（1）知：若1x >时，()()1111ln 22x x x x x x +-⎛⎫<--= ⎪⎝⎭
. 若*n ∈N ，则()111111121ln 112121n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦+<= ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭
， 即()()
11ln 1ln 221n n n n +-<++成立. 将n 换成1n +，得()()()()11ln 11ln 121211n n n n ++-+<+⎡⎤⎣⎦+++⎡⎤⎣⎦
成立，即 ()()()()
11ln 2ln 12122n n n n +-+<+++， 以此类推，得()()()()11ln 3ln 22223n n n n +-+<
+++， ()()11ln 2ln 212214n n n n
--<+-， 上述各式相加，得11111ln 2ln ln 2212214n n n n n n n
-=<+++++++-， 又2111112
212n n S S n n n n -=
++++++-，所以2ln 24n n n a S S -+>. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题，考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力，是一道
难题.
20、（1）22
143
x y +=（2）11NF MF 为定值12． 【解析】
（1）根据题意,得出,,a b c ,从而得出椭圆C 的标准方程．
（2）根据题意设直线方程l ：y kx m =+,因为直线与椭圆相切,这有一个交点,联立直线与椭圆方程得
()()222438430k x kmx m +++-=,则0∆=,解得22430k m +-=①
把4x =-和1x =-代入y kx m =+,得()4,4M k m --+和 ()1,N k m --+,
1NF ,1MF 的表达式,比即可得出
1112
NF MF =为定值． 【详解】 解：（1）依题意,22c a ==,1c ∴=
,b =
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=． （2）1
1NF MF 为定值12
. ①因为直线l 分别与直线4x =-和直线1x =-相交,
所以,直线l 一定存在斜率．
②设直线l ：y kx m =+,
由22,3412,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()()
222438430k x kmx m +++-=, 由()()()
2228443430km k m ∆=-⨯+⨯-=, 得22430k m +-=． ①
把4x =-代入y kx m =+,得()4,4M k m --+,
把1x =-代入y kx m =+,得()1,N k m --+,
又因为()11,0F -,()21
,0F 所以1NF k m =-+,
1MF ==,② 由①式,得2234m k =-, ③
把③式代入②式,
得12MF k m ==-+, 111=22NF k m MF k m -∴=-,即11NF MF 为定值12
． 【点睛】
本题考查椭圆的定义、方程、和性质,主要考查椭圆方程的运用,考查椭圆的定值问题,考查计算能力和转化思想,是中档题.
21、（1）2
214
x y +=（2）2564,25⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】 (1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出,EP EQ ，得到EP EQ ⊥，所以222
||||||EP EQ PQ +=，代入韦达定理即可求解.
【详解】
（1）设()0,0A x ，()00,B y ，则22009x y +=， 设(,)M x y ，由2BM MA =得()00003222(0)3x x x x x y y y y y ⎧⎧==-⎪⎪⇒⎨⎨-=-⎪⎪=⎩⎩
． 又由于2
23(3)92x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 化简得M 的轨迹C 的方程为2
214
x y +=． （2）设直线PQ 的方程为35y kx =-
， 与C 的方程联立，消去y 得()222464140525
k x kx +--=， >0∆，设()11,P x y ，()22,Q x y ，
则12224520k x x k +=+，122
6425100x x k -⋅=+， 由已知()11,1EP x y =-，()22,1EQ x y =-，则
()()12121212881155EP EQ x x y y x x kx kx ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+-- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭ ()()212128641525
k x x k x x =+-++ ()2226482464125100552025
k k k k k -=+⨯-⨯+++ 222
264641926425625100k k k k
---++=+ 0=，
故直线EP EQ ⊥．
()()222221212||||||14EP EQ PQ k x x x x ⎡⎤+==++-⎣⎦
()()()()22222222641254246414520251002514k k k k k k k ++⎡⎤-⎛⎫=+-⨯=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥+⎣⎦
()
()242264429252514k k k ++=+，
令214k t +=，则
22222
116442925444276625||2525t t t t PQ t t ⎡⎤--⎛⎫+⨯+⨯⎢⎥ ⎪⎡⎤-++⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦== 24133176427252727t ⎡⎤⎛⎫=⨯--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
， 由于2141t k =+≥，101t
<≤， 22564||25
PQ ≤<． 所以，22||||EP EQ +的取值范围为2564,
25⎛⎤ ⎥⎝⎦
． 【点睛】 此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.
22、（Ⅰ）214x y +=；
（Ⅱ）2,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【解析】
（Ⅰ）由题意可知：由32
PQ QB =，求得Q 点坐标，即可求得椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线2y kx =-，代入椭圆方程，由韦达定理，由>0∆，由MON ∠为锐角，则0OM ON >，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线l 斜率的取值范围．
【详解】
解：（Ⅰ）根据题意ABP ∆是等腰直角三角形
2a ∴=，
()20B ∴,，
设(),Q Q Q x y 由:3:2PQ QB = 得32
PQ QB = 则6545Q Q x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
代入椭圆方程得21b =
∴椭圆E 的方程为2
14
x y += （Ⅱ）根据题意，直线l 的斜率存在，可设方程为2y kx =-
设()()1122,,M x y N x y 由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
221416120k x kx +-+= 由直线l 与椭圆E 有两个不同的交点则>0∆
即()()2216412140k k
--⨯⨯+> 得234
k > 又122
12216141214k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
∠MON 为锐角则cos 0MON ∠>
121200OM ON x x y y ∴⋅> ∴+>
()()()()2121212121212221240x x y y x x kx kx k x x k x x +=+--=+-++>
即()222121612401414k k k k k +-+>++
24k ∴< ②
由①②得22k <<或22
k -<<-
故直线l 斜率可取值范围是2,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．。