小学奥数精讲：对策问题之必胜策略

小学奥数精讲：对策问题之必胜策略
知识点总结：
一取余制胜（取棋子，报数游戏）
1．每次取1~n个棋子，总数，取最后一个赢
策略：总数÷（1+n）
有余则先，拿掉余数，之后总与对手凑成1+n即可
无余则后，总与对手凑成1+n即可
2. 每次取1~n个棋子，总数，取最后一个输
策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。

所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。

问题转化为：每次取1~n个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。

（总数-1）÷（1+n），之后同1中做法。

二．抢占制胜点（倒推法）
1. 能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位
2. 处处为别人着想。

自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。

三．对称法
1. 同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。

2. 不同等情况下，创造对等局面方可制胜。

1.桌子上放着100根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～5根。

规定
谁取走最后一根火柴谁获胜。

如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
分析：100÷（1+5）=16 (4)
有余数，先拿必胜，甲必胜。

（1）甲先拿4个；
（2）乙拿a个，甲就拿6-a个
2.甲乙两人轮流报数，报出的数只能是1～7的自然数。

同时把所报
数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜。

请问必胜的策略是什么？
分析：80÷（1+7）=10
无余数，后拿必胜。

甲拿a个，乙就拿8-a个必胜
3.1000个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮
流向右移动棋子，每次移动1～7格。

规定将棋子移到最后一格者谁赢。

甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？
分析：（1000-1）÷（1+7）=124 (7)
有余，先走必胜。

（1）甲先走7格
（2）乙走a格，甲就拿8-a个必胜
4.5张扑克牌，每人每次只能拿1张到4张。

谁取最后一张谁输。

必
胜的策略是什么？
分析：先拿4张，留给别人1张就行。

5.现有1000根火柴，甲乙两人轮流去拿，每人每次最少拿1根，最
多拿7根，谁取最后一根谁输。

试问：先拿获胜，还是后那获胜?
怎么拿法？
分析：（1000-1）÷（1+7）=124 (7)
有余数，先拿必胜。

（1）甲先拿7个；
（2）乙拿a个，甲就拿8-a个
6.将一枚棋子放在图中的左下角，双方轮流移动棋子（只能向右，
向上或向右上方移），一次可移动任意多格。

谁把棋子移进顶格夺取红旗谁就胜利。

问应如何取胜？
分析：后走必胜
7.有两堆火柴，每堆都有36根。

两人轮流从两对里的其中一堆里拿，
拿的根数不限。

谁拿到最后的部分谁获胜。

那么谁将必胜？获胜的策略是什么？
分析：后拿者必胜
先拿的人从一堆中拿几根，后拿的人就从另外一堆中拿几根
8.有两堆火柴，其中一堆都有25根，另一堆有38根火柴。

两人轮
流从两对里的其中一堆里拿，拿的根数不限。

谁拿到最后的部分谁获胜。

那么谁将必胜？获胜的策略是什么？
分析：先拿者必胜
甲先从38根的一堆中拿出13根，留给对方相同的两堆火柴。

接着乙从一堆中拿几根，甲就从另外一堆中拿几根。

9.在图中左下角放一枚棋子，两人轮流移动它，甲乙两人每人每次
可向上或向右或者沿对角线向右上方移动一格。

谁将棋子移进右上角的顶格中，就算谁赢。

必胜的策略是什么？
分析：先走必胜。

游戏与策略加强篇
1.桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3根，且取最后一根者为
赢。

问：先取者如何拿才能保证获胜？
答：（30÷4=7…..2,先取2根，与对手凑4即可）
2.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1～4个数，谁报到第888个数谁胜。

谁
将获胜？怎样获胜？
答：（甲胜。

甲先报3个数，以后每次与乙合报5个数即可获胜。

）
3.1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次
移动1～7格。

规定将棋子移到最后一格者输。

甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？答：（1111-1）÷（1＋7）＝138……6，所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1。

以后无论乙移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜。

因为甲移完后，给乙留下的空格数永远是8的倍数加1。

4.（1）有两对火柴，每堆都有97根。

两人轮流从两对里的其中一堆里拿，拿的根数不限。

谁拿到最后的部分谁获胜。

那么谁将必胜？获胜的策略是什么？
（2）分别装有63,108个球的两个箱子，两人轮流从任一箱中取球，取得球数不限。

规定取得最后球者胜，谁有必胜的策略？怎么获胜？
答：（1）后拿必胜。

策略是先拿的人从一堆中拿几根，后拿的人就从另外一堆中拿几根。

（2）先拿必胜。

策略是后拿的人从108个球中拿走45个球，留给对方相同的两堆球。

接下来策略同上。

5.图中是一副2007棋，甲乙两人玩棋，分别取红黑两方。

规定下棋时，每人只能走任意
一枚棋子，每枚棋子每次可以走一路或几路，红旗从左至右，黑旗从右至左，但不能跳过对方棋子走，也不能重叠在对方有棋子的格子里，一直到谁无法走棋时谁就失败。

甲先乙后，请问谁有必胜的策略？
答：先走者有必胜的策略。

甲先将红棋向右移动5格，这样红与黑之间的距离都是对称的。

以后乙移动黑棋几格，甲就在相应的一行移动红旗几格。

6.在一个挖去中间的2×2正方形的国际象棋棋盘中，在左下角中放有一枚棋子“车”，两
人轮流移动它，每人每次可往右或向上移动任意多格，谁把“车”移进右上角的红旗位置谁就赢.获胜的策略是什么？
答：后走必胜。

7.棋子“后”位于放个C1中，两人轮流移动它，甲乙两人每人每次可向上或向右或者沿
对角线向右上方移动任意多格。

谁将棋子移进h8中，就算谁赢。

必胜的策略是什么？
答：先走必胜。

8.（选做）黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51。

甲、乙两人轮流划掉连续的
3个数。

规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。

问：甲有必胜的策略吗？
答：甲先划，把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这51个数分成了两组，每组有24个数。

这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划。

因此，若甲先划，且按上述策略去进行，则甲必能获胜。

9.（选做）有三行棋子，分别有1，2，4枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中
至少取走1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。

问：要想获胜是先取还是后取？
答：假设甲先乙后，甲先取必胜。

先取。

从4枚棋子的行中取走1枚。

将1,2,3,留给乙。

那么乙不能从1中取1个，否则甲从3中取1个，留给乙对称的（2,2），乙就输了。

那么乙不能从2中取1个，否则甲从3中取3个，留给乙对称的（1,1），乙又输了。

那么乙不能从3中取1个，否则甲从1中取1个，留给乙对称的（2,2），乙又输了。

那么乙不能从2中取2个，否则甲从3中取2个，留给乙对称的（1,1），乙又输了。

那么乙不能从3中取2个，否则甲从2中取2个，留给乙对称的（1,1），乙又输了。

那么乙不能从3中取3个，否则甲从2中取1个，留给乙对称的（1,1），乙又输了。

乙不管怎么区都会输。

谁先碰到（1,2,3）谁就会输。

10.（选做）在纸上写有一行或若干行“—”号，甲乙两人轮流将其中一个或相邻的两个“—”
号改成“+”号，谁能修改到最后一个“—”号，谁就获胜。

如果开始时：
（1）有11个“—”号
（2）有10个“—”号
规定甲先修改，请问谁有必胜的策略。

答：（1）甲必胜。

甲先将最中间的一个—变成+，以后乙在哪里改成+，甲在对称的位置改成+即可。

（2）甲必胜。

甲先将最中间的两个—变成+，以后乙在哪里改成+，甲在对称的位置改成+即可。

11.（选做）把1,2,3,4,……，2009,2010这2010个数排成一个大圆圈，从1开始数：隔过1
划掉2,3，隔过4划掉5,6.，这样隔一个划掉两个，转圈划下去，……。

问：最后剩下那个数？
答：先找规律：
如果划数的规律是×，√，×，×，√，×，。

如果一圈有3个数，留下2。

如果一圈有9个数，留下5。

如果一圈有27个数，留下15。

如果一圈有729个数，留下中间的数。

那么需要划掉2010-729=1281个数，划掉的第1281个数的编号（1281-1）÷2×3+1=1921，圈中只剩下729个数了，这时，圈中划数的规律是×，√，×，×，√，×，×，。

中间的第365个数就是所求。

1922成为圈中的第一个数，到2000为止连续的数有89个，之后为1,4,7,10，。

1920 365-89=276个，276×3-6=822。