福建省2020年中考数学考前模拟冲刺卷(含答案)

福建省2020年中考数学考前模拟冲刺卷
数学试题
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

5．考试范围：中考全部内容。

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的）
1．下列各式化简后的结果为的是
A B
C D
2．下列图形是轴对称图形的有
A．2个B．3个
C．4个D．5个
3．如图是某个几何体的三视图，该几何体是
A．三棱柱B．三棱锥
C．圆柱D．圆锥
4．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为 A ．12 B ．15 C ．12或15
D ．18
5．如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于 A ．45° B ．60° C ．72°
D ．90°
6．下列可以说明命题“若21a >，则1a >”是假命题的反例是 A ．2a = B ．0a = C ．2a =-
D ．1
2
a =-
7．丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是 A ．平均数 B ．众数 C ．方差
D ．中位数
8．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍．设今年儿子的年龄为x 岁，则下列式子正确的是 A ．4x －5=3(x －5) B ．4x +5=3(x +5) C ．3x +5=4(x +5)
D ．3x －5=4(x －5)
9．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB ，则»AB 的长是
A ．π
B ．
3
2
π C ．2π D ．
12
π
10．已知抛物线2
(2)2(0)y ax a x a =+-->的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的
右侧），与y 轴交于点C .给出下列结论：①当0a >的条件下，无论a 取何值，点A 是一个定点；②当0a >的条件下，无论a 取何值，抛物线的对称轴一定位于y 轴的左侧；③y 的最小值不大于2-；④若AB AC =
，则12
a +=.其中正确的结论有 A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．－64的立方根是__________．
12．如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都等
可能的随机选择一条向左下或右下的路径（比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口）．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是_____．
13．如图，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线，交⊙O 直径AB 的延长线于点D ．若∠D =40°，
则∠A 的度数为__________．
14．不等式组20
12
x x x -≤⎧⎪
⎨-<⎪⎩的最大整数解是__________.
15．如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA =3，PB =4，PC =5，若将△APB 绕着点B
逆时针旋转后得到△CQB ，则∠APB 的度数______．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，AC 与OB 交于点D （8，
4），反比例函数k
y x
=
的图象经过点D ．若将菱形OABC 向左平移n 个单位，使点C 落在该反比例函数图象上，则n 的值为_________．
三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：04sin 60|1|1)︒--++
18．（8分）如图，点E 、F 在BC 上，BE =CF ，AB =DC ，∠B =∠C ，AF 与DE 交于点G ，
求证：GE =GF ．
19．（8分）先化简，再求值：22
169
211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝
⎭，其中2x =． 20．（8分）根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法）.
如图，已知△ABC 中，AB =AC ，BD 是BA 边的延长线． （1）作∠DAC 的平分线AM ；
（2）作AC 边的垂直平分线，与AM 交于点E ，与BC 边交于点F ； （3）联接AF ，则线段AE 与AF 的数量关系为．
21．（8分）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=BC=4，CD=3．
(1)如图1，求△BCD的面积；
(2)如图2，M是CD边上一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°，可得线段BN，过
点N作NQ⊥BC，垂足为Q，设NQ=n，BQ=m，求n关于m的函数解析式．(自变量m 的取值范围只需直接写出)
22．（10分）为了更好的治理西流湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
（1）求a，b的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理西流湖的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
23．（10分）某路段上有A ，B 两处相距近200m 且未设红绿灯的斑马线．为使交通高峰期
该路段车辆与行人的通行更有序，交通部门打算在汽车平均停留时间较长的一处斑马线上放置移动红绿灯．图1，图2分别是交通高峰期来往车辆在A ，B 斑马线前停留时间的抽样统计图．根据统计图解决下列问题：
(1)若某日交通高峰期共有350辆车经过A 斑马线，请估计该日停留时间为10s ～12s 的车辆数，以及这些停留时间为10s ～12s 的车辆的平均停留时间；(直接写出答案) (2)移动红绿灯放置在哪一处斑马线上较为合适？请说明理由．
24．（12分）已知，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点P 是AB 延长线上一点，连接
CP ．
（1）如图1，若∠PCB =∠A ． ①求证：直线PC 是⊙O 的切线； ②若CP =CA ，OA =2，求CP 的长；
（2）如图2，若点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，MN •MC =9，求BM 的值．
25．（14分）已知抛物线22(0)y x bx c b =-+>的顶点P 在x 轴上，与y 轴相交于点A ．
(Ⅰ)求点A 的纵坐标(用含b 的式子表示)； (Ⅱ)当04x ≤≤时，y 有最大值9，求b 的值；
(Ⅲ)点B 在抛物线上，且AP PB ⊥，连接AB ，交对称轴于点C ．
()ⅰ求证：PC 为定长；
()ⅱ直接写出APB
V面积的最小值．
1．【答案】C
【解析】A不能化简；B，故错误；C，故正确；D
=6，故错误，故选C．
2．【答案】C
【解析】图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．
故轴对称图形有4个．
故选C．
3．【答案】A
【解析】观察可得，主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形，所以这个几何体是三棱柱，故选A．
4．【答案】B
【解析】①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．
②若3是底，则腰是6，6．
3+6>6，符合条件．成立．
∴C=3+6+6=15．
故选B．
5．【答案】B
【解析】设此多边形为n 边形，
根据题意得：(2)180720n -⋅=o o
，
解得：n =6，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360660.
÷=o o
故选B ． 6．【答案】C
【解析】2a =-满足21a >，但不满足1a >； 故选C ． 7．【答案】D
【解析】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选D ． 8．【答案】D
【解析】设今年儿子的年龄为x 岁，则今年父亲的年龄为3x 岁，依题意，得： 3x ﹣5=4（x ﹣5）． 故选D ． 9．【答案】A
【解析】连接OA 、OB ，
∵正方形ABCD 内接于⊙O ， ∴AB =BC =DC =AD ，
∴»»»»AB BC
CD DA ===， ∴∠AOB =
1
4
×360°=90°，
在Rt △AOB 中，由勾股定理得：2AO 2=（）2， 解得：AO =2，
∴»AB的长为902
180
π´
=π，故选A．
10．【答案】C
【解析】①y=ax2+（2–a）x–2=（x–1）（ax+2）．则该抛物线恒过点A（1，0）．故①正确；
②∵y=ax2+（2–a）x–2（a>0）的图象与x轴有2个交点，
∴△=（2–a）2+8a=（a+2）2>0，
∴a≠–2．
∴该抛物线的对称轴为：x=
211
22
a
a a
-
=-，无法判定的正负．
故②不一定正确；
③根据抛物线与y轴交于（0，–2）可知，y的最小值不大于–2，故③正确；
④∵A（1，0），B（–2
a
，0），C（0，–2），
∴当AB=AC=
解得：a，故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选C．
11．【答案】–4
【解析】根据立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根这个数，可知–64的立方根为–4.
故答案为–4.
12．【答案】1 2
【解析】如图所示，一只蚂蚁从点出发后有ABD、ABE、ACE、ACF四条路，所以蚂蚁从出发到达处的概率是.
13．【答案】25°
【解析】连接OC，
∵DC 是⊙O 的切线，C 为切点， ∴∠OCD =90°， ∵∠D =40°， ∴∠DOC =50°， ∵AO =CO ， ∴∠A =∠ACO ， ∴∠A =
1
2
∠DOC =25°．故答案为：25°．
14．【答案】2
【解析】2012
x x x -≤⎧⎪
⎨-<⎪⎩①②，
由不等式①得x ≤2， 由不等式②得x >–1， 其解集是–1<x ≤2， 所以整数解为0，1，2，
则该不等式组的最大整数解是x =2． 故答案为：2． 15．【答案】150°
【解析】连接PQ ，
由题意可知△ABP ≌△CBQ
则QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°，
∴∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴PQ=PB=BQ=4，
又∵PQ=4，PC=5，QC=3，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∵△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP=60°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=150°
∴∠APB=∠BQC=150°
16．【答案】2
【解析】∵四边形ABCO是菱形，∴CD=AD，BC∥OA，∵D（8，4），反比例函数的图象经过点D，
∴k=32，C点的纵坐标是2×4=8，∴，
把y=8代入得：x=4，∴n=4﹣2=2，
∴向左平移2个单位长度，反比例函数能过C点，
故答案为2．
17．【解析】原式=4×
﹣
2
18．【解析】∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
在△ABF 和△DCE 中，AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABF ≌△DCE （SAS ），
∴∠GEF =∠GFE ，
∴EG =FG ．
19．【解析】22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝
⎭ 2(3)(1)(2(1)111)x x x x x x +-+⎛⎫=÷ ⎪+⎝⎭
+-+ 23(1)(1)1(3)x x x x x ++-=
⋅++ 13
x x -=+ 当2x =时，原式211325-=
=+． 20．【解析】(1)如图所示：
(2)如图所示：
(3)AE =AF ．
21．【解析】（1）延长BC ，作DH ⊥BC 交BC 于H ，
∵AB //CD ，∴∠ABC =60°=∠DCH ，
∵CD =3，∴DH
， ∴△BCD 的面积
=
142⨯= （2）连接AN ，
由题意知，AB =CB ，BN =BM ，NBM ABC ∠=∠=60°
∴ABM CBM =∠∠
∴ABN CBM ≅V V
则120BAN BCM ∠=∠=o
连接AC ，则ABC △是正三角形，
N ∴、A 、A 三点共线
NQ n =Q ，BQ m =，4CQ m ∴=-，
在Rt NQC V 中，tan NQ CQ NCQ =⋅∠
)1
422n m m ⎫=-=+≤≤⎪⎭
22．【解析】(1)根据题意得：2326
a b b a -=-=⎧⎨
⎩， ∴1210a b ==⎧⎨⎩； (2)设购买污水处理设备A 型设备x 台，B 型设备(10−x )台，
则：12x +10(10−x )⩽105，
∴x ⩽2.5，
∵x 取非负整数，
∴x =0，1，2，
∴有三种购买方案：
①A 型设备0台，B 型设备10台；
②A 型设备1台，B 型设备9台；
③A 型设备2台，B 型设备8台.
(3)由题意：240x +200(10−x )⩾2040，
∴x ⩾1，
又∵x ⩽2.5，x 取非负整数，
∴x 为1，2.
当x =1时，购买资金为：12×1+10×9=102(万元)，
当x =2时，购买资金为：12×2+10×8=104(万元)，
∴为了节约资金，应选购A 型设备1台，B 型设备9台.
23．【解析】（1）1350101212871
⨯=+++++7辆，停留时间为10s ～12s 的车辆的平均停留时间为：
（10+12）÷2=11s .
（2）车辆在A 斑马线前停留时间约为：
()11103125107897111 4.7250
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 车辆在B 斑马线前停留时间为：()11332510713112 6.4540
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 4.72 6.45,<Q
因此移动红绿灯放置B 处斑马线上较为合适．
24．【解析】（1）①∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ．
∵∠PCB =∠A ，∴∠ACO =∠PC B ．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO +∠OCB =90°，∴∠PCB +∠OCB =90°，即OC ⊥CP ． ∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线．
②∵CP =CA ，∴∠P =∠A ，∴∠COB =2∠A =2∠P ．
∵∠OCP =90°，∴∠P =30°．
∵OC =OA =2，∴OP =2OC =4，∴PC
（2）连接MA 、M B ．
∵点M 是弧AB 的中点，∴AM =BM ，∴∠ACM =∠BAM ．
∵∠AMC =∠AMN ，∴△AMC ∽△NMA ，∴
AM CM NM AM
=，∴AM 2=MC •MN ． ∵MC •MN =9，∴AM =3，∴BM =AM =3．
25．【解析】(Ⅰ)Q 抛物线22y x bx c =-+的顶点在x 轴上，
2440b c ∴=-=V ，
2c b ∴=，
∴抛物线2222()y x bx b x b =-+=-．
当0x =时，2222y x bx b b =-+=，
∴点A 的纵坐标为2b ．
(Ⅱ)若2b ≥，则当0x =时，29y b ==最大，
3b ∴=或3(b =-舍去)；
若02b <<，则当4x =时，2
(4)9y b =-=最大， 1b ∴=或7(b =舍去)．
综上所述，1b =或3b =．
(Ⅲ())ⅰ作BD x ⊥轴于点D ，如图所示．
90APB o Q ∠=，90BDP ∠=o ，
90APO BPD ∴∠+∠=o ，90PBD BPD ∠+∠=o ，
APO PBD ∴∠=∠．
又90AOP PDB ∠=∠=o Q ，
AOP ∴V ∽PDB V ，
AO OP PD DB
∴=， AO DB PD OP ∴⋅=⋅．
设点B 的坐标为()2(,)t t b -，
(),0P b Q ，()20,A b ，
2AO b ∴=，OP b =，PD t b =-，2()DB t b =-，
()22()b t b t b b ∴⋅-=-⋅．
0b ≠Q ，t b ≠，
()0t b b ∴-⋅≠，
()1b t b ∴-=，即21bt b -=．
由()20,A b ，()2(,)B t t b -，可得直线AB 解析式为()22y t b x b =-+． 当x b =时，()22
21y t b x b bt b =-+=-=， ∴点C 的坐标为(),1b ，
PC ∴为定长1．
()21bt b -=Q ⅱ，0b >，
1t b b
∴=+，
11111222ABP S PC OD b b ⎛⎫∴=⋅=+≥⨯= ⎪⎝⎭V ， APB ∴V 面积的最小值为1．。