七年级数学下册 10.1 认识二元一次方程组典型例题1 (新版)青岛版

《认识二元一次方程组》典型例题
例1 判断下列方程是不是二元一次方程或二元一次方程组，并说明理由．
（1）0934=-+y x ； （2）432=++z y x ； （3）64=+y
x ； （4）0203=+-xy x ； （5）⎩⎨⎧-==;5,8y x （6）⎩⎨⎧=-=+.
323,54y x y x
例2 下列三对数值中，哪一对是方程组⎩⎨
⎧=+=-.12,02y x y x 的解？
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==;23,21y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧==;21,1y x （3）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==.41,21y x 例3 已知方程组：
（1）⎩⎨⎧=-=+;43,02y x y x （2）⎩⎨⎧=+-=-;843,12z y y x （3）⎩⎨⎧==;0,5y x （4）⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=-.423,1,3y x y x y x
正确的说法是（ ）
A ．只有（1），（3）是二元一次方程组
B ．只有（3），（4）是二元一次方程组
C ．只有（1），（4）是二元一次方程组
D ．只有（2）不是二元一次方程组
例4 方程组⎩
⎨⎧=-=+.82,25y x y x 的解是否满足82=-y x ? 满足82=-y x 的一对y ,x 值是否是方程组⎩⎨⎧=-=+.
82,25y x y x 的解?
例5 已知二元一次方程0532=++y x ，（1）将已知方程写成用y 的代数式表示x 的式子；（2）任意求出方程的5个解．
例6 下列方程中，哪些是二元一次方程？不是的说明理由．
（1）123
=+y x ；（2）71-=+y x ；（3）83-=pq ；
（4）1622=-y y ；（5）4)32(2)(5=-+-y x y x
例7 若⎩⎨⎧=
=32
y x 是方程22=-y kx 的解，求k ．
例8 判断下列括号内的各组数是不是它前面二元一次方程的解．
（1）523=+y x （⎩⎨⎧==20y x ）； （2）23=-x y （⎩⎨⎧
==5
1y x ）；
（3）32=+y x （⎩⎨⎧-==11
y x ）； （4）0821=-+y x （⎩⎨⎧
==7
2y x ）
例9 已知⎩⎨⎧==21
y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-3
42y nx m x 的解，求m 和n 的值．
例10 求二元一次方程103=+y x 的正整数解．
参考答案
例1 分析 判断一个方程或方程组是否为二元一次方程或二元一次方程组，就看它是否符合二元一次方程或二元一次方程组的意义．
解 （1）、（5）、（6）是．（2）不是，因为它有三个未知数；（3）不是，因为它不是整式方程；（4）不是，因为xy -这一项是二次项而不是一次项．
例2 分析 二元一次方程组的解是使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值．通常一个二元一次方程组有一个解．
判断两个未知数的值是不是二元一次方程组的解，要把这两个数逐一代入方程组的各方程中．
解 （1）把21=x ，2
3=y 代入方程.02=-y x ∵左边≠右边，∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==23,21y x 不是原方程组的解． （2）把211=
=y x ，代入方程02=-y x ，左边=右边； 把2
11==y x ，代入方程.12=+y x 左边=2，右边=1，左边≠右边. ∴ ⎪⎩
⎪⎨⎧==21,1y x 不是原方程组的解． （3）把4
121==
y x ，代入方程02=-y x ，左边=右边； 把4121==y x ，代入方程12=+y x ，左边=右边， ∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==41
,21y x 是原方程的解．
说明：在检验一对数是不是二元一次方程组的解时，不能只把这对数代入其中一个方程
检验后就下结论，如（2）中⎪⎩
⎪⎨⎧==21,1y x 虽满足方程02=-y x ，但不满足12=+y x ，故它不是原方程组的解．
例3 解：（2）含三个未知数z y x ,,；（3）是二元一次方程组的最简形式；（4）虽有三个方程，仍符合二元一次方程组的定义．故只有（2）不是，选D ．
分析：本题考查二元一次方程组的定义，要抓住构成二元一次方程组的两个要素；（1）含有两个未知数；（2）每个方程都是一次方程．
例4 解：因为方程组⎩
⎨⎧=-=+.82,25y x y x 的解，是使方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，即满足方程组的两个方程，所以满足方程82=-y x 的值不一定是方程组⎩⎨⎧=-=+.82,25y x y x 的解，但⎩
⎨⎧=-=+.82,25y x y x 的解一定是方程82=-y x （或25=+y x ）的解． 分析：本题考查二元一次方程组解的性质，关键在分清二元一次方程组的解与二元一次方程的解之间的区别与联系．
例5 解：（1）移项，得532--=y x ， ∴2
53--=y x ． ① （2）将2,1,0,1,2--=y 分别代入方程①，得对应的x 值分别为
211,4,25,1,21----．故方程0532=++y x 的5个解为：
⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧-==.
2,211 ;1,4 ;0,25 ;1,1 ;2,215544332211y x y x y x y x y x 分析 本题考查应用等式性质对方程进行变形，二元一次方程有无数组解，要求其中部分解时，可选取部分特殊未知数值代入，对应求出另一个未知数值即可．
例6 解：（1）（5）是二元一次方程，其余都不是，（2）分母里含有未知数，不是整式方程；
（3）含未知数的项是二次；（4）只含有一个未知数，都不符合二元一次方程的定义． 分析：本题考查二元一次方程的定义，判断前要对复杂的等式进行化简，如（5）化简得4119=-y x ，所以它是二元一次方程．
例7 分析：因为⎩
⎨⎧==32y x 是方程22=-y kx 的解，所以代入方程后，左右两边的值相等，从而方程只含有一个字母系数k ，则k 可求出．
解：把⎩⎨⎧==3
2y x 代入方程得2322=⨯k-，解得.k 4=
说明：本题主要考查方程解的定义．
例8 分析：根据二元一次方程解的概念，只需把括号内的x 、y 的值代入方程，左右两边相等就是方程的解．
解：（1）∵左边72203=⨯+⨯= 右边5=
∴左边≠右边 ∴⎩⎨⎧==2
0y x 不是方程523=+y x 的解．
（2）∵左边2135=⨯-= 右边2=
∴左边=右边 ∴⎩⎨⎧==5
1y x 是方程23=-x y 的解．
（3）∵ 左边1)1(21-=-⨯+= 右边3=
∴左边≠右边 ∴ ⎩
⎨⎧-==11y x 不是方程32=+y x 的解． （4）∵左边08722
1=-+⨯= 右边0= ∴左边=右边 ∴⎩⎨⎧==7
2y x 是方程0821=-+y x 的解． 例9 分析：因为2,1==y x 是方程组⎩⎨
⎧=+=-)2(3)1(42ΛΛy nx m x 的解，根据方程组的定义知
2,1==y x 既满足方程（1）又满足方程（2）
，于是有：412=-⨯m ，32=+n ，从而有.1,2=-=n m
解：∵ ⎩⎨⎧==2
1y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-342y nx m x 的解．
∴ 将x 、y 的值代入后，方程（1），方程（2）都成立．
即⎩
⎨⎧=+=-⨯)4(32)3(412n m 解（3）得，.2-=m
解（4）得，.1=n
∴ .1,2=-=n m
例10 解：∵103=+y x ∴x y 310-=
当1=x 时，7=y 当2=x 时，4=y 当3=x 时，1=y
∴ 二元一次方程103=+y x 的正整数解为：
⎩⎨⎧==71y x ，⎩⎨⎧==42y x ，.1
3⎩⎨⎧==y x 分析： 求二元一次方程的解的方法是用一个未知数表示另一个未知数，如x y 310-=，给定x 一个值，求出y 的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解．而此题是对未知数x 、y 作了限制必须是正整数，也就是说对于给定的x 可能是1，2，3，4…．但是当4=x 时24310-=⨯-=y ，y 却不是正整数，因此x 只能取正整数的一部分即1=x ，2=x ，.3=x。